高考数学(理 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套文档 第二篇 掌握技巧 快速解答客观题第2讲

第2讲填空题的解法技巧
题型概述
填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．
由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”． 方法一直接法
直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．
例1(1)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(1－x )＋1， x <1，x －2，x ≥1，若f (a )＝3，则a ＝________.
(2)(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A
sin C ＝________.
解析(1)∵a ≥1时，f (a )≤1，不适合． ∴f (a )＝log 2(1－a )＋1＝3，∴a ＝－3. (2)由余弦定理：
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝37
8，
∴sin2A
sin C ＝2×34×7437
8＝1. 答案(1)－3(2)1
思维升华利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
跟踪演练1(1)已知F 为双曲线C ：x 29－y 2
16
＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于
虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．
(2)(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 答案(1)44(2)2n －1
解析(1)由题意，得|PQ |＝16，线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义，可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加，得， |PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，
则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28， 故△PQF 的周长为44.
(2)由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，∴联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得
⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝8，
a 4＝1，
又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8， 从而a 1q 3＝8，∴q ＝2.
∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.
方法二特例法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．
例2(1)cos 2α＋cos 2(α＋120°)＋cos 2(α＋240°)的值为________．
(2)如图，在三棱锥O —ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．
解析(1)令α＝0°，
则原式＝cos 20°＋cos 2120°＋cos 2240°＝32
.
(2)要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E ，F ，G 分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA ＝6，OB ＝4，OC ＝2， 如图，
则可计算S 1＝35，
S 2＝210，S 3＝13，故S 3<S 2<S 1. 答案(1)3
2
(2)S 3<S 2<S 1
思维升华求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．
跟踪演练2(1)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b a ＋a
b ＝6cos C ，
则
tan C tan A ＋tan C
tan B
＝________. (2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________. 答案(1)4(2)－8
解析(1)用特例法．令锐角三角形ABC 为等腰三角形，此时cos C ＝1
3
.不妨设a ＝b ＝3(如图)，
作AD ⊥BC 垂足为D ，所以CD ＝1，AD ＝22，所以tan C ＝22，tan A ＝tan B ＝2， 所以tan C tan A ＋tan C tan B
＝4.
(2)根据函数特点取f (x )＝sin π
4
x ，
再由图象可得(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝(－6×2)＋(2×2)＝－8.
方法三数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．
例3(1)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋1≥0，
|x |－y －1≤0，
则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是
________________________________________________________________________．
(2)已知函数f (x )＝log 2x ，g (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
f (x )， x ≥2，f (4－x )，x <2，若关于x 的方程
g (x )＝k 有两个不相等的实
数根，则实数k 的取值范围是________．
解析(1)画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，
∴d 2min ＝(
|3－0－1|
12＋(－1)2
)2＝(2)2＝2.
最大值为点Q 到点A 的距离的平方， ∴d 2max ＝16.
∴取值范围是[2,16]．
(2)画出函数y ＝g (x )的图象(如图)．
由图知，当函数y ＝g (x )和y ＝k 的图象有两个交点时，k >1. 答案(1)[2,16](2)(1，＋∞)
思维升华数形结合法可直观快捷地得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数．数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系．
跟踪演练3(1)(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．
(2)若函数y ＝f (x )图象上不同两点M 、N 关于原点对称，则称点对[M ，N ]是函数y ＝f (x )的一对“和谐点对”(点对[M ，N ]与[N ，M ]看作同一对“和谐点对”)．已知函数f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
e x ，x <0，x 2－4x ，x >0，则此函数的“和谐点对”有________对． 答案(1)(0,2)(2)2
解析(1)将函数f (x )＝|2x －2|－b 的零点个数问题转化为函数y ＝|2x －2|的图象与直线y ＝b 的交点个数问题，数形结合求解． 由f (x )＝|2x －2|－b ＝0， 得|2x －2|＝b .
在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示．
则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．
(2)作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x
，x <0，
x 2－4x ，x >0
的图象，f (x )的“和谐点对”数可转化为y ＝e x (x <0)和y ＝－x 2
－4x (x <0)的图象的交点个数(如图)．
由图象知，函数f (x )有两对“和谐点对”． 方法四构造法
用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．
例4(1)如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．
(2)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式f (x )>3
e x ＋1(e 为自然对数
的底数)的解集为________．
解析(1)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，
设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝(2)2
＋(2)2
＋(2)2
＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 3
3
＝6π.
(2)由f (x )>3
e x ＋1得，e x
f (x )>3＋e x ，构造函数F (x )＝e x f (x )－e x －3，对F (x )求导得F ′(x )＝e x f (x )
＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由f (x )＋f ′(x )>1，e x >0，可知F ′(x )>0，即F (x )在R 上单调递增，又因为F (0)＝e 0f (0)－e 0－3＝f (0)－4＝0，所以F (x )>0的解集为(0，＋∞)． 答案(1)6π(2)(0，＋∞)
思维升华构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等． 跟踪演练4(1)e 416，e 525，e 6
36
(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是________．
(2)已知三个互不重合的平面α、β、γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，且直线m 、n 不重合，由下列三个条件：①m ∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③m ⊂γ，n ∥β. 能推得m ∥n 的条件是________． 答案(1)e 416<e 525<e 6
36
(2)①③
解析(1)由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 5
25，f (6)
＝e 6
36
. 而f ′(x )＝(e x
x 2)′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)
上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 6
36.
(2)构建长方体模型，如图，
观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD ′A ′，平面β为平面ABCD ，则直线m 为直线AD .
因为m ∥γ，故可取平面γ为平面A ′B ′C ′D ′， 因为n ⊂γ且n ∥β，故可取直线n 为直线A ′B ′.
则直线AD 与直线A ′B ′为异面直线，故m 与n 不平行．
对于①：α、β取②中平面，取平面γ为平面BCC ′B ′，可取直线n 为直线BC ，故可推得m ∥n ； 对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB ′C ′D ，取直线n 为直线B ′C ′，故可推得结论．
方法五正反互推法
多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．
例5已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[0,1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，给出下列命题：
①f (2016)＋f (－2017)的值为0；②函数f (x )在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y ＝x 与函数f (x )的图象有1个交点；④函数f (x )的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________． 解析根据题意，可在同一坐标系中画出直线y ＝x 和函数f (x )的图象如下：
根据图象可知①f (2016)＋f (－2017)＝0正确，②函数f (x )在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f (x )的值域是(－1,1)，正确． 答案①③④
思维升华正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能．两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断．利用正反互推结合可以快速解决这类问题． 跟踪演练5给出以下命题：
①双曲线y 22－x 2
＝1的渐近线方程为y ＝±2x ；
②命题p ：“∀x ∈R ＋
，sin x ＋1sin x
≥2”是真命题；
③已知线性回归方程为y ^
＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ④设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝0.2，则P (－1<ξ<0)＝0.6；
⑤已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，10
10－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式
的规律，得到一般性的等式为
n
n －4＋8－n (8－n )－4
＝2(n ≠4)．
则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)． 答案①③⑤
解析①由y 22－x 2
＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，正确．
②命题不能保证sin x ，1
sin x 为正，故错误；
③根据线性回归方程的含义正确； ④P (ξ>1)＝0.2， 可得P (ξ<－1)＝0.2，
所以P (－1<ξ<0)＝1
2P (－1<ξ<1)＝0.3，故错误；
⑤根据验证可知得到一般性的等式是正确的．。