一个三角形不等式的逆向——兼擂题(109)的解答

一个三角形不等式的逆向——兼擂题(109)的解答
佚名
【期刊名称】《中学数学教学》
【年(卷),期】2017(000)002
【总页数】2页(P80,封3)
【正文语种】中文
1995年，文[1]将不等式加强为：
在△ABC中，有
.
考虑上述不等式的逆向，我们提出了如下擂题(109).
在△ABC中,求证
.
证法1 (文武光华数学工作室褚小光田开斌潘成华提供)设s,R,r分别表示△ABC 的半周长,外接圆与内切圆半径.根据三角形三角恒等式
所证不等式等价于
≤1⟺
由Gerretsen不等式s2≥16Rr-5r2, 只需证
上式两边平方,约去r得
上式整理为
⟺
⟺
由欧拉不等式R≥2r,即知上式成立. 从而不等式得证.
证法2 (浙江大学万惠华提供)由熟知≥8，下面证明擂题的加强形式.
记，则
，且xy+yz+zx=1，代入加强式，去根号齐次化简得：
3∑x5(y3+z3)+6∑x4y4
+99∑x4yz(y+z)≥14∑x3y3z2
+214∑x4y2z2，
上式左边x,y,z的指数对右边形成优超，利用Muirhead定理知，上式成立，且等号成立当且仅当x=y=z，即三角形为正三角形.
万惠华老师指出，利用Muirhead定理，还可以证明擂题得的下列加强式：
.
(点评人郭要红，2017年3月31日)本论文收到擂题解答8份，其中5份是正确的，按时间顺序，作者分别是江斌(安徽，2017年2月25日)，李歆(陕西武功县
教育局教研室，2017年2月26日)，光华工作室褚小光田开斌潘成华(江苏苏州，2017年2月27日)，董林(山东高青县教学研究室，2017年2月28日)，万惠华(浙江大学，2017年3月6日).李歆，董林的证明方法与证法1一致，江斌的证明是利用变换将擂题转化成代数不等式，利用柯西不等式等证明代数不等式成立. 本擂题得获奖者是江斌同志，请江斌同志看到评注后与编辑部联系.
题设R,r分别是△ABC中的外接圆半径，内切圆半径，则
.
第一位正确解答者将获得奖金100元.
擂题及解答请电邮至**********************,解答时间以电邮时间为准.从2017年第一期开始，我们将连续刊载有奖解题擂台，欢迎广大读者踊跃提供擂题.
【相关文献】
1 陈计.关于三角形的一个不等式[J].中学数学，1995(3)：34.。