高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法素材3新人教A版选修45

高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法素材3新人教A版选修45
庖丁巧解牛
知识·巧学
一、反证法
1.反证法的意义：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的.
记忆要诀
用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下图表示.
2.利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步,分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步,作出与所证不等式结论相反的假定；
第三步,从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步,断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原先要证的不等式成立.
辨析比较
原结论词
等于
（=）
大于
(>)
小于
(<)
对所
有x
成立
对任
意x
不成
立
至少
一个
至多
一个
至少
n个
至多
n个
p或q p且q
反设词不等
于
(≠)
不大
于
(≤)
不小
于
(≥)
存在
某个
x不
成立
存在
某个
x成
立
一个
都没
有
至少
两个
至多
n-1
个
至少
n+1
个
p
⌝
且
q
⌝
p
⌝
或
q
⌝
3通常在什么情况下用反证法？
有些不等式，从正面证如果说不清楚，可以考虑反证法.即先否定结论，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的.
学法一得
凡是含“至少”“唯一”或含有否定词的命题，大多适宜用反证法.
不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容相结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养大家数学式的变形能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.
二、放缩法
1.放缩法的意义：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.也就是说：欲证A≥B，可通过适当地放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B≤B 1，B 1≤B 2，…，B 1≤A，或A≥A 1，A 1≥A 2，…，A i ≥B，再利用传递性，达到欲证的目的.这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛.
2.放缩法的理论依据主要有：
①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较.
3.放缩法经常采用的技巧有：
①舍去一些正项（或负项），②在和或积中换大（或换小）某些项，③扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等.如：n
n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-<<+=+- 11121111+-=+-<<++=-+k k k
k k k k k k . 误区警示
用放缩法证明不等式，关键是放、缩适当，放得过大或过小都不能达到证题目的. 典题·热题
知识点一：反证法证明不等式
例1 设a 3+b 3=2，求证a+b≤2.
思路分析：要证的不等式与所给的条件之间的联系不明显，而且待证式比已知式次数低，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑用反证法.
证明：假设a+b>2，则有a>2-b ，从而
a 3>8-12b+6
b 2-b 3,
a 3+
b 3>6b 2-12b+8=6(b-1)2+2.
所以a 3+b 3>2，这与题设条件a 3+b 3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立.
误区警示
不能根据已知等式找出几组数值，代入待证不等式中进行验证，验证成立也不能算是证明成功了.
例2 设二次函数f(x)=x 2+px+q,求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于2
1. 思路分析：要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，需要考虑的情形较多，一一列举直接证明不容易，通常采用反证法进行.
证明：假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于2
1，则 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. ①
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|
=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2. ②
①②两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.
方法归纳
一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及临时假定矛盾等各种情况.
例3 设0<a,b,c<1，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不可能同时大于4
1. 思路分析：题目中出现了“不可能同时大于……”字样，而且三个式子的地位相同，结合
0<(1-a)a≤［
2)1(a a +-］2=4
1，可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法. 证明：设(1-a)b>41,(1-b)c>41,(1-c)a>4
1, 则三式相乘：(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>64
1.① 又∵0<a,b,c<1,∴0<(1-a)a≤［2)1(a a +-］2=4
1. 同理：(1-b)b≤41,(1-c)c≤4
1,以上三式相乘： (1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤641,与①矛盾.∴原式成立. 巧解提示
凡涉及到证明不等式为否定性命题、唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时，可考虑使用反证法.
知识点二：放缩法证明不等式
例4 当n>2时，求证：log n (n-1)log n (n+1)<1.
思路分析：不等式左边含有不确定字母n ，两个对数式底数相同，真数中没有常数项，而右边为常数1，应考虑应用基本不等式逐步放缩证明，采用放缩法证明较好.
证明：∵n>2，∴log n (n-1)>0,log n (n+1)>0.
∴log n (n-1)log n (n+1)<［2
)1(log )1(log ++-n n n n ］2=［2)1(log 2-n n ］2 <［2
log 2
n n ］2=1. ∴n>2时,log n (n-1)log n (n+1)<1.
方法归纳
在用放缩法证明不等式A≤B 时，我们找一个(或多个)中间量C 作比较，即若能断定A≤C 与C≤B 同时成立，那么A≤B 显然正确.所谓的“放”即把A 放大到C ，再把C 放大到B;反之，所谓的“缩”即由B 缩到C ，再把C 缩到A.同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.
例5 若n 是正整数，求证22221312111n
++++ <2. 思路分析：左边不能直接通分，而且项数不定，分析此式的形式特点，借助k
k k k k 111)1(112--=-<进行变形，可以通过适当地放缩，使不等式简化，从而得出证明. 证明：∵k k k k k
111)1(112--=-<,k=2,3,4…,n.
∴n n n
•-++•+•+<++++)1(13212111113121112222 . .212)111()3121()2111(11<-=--++-+-+=n
n n 巧解提示
实际上，我们在证明
2
2221312111n ++++ <2的过程中，已经得到一个更强的结论n n
1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想. 例6 设a 、b 、c 是三角形的边长，求证c b a c b a c b a c b a -++-++-+≥3. 思路分析：根据不等式的对称性，三个字母地位相同，不妨设出大小顺序，结合三角形三边之间的关系，进而应用放缩法选择适当的式子放缩变形，以达到证明目的.
证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c，则b+c-a≤c+a -b≤a+b -c,
且2c-a-b≤0，2a-b-c≥0. ∴
c b a c b a c b a c b a -++-++-+-3=a c b a -+-1+b a c b -+-1+c
b a
c -+-1 =b
a c
b a
c b a c a c b b a c c b a c b a b a c b a c c a b a c b c b a -+--+-+--+-+--≥-+--=-+--=-+--222222=0, ∴c b a c b a c b a c b a -++-++-+≥3. 方法归纳
本题中为什么要将b+c-a 与a+b-c 都放缩为c+a-b 呢？这是因为2c-a-b≤0，2a-b-c≥0，而2b-a-c 无法判断符号，因此b
a c c a
b -+--2无法放缩.所以在运用放缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度.
问题·探究
交流讨论探究
问题 有人说反证法很难，根本想不通；有人说反证法不难，看课本中的例题用起来很简单，那如何体会反证法的难与易呢？
探究过程:
学生甲：反证法太难了，都是逆向思维，根本想不到.
学生乙：其实反证法不难，在生活中不也经常使用吗？先假设怎样怎样，然后就会出现什么样的事情，最后发现那不可能，出现了笑话，说明假设的不对.
学生丙：反证法不难，只要见到含有否定形式的命题，如含有“至多”“至少”“不可能”等时就用反证法.
学生甲：那要找不到矛盾呢？
学生乙：只要按照正确的推理总会找到矛盾的，可以和已知矛盾，也可以和常识矛盾，也可以和假设本身矛盾等等，反正只要找到矛盾就可以.
学生甲：那反证法有什么好处呀？
学生丙：反证法比直接证明多了一个条件，那就是假设，当然容易证明了.
老师：反证法也不是万能的，一般证明还是先用直接证法，当要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰时，还有就是从正面证明需要分成多种情形进
行分类讨论，而且从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形时用反证法较好.还有，平时应该拥有较为扎实的基本功，在推理中才能较快地找到矛盾，也就是要多积累素材. 探究结论:反证法作为一种证明方法，其实也不是很新，很早就接触了，说来并不算难，只要多积累一下这方面的知识技巧就可以较为熟练的应用了.
思想方法探究
问题反证法证题，可以说是一个难点，就是感觉难懂难用.因为以前我们的证明，所采用的方法均为直接证法，由已知到结论，顺理成章.而对于属于间接证法的反证法，许多同学正是难以走出直接证法的局限，从而不能深刻或正确理解反证法思想.怎样才能更好地理解反证法呢？
探究过程:其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证法不可替代的作用.在生活中的应用也非常广泛，只是我们没有注意罢了.下面看两则故事，体会一下，对我们正确理解反证法很有帮助.
故事一：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪.乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨.”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎.”
实际上，小牧童正是巧妙地运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论.风水先生当然不会承认这个事实了.那么，显然，他说的就是谬论了.
这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还治其人之身”的反证法迎刃而解了.
如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二.
故事二：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”
这是很著名的“道旁苦李”的故事.实质上王戎的论述，也正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成像几何题目中的“已知、求证、证明”，再和反证法的步骤进行对比，大家就明白了.
探究结论:反证法的应用广泛，只要善于观察和总结，从生活中体会反证法的思想，就不会感觉反证法难懂难用了.。