新编高考第一轮复习数学：1.2逻辑联结词与四种命题教案(含习题及答案)

1.2 逻辑联结词与四种命题
●知识梳理
〔1〕命题：可以判断真假的语句叫做命题.
〔2〕逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.
〔3〕简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题；由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
〔4〕真值表：表示命题真假的表叫真值表.
〔1〕四种命题
原命题：如果p ，那么q 〔或假设p 则q 〕；逆命题：假设q 则p ；
否命题：假设⌝p 则⌝q ；逆否命题：假设⌝q 则⌝p .
〔2〕四种命题之间的相互关系
若 则 逆否命题互 逆
互 否
若 则逆命题q p q p ●点击双基 “p :8+7=16，q :π＞3”构成的复合命题，以下判断正确的选项是
A.p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真
B.p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真
C.p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假
D.p 或q 为假，p 且q 为真，非p 为真
解析：因为p 假，q 真，由复合命题的真值表可以判断，p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真.
答案：A
2.〔2004年福建，3〕命题p :假设a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件；
命题q :函数y =2|1|--x 的定义域是〔－∞，－1］∪［3，+∞〕，则
A.“p 或q ”为假
B.“p 且q ”为真
C. p 真q 假
D. p 假q 真
解析：∵|a +b |≤|a |+|b |，
假设|a |+|b |＞1，不能推出|a +b |＞1，而|a +b |＞1，一定有|a |+|b |＞1，故命题p 为假.
又由函数y =2|1|--x 的定义域为|x －1|－2≥0，即|x －1|≥2，即x －1≥2或x －1≤－2. 故有x ∈〔－∞，－1］∪［3，+∞〕.
∴q 为真命题.
答案：D
3.〔2005年春季上海，15〕设函数f〔x〕的定义域为R，有以下三个命题：
①假设存在常数M，使得对任意x∈R，有f〔x〕≤M，则M是函数f〔x〕的最大值；
②假设存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f〔x〕＜f〔x0〕，则f〔x0〕是函数f〔x〕的最大值；
③假设存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f〔x〕≤f〔x0〕，则f〔x0〕是函数f〔x〕的最大值.
这些命题中，真命题的个数是
A.0
B.1
C.2
解析：①错.原因：可能“=”不能取到.②③都正确.
答案：C
“假设m＞0，则关于x的方程x2+x－m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为___________________.
解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断.
答案：2
5.〔2005年北京西城区抽样测试题〕已知命题p:函数y=log a〔ax+2a〕〔a＞0且a≠1〕的图象必过定点〔－1，1〕；
命题q:如果函数y=f〔x－3〕的图象关于原点对称，那么函数y=f〔x〕的图象关于点〔3，
A.“p且q”为真
B.“p或q”为假
C. p真q假
D. p假q真
解析：解决此题的关键是判定p、qp真，q假〔可举反例y=x+3〕，因此正确答案为C.
答案：C
●典例剖析
【例1】给出命题“已知a、b、c、d是实数，假设a=b，c=d，则a+c=b+d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有
剖析：原命题和逆否命题为真.
答案：B
深化拓展
假设a、b、c∈R，写出命题“假设ac＜0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假.
思路：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假.
解：逆命题“假设ax2+bx+c=0〔a、b、c∈R〕有两个不相等的实数根，则ac＜0”是假命题，如当a=1，b=－3，c=2时，方程x2－3x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=2＞0.
否命题“假设ac≥0，则方程ax2+bx+c=0〔a、b、c∈R〕没有两个不相等的实数根”是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题.
逆否命题“假设ax2+bx+c=0〔a、b、c∈R〕没有两个不相等的实数根，则ac≥0”是真命题.因为原命题是真命题，它与原命题等价.
评述：解答命题问题，识别命题的条件p与结论q的构成是关键.
【例2】指出以下复合命题的形式及其构成.
〔1〕假设α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°；
〔2〕一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；
〔3〕有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形.
解：〔1〕是非p形式的复合命题，其中p:假设α是一个三角形的最小内角，则α＞60°.
〔2〕是p且q形式的复合命题，其中p:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形.
〔3〕是p或q形式的复合命题，其中p:有一个内角为60°的三角形是正三角形，q：有一个内角为60°的三角形是直角三角形.
【例3】写出命题“当abc=0时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
剖析：把原命题改造成“假设p则q”形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题.在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律.
解：原命题：假设abc=0，则a=0或b=0或c=0，是真命题.
逆命题：假设a=0或b=0或c=0，则abc=0，是真命题.
否命题：假设abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0，是真命题.
逆否命题：假设a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0，是真命题.
●闯关训练
夯实基础
“p且q”形式，那么否命题的结论形式为
A.⌝p且⌝q
B.⌝p或⌝q
C.⌝p或⌝q
D.⌝q或⌝p
解析：p且q的否认为⌝p或⌝q.
答案：B
①“假设xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题②“面积相等的三角形全等”的否命题③“假设m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根”的逆否命题④“假设A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题
A.①②
B.②③
C.①②③
D.③④
解析：写出满足条件的命题再进行判断.
答案：C
“p或q”“p且q”“非p”填空.
〔1〕命题“15能被3和5整除”是___________________形式；
〔2〕命题“16的平方根是4或－4”是______________形式；
〔3〕命题“李强是高一学生，也是共青团员”是___________________形式.
答案：〔1〕p且q〔2〕p或q〔3〕p且q
“假设ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是_______________.
答案：假设a≠0且b≠0，则ab≠0
5.在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p1“第一次射击击中飞机”，命题p2“第二次射击击中飞机”，试用p1、p2及联结词“或”“且”“非”表示以下命题：〔1〕两次都击中飞机；
〔2〕两次都没击中飞机；
〔3〕恰有一次击中飞机；
〔4〕至少有一次击中飞机.
解：〔1〕两次都击中飞机是p1且p2；
〔2〕两次都没击中飞机是⌝p1且⌝p2；
〔3〕恰有一次击中飞机是p1且⌝p2，或p2且⌝p1；
〔4〕至少有一次击中飞机是p1或p2.
培养能力
6.〔2004年湖北，15〕设A、B为两个集合.以下四个命题：
①A B⇔对任意x∈A，有x∉B；②A B⇔A∩B=∅；③A B⇔A B；④A B⇔存在x∈A，使得x∉B.
其中真命题的序号是______________.〔把符合要求的命题序号都填上〕
解析：A B⇔存在x∈A，有x∉B，故①错误；②错误；④正确.
亦或如以下图所示.
B A
∩
A B
③反例如以下图所示.
A
B
A B⇒A B.反之，同理.
答案：④
7.命题：已知a、b为实数，假设x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.
分析：原命题中，a、b为实数是前提，条件是x2+ax+b≤0有非空解集〔即不等式有解〕，结论是a2－4b≥0，由四种命题的关系可得出其他三种命题.
解：逆命题：已知a、b为实数，假设a2－4b≥0，则x2+ax+b≤0有非空解集.
否命题：已知a、b为实数，假设x2+ax+b≤0没有非空解集，则a2－4b＜0.
逆否命题：已知a、b为实数，假设a2－4b＜0，则x2+ax+b≤0没有非空解集.
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.
8.写出以下命题非的形式：
〔1〕p:函数f〔x〕=ax2+bx+c的图象与x轴有唯一交点；
〔2〕q:假设x=3或x=4，则方程x2－7x+12=0.
解：〔1〕函数f〔x〕=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点或至少有两个交点.
〔2〕假设x=3或x=4，则x2－7x+12≠0.
探究创新
9.小李参加全国数学联赛，有三位同学对他作如下的猜测.
甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？
解：〔1〕假设小李得了第三名，则甲全猜对，乙全猜错，显然与题目已知条件相矛盾，故假设不可能.
〔2〕假设小李得了第二名，则甲猜对一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不可能.
〔3〕假设小李得了第一名，则甲猜对一半，乙全猜错，丙全猜对，无矛盾.
综合〔1〕〔2〕〔3〕知小李得了第一名.
●思悟小结
“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地，假设两个
命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”.
2.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断〔或推证〕，我们可通过对与它同真假的〔具有逆否关系的〕命题来判断〔或推证〕.
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教学点睛
“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地，假设两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”.
2.要明确原命题、否命题、逆命题、逆否命题之间的关系.
拓展题例
【例1】写出以下各命题的否认及其否命题，并判断它们的真假.
〔1〕假设x、y都是奇数，则x+y是偶数；
〔2〕假设xy=0，则x=0或y=0；
〔3〕假设一个数是质数，则这个数是奇数.
解：〔1〕命题的否认：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题.
原命题的否命题：假设x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题.
〔2〕命题的否认：xy=0则x≠0且y≠0，为假命题.
原命题的否命题：假设xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题.
〔3〕命题的否认：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题.
原命题的否命题：假设一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.
【例2】有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.
A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，
B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，
C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.
如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？
解：假设苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.
假设苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.
同样，假设苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.
综上，苹果在B盒内.。