高中数学4-4数学归纳法新人教A版选择性必修第二册

(1)计算a1，a2，a3，并由此猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．
[分析] (1)由题意 Sn＝an＋8 22，令 n＝1，因为 S1＝a1，可求出 a1 的 值，再反复代入，分别求出 a2，a3，总结出规律写出通项公式；
(2)根据(1)中的猜想，利用归纳法进行证明，假设当n＝k时成立，然 后利用已知条件验证n＝k＋1时也成立，从而求证．
1×12 3＋3×22 5＋…＋2n－1n22n＋1＝2n2nn＋＋11.(n∈N*) [解析] (1)当 n＝1 时，左边＝1×123＝13，右边＝12× ×23＝13，左边＝右
边，等式成立．
(2) 假 设 当
n
＝
k(k
∈
N*)
时
等
式
成
立
，
即
有
12 1×3
＋
22 3×5
＋
…
＋
2k－1k22k＋1＝2k2kk＋＋11，
想一想：用数学归纳法证明命题的关键是什么？ 提示：步骤(2)是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当n＝ k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题 也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公 式、性质等推证出当n＝k＋1时命题也成立．而不能直接将n＝k＋1代入 归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．
[证明] ①当 n＝2 时，1＋212＝54<2－12＝32，命题成立． ②假设 n＝k 时命题成立，即 1＋212＋312＋…＋k12<2－1k. 当 n＝k＋1 时，1＋212＋312＋…＋k12＋k＋112< 2－1k＋k＋112<2－1k＋kk＋1 1＝2－1k＋1k－k＋1 1＝2－k＋1 1命题成立． 由①②知原不等式在 n≥2 时均成立．
第四章 数 列
4.4* 数学归纳法
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1．借助教材实例了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题．
1．了解数学归纳法的原理．(数学抽象、逻辑推理) 2．掌握数学归纳法的步骤．(逻辑推理) 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理)
k＋22＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( D ) A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 [解析] 在证明n＝k＋1不等式也成立时，没有应用n＝k时的假设， 即没有用到归纳递推，故从n＝k到n＝k＋1的推理不正确，故选D.
题型二
用数学归纳法证明等式
典例 2 用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1
＋n＋1 2＋…＋21n(n∈N*)． [证明] ①当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝1＋1 1＝12，等式成立．
②假设当 n＝k 时，等式成立，
即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，
[规律方法] 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致 相同，需要注意的是：
(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完 成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证 明．
(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式 作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．
[解析] (1)由an＋2 2＝ 2Sn得 Sn＝an＋8 22，由 Sn 可求得 a1＝2，a2＝6， a3＝10，由此猜想{an}的通项公式 an＝4n－2，n∈N*.
(2)①当n＝1时，a1＝2，等式成立； ②假设当n＝k(k∈N*)ak＋18＋22－ak＋8 22， ∴(ak＋1＋ak)(ak＋1－ak－4)＝0. 又ak＋1＋ak≠0，∴ak＋1－ak－4＝0， ∴ak＋1＝ak＋4＝4k－2＋4＝4(k＋1)－2， ∴当n＝k＋1时，等式也成立．
[规律方法] 数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不 一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项 数的变化，弄清式子两边的构成规律． (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假 设．
对点训练❶ (2023·广东佛山期末)用数学归纳法证明“n＋1 1＋ n＋1 2＋…＋21n>3114”时，由 k 到 k＋1，不等式左边的变化是( C )
则当n＝k＋1时，
12 1×3
＋
22 3×5
＋
…
＋
k2 2k－12k＋1
＋
k＋12 2k＋12k＋3
＝
kk＋1 22k＋1
＋
2k＋k1＋12k2＋3＝k＋221k＋k＋32，
即当n＝k＋1时等式成立． 由(1)(2)可得，对于任意的n∈N*等式都成立．
题型三
用数学归纳法证明不等式
典例 3 用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12<2－1n(n≥2)． [分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程 可应用放缩技巧，使问题简单化．
[规律方法] 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时 等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化 的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立， 要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式 进行变形．
对点训练❷ 用数学归纳法证明：
少应取为( B )
A．7
B．8
C．9
D．10
[解析] 验证可知n＝1,2,3,4,5,6时，此不等式左边<右边，n＝7时， 左 边 ＝ 右 边 ， 而 左 边 式 子 的 值 随 着 n 的 增 加 而 增 加 ， 所 以 可 推 知 n≥8
时，左边>右边，因此n的起始值应取8，故选B.
2．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋2n－1 1<n(n∈N*且 n>1)，第一
对点训练❸
用数学归纳法证明：1＋
12＋
13＋…＋
1 n<2
n(n
∈N*)．
[证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．
(2)假设当
n＝k(k≥1
且
k∈N*)时，不等式成立，即
1＋
1＋ 2
1 ＋… 3
＋
1 k<2
k.
则当n＝k＋1时，
1＋ 12＋ 13＋…＋ 1k＋
练
一
练
：
用
数
学
归
纳
法
证
明
“1
＋
a
＋
a2
＋
…
＋
a3n
＋
1
＝
1－a3n＋2 1－a
(a≠1)”，验证 n＝1 成立时等式左边计算所得项是( D )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3＋a4
[解析] 表达式的左边是从1开始加到a3n＋1结束，
所以验证n＝1成立时等式左边计算所得项是1＋a＋a2＋a3＋a4.
[解析] (1)由 an＋1＝2－1 an， 可得 a2＝2－1 a1＝2－1 a， a3＝2－1 a2＝2－12－1 a＝32－－2aa， a4＝2－1 a3＝2－312－－2aa＝43－－32aa.
(2)推测 an＝n－n－1－n－n1－a2a. 下面用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，左边＝a1＝a， 右边＝1－1－1－1－11－a2a＝a，结论成立， ②假设 n＝k 时， 有 ak＝k－k－1－k－k1－a2a，
则当 n＝k＋1 时， ak＋1＝2－1 ak＝2－k－k－11－k－k1－a2a ＝2[k－k－1ka－]－k[－k－1a1－k－2a] ＝kk－＋k1－－1kaa ＝[k＋k＋11－－1][－k[＋k1＋－11－]a2]a，
故当n＝k＋1时，结论成立． 由①②可知，对n∈N*都有 an＝n－n－1－n－n1－a2a.
1 k＋1<2
k＋
1 k＋1
＝2
k
k＋1＋1 k＋1 <
k2＋ k＋12＋1 k＋1
＝2kk＋＋11＝2 k＋1.
所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立．
题型四
数学归纳法在数列中的应用
典例 4 (2023·深圳市耀华实验学校高二联考)已知数列{an}是正 数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等 于Sn与2的等比中项．
A．增加2k＋1 1一项 B．增加2k＋1 1和2k＋1 2两项 C．增加2k＋1 1和2k＋1 2两项，同时减少k＋1 1一项 D．以上结论都不正确
[解析] 当 n＝k 时，左边＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋k＋1 k， 当 n＝k＋1 时，左边＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋ k＋1＋1 k－1＋k＋11＋k＋k＋1＋1 k＋1，故不等式左边的变化是 增加2k＋1 1和2k＋1 2两项，同时减少k＋1 1一项．
由①②可知，an＝4n－2对任何n∈N*都成立．
[规律方法] 通过此例可看出观察、归纳、猜想、证明的思想方法 的基本思路是：在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特 点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想， 最后用数学归纳法给出证明．
对点训练❹ 已知数列{an}满足 a1＝a，an＋1＝2－1an. (1)求a2，a3，a4； (2)推测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
易错警示
未用归纳假设而致误 典例 5 用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>
2，n∈N*)．
[错解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式 成立．
(2)假设 n＝k 时,结论成立，即 2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由 等比数列的前 n 项和公式，得 2＋22＋…＋2k－1＋2k＝211－－22k＝2(2k－1)．
则当 n＝k＋1 时，左边＝1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2＝k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2 ＝右边，即等式也成立．由(1)(2)可知，
原等式 1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n∈N*) 成立．
所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N*都成立．
[误区警示] 错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数 列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．
[正解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式 成立；
(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)， 那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝ 2(2k－1)＝2[2(k＋1)－1－1]． 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N*都成立．
故选D.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
对数学归纳法的理解
典例 1 对于不等式 n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的
证明过程如下：
(1)当 n＝1 时， 12＋1<1＋1，不等式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥1 且 k∈N*)时，不等式成立，即 k2＋k<k＋1，则
当 n＝k＋1 时， k＋12＋k＋1＝ k2＋3k＋2< k2＋3k＋2＋k＋2＝
必备知识•探新知
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝___n_0___(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出 “当n＝__k_＋__1____时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都 成立，这种证明方法称为数学归纳法．
[点评] 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为 1，根据题目要求，有时可为2,3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1 时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳 法．
课堂检测•固双基
1．用数学归纳法证明不等式 1＋12＋14＋…＋2n1－1>16247成立，起始值至