专题13 相关与独立

专题13 相关性与独立性
当Cov(X,Y)>0时，称X与Y正相关；
当Cov(X,Y)<0 时，称X与Y负相关；
当Cov(X,Y)=0 时，称X与Y不相关.
(,),
:X Y Cov X Y
随机变量与的协方差
1.定义,记为其值为
{}.
(,)[()][()]
Cov X Y E X E X Y E Y
=--
(,)
Cov X Y X Y
协方差反映了随机变量与的线性相关性:
（一）知识要点
2.协方差的计算公式:(,)((.
)())
=-
E XY E X E
C X Y Y ov
协方差是有量纲的数字特征，为了消除其量纲的影响，引入一个新概念：
3.定义：数值
称为随机变量X 与Y 的相关系数, 是没有量纲的.
(,)
()()ρ=XY
Cov X Y D X D Y *
*()()
,,
()()
X E X Y E Y X Y D X D Y --==若记标准化变量**
(,.
)XY Cov X Y ρ=则
4.相关系数是一个用来表征两个随机变量之间线性关 系密切程度的特征数, 有时也称为“线性相关系数”.
ρXY 当
较大时，表明X 与Y 的线性关系程度较好； 当
较小时，表明X 与Y 的线性关系程度较差. ρXY 特别地，
当
时，表明X 与Y 之间以概率1存在线性关系； 1ρ=XY 当
时，表明X 与Y 之间没有线性关系，称 两个变量X 与Y 不相关.
0XY ρ=
(1) (,)0Cov X Y =;
(,)
,
()()
XY Cov X Y D X D Y ρ=注意到—— 较常用
(2) ()()().
E XY E X E Y =(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-0,ρ=若则称随机变量与5.定义：不相关.
关零相或XY
X Y :
X Y 随机变量与不相关或零相关的等价条件有
(,)()()
X Y F x y F x F y =,X Y 相称随机变量互独立.
()(,),,()
,(),(,)()()≤≤=≤≤
定设是二元随机变量的分布函数是的边际分布函数是的边际分布函数, 若对所有
有义：：，即X
Y
F x y X Y F x X F y Y x y P X x Y y P X x P Y y ,X Y 对相比，随机变量互独立定义
6.说明: X与Y不相关, 仅针对于线性关系而言； X与Y相互独立, 是就一般关系而言.
X与Y不相关
X与Y
相互独立
X与Y相互独立X与Y不相关
221212
(,)~(,,,,),:X Y N μμσσρ 7.正设态分布性质则221122
12(1)~(,),~(,),(,);X N Y N Cov X Y μσμσρσσ=2
22
2121
2
12(2)~(,2);aX bY c N a b c a b ab μμσσρσσ++++++2
21122121
122
122112(3)(,)();
Cov a X bY a X b Y a a b b a b a b σσρσσ++=+++(4)0.
X Y X Y ρ⇔=⇔与独立与不相关
（二）例题分析
121216.
X X X X 投掷一枚均匀的骰子一次, 用表示抛出的点数为的次数, 用表示抛出的点数为的次数,试分析与的独立性和例131.相关性.1242(0,0)(25)63
===~==P X X P 事实上, 抛出的点数为中的一种；
1(1,),,1,2.6
== i X B p p i 由题意可解知, :12121,10.
X X X X = 且易知与是有关系的, 试想: 如果也就意味着“抛出的点数为”, 那么的值就只能为了121(1,0)(1)6P X X P ====抛出的点数为；
121(0,1)(6)6
====P X X P 抛出的点数为； 12(1,1)0.===P X X
121211(1)(1)0,66
P X P X X X ===⨯≠ 而 故与不独立. 12211()0010011100,366E X X =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
又 1212121212111()()6636
1(,)()()()0,
36
,E X E X Cov X X E X X E X E X X X =⨯==-=-≠结合 ,知 这也意味着是相关的.
11
1212(1).n n Y Y Y Y ≥独立地掷一枚均匀的骰子次, 用表示抛出的点数小于4的次数, 用表示抛出的点数大于3的次数例13,试分析与的独立性和.2相关性.12,,+=Y Y n 由题意可知 解:1212Y Y Y Y ρ那么与的相关系数为
121212(,)()()Y Y Cov Y Y D Y D Y ρ=1(,),1,2.2
i Y B n i =
且 (,)()()0X c Cov X c E X c E X c =⨯-⨯=注意到随机变量(其期望存在)与任意常数, 均有 1211111(,)(,)(,)(,)=-=+- Cov Y Y Cov Y n Y Cov Y n Cov Y Y 那么12,Y Y 故是严格负相关的,也是不独立的.
1()
D Y =-111()=()()
D Y D Y D n Y --111()
1.
()()
D Y D Y D Y -==-
12
()()()0,101,,.X X x x Y x x X Y =<<-设数在区间上随机取值，当观察到时数在区间上随机取值, 试分析与的独立性和例133.相关性.|1;2(|)0,,
Y X x y x x
f y x ⎧-<<⎪=⎨
⎪⎩ , 其它}(01)=<<{X x x Y 且在条件下，的条件概率密度为
(),X Y 故的联合概率密度函数为：
(0,1),()1/2.
=X U E X 题知解: 由|1,01;2(,)()(|)0,X Y X x y x x x
f x y f x f y x ⎧-<<<<⎪==⎨
⎪⎩, 其它.
13
1(,)()()()000.2
Cov X Y E XY E X E Y =-=-⨯=101()(,)0.
2x
x E Y y f x y dydx y dydx x +∞+∞-∞-∞-==⨯=⎰⎰⎰⎰因此 101()(,)0,2x
x E XY xy f x y dydx xy dydx x
+∞+∞-∞-∞-==⨯=⎰⎰⎰⎰得
,X Y 因此不相关. y
x
o
1
1
1
-,X Y 但不独立.
1,01,(,)0()()0.
X Y x y x f x y f x f y <<<<=≠> 因为, 当
(,)X Y 例1设的3.4.分布律为(1)0,0.4,00.2,0.6;
a c
b a b
c ≤≤≤≤++= 由分布律性质知解:0.1,0.2,0.3;
a b c X Y ===例如当时，与正相关(3)0.60.40.24,0.60.20.12;X Y a c b ==⨯==⨯=根据与独立的定义知(1),,(2),,(3),,(4),,a b c a b c X Y a b c X Y a b c X Y 问应满足什么条件？问为何值时与正相关？问为何值时与独立？
问为何值时与不相关且不独立？
(2)()0.6,()0,(),E X E Y E XY c a ===-(4)(,)0,,0,1,1,0,1ij i j Cov X Y p p p i j ∙∙====-但不全成立，
101
00.40.20.40.410.6
0.4
0.2
0.4
i j
X Y p a
b c a b c p ∙∙----,0.24,0.12.a c a b =≠≠即但或0.2;0.3,0.
a b c a c b ======例如等(,)0,.Cov X Y c a a c ∴=-><即。