高等数学：2.5无穷小量与无穷大量

1 f ( x) ； 1 cos f ( x) n
1 ( f ( x))2 2
(1)
n 1 x x2 1
lim
;
(2)
lim
1 cos x
．
x 0 sin 2x
x 0 x 1 cos x
例6
(1) x0 时， arcsin( 4 x2 2) 是 x 的几阶无穷小？
(2) 试确定 值，使函数 sin 2x 2sin x 与 x
（或
'0,
）高阶的
且无穷小0,量；' 0 ．若 ', '且 lim ' 存在，则
'
在乘积的极li限m运 算 中lim，等'价．的无穷小因子可以互相代换．
'
等价无穷小代换
常例用3等求价无(1穷) 小lxi量m0
tan 2x ta设n 5fx(
;
x
)
(2) lim
0 ，则x0
sin( x (arcsin
n n n
n
二、无穷大量
对D于ef.自2 变设量的f (其x)他在几(种x0变,化) 上趋有势定（义x．x ， xx ， 如x果对， xM0（，不x论多大） ，，x总），0 ,使同当样0可以x定 x义0 无 时， 穷均大有量f．( x) M ．则称 f ( x) 是 x x0 时的无穷大量，记作
§5 无穷小量和无穷大量
一、无穷小量
Def. 1 若 lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小． Note： ① 无穷小量是指某一极限过程中以 0 为极限的变量．
② 无穷小量是变量, 不能与很小的数混淆． ③ 无穷小量与极限过程有关．
例T1hm求1 (1) lim x sin 1 ;
(1) 若 lim 0 ，则称 是 的高阶无穷小，
记为 o()，而称 是 的低阶无穷小．
(2) 若 lim C 0 ，则称 与 是同阶无穷小量，
记为 O( ) ．
(3) 若 lim 1 ，则称 与 是等阶无穷小量，
记为 ．
(4)不若是li．m如k
xCsin(C1 x
是 x 0 时的同阶无穷小量．
EXE
1.
lim
x 0
si
）
lim 1 x2 1（1）
x 0 1 cos x
2arctan x
lim
x
x3
1
cos
1 x
（0）
2. x 0时， 1 tan x 1 sin x 是 x 的几阶无穷小？
3. x 0时， 1 1 x 与 x 是同阶无穷小，
ln(1 f (x)) f (x) ； n 1 f ( x) 1 1 f ( x) ．
n
例4
求
lim
x 0
tan x sin3
sin x
x
．
错！
错解
lim
x0
tan x sin3
sin x
x
lim
x0
x sin3
x x
0
．
在乘积的极限运算中， 等价的无穷小因子可以互相代换．
例 n51 求f ( x) 1
x0
x
(1) 有限个无穷小量的代数和
(2)
arctan x lim
x x
以及有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量；
(2) 有界变量与无穷小量的乘积 仍是 无穷小量．
(3) lim X A X A ，其中 lim 0 ．
注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量．
n个
例如： lim ( 1 1 1 )1 ．
lim f ( x) ．
x x0
正无穷大量的定义
说明：
M 0, 0,
0
x x0
, 恒有 f (x) M lim x x0
f ( x) .
Note：
① 无穷大量必为无界函数，
但反之未必成立． 反例 f (x) x sin x
② 无穷大量与极限过程有关．
③ 无穷大量是指绝对值可以无限大的变量． 绝不能与任何一个绝对值很大的常数混为一谈．
与0,xk2 在 0x) ，则0 时称，既非同阶，
是
的 k 阶无穷小量． 也无高低阶可比．
问：是不是任何两个无穷小量都可以进行比较？
Thm 3
(1) 设 lim lim 0 且 0 ，则
Thm 表明：
o( ) ．
(2两) 个设等价lim无穷小li量m
与 之差是比
' lim lim
例2 求
x23x (1) lim
x2 x2
错！
错解
lim
x23x
lim (
x2
x2
3
x)
10
．
x2 x2 lim ( x2) 0
x2
正解
错！
(2)
错解
lim ( 3 x1 1 x
3
1 1
x
)
错！
lim (
x1
3 1 x
3
1 1 x
)
lim 3 x11 x
3
lim 1 x11 x
0
．
正解
错！
一般地，若 a0 b0 0 ，m, n N ，则
lim a0 x n a1 x n1 an x b0 x m b1 x m1 bm
a0 , b0 ,
0,
当 m n,
当 m n, 当 m n.
EXE
lim
x1
5 1 x5
4 1 x4
lim
x 1
1
m x
m
n 1 xn
四、无穷小量的比较
Def. 3 设 lim 0， lim 0 ，且 0 ．
n) x)m
sin f ( x) f ( x) ；
tan f ( x) f ( x) ；
arc sin f (x) f ( x) ； arc tan f ( x) f ( x) ；
1 cos f ( x) 1 f ( x)2 ； e f (x) 1 f ( x) ；
2
a f ( x) 1 f ( x)ln a ；
1 x
试求 ？
三？、：无有穷限小个量无与穷无大穷量大的量代的数关和系
Thm 2有界变量与无穷大量的乘积N．( x0 )
(1) 若 lim f ( x) ，则 lim 1 0 ．
f (x)
反之，若 lim f (x) 0 且 f ( x) 0 ，则 lim 1 ．
f (x)
(2) 有限个无穷大量的乘积仍为无穷大量．
(3) 有界变量与无穷大量和仍为无穷大量．
Note：
① 有限个无穷大量的代数和未必是无穷大量．
反例
② 有界变量与无穷大量的乘积也未必是无穷大量．
例 xsin x (x ) ， x cos x (x )都不是无穷大量．
注意：这里只是借用记号 lim f ( x) （或 ，或 ）， 并不表示极限存在．