偶数阶幻方矩阵行列式的研究

个满足相等条件的４ｎ阶方阵口。。．
以４阶方阵Ａ。＝ ：：，：，１竺１寻ｌ三为］块构造４ｎ阶方阵：Ａ。。：Ｉｆ；Ａ４…·．Ａ。；。 ，则４ｎ２Ａ。。＋Ｂ。。是符合要
３２ １ ｏ
…【－Ａ。。．．：二。
’
’
０ １ ２ ３Ｊ
求的４ｎ阶幻方．
２偶数阶幻方矩阵的行列式
２．１ ４露＋２阶幻方矩阵的行列式 ６阶幻方矩阵用Ｍａｔｌａｂ软件或用初等变换的方法都可求得Ｉ鼍Ｉ＝０． 由４ｎ＋２阶幻方矩阵的构造法得：
作２ｎ＋１阶幻方矩阵如下：置川＝（２ｎ＋１）Ａ２州＋Ｂ２，ｌ＋ｌ＋三ｒ２ｎ＋ｌ，
收稿日期：２００９—０７—０６
修回日期：２００９—１２－２８
基金项目：教育部高校教学研究中心重点项目（ＦＩＢ０７０３３５一Ａ２—１２）、安徽省教育厅教学研究重点项目（２００８ｊｙｘｍｌ３８）、安
徽省教育厅自然科学重点基金项目（ＫＪ２００８Ａ１４０）、安徽省高校省级自然科学项目（ＫＪ２００９８２４５Ｚ）、合肥学院自然科学研究
综上所述：所有偶数阶幻方矩阵的行列式都等于０．
３ 结束语
对于文献［１］构造出的偶数阶幻方矩阵的行列式已经证明出其行列式都等于０，至于其他方法构造出 的偶数阶幻方矩阵的行列式，笔者用Ｍａｔｌａｂ数学软件验证了１００以内的偶数阶幻方矩阵的行列式也都等 于Ｏ，其他方法构造出的偶数阶幻方矩阵的行列式是不是都等于０，是一个值得研究的课题！
ｌ， Ａ４ｎ＋２ ２ Ｍ２ｌ 肘２２ 肘２３
ＬＭ３】 肘３２ 肘３３Ｊ
万方数据
第１期
汪潘义：偶数阶幻方矩阵行列式的研究
其中的Ａ。就是构造６阶幻方时的６阶方阵，Ｍ…鸩一全部由２阶块【；：］组成，Ｍ。，，毗全部由２阶块
［；：】组成，坞。全部由２阶块［；；】组成，坞，全部由２阶块【呈：】组成，Ｍ－：全部由２阶块【：；】组成，
9.李尚志 线性代数精彩应用案例:之一[期刊论文]-大学数学 2006(03)
本文链接：/Periodical_hfxyxb-zrkxb201001007.aspx
ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｓｔｕｄｉｅｄ ｂｙ ｕｓｅ ｏｆ Ｍａｔｌａｂ ｓｏｆｔｗａｒｅ，ａｎｄ ｕｓｅｄ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｍａｔｒｉｘ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ
ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａｌｌ ｅｖｅｎ－ｏｒｄｅｒ ｍａｇｉｃ ｓｑｕａｒｅ ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｄｕｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ，ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｏｕｔ ａｌｌ ｅｖｅｎ—ｏｒｄｅｒ ｍａｇｉｃ ｓｑｕａｒｅ ｍａｔｒｉｘ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｉｓ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｚｅｒｏ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｖｅｎ ｎｕｍｂｅｒ ｒａｎｋ；ｍａｇｉｃ ｓｑｕａｒｅ；ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ
鸭ｚ全部由２阶块［；：】组成．
１．２．２ ４ｎ阶幻方矩阵的构造
１
８ １２ １３１
１４ １１ ７ ２
４阶幻方矩阵蜀＝４Ａ。＋Ｂ。＋日４＝
ｌ，
１５ １０ ６ ３
４ ５ ９ １６Ｊ
鼽
小Ｉ；２２ １。牡：∽㈡峨： 『．ｏ １２ ３］
『－ｏ ３ ３ ｏ］
ｌ１
１ｌ
１１
Ｌ０ １ ２ ３Ｊ
Ｌ３ ０ ０ ３ｊ
１ｌ
仿造４阶幻方构造，设已构造一个．｜｝阶幻方ｘ＝（石＃）ｋｘｋ将其中每个元素用２阶块『ｚ。 菇“１代替可得到一 ＬＺ打 戈打Ｊ
ＷＡＮＧ Ｐａｎ．ｙｉｌ，２
（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｈｅｆｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ ２３０６０１； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ．Ｈｏｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００９８，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｖｅｎ—ｏｒｄｅｒ ｍａｇｉｃ ｓｑｕａｒｅ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，４，６－ｏｒｄｅｒ ｍａｇｉｃ ｓｑｕａｒｅ ｍａｔｒｉｘ
（２ｎ＋１）２
ｊ
＋
；
［』。 ；］
翔
０
印 ｏ如
ｎ＋
０
ｍ 口“
，Ｉ＿＿Ｊ
ｎ＋
由于第１列与第４ｎ＋ｌ列元素行对应成比例，故Ｉ墨棚Ｉ＝０． 故得证：２ｋ（ｋ为奇数）阶幻方矩阵的行列式都为０．
２．２ ４ｎ阶幻方矩阵的行列式
４阶幻方矩阵用Ｍａｔｌａｂ软件或用初等变换的方法都可求得Ｉ墨ｌ＝０ 由４ｎ阶幻方矩阵的构造法得：
［㈡［； ：∽：】：］［２ ｉ Nhomakorabea ｒ０ ３１ ｒ０
Ａ６＝ 【ｌ ２ Ｊ 【２
【㈡［： ０１ 『ｌ ２１ ２ Ｊ １０ ３ Ｊ
设计的顺序是：先确定中间的块『ｕ １ １使它的两条对角线元素之和都为３，再填写它的右边和下面的块使
Ｌ，，
１Ｊ
已确定的３块满足相等条件，剩下的６块每两块作为一组（其中第（１，１）与（１，２）块为一组，第（２，１）与 （３，１）块为一组，第（１，３）与（３，３）块为一组），让每组分别满足关于行和列的相等条件，并兼顾对角线的 相等条件．
参考文献(9条)
1.汪潘义;张霞 奇数阶幻方通项公式的推导[期刊论文]-合肥学院学报(自然科学版) 2009(03) 2.汪潘义;张霞 偶数阶幻方矩阵的一些奇妙性质[期刊论文]-韩山师范学院学报 2007(06) 3.汪潘义;代诗平 神奇的奇数阶幻方[期刊论文]-合肥学院学报(自然科学版) 2007(04)
4.龚奇夫 构造任意阶幻方的一种构造方法 2002(02)
5.赵丽华 幻方的简易合成[期刊论文]-太原理工大学学报 2003(04)
6.曹小琴 奇数阶幻方的一种构造法及其个数 1999(04) 7.Rouse Ball W W Mathematical Recreations and Essays 1962 8.Brualdi R A;冯舜玺;罗平;裴伟东 组合数学 2001
项目（０８ＫＹ０２２ＺＲ）基金资助．
作者简介：汪潘义（１９７０一），男，安徽怀宁人，合肥学院数学与物理系副教授，河海大学商学院２００８级博士研究生．
万方数据
２４
其中：Ａ ２川＝
凡
ｎ一１
：
●
凡＋ｌ
ｎ＋ｌ
几
●
：
凡＋２
合肥学院学报（自然科学版）
第２０卷
（其中最大元素为２ｎ），Ｂ：川是将Ａ：川关于正中间的那一列
参考文献： ［ｉ］ 李尚志．线性代数精彩应用案例：之一［Ｊ］．大学数学，２００６，２２（３）：６．８． ［２］Ｂｍａｌｄｉ Ｒ Ａ．组合数学［Ｍ］．冯舜玺，罗平，裴伟东，译．北京：机械工业出社，２００１：６－７． ［３］Ｒｏｕｓｅ Ｂａｌｌ Ｗ Ｗ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｒｅｃｒｅａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｅｓｓａｙｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｍａｃｍｉｌｌｌｉａｎ，１９６２：１９３．２２１． ［４］曹小琴．奇数阶幻方的一种构造法及其个数［Ｊ］．浙江师范大学学报：自然科学版，１９９９，２２（４）：９—１ｌ ［５］赵丽华．幻方的简易合成［Ｊ］．太原理工大学学报，２００３（４）：４９６－４９９． ［６］龚奇夫．构造任意阶幻方的一种构造方法［Ｊ］．淮南师范学院学报：自然科学版，２００２，４（２）：４＿６． ［７］汪潘义，代诗平．神奇的奇数阶幻方［Ｊ］．合肥学院学报：自然科学版，２００７，１７（４）：２０－２３． ［８］ 汪潘义，张霞．偶数阶幻方矩阵的一些奇妙性质［Ｊ］．韩山师范学院学报，２００７，２８（６）：８－１１． ［９］汪潘义，张霞．奇数阶幻方通项公式的推导［Ｊ］．合肥学院学报：自然科学版，２００９，１９（３）：１－４．
：ｃ写 “ ２
．＿＿。＿．Ｌ 们叭 ｈ“ ２
口 （ ２ｎ ＋ ｌ ，‘
口 （ ２ｎ ＋ Ｉ ２ ，＿ｌ●Ｊ
其中ａ。∈｛１，２，…，（２ｎ＋１）２｝． 对矩阵作变换：第１列减去第２列，第４凡＋１列减去第４ｎ＋２列，则蜀棚作变换得：
万方数据
２６
合肥学院学报（自然科学版）
第２０卷
ｌ １：］
翱
０们 ．－＿＿【 ０ ｍ １Ｉ●●Ｊ
将Ａ。的９倍与俄相加，就得Ｎ－·个满足条件的６阶幻方：
４ １３ ２７ ３６ ２９ ２ ３１ ２２ １８ ９ ２０ １１ ３ ３０ ５ １４ ２５ ３４
瓦＝９Ａ６＋Ｂ６＝
１２ ２１ ２３ ３２ １６ ７ ２６ １７ ２８ １ １５ ２４ ３５ ８ １０ １９ ６ ３３
仿照６阶幻方可以对任意奇数ｒ／，≥１构造出４ｎ＋２阶幻方．与构造６阶幻方时的玩类似，在任一２凡＋ｌ阶
［㈡
墨。＋２＝（２ｎ＋１）２Ａ钿＋２＋Ｂ４。＋２＝（２ｎ＋１）２
【鞠
ｒ２ ３，
【ｌ ｏＪ
＋
【∞
口
口
●
ｒ＿ｌＩ－ 口 口 １●Ｊ ｌ
［ 口ｈ ｌ ｈ 口 ＋＋ Ｉ
口２ｎ＋ ｌ
口 １ｌＩＪ ２Ｂ ＋ ｌ
口 ４ｎ
＋ ２¨
－＿＿．＿Ｌ 口 ４ｎ ，●，● ＋ ２斛
口 ４ ＋ ２Ｂ ＋
口 ４舻舻 ２ ＋ ＾ ＋ １Ｉｌ＿Ｊ
（第凡＋１列）作轴对称得到，Ｈ：川＝
１．２．１ ４ｎ＋２阶幻方矩阵构造
６阶幻方矩阵的构造．
由３阶幻方墨构造一个满足相等条件的６阶方阵Ｂ。：
【∞［； ；］［２；］
９２
７
Ｔｒ ８ ＝ ６
［㈡［；
；］［７；］
５， ６ １●●●Ｊ
【∞［： ：】［６：】
设计一个由２阶块组成的满足相等条件的６阶方阵Ａ。，每个２阶块由０、ｌ、２、３组成，
等变换方法对所有偶数阶幻方矩阵的行列式的进行了研究，证明出所有偶数阶幻方矩阵的行列式都等于零．
关键词：偶数阶；幻方矩阵；初等变换；行列式
中图分类号：０１５７
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３—１６２Ｘ（２０１０）０１－００２３一０４
Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ Ａｂｏｕｔ Ｍａｇｉｃ Ｓｑｕａｒｅ ｏｆ Ｅｖｅｎ Ｒａｎｋ
在高等数学的学习中，矩阵作为高等代数的一个重要组成部分，有着广泛的研究与应用．而矩阵中的 一类特殊形式——幻方，及对它的研究，这些年来也受到专业人士越来越多的重视．文献［１—２］给出了偶 数阶幻方矩阵的构造，文献［１—５］给出了奇数阶幻方矩阵的构造，文献［６］给出了任意阶幻方矩阵的构 造，文献［７］研究了奇数阶幻方矩阵的一些性质，文献［８］研究了偶数阶幻方矩阵的一些奇妙性质，但无一 例外都没有研究偶数阶幻方矩阵行列式的性质，故针对文献［１］给出的偶数阶幻方矩阵的一种构造，分析 了偶数阶幻方矩阵的行列式，并进行了证明．
［责任编校：张永军］
万方数据
偶数阶幻方矩阵行列式的研究
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
汪潘义 合肥学院,数理系,合肥,230601;河海大学,商学院,南京,210098
合肥学院学报(自然科学版) JOURNAL OF HEFEI UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 2010,20(1)
１偶数阶幻方矩阵的定义及构造
１．１偶数阶幻方矩阵的定义 ｎ阶幻方矩阵是指１到ｎ２这个ｒｔ２自然数摆成一个方阵，使每一行、每一列、对角线上的数字相加都有
同样的和．若ｒ／．为偶数时，此时的幻方矩阵为偶数阶幻方矩阵． １．２偶数阶幻方矩阵的构造
４ｎ＋２阶幻方矩阵的构造是由奇数幻方矩阵的构造演变而来，而４ｎ阶幻方矩阵的构造与之不同，下面 先构造奇数阶幻方矩阵．１９１
备舞匕．乎统学报（自然科学版）
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Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｆｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）
！些：垫！Ｑ ｙ丛：垫丛坌：！
偶数阶幻方矩阵行列式的研究
汪潘义１＇２
（１．合肥学院数理系，合肥２３０６０１；２．河海大学商学院，南京２１００９８）
摘要：针对偶数阶幻方矩阵的一种构造，运用Ｍａｔｌａｂ软件对４、６阶幻方矩阵行列式进行了研究，并用矩阵的初
『０ ａ２川１
【ｏ‰Ｊ
Ｅ＝ｉ］
五。。：：ｃ２，ｔ，２／ｔ。。—－·，。。：＝ｃ２ｎ，２［二：ｉｊ：二：］—－［．。：：｝＋。ｉｊ：ｊ呈］，
其中ｃｉ∈｛【：：】Ｉ ｋ Ｅ ｔ·，２，…，４ｎ２，），ｉ Ｅ·，２，…，４ｎ．
每个矩阵看成４×４阶方块矩阵，对矩阵作变换：第１行减去第２行，第４ｎ一１行减去第４ｎ行，易知，第 ｌ行和第４ｎ—ｌ行对应成比例，故有Ｉ墨。Ｉ＝０．
幻方ｘ＝（ｚ口）（：川…：川，中每个元素换成２阶块『鬈口戈。１，可以得到一个满足相等条件的４ｎ＋２阶方阵 Ｊ Ｌｘｉｊ工ｉｊ
Ｂ。。：，以构造６阶幻方时的Ａ。为中心向各方向扩展，可以得到一个由２阶块组成的满足相等条件的４凡＋２ 阶方阵Ａ。ｍ，其中每个２阶块南０、１、２、３组成的２阶方阵，如下：
ｒＭｌｌ Ｍｌ ２ Ｍ１３］
13273629312218201114253412212332162617281524351019仿照6阶幻方可以对任意奇数n1构造出4n类似在任一2n2n12n1中每个元素换成ij可以得到一个满足相等条件的4n4n2以构造为中心向各方向扩展可以得到一个由2阶块组成的满足相等条件的4n4n2其中每个合肥学院学报自然科学版20卷其中的6阶方阵m1121全部由组成m1323全部由组成m31全部由组成m33全部由组成m12全部由32全部由24n阶幻方矩阵的构造4阶幻方矩阵121314111510仿造4阶幻方构造设已构造一个ij代替可得到一个满足相等条件的4n阶方阵为块构造4n阶方阵