2019-2020学年怀化市洪江市九年级上期中数学试卷(附答案解析)

2019-2020 学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10 小题，每题 4 分，满分 40 分）
1．（4 分）已知反比率函数y=，则其图象在平面直角坐标系中可能是（）
A．B．
C．D．
2．（4 分）将对于 x 的方程 x2﹣ 4x﹣2=0 进行配方，正确的选项是（）
A．（x﹣2）2=2B．（x+2）2=2C．（x+2）2=6D．（x﹣2）2=6
3．（4 分）若点 A（ a， b）在反比率函数y= 的图象上，则代数式 ab﹣4 的值为（）
A ． 0B．﹣ 2C． 2D．﹣ 6
4（． 4 分）若函数的图象在其象限内y 的值随 x 值的增大而增大，则 m的取值范围是（）A ． m＞﹣ 2B．m＜﹣ 2C． m＞ 2D． m＜ 2
5．（4 分）若对于 x 的一元二次方程 kx 2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）
A ． k＞﹣ 1B．k＞﹣ 1 且 k≠0 C． k＜ 1D． k＜ 1 且 k≠0
6．（4 分）已知 3 是对于 x 的方程 x2﹣ 5x+c=0 的一个根，则这个方程的另一个根是（）A ．﹣2B．2C． 5D． 6
7．（4 分）以下判断中，正确的个数有（）
（1）全等三角形是相像三角形（2）顶角相等的两个等腰三角形相像
（3）全部的等边三角形都相像（4）全部的矩形都相像．
A ．1个B．2 个C．3 个D．4 个
8．（4 分）如图，身高 1.6m 的某学生想丈量一棵大树的高度，她沿着树影BA
由B
向
A 走去，
当走到 C 点时，她的影子顶正直好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为（）
A ． 4.8 m B．6.4 m C． 8 m D． 10 m
9．（4 分）如图，在△ABC中，两条中
线BE、 CD订交于
点
O，则S△DOE：S△COB=（）
A ．1：4B．2：3C．1：3D．1：2
10．（4 分）如图， O是坐标原点，菱形OABC的极点 A 的坐标为（﹣ 3，4），极点 C在 x 轴的负
半轴上，函数 y=（x＜0）的图象经过极点B，则 k 的值为（）
A ．﹣12B．﹣ 27C．﹣ 32D．﹣ 36
二、填空题（共 6 小题，每题 4 分，满分 24 分）
11．（4 分）把一元二次方程3x（ x﹣ 2） =4 化为一般形式是．
12．（4分）已知△ ADE∽△ ABC，且相像比为，若 DE=4cm，则 BC的长为．
13．（4分）若，则=．
14．（4分）已知方程 2x2 +4x﹣3=0 的两根分别为 x1和 x2，则 x12+x22 的值等于．15．（4分）设 a2﹣3a+1=0， b2﹣3b+1=0，且 a≠b，则代数式+ 的值为．
16．（ 4 分）平面直角坐标系中，已知点 O（ 0，0）、A（0，2）、B（1，0），点 P 是反比率函数图象上的一个动点，过点P 作 PQ⊥x 轴，垂足为点 Q．若以点 O、P、Q为极点的三角形与△OAB相像，则点 P的坐标是．
三、解答题（共8 小题，满分 86 分）
17．（8 分）如图，已知△ ABC∽△ ADE，AE=6cm，EC=3cm， BC=6cm，∠ BAC=∠C=47°．（1）求∠ AED和∠ ADE的大小；
（2）求 DE的长．
18．（8 分）在同一坐标系内，画出y=与y=2x的图象，并求出两函数图象的交点坐标．19．（ 10 分）在 2018 年俄罗斯世界杯足球赛前夜，某体育用品店购进一批单价为40 元的球服，假如按单价 60 元销售，那么一个月内可售出240 套．依据销售经验，提升销售单价会致使销售量的减少，即销售单价每提升 5 元，销售量相应减少20 套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为 y 套．
（1）求出 y 与 x 的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000 元？
20．（10 分）已知对于 x 的一元二次方程 x2﹣ 2x+a﹣1=0 有两个实数根分别为 x1、
x2．（1）务实数 a 的取值范围；
（2）若知足 x1、x2知足+ =2，务实数 a 的值．
21．（12 分）用适合的方法解以下一元二次方程
（1）x2﹣2x=3（配方法）
（2）2x2﹣6x﹣1=0（公式法）
（3）（ x﹣ 2）（x﹣3）=6（因式分解法）
（4）y（3y﹣4）=4（因式分解法）
22．（12 分）如图，在 Rt △ABC中，∠ ACB=90°， AC=6，BC=8，点 D为边 CB上的一个动点（点
D 不与点 B 重合），过 D 作 DO⊥AB，垂足为 O，点 B′在边 AB上，且与点 B 对于直线 DO
对
称，连结 DB′， AD．
（1）求证：△ DOB∽△ ACB；
（2）若 AD均分∠ CAB，求线段 BD的长；
（3）当△ AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．
23．（12 分）如图，已知点 A 在反比函数 y=（k＜0）的图象上，点 B 在直线 y=x﹣3 的图象上，点 B 的纵坐标为﹣ 1， AB⊥x 轴，且 S△OAB=4．
（1）求点 A 的坐标和 k 的值；
（2）若点 P 在反比率函数 y=（k＜0）的图象上，点Q在直线 y=x﹣ 3 的图象上， P、Q两点对于 y 轴对称，设点 P 的坐标为（ m，n），求+的值．
24．（14 分） AD是△ ABC的中线，将 BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边 AB于点 M，交射线 AC于点 N，设 AM=xAB，AN=yAC（x，y≠0）．
（1）如图 1，当△ ABC为等边三角形且α=30°时证明：△ AMN∽△ DMA；
（2）如图 2，证明：+=2；
（3）当 G是 AD上随意一点时（点G 不与 A 重合），过点 G 的直线交边 AB于 M′，交射线 AC 于点 N′，设 AG=nAD，AM′=x′AB，AN′=y′A C（x′， y′≠ 0），猜想：+=是否建立？并说明原因．
参照答案与试题分析
一、选择题（共10 小题，每题 4 分，满分 40 分）
1．
【解答】解：∵ y=，5＞0，
∴该函数图象在第一、第三象限，
应选： C．
2．
【解答】解：把方程 x2﹣4x+2=0 的常数项移到等号的右侧，获得x2﹣4x=2，方程两边同时加前一次项系数一半的平方，获得x2﹣4x+4=2+4，
配方得（ x﹣2）2=6．
应选： D．
3．
【解答】解：∵点（ a，b）反比率函数 y=上，
∴b=，即ab=2，
∴原式 =2﹣4=﹣ 2．
应选： B．
4．
【解答】解：∵函数的图象在其象限内y 的值随 x 值的增大而增大，∴m+2＜0，
解得 m＜﹣ 2．
应选： B．
5．
【解答】解：∵对于 x 的一元二次方程kx 2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根，∴，即，
解得 k＞﹣ 1 且 k≠0．
应选： B．
6．
【解答】解：设方程的另一个根是m，
2
∵3 是对于 x 的方程 x ﹣ 5x+c=0 的一个根，
解得， m=2，
∴这个方程的另一个根是2
应选： B．
7．
【解答】解：（1）全等三角形是相像三角形，正确，切合题意；（2）顶角相等的两个等腰三角形相像，正确，切合题意；
（3）全部的等边三角形都相像，正确，切合题意；
（4）全部的矩形不必定相像，故错误，不切合题意，
正确的有 3 个，
应选： C．
8．
【解答】解：由题意可得，=，
即树高 ==8m，
应选： C．
9．
【解答】解：∵ BE和 CD是△ ABC的中线，
∴DE= BC， DE∥BC，
∴= ，△ DOE∽△ COB，
∴=（）2=（）2=，
应选： A．
10．
【解答】解：∵ A（﹣ 3，4），
∴OA==5，
∵四边形 OABC是菱形，
∴AO=CB=OC=AB=5，
则点 B 的横坐标为﹣ 3﹣5=﹣8，
故 B 的坐标为：（﹣ 8， 4），
将点 B 的坐标代入 y=得，4=，
解得： k=﹣32．
应选： C．
二、填空题（共 6 小题，每题 4 分，满分 24 分）
11．
【解答】解：把一元二次方程3x（x﹣2）=4 去括号，移项归并同类项，转变为一般形式是3x2﹣6x﹣4=0．
12．
【解答】解：∵△ ADE∽△ ABC，且相像比为，DE=4cm，
∴，
即．
解得， BC=10，
故答案为： 10cm．
13．
【解答】解：由题意，设x=2k，y=3k，z=4k，
∴原式==．
故答案为
14．
【解答】解：∵方程 2x2+4x﹣ 3=0 的两根分别为 x1和 x2，∴x1+x2=﹣ 2，x1x2=﹣，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣ 2x1x2= 7．
故答案为： 7．
15．
【解答】解：∵ a2﹣3a+1=0，b2﹣ 3b+1=0，且 a≠b，∴a、b 为一元二次方程 x2﹣ 3x+1=0 的两个不等实根，
∴a+b=3， ab=1，
∴+==3．
故答案为： 3．
16．
【解答】解：∵ A（ 0， 2）、 B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵PQ⊥ x 轴，
∴∠ PQO=∠AOB=90°，
当，即 OQ=2PQ时，△ OPQ∽△ ABO，
设点 P（ x，﹣x），
∴﹣x=﹣，
解得： x=±，
∴点 P 的坐标是：（，﹣）或（﹣，）；
当，即 PQ=2OQ时，△ OPQ∽△ BAO，
设点 P（ x，﹣ 2x），
∴﹣ 2x=﹣，
解得： x=±，
∴点 P 的坐标是：（，﹣）或（﹣，）．
综上可得：点 P 的坐标是：（，﹣）或（﹣，）或（，﹣）或（﹣，）．故答案为：（，﹣）或（﹣，）或（，﹣）或（﹣，）．
三、解答题（共8 小题，满分 86 分）
17．
【解答】解：（1）∵△ ABC∽△ ADE，
∴∠ AED=∠C=47°，
∠ADE=180°﹣∠ BAC﹣∠ AED=86°；
（2）∵△ ABC∽△ ADE，
∴=，即=，解得，
DE=4（cm）．
18．
【解答】解：以下图：
由解得，．
故 y=和y=2x的图象交点坐标为（2，4），（﹣2，﹣4）．
19．
【解答】解：（1）依据题意得： y=240﹣ 4（ x﹣ 60）=﹣4x+480；
（2）依据题意得： x（﹣ 4x+480）=14000，
整理得： x2﹣120x+3500=0，即（ x﹣50）（ x﹣ 70）=0，
解得： x=50（不合题意，舍去）或x=70，
则当销售单价为70 元时，月销售额为14000 元．
20．
2
【解答】解：（1）∵对于 x 的一元二次方程x ﹣2x+a﹣1=0 有两个实数根，
解得： a≤ 2．
∴实数 a 的取值范围为 a≤2．
（2）∵ x1、 x2是一元二次方程 x2﹣2x+a﹣1=0 的实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=a﹣ 1．
∵ + =﹣1，即=2，
∴=2，
解得： a=2，
经查验， a=2 是分式方程的解，且切合题意．
∴实数 a 的值为 2．
21．
2
【解答】解：（1）x ﹣2x=3，
（x﹣1）2=4，
x﹣ 1=±2，
x1 =3，x2=﹣1；
（2）2x2﹣6x﹣1=0，
b2﹣4ac=（﹣ 6）2﹣ 4× 2×（﹣ 1）=44，
x=，
x1 =，x2=；
（3）（ x﹣ 2）（x﹣3）=6，
整理得： x2﹣5x=0，
x（ x﹣ 5） =0，
x=0，x﹣5=0，
x1 =0，x2=5；
（4）y（3y﹣4）=4，
整理得： 3y2﹣4y﹣4=0，
（3y+2）（ y﹣2）=0，
3y+2=0，y﹣2=0，
y1 =﹣，y2=2．
22．
【解答】（ 1）证明：∵ DO⊥ AB，
∴∠ DOB=∠DOA=90°，
∴∠ DOB=∠ACB=90°，
又∵∠ B=∠B，
∴△ DOB∽△ ACB；
（2）解：∵∠ ACB=90°，
∴AB===10，
∵AD均分∠ CAB， DC⊥AC，DO⊥ AB，
∴DC=DO，
在 Rt △ACD和 Rt△AOD中，
，
∴R t△ ACD≌Rt△AOD（ HL），
∴A C=AO=6，
设 BD=x，则 DC=DO=8﹣ x， OB=AB﹣AO=4，
在 Rt △BOD中，依据勾股定理得：
222 DO+OB=BD，
即（ 8﹣x）2 +42=x2，
∴BD的长为 5；
（3）解：∵点 B′与点 B 对于直线 DO对称，∴∠ B =∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，
∵∠ B 为锐角，
∴∠ OB′D也为锐角，
∴∠ AB′D为钝角，
∴当△ AB′D为等腰三角形时， AB′=DB′，∵△ DOB∽△ ACB，
∴= = ，
设 BD=5x，
则 AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，
∵AB′ +B′O+BO=AB，
∴5x+4x+4x=10，
解得： x=，
∴BD=．
23．
【解答】解：（1）由题意 B（2，﹣ 1），
∵×2×AB=4，
∴AB=4，
∵AB∥ y 轴，
∴A（2，﹣ 5），
∵A（2，﹣ 5）在 y=的图象上，
∴k=﹣ 10．
（2）设 P（ m，﹣），则Q（﹣m，﹣），∵点 Q在 y=x﹣3 上，
∴﹣=﹣m﹣3，
2
整理得： m+3m﹣10=0，
解得 m=﹣5 或 2，
当 m=﹣5，n=2 时，+ =﹣，
当 m=2， n=﹣5 时，+ =﹣，
故+=﹣．
24．
【解答】解：（ 1）证明：
如图 1，在△ AMD中，
∵AD是△ ABC的中线，△ ABC为等边三角形，
∴AD⊥ BC，∠ MAD=30°，
又∵α =∠BDM=30°，
∴∠ MDA=60°
∴∠ AMD=90°，
在△ AMN中，∠ AMN=90°，∠ MAN=60°，
∴∠ AMN=∠DMA=90°，∠ MAN=∠MDA，
∴△ AMN∽△ DMA；
（2）证明：如图甲，过点 C 作 CF∥AB交 MN于点 F，则△ CFN∽△ AMN
∴．
∵CF∥ BM，
∴∠ B=∠DCF，
在△ CFD和△ BMD中，
∴△ CFD≌△ BMD，
∴BM=CF，
∴∴
，
，即；
（3）猜想：+=建立．原因以下：
①如图乙，过 D作 MN∥M'N' 交 AB于 M，交 AC的延伸线
于
则
∴，
即，
N，
由（ 2）知
∴
②如图丙，当过点 D 作 M1N1∥M'N' 交 AB的延伸线于 M1，交AC1
于
N1，则同理可得．。