线性规划建模求解
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✓ 媒体1：星期六上午儿童节目的电视广告 ✓ 媒体2：食品与家庭导向的杂志广告 ✓ 媒体3：主要报纸星期天增刊上的广告
现在要解决的问题是如何确定各种广告活动的 水平（levels）以取得最有效的广告组合
（advertising mix）。相关数据如下：
资源
广告 预算 计划 预算 电视 时段 单位 贡献
工厂1每周可用时间在[4-2，+∞]之间发生变 化时，影子价格恒为0，对目标函数值无影响；
工厂2每周可用时间在[12-6，12+6]之间发生 变化时，影子价格恒为150，即每增加一个单 位可用时间，目标函数值就增加150，
工厂3每周可用时间在[18-6，18+6]之间发生 变化时，影子价格恒为100，即每增加一个单 位可用时间，目标函数值就增加100。
（4）学会看灵敏度分析报告。
数学模型为：
Max z=300D+500W
2W ≤12 s.t.
3D+2W ≤18
其中，D、W分别表示生产的门和窗 的个数。
运算结果报告解释
列出目标单元格和可变单元格以及它们 的初始值、最终结果、约束条件和有关 约束条件的信息。
其中，目标单元格和可变单元格是用其 行和列命名的，约束单元格是用其列命 名的。初值和终值分别指单元格在本次 求解前的数值和求解后的数值。
生产每个单位
所需时间（小时）
门
窗
1Leabharlann 0023
2
300
500
每周可用时 间（小时）
4 12 18
任务：
（1）列出问题数学模型，求取总利润最 大时的两种产品产量，并练习制作命令 按钮；
（2）当门和窗的单位利润分别在什么范 围内变动时，公司的最优生产计划不变？
（3）如果改变一个工厂可用于生产新产 品的生产时间，结果将如何？
有某个银行的4个分理处数据如下：
投入
产出
DMU
职员 营业 数 面积
储蓄 存款
贷款
中间 业务
分理处1 15 140 1800 200 1600
分理处2 20 130 1000 350 1000
分理处3 21 120 800 450 1300
分理处4 20 135 900 420 1500
试对四个分理处进行DEA有效性分析，包 括规模有效分析即C2R，和技术有效分析即 C2GS2。
有目标函数为：
Max z=130TV+60M+50SS 其 中 ， TV、M、SS 分 别 表 示 电 视 上 的 广告时段数、杂志上的广告数目和星期 天增刊上的广告数目。
❖约束条件有三个：
（1）广告总费用≤400万；
（2）计划总成本≤100万；
（3）总的电视广告时段数目≤5。
表示为：
300TV +150M +100SS ≤4000
下面对目标式系数同时变动以及约束限制值同 时变动的情况分别作以延伸。
（1）目标式系数同时变动的百分之百法则 （ The 100 percent rule of simultaneous changes in objective function coefficients）： 如果目标函数系数同时变动，计算出每一系 数变动量占该系数同方向可容许变动范围的 百分比，而后将各个系数的变动百分比相加 ，如果所得的和不超过百分之一百，最优解 不会改变；如果超过百分之一百，则不能确 定最优解是否改变。
i>=0， i=1，2，3，4； >=0
❖ =1，说明为弱DEA有效（C2R）； ❖ =1，且松弛变量或人工变量均为0，说
明为DEA有效（C2R）； ❖ DEA有效性分析（C2R）反映的是规模
有效。
练习：
分理处2、3、4的规模有效性分析。借助 运算结果报告。
（二）技术有效性分析
数学模型（D），以对DMU2为例。 Min
每种活动的单位资源使用量
电视 广告
杂志 广告
星期天 增刊广告
300,000 150,000 100,000
90,000 30,000
40,000
1
0
0
130
60
50
可获得 的资源数
400万 100万
5
➢问题分析与建模 本问题是一个典型的线性规划问题。
❖食品公司的最终目标是利润最大化，在 本题中用单位贡献表示单位利润。
15 1 +20 2 +21 3 +20 4<=20 140 1 +130 2 +120 3 +135 4<=130 1800 1+1000 2 +800 3 +900 4 >=1000 200 1 +350 2 +450 3 +420 4>=350 1600 1+1000 2+1300 3+1500 4>=1000
90 TV +30 M +40 SS≤1000
TV
≤5
数学模型为：
Max z=130TV+60M+50SS
s.t.
300TV +150M +100SS ≤4000
90 TV +30 M +40 SS≤1000
TV
≤5
任务：
（1）EXCEL求解；
（2）录制一个规划求解的宏；
（3）制作一个用于规划求解的命令按钮；
1 + 2 +3 + 4=1 i>=0， i=1，2，3，4； >=0
❖ =1，说明为弱DEA有效（C2GS2）； ❖ =1，且松弛变量或人工变量均为0，说
明为DEA有效（C2GS2） ； ❖ DEA有效性分析（C2GS2）反映的是技
术有效。
练习：
分理处1、2、4的技术有效性分析。借助 运算结果报告。
三、运输问题
（一）供需平衡
某食品公司有三个罐头加工厂A1、A2、 A3，四个仓库B1、B2、B3、B4。已知 相关数据如下：
仓
库
B1 B2 B3 B4 产量
加工厂
A1 464 513 654 867 75
A2 352 416 690 791 125
A3 995 682 388 685 100
任分务配：量 80 65 70 85 求总的运输费用最小的运输策略。建模 求解。
（4）加入一个用于规划求解的新菜单。
二、对偶规划问题
➢问题提出 某玻璃制品公司生产高质量的玻璃制 品，包括具有手艺和最精细工艺特性 的床和玻璃门。公司有三个工厂共同 生产窗和玻璃门，其中 工厂1：生产铝框和硬制件 工厂2：生产木框 工厂3：生产玻璃和组装窗和门
已知相关数据如下：
工厂
1 2 3 单位利润 （元）
（一）规模有效性分析
数学模型（D）：
对DMU1： Min
15 1 +20 2 +21 3 +20 4<=15 140 1 +130 2 +120 3 +135 4<=140 1800 1+1000 2 +800 3 +900 4 >=1800 200 1 +350 2 +450 3 +420 4>=200 1600 1+1000 2+1300 3+1500 4>=1600
现在他需要确定将哪一项任务指派给哪一个 人。相关数据如下：
任务
工资
人员
1
2
3
4 /小时
张三 35 41 27 40 14
李四 47 45 32 51 12
王五 39 56 36 43 13
宋六 32 51 25 46 15
五、线性规划应用之一 ——DEA分析
数据包络分析是一种基于线性规划，用 于评价同类型组织绩效相对有效性的工 具手段。这类组织例如学校、医院、银 行分支机构、超市的各营业部等。注意： 各组织具有相同的投入、产出项目，对 应单位也应相同。
六、线性规划应用之二
——零和对策混合策略均衡
两个人互相独立的各自从1、2、3三个 数字中任意选写一个数字。如果二人所 写数字之和为偶数，则局中人2付给局 中人1以数量为此和数的报酬；如果二 人所写数字之和为奇数，则局中人1付 给局中人2以数量为此和数的报酬，求 此对策的解。
支付矩阵（赢得矩阵）为：
600
3
2 400 1
4
仓库 2
3
6
3
6
4
4
4
6
3
零售商 5
200
6
150
7
350 1
8
300
四、指派问题
某公司营销经理将要主持召开一年一度的由营 销区域经理以及销售人员参加的销售协商会 议。为了更好的安排这次会议，他雇佣了四 个临时人员张三、李四、王五、宋六，每一 个人负责完成下面的一项任务：
1.书面陈述的文字处理； 2.制作口头和书面陈述的电脑图； 3.会议材料准备，包括书面材料的抄写和组织； 4.处理与会者的提前和当场注册报名。
城市
河流
D1 D2 D3 D4 供量
R1 160 130 220 170 5
R2 140 130 190 150 6
R3 190 200 230 -
5
需求 2
5
4 1.5
数学模型为：
Min z= 160x11+130x12+220x13+170x14 + 140x21+130x22+190x23+150x24 + 190x31+200x32+230x33+Mx34 无穷大
（2）约束限制值同时变动的百分之百法则 （ The 100 percent rule of simultaneous changes in right-hand sides）： 同时改变几个或所有函数约束的约束右端值 ，如果这些变动的幅度不大，那么可以用影 子价格预测变动产生的影响。为了判别这些 变动的幅度是否允许，计算每一变动占同方 向可容许变动范围的百分比，如果所有的百 分比之和不超过百分之一百，那么影子价格 还是有效的；如果所有的百分比之和超过百 分之一百，那就无法确定影子价格是否有效。
目录
线性规划问题 对偶规划问题 运输问题 指派问题 线性规划应用之一：DEA分析 线性规划应用值二：零和对策混合策略 附录
一、线性规划问题
➢ 问题提出 某食品公司雇佣了一家广告公司来帮助设计 全国性的促销活动，计划最多支付广告公司 服务酬金100万元，广告费用400万元。根 据该食品公司产品状况，广告公司确定了最 有效的三种广告媒体。
1）可变单元格一栏：当门和窗的单位利 润分别在(300-300，300+450)和(500300，+∞)之间变动时，最优解保持不 变。
注意：①最优解不变，但最优目标函数 值可能发生变化；②分别变动而不是同 时变动，即固定其中一个，另一个可在 适当范围内变动。
2）约束单元格一栏：阴影价格即运筹学中的 影子价格，它是指资源每增加一个单位时目 标函数的增量，即：
x11+x12+x13+x14
5
x21+x22+x23+x24
6
x31+x32+x33+x34 1.5
x11
+x21
+x31
=2
x12
+x22
+x32
=5
x13
+x23
+x33 =4
x14
+x24
+x34=1.5
xij≥0 i=1，2，3；j=1，2，3，4
（三）转运或转载问题
工厂
2 1
3
600
仓库 2
数学模型为：
Min z= 464x11+513x12+654x13+867x14 + 352x21+416x22+690x23+791x24 + 995x31+416x32+690x33+791x34
x11+x12+x13+x14
=75
x21+x22+x23+x24
=125
x31+x32+x33+x34 =100
注意：此处也是分别变动，而不是同时变动。
极限值报告解释
列出目标单元格和可变单元格以及它们的数值、 上下限和目标值。含有整数约束条件的模型不 能生成本报告。其中，下限是在满足约束条件 和保持其它可变单元格数值不变的情况下，某 个可变单元格可以取到的最小值。上限是在这 种情况下可以取到的最大值。
延伸
3
6
3
6
3 2 400 1
4
4
4
6
3
零售商 5
200
6
150
7
350
8
300
数学模型格式
Min
cij xij
所有弧线
xij
xij si
运出弧线 运入弧线
xij
xij 0
运出弧线 运入弧线
起始点i 转运点
xij
xij d j 终点j
运入弧线 运出弧线
xij 0
工厂 2
1 3
敏感性报告解释
提供关于求解结果对“目标单元格”编
辑框中所指定的公式的微小变化，以及 约束条件的微小变化的敏感性信息。含 有整数约束条件的模型不能生成本报告。 对于非线性模型，此报告提供缩减梯度 和拉格朗日乘数；对于线性模型，此报 告中将包含递减成本、影子价格（机会 成本）、目标系数(允许有小量增减额) 以及右侧约束区域。
x11
+x21
+x31
=80
x12
+x22
+x32
=65
x13
+x23
+x33
=70
x14
+x24
+x34 =85
xij≥0
i=1，2，3；j=1，2，3，4
（二）供大于需
某水管站主管着广阔地域的水资源分配 机构。由于该地域十分干燥，需要从外 地引水。已知引入的水来自R1、R2、 R3三条河流，主要供应客户为D1、D2、 D3、D4四个城市的供水部门。除了R3 的水不能供应D4之外，所有的河流均 可供应这四个城市。运输表格如下：
现在要解决的问题是如何确定各种广告活动的 水平（levels）以取得最有效的广告组合
（advertising mix）。相关数据如下：
资源
广告 预算 计划 预算 电视 时段 单位 贡献
工厂1每周可用时间在[4-2，+∞]之间发生变 化时，影子价格恒为0，对目标函数值无影响；
工厂2每周可用时间在[12-6，12+6]之间发生 变化时，影子价格恒为150，即每增加一个单 位可用时间，目标函数值就增加150，
工厂3每周可用时间在[18-6，18+6]之间发生 变化时，影子价格恒为100，即每增加一个单 位可用时间，目标函数值就增加100。
（4）学会看灵敏度分析报告。
数学模型为：
Max z=300D+500W
2W ≤12 s.t.
3D+2W ≤18
其中，D、W分别表示生产的门和窗 的个数。
运算结果报告解释
列出目标单元格和可变单元格以及它们 的初始值、最终结果、约束条件和有关 约束条件的信息。
其中，目标单元格和可变单元格是用其 行和列命名的，约束单元格是用其列命 名的。初值和终值分别指单元格在本次 求解前的数值和求解后的数值。
生产每个单位
所需时间（小时）
门
窗
1Leabharlann 0023
2
300
500
每周可用时 间（小时）
4 12 18
任务：
（1）列出问题数学模型，求取总利润最 大时的两种产品产量，并练习制作命令 按钮；
（2）当门和窗的单位利润分别在什么范 围内变动时，公司的最优生产计划不变？
（3）如果改变一个工厂可用于生产新产 品的生产时间，结果将如何？
有某个银行的4个分理处数据如下：
投入
产出
DMU
职员 营业 数 面积
储蓄 存款
贷款
中间 业务
分理处1 15 140 1800 200 1600
分理处2 20 130 1000 350 1000
分理处3 21 120 800 450 1300
分理处4 20 135 900 420 1500
试对四个分理处进行DEA有效性分析，包 括规模有效分析即C2R，和技术有效分析即 C2GS2。
有目标函数为：
Max z=130TV+60M+50SS 其 中 ， TV、M、SS 分 别 表 示 电 视 上 的 广告时段数、杂志上的广告数目和星期 天增刊上的广告数目。
❖约束条件有三个：
（1）广告总费用≤400万；
（2）计划总成本≤100万；
（3）总的电视广告时段数目≤5。
表示为：
300TV +150M +100SS ≤4000
下面对目标式系数同时变动以及约束限制值同 时变动的情况分别作以延伸。
（1）目标式系数同时变动的百分之百法则 （ The 100 percent rule of simultaneous changes in objective function coefficients）： 如果目标函数系数同时变动，计算出每一系 数变动量占该系数同方向可容许变动范围的 百分比，而后将各个系数的变动百分比相加 ，如果所得的和不超过百分之一百，最优解 不会改变；如果超过百分之一百，则不能确 定最优解是否改变。
i>=0， i=1，2，3，4； >=0
❖ =1，说明为弱DEA有效（C2R）； ❖ =1，且松弛变量或人工变量均为0，说
明为DEA有效（C2R）； ❖ DEA有效性分析（C2R）反映的是规模
有效。
练习：
分理处2、3、4的规模有效性分析。借助 运算结果报告。
（二）技术有效性分析
数学模型（D），以对DMU2为例。 Min
每种活动的单位资源使用量
电视 广告
杂志 广告
星期天 增刊广告
300,000 150,000 100,000
90,000 30,000
40,000
1
0
0
130
60
50
可获得 的资源数
400万 100万
5
➢问题分析与建模 本问题是一个典型的线性规划问题。
❖食品公司的最终目标是利润最大化，在 本题中用单位贡献表示单位利润。
15 1 +20 2 +21 3 +20 4<=20 140 1 +130 2 +120 3 +135 4<=130 1800 1+1000 2 +800 3 +900 4 >=1000 200 1 +350 2 +450 3 +420 4>=350 1600 1+1000 2+1300 3+1500 4>=1000
90 TV +30 M +40 SS≤1000
TV
≤5
数学模型为：
Max z=130TV+60M+50SS
s.t.
300TV +150M +100SS ≤4000
90 TV +30 M +40 SS≤1000
TV
≤5
任务：
（1）EXCEL求解；
（2）录制一个规划求解的宏；
（3）制作一个用于规划求解的命令按钮；
1 + 2 +3 + 4=1 i>=0， i=1，2，3，4； >=0
❖ =1，说明为弱DEA有效（C2GS2）； ❖ =1，且松弛变量或人工变量均为0，说
明为DEA有效（C2GS2） ； ❖ DEA有效性分析（C2GS2）反映的是技
术有效。
练习：
分理处1、2、4的技术有效性分析。借助 运算结果报告。
三、运输问题
（一）供需平衡
某食品公司有三个罐头加工厂A1、A2、 A3，四个仓库B1、B2、B3、B4。已知 相关数据如下：
仓
库
B1 B2 B3 B4 产量
加工厂
A1 464 513 654 867 75
A2 352 416 690 791 125
A3 995 682 388 685 100
任分务配：量 80 65 70 85 求总的运输费用最小的运输策略。建模 求解。
（4）加入一个用于规划求解的新菜单。
二、对偶规划问题
➢问题提出 某玻璃制品公司生产高质量的玻璃制 品，包括具有手艺和最精细工艺特性 的床和玻璃门。公司有三个工厂共同 生产窗和玻璃门，其中 工厂1：生产铝框和硬制件 工厂2：生产木框 工厂3：生产玻璃和组装窗和门
已知相关数据如下：
工厂
1 2 3 单位利润 （元）
（一）规模有效性分析
数学模型（D）：
对DMU1： Min
15 1 +20 2 +21 3 +20 4<=15 140 1 +130 2 +120 3 +135 4<=140 1800 1+1000 2 +800 3 +900 4 >=1800 200 1 +350 2 +450 3 +420 4>=200 1600 1+1000 2+1300 3+1500 4>=1600
现在他需要确定将哪一项任务指派给哪一个 人。相关数据如下：
任务
工资
人员
1
2
3
4 /小时
张三 35 41 27 40 14
李四 47 45 32 51 12
王五 39 56 36 43 13
宋六 32 51 25 46 15
五、线性规划应用之一 ——DEA分析
数据包络分析是一种基于线性规划，用 于评价同类型组织绩效相对有效性的工 具手段。这类组织例如学校、医院、银 行分支机构、超市的各营业部等。注意： 各组织具有相同的投入、产出项目，对 应单位也应相同。
六、线性规划应用之二
——零和对策混合策略均衡
两个人互相独立的各自从1、2、3三个 数字中任意选写一个数字。如果二人所 写数字之和为偶数，则局中人2付给局 中人1以数量为此和数的报酬；如果二 人所写数字之和为奇数，则局中人1付 给局中人2以数量为此和数的报酬，求 此对策的解。
支付矩阵（赢得矩阵）为：
600
3
2 400 1
4
仓库 2
3
6
3
6
4
4
4
6
3
零售商 5
200
6
150
7
350 1
8
300
四、指派问题
某公司营销经理将要主持召开一年一度的由营 销区域经理以及销售人员参加的销售协商会 议。为了更好的安排这次会议，他雇佣了四 个临时人员张三、李四、王五、宋六，每一 个人负责完成下面的一项任务：
1.书面陈述的文字处理； 2.制作口头和书面陈述的电脑图； 3.会议材料准备，包括书面材料的抄写和组织； 4.处理与会者的提前和当场注册报名。
城市
河流
D1 D2 D3 D4 供量
R1 160 130 220 170 5
R2 140 130 190 150 6
R3 190 200 230 -
5
需求 2
5
4 1.5
数学模型为：
Min z= 160x11+130x12+220x13+170x14 + 140x21+130x22+190x23+150x24 + 190x31+200x32+230x33+Mx34 无穷大
（2）约束限制值同时变动的百分之百法则 （ The 100 percent rule of simultaneous changes in right-hand sides）： 同时改变几个或所有函数约束的约束右端值 ，如果这些变动的幅度不大，那么可以用影 子价格预测变动产生的影响。为了判别这些 变动的幅度是否允许，计算每一变动占同方 向可容许变动范围的百分比，如果所有的百 分比之和不超过百分之一百，那么影子价格 还是有效的；如果所有的百分比之和超过百 分之一百，那就无法确定影子价格是否有效。
目录
线性规划问题 对偶规划问题 运输问题 指派问题 线性规划应用之一：DEA分析 线性规划应用值二：零和对策混合策略 附录
一、线性规划问题
➢ 问题提出 某食品公司雇佣了一家广告公司来帮助设计 全国性的促销活动，计划最多支付广告公司 服务酬金100万元，广告费用400万元。根 据该食品公司产品状况，广告公司确定了最 有效的三种广告媒体。
1）可变单元格一栏：当门和窗的单位利 润分别在(300-300，300+450)和(500300，+∞)之间变动时，最优解保持不 变。
注意：①最优解不变，但最优目标函数 值可能发生变化；②分别变动而不是同 时变动，即固定其中一个，另一个可在 适当范围内变动。
2）约束单元格一栏：阴影价格即运筹学中的 影子价格，它是指资源每增加一个单位时目 标函数的增量，即：
x11+x12+x13+x14
5
x21+x22+x23+x24
6
x31+x32+x33+x34 1.5
x11
+x21
+x31
=2
x12
+x22
+x32
=5
x13
+x23
+x33 =4
x14
+x24
+x34=1.5
xij≥0 i=1，2，3；j=1，2，3，4
（三）转运或转载问题
工厂
2 1
3
600
仓库 2
数学模型为：
Min z= 464x11+513x12+654x13+867x14 + 352x21+416x22+690x23+791x24 + 995x31+416x32+690x33+791x34
x11+x12+x13+x14
=75
x21+x22+x23+x24
=125
x31+x32+x33+x34 =100
注意：此处也是分别变动，而不是同时变动。
极限值报告解释
列出目标单元格和可变单元格以及它们的数值、 上下限和目标值。含有整数约束条件的模型不 能生成本报告。其中，下限是在满足约束条件 和保持其它可变单元格数值不变的情况下，某 个可变单元格可以取到的最小值。上限是在这 种情况下可以取到的最大值。
延伸
3
6
3
6
3 2 400 1
4
4
4
6
3
零售商 5
200
6
150
7
350
8
300
数学模型格式
Min
cij xij
所有弧线
xij
xij si
运出弧线 运入弧线
xij
xij 0
运出弧线 运入弧线
起始点i 转运点
xij
xij d j 终点j
运入弧线 运出弧线
xij 0
工厂 2
1 3
敏感性报告解释
提供关于求解结果对“目标单元格”编
辑框中所指定的公式的微小变化，以及 约束条件的微小变化的敏感性信息。含 有整数约束条件的模型不能生成本报告。 对于非线性模型，此报告提供缩减梯度 和拉格朗日乘数；对于线性模型，此报 告中将包含递减成本、影子价格（机会 成本）、目标系数(允许有小量增减额) 以及右侧约束区域。
x11
+x21
+x31
=80
x12
+x22
+x32
=65
x13
+x23
+x33
=70
x14
+x24
+x34 =85
xij≥0
i=1，2，3；j=1，2，3，4
（二）供大于需
某水管站主管着广阔地域的水资源分配 机构。由于该地域十分干燥，需要从外 地引水。已知引入的水来自R1、R2、 R3三条河流，主要供应客户为D1、D2、 D3、D4四个城市的供水部门。除了R3 的水不能供应D4之外，所有的河流均 可供应这四个城市。运输表格如下：