2016届湖南省衡阳市高考数学三模试卷(理科)解析版
高三数学三模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某某某市平罗中学高考数学三模试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．若集合P={x||x|＜3，且x∈Z}，Q={x|x（x﹣3）≤0，且x∈N}，则P∩Q等于（）A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．设命题p：若x，y∈R，x=y，则=1；命题q：若函数f（x）=e x，则对任意x1≠x2都有＞0成立．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④4．已知向量满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则下列如下结论：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，某班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数均为（）A．32 B．16 C．8 D．246．公元263年左右，我国数学家X徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”X徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用X徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，s in15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．487．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．328．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．4cm3B．6cm3C．D．9．双曲线E：﹣=1（a，b＞0）的右焦点为F（c，0），若圆C：（x﹣c）2+y2=4a2与双曲线E的渐近线相切，则E的离心率为（）A．B．C．D．10．数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（2x﹣1）dx=6，则二项式（1﹣2x）3m的展开式各项系数和为．14．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．15．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于．16．给出下列命题：①命题“若方程ax2+x+1=0有两个实数根，则a≤”的逆命题是真命题；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③函数f（x）=2x﹣x2的零点个数为2；④幂函数y=x a（a∈R）的图象恒过定点（0，0）⑤“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”；⑥方程sinx=x有三个实根．其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）．17．已知f（x）=2sin（Ⅰ）若，求f（x）的值域；（Ⅱ）在△ABC中，A为BC边所对的内角若f（A）=2，BC=1，求的最大值．18．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．19．如图，空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD与BD，CD所成角的余弦值均为，试问在CA上是否存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．21．设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在内有极值点，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：．（e=2.71828…）【选考题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，某某数x的X围．2016年某某某某市平罗中学高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．若集合P={x||x|＜3，且x∈Z}，Q={x|x（x﹣3）≤0，且x∈N}，则P∩Q等于（）A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合P、Q，求出P∩Q即可．【解答】解：P={x||x|＜3，且x∈Z}={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，Q={x|x（x﹣3）≤0，且x∈N}={x|0≤x≤3，且x∈N}={0，1，2，3}，∴P∩Q={0，1，2}．2．若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得si nθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴cosθ=﹣．则tanθ==﹣．故选：B．3．设命题p：若x，y∈R，x=y，则=1；命题q：若函数f（x）=e x，则对任意x1≠x2都有＞0成立．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：y=0时， =1不成立，即可判断出真假；命题q：由于函数f（x）在R 上单调递增，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：若x，y∈R，x=y，则=1，y=0时不成立，因此是假命题；命题q：若函数f（x）=e x，由于函数f（x）在R上单调递增，则对任意x1≠x2都有＞0成立，是真命题．因此在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是②④．故选：D．4．已知向量满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件求出向量•的值，结合向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵•（+）=2，∴•+2=2，即•=﹣2+2=2﹣1=1则cos＜，＞==，则＜，＞=，故选：D5．若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则下列如下结论：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，某班有48名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数均为（）A．32 B．16 C．8 D．24【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态总体的取值关于x=80对称，位于70分到90分之间的概率是0.6826，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，得到要求的结果．【解答】解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（80，102），P（|x﹣u|＜σ）=0.6826，∴P（|x﹣80|＜10）=0.6826，根据正态曲线的对称性知：位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半∴理论上说在80分到90分的人数是（0.6826）×48≈16．故选：B．6．公元263年左右，我国数学家X徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”X徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用X徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．7．设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6 B．7 C．36 D．32【考点】二次函数的性质．【分析】先根据数列的函数特征以及二次函数的最值，化简整理得到{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，再根据前n项公式求出即可．【解答】解∵点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，∴2a n=2a n﹣1+1，∴a n﹣a n﹣1=，∵二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴a1=2，∴{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）=n+当n=1时，a1=n+=2成立，∴a n=n+∴S9=9a1+=9×2+=36故选：C8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．4cm3B．6cm3C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥与三棱柱的组合体，由此求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是上部为三棱锥，下部为三棱柱的组合体，三棱柱的每条棱长为2cm，三棱锥的高为2cm，∴该组合体的体积为V=×2×2×2+××2×2×2=cm2，选：C．9．双曲线E：﹣=1（a，b＞0）的右焦点为F（c，0），若圆C：（x﹣c）2+y2=4a2与双曲线E的渐近线相切，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线E：﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆C：（x﹣c）2+y2=4a2的圆心为（c，0），半径为2a，由直线和圆相切的条件可得，=b=2a，可得c==a，即有e==．故选：C．10．数列{a n}满足a1=1，对任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则=（）A．B．C．D．【考点】数列递推式．【分析】利用累加法求出数列的通项公式，得到．再由裂项相消法求得答案．【解答】解：∵a1=1，∴由a n+1=a1+a n+n，得a n+1﹣a n=n+1，则a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…a n﹣a n﹣1=n（n≥2）．累加得：a n=a1+2+3+…+n=（n≥2）．当n=1时，上式成立，∴．则．∴=2=．故选：B．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V=××=，故选：A．12．定义在R上的函数f（x），f′（x）是其导数，且满足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，则不等式e x f（x）＞4+2e x（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣2e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＞2，∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞2e x+4，∴g（x）＞4，又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4，∴g（x）＞g（1），∴x＞1，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（2x﹣1）dx=6，则二项式（1﹣2x）3m的展开式各项系数和为﹣1 ．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】由于（2x﹣1）dx==6，化简解得m．令x=1，即可得出二项式（1﹣2x）3m展开式各项系数和．【解答】解：∵（2x﹣1）dx==6，化为：m2﹣m﹣（1﹣1）=6，m＞1，解得m=3．令x=1，则二项式（1﹣2x）3m即（1﹣2x）9展开式各项系数和=（1﹣2）9=﹣1．故答案为：﹣1．14．记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．【考点】几何概型．【分析】平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，利用几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：集合构成的平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为=．答案为：．15．已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，k FN==﹣，k FN=﹣=﹣2∴=2，求得a=4，故答案为：4．16．给出下列命题：①命题“若方程ax2+x+1=0有两个实数根，则a≤”的逆命题是真命题；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③函数f（x）=2x﹣x2的零点个数为2；④幂函数y=x a（a∈R）的图象恒过定点（0，0）⑤“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”；⑥方程sinx=x有三个实根．其中正确命题的序号为②．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆命题的定义结合方程根的关系进行判断．②根据三角函数的周期公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断．③根据函数与方程的关系进行判断．④根据幂函数的定义和性质进行判断．⑤根据向量夹角和数量积的关系进行判断．⑥构造函数，判断函数的单调性即可．【解答】解：①命题“若方程ax2+x+1=0有两个实数根，则a≤”的逆命题是若a≤，则方程ax2+x+1=0有两个实数根，当a=0时，方程等价为x+1=0，则x=﹣1，此时方程只有一个根，故①错误；②f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，若“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”，则，则|a|=1，则a=±1，则充分性不成立，反之成立，即“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件正确，故②正确，③由f（x）=2x﹣x2=0得2x=x2，作出两个函数y=2x和y=x2的图象如图，由图象知两个函数交点个数为3个，故③错误；④幂函数y=x a（a∈R）的图象恒过定点（0，0），错误，当a＜0时，函数的图象不过点（0，0），故④错误，⑤“向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”且≠λ，λ＜0；故⑤错误，⑥设f（x）=sinx﹣x，则函数的导数f′（x）=cosx﹣1≤0，则函数f（x）是奇函数，∵f（0）=sin0﹣0=0，∴f（x）=0的根只有一个0，解集方程sinx=x有一个实根．故⑥错误，故正确的是②，故答案为：②三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）．17．已知f（x）=2sin（Ⅰ）若，求f（x）的值域；（Ⅱ）在△ABC中，A为BC边所对的内角若f（A）=2，BC=1，求的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．（Ⅰ）根据二倍角的正余弦公式，和两角和的正弦公式即可化简f（x）=，【分析】而由x的X围可以求出x+的X围，从而可得出f（x）的值域；（Ⅱ）由f（A）=2即可求得A=，从而由余弦定理和不等式a2+b2≥2ab可求得|AB||AC|≤1，根据向量数量积的计算公式便可得出的最大值．【解答】解：（Ⅰ）；∵；∴；∴；∴f（x）的值域为[1，2]；（Ⅱ）∵f（A）=2，∴；在△ABC中，∵0＜A＜π，∴；∴；∴|AB||AC|=|AB|2+|AC|2﹣1≥2|AB||AC|﹣1；∴|AB||AC|≤1；∴；∴的最大值为．18．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由表某某息可知，利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率．（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10种，由此利用列举法能求出其和不低于32周的概率．②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由表某某息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有（种），其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得…②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．，，，因而ξ的分布列为ξ29 30 31 32 33 34 35P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1所以E（ξ）=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32，…19．如图，空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC．（1）证明：AE∥平面BCD；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，且AD与BD，CD所成角的余弦值均为，试问在CA上是否存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）过点D作直线DO⊥BC交BC于点O，连接DO．运用面面垂直的性质定理，可得DO⊥平面ABC，又直线AE⊥平面ABC，可得AE∥DO，运用线面平行的判定定理，即可得证；（2）连接AO，运用线面平行和线面垂直的性质，求得OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．求得O，A，B，E的坐标，假设存在点P，连接EP，BP，设=λ，求得P的坐标，求得平面PBE，ABE 的法向量，运用向量的夹角公式，计算可得P的位置．【解答】解：（1）证明：如图，过点D作直线DO⊥BC交BC于点O，连接DO．因为平面ABC⊥平面BCD，DO⊂平面BCD，DO⊥BC，且平面ABC∩平面BCD=BC，所以DO⊥平面ABC，因为直线AE⊥平面ABC，所以AE∥DO，因为DO⊂平面BCD，AE⊄平面BCD，所以直线AE∥平面BCD；（2）连接AO，因为DE∥平面ABC，所以AODE是矩形，所以DE⊥平面BCD．因为直线AD与直线BD，CD所成角的余弦值均为，所以BD=CD，所以O为BC的中点，所以AO⊥BC，且．设DO=a，因为BC=2，所以，所以．在△ACD中，AC=2．所以AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，即，即．解得a2=1，a=1；以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则．假设存在点P，连接EP，BP，设=λ，即有=+λ（﹣），则．设平面ABE的法向量为={x，y，z}，由=（0，0，1），=（，﹣1，0），则，即，取x=1，则平面ABE的一个法向量为．设平面PBE的法向量为={x，y，z}，则，取x=1+λ，则平面PBE的一个法向量为=（1+λ，﹣λ，﹣2λ），设二面角P﹣BE﹣A的平面角的大小为θ，由图知θ为锐角，则cosθ===，化简得6λ2+λ﹣1=0，解得λ=或（舍去），所以在CA上存在一点P，使得二面角P﹣BE﹣A的余弦值为．其为线段AC的三等分点（靠近点A）．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=•．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=•，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．21．设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在内有极值点，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：．（e=2.71828…）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出f（x）的导数，令g（x）=x2﹣（a+2）x+1，根据函数的单调性得到：；，作差得到新函数F（n）=2lnn+n ﹣，（n＞e），根据函数的单调性求出其最小值即可证明结论成立．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），当时，，…令f′（x）＞0，得：或，所以函数单调增区间为：，，令f′（x）＜0，得：，所以函数单调减区间为：，…（Ⅱ）证明：，令：g（x）=x2﹣（a+2）x+1=（x﹣m）（x﹣n）=0，所以：m+n=a+2，mn=1，若f（x）在内有极值点，不妨设0＜m＜，则：n=＞e，且a=m+n﹣2＞e+﹣2，由f′（x）＞0得：0＜x＜m或x＞n，由f′（x）＜0得：m＜x＜1或1＜x＜n，所以f（x）在（0，m）递增，（m，1）递减；（1，n）递减，（n，+∞）递增当x1∈（0，1）时，；当x2∈（1，+∞）时，，所以：=，n＞e，设：，n＞e，则，所以：F（n）是增函数，所以，又：，所以：．【选考题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F 四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆∴∠DEA=∠DFA（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．【考点】参数方程化成普通方程；直线的斜率；直线与圆的位置关系．【分析】（1）把直线和圆的参数方程化为普通方程，联立后根据根与系数的关系求出两交点中点的横坐标，待入直线方程再求中点的纵坐标；（2）把直线方程和圆的方程联立，化为关于t的一元二次方程，运用直线参数方程中参数t的几何意义，结合给出的等式求解直线的倾斜角的正切值，则斜率可求，【解答】解：（1）当时，由，得，所以直线方程为，由，得曲线C的普通方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2）再由，得：13x2﹣24x+8=0，所以，，所以M的坐标为（2）把直线的参数方程代入，得：，所以，由|PA|•|PB|=|t1t2|=|OP|2=7，得：，所以，，所以，所以．所以直线L的斜率为±．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，某某数x的X围．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答时对（1）要先将原函数根据自变量的取值X围转化为分段函数，然后逐段画出图象；对（2）先结和条件a≠0将问题转化，见参数统统移到一边，结合绝对值不等式的性质找出f（x）的X围，通过图形即可解得结果．【解答】解：（1）（2）由|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）得又因为则有2≥f（x）解不等式2≥|x﹣1|+|x﹣2|得。
2016年全国3卷高考理科数学真题及详细解析(解析版,学生版,精校版,新课标Ⅲ卷)
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，=|FN||y1﹣y2|，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。
湖南省衡阳市2016届高三第三次联考(三模)文数试题(含答案)
文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{|0P x x =≤≤，m =，则下列关系中正确的是（ ）A ．m p ⊆B ．m ⊆pC ．m p ∈D ．m p ∉ 2.如图1，在复平面内，复数12,z z 对应的点分别是,A B ，则12z z =（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i-3.某研究机构对学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据： 6 8 10 12 y2356根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程^^^y b x a =+中的b 的值为0.7，则a 为（ ）A ．1.2B ．-1.2C ．-2.3D ．7.54.执行如图2所示的程序框图，如果输入30,18m n ==，则输出的m 的值为（ ） A ．0 B ．6 C ．12 D ．185.若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．8π B ．4πC ．38πD ．34π6.若,a b 是两个正数，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b +的值等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．207.设命题000:,32016xp x R x ∃∈+=，命题:(0,),()||()q a f x x ax x R ∃∈+∞=-∈为偶函数，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝8.已知点(1,2)-和3在直线:10(0)l ax y a -+=≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．(,)43ππB ．3(0,)(,)34πππC ．35(,)46ππD ．23(,)34ππ9.如图3，是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆一遍，若每平方米用漆1千克，则共需油漆的总量（单位：千克）为（ ）A ．4824π+B ．3924π+C ．3936π+D ．4830π+10.函数sin ln()sin x xy x x-=+的图象大致是（ ）11.已知双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（ ）A 1BC 1D 112.已知函数123()()()()f x x x x x x x =---（其中123x x x <<），()x xg x e e -=-，且函数()f x 的两个极值点为,αβ（αβ<），设122x x λ+=，232x x μ+=，则（ ） A ．()()()()g g g g αλβμ<<< B ．()()()()g g g g λαβμ<<< C ．()()()()g g g g λαμβ<<< D ．()()()()g g g g αλμβ<<<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则2a b += .14.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2n S n n =+，则n a = .15.若在区间[5,5]-内任取一个实数a ，则使直线0x y a ++=与圆22(1)(2)2x y -++=有公共点的概率为 . 16.已知非零向量序列：123,,,,n a a a a 满足如下条件：1||2a =，112a d ∙=-，且1n n a a d --=（*2,n n N ≥∈），1112131n n S a a a a a a a a =∙+∙+∙++∙，当n S 最大时，n = .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值； （2）若4B π=，ABC ∆的面积为9，求边长a 的值.18. （本小题满分12分）某中学有高一新生500名，分成水平相当的,A B 两类进行教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从,A B 两类学生中分别抽取了40人、60人进行测试. （1）求该学校高一新生,A B 两类学生各多少人？ （2）经过测试，得到以下三个数据图表：图一：75分以上,A B 两类参加测试学生成绩的茎叶图（茎、叶分别是十位和个位上的数字）（如图）表一：100名测试学生成绩频率分布表：图二：100名测试学生成绩的频率分布直方图①在答题卡上先填写频率分布表（表一）中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整；②该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的B 类学生中随机抽取2人代表学校参加市交流活动，求抽到的2人分数都在80分以上的概率. 19. （本小题满分12分）如图4，已知ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥平面ABCD ，//FC EA ，设1,2EA FC ==.（1）证明：EF BD ⊥； （2）求多面体ABCDEF 的体积.20. （本小题满分12分）已知函数32()21,f x x bx x b R =++-∈. （1）设2()1()f x g x x+=，若函数()g x 在(0,)+∞上没有零点，求实数b 的取值范围； （2）若对[1,2]x ∀∈，均[1,2]t ∃∈，使得ln 4()2et t f x x --≤-，求实数b 的取值范围.21. （本小题满分12分）如图5，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，短轴两个端点为,A B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形，,C D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P . （1）求椭圆的方程；（2）证明：OM OP ∙为定值；（3）试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 与MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图6，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且弧AC =弧BC ，求BAC ∠.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-.（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值，并求出此时P 点的坐标.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =. （1）解不等式()(4)f x f ≥；（2）设函数()3()g x kx k k R =-∈，若不等式()()f x g x >恒成立，求实数k 的取值范围.数学(文科)参考答案及评分标准1.D 解：]2,0[=P ，23>=m ，故选D.2.B 解：i ii z z 21221+-=--=，故选B. 3.C 解：9=x ，4=y ，3.297.04-=⨯-=∴a ，故选C.4.B 解：12,18,12===n m r ；6,12,6===n m r ；0,6,0===n m r ，故选B.5.A 解：42πϕ=，8πϕ=∴，故选A.6.C 解：)0(4,22b a ab b a <<=-= 4,1==⇒b a ，5=+∴b a ，故选C.7.C 解： p 真q 假，)(q p ⌝∧∴为真，故选C. 8.D 解：13-<<-a ，)43,32(ππα∈∴，故选D. 9.B 解：πππ24391)3443343(22+=⨯-⋅⋅+⋅+⋅⋅ ，故选B.10.A 解：)(x f 为偶函数，),0()0,(+∞⋃-∞∈x ；当),0(π∈x 时0)(<x f ，故选A.11.A 解：p ab c p ==2,2 ，21)),1((0122+=⇒+∞∈=--∴e e e e ，故选A. 12.D 解：))(())(())(()(313221x x x x x x x x x x x x x f --+--+--='0)2()(221<--='∴x x f λ，0)2()(232<--='x x f μ βμλα<<<∴，又)(x g 在R 上递增)()()()(βμλαg g g g <<<∴，故选D.13.)3,3( 解：)3,3(2=+→→b a .14.n 2 解：)2(21≥=-=-n n S S a n n n ，又21=a ，n a n 2=∴. 15.52 解：3122|1|≤≤-⇒≤-a a ，52104==∴P .16.8或9 解：029)1(||1211≥-=⋅-+=⋅→→→→→nd a n a a a n 9≤⇒n ，=∴n 8或9时n S 最大.17.解 ⑴2)4tan(=+A π，31tan =∴A ………..2分521tan 2tan 2cos 2sin 2sin 2=+=+∴A A A A A ………..6分 ⑵31tan =A ，),0(π∈A ，1010sin =∴A ，10103cos =A ……….8分552)4sin()sin(sin =+=+=∴πA B A C ……….10分 92sin sin sin 2122==⋅==a simAC B a B ac S 3=∴a …………12分18.解：⑴A 类学生有20010040500=⨯（人）；B 类学生有300200500=-（人）……3分 ⑵①表一：组号 分组 频数 频率 1 [55,60) 5 0.05 2 [60,65) 20 0.20 3 [65,70) 25 0.25 4 [70,75) 35 0.35 5 [75,80) 10 0.10 65 0.05 合计1001.00…………6分 图二：………9分19.解⑴ABCD 是正方形，AC BD ⊥∴⊥EA 平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，EA BD ⊥∴ EA 、⊂AC 平面EACF ，A AC EA =⋂⊥∴BD 平面EACF ，又⊂EF 平面EACFBD EF ⊥∴ …………6分⑵423122=⨯⨯⨯==-BDS V V ACEF ACEF B ABCDEF …………12分20.解 ⑴b b xx x g +≥++=222)( )0(>x ，b x g +=∴22)(min )(x g ∴在),0(+∞上没零点022)(min >+=⇔b x g 22->⇔b),22(+∞-∈∴b …………5分⑵x x f t et 2)(4ln -≤-- 3ln 23++≤-⇔bx x t et 设t et t h ln )(-=，]2,1[∈t 01)(≥-='te t h 对]2,1[∈t 恒成立 )(t h ∴在]2,1[∈t 上单调递增 e h t h =≥∴)1()(323++≤∴bx x e 对]2,1[∈x 恒成立)3(2xex b -+-≥∴对]2,1[∈x 恒成立 设)3()(2x ex x m -+-=，]2,1[∈x 025261)(3<-≤-+-='e xex m ，)(x m ∴在]2,1[∈x 递减 4)1()(-=≤∴e M x m4-≥∴e b ，即),4[+∞-∈e b …………12分21.解：⑴2=a ，c b =，2==∴c b∴椭圆方程为12422=+y x …………3分 ⑵设),2(0y M ，),(11y x P ，)0,2(-C ，)0,2(D),(11y x OP =∴→，),2(0y OM =→，直线CM 的方程为)2(40+=x y y ⎪⎩⎪⎨⎧=++=42)2(4220y x x y y 03244)8(2020220=-+++⇒y x y x y （0>∆恒成立） 8324)2(20201+-=⋅-∴y y x 8)8(220201+--=⇒y y x ，88)2(4200101+=+=y y x y y )88,8)8(2(2002020++--=∴→y y y y OP 4888)8(420202020=+++--=⋅∴→→y y y y OP OM （为定值） ……… 8分 ⑶假设存在点)0,(m Q )2(-≠m 满足条件，则DP MQ ⊥),2(0y m MQ --=→ ，)88,84(2002020++-=→y y y y DP 0=⋅∴→→DP MQ 088)84)(2(20202020=+-++--⇒y y y y m 0=⇒m 故存在)0,0(Q 满足条件 ……… 12分22.解：⑴DAC EDC ∠=∠ ，DAB DAC ∠=∠，DCB DAB ∠=∠ DCB EDC ∠=∠∴DE BC //∴ ………… 5分 ⑵D 、E 、C 、F 四点共圆，CED CFA ∠=∠∴DE BC // ，CED ACF ∠=∠∴ACF CFA ∠=∠∴设x DAB DAC =∠=∠，又=，x BAC CBA 2=∠=∠∴x FAB FBA CFA 3=∠+∠=∠∴在等腰ACF ∆中，x CAF ACF CFA 7=∠+∠+∠=π，则7π=x722π==∠∴x BAC ………… 10分23.解：⑴⎩⎨⎧=+=ty t x 221 （t 为参数），1=-∴y x故直线的极坐标方程为1sin cos =-θρθρ，即22)4cos(=+πθρ…… 2分 θθθθρ22cos sin sin 1sin =-= θθρsin cos 2=⇒θρθρsin )cos (2=⇒ y x =∴2故曲线C 的普通方程为2x y = ……… 5分 ⑵设),(200x x P ，则P 到直线l 的距离243)21(2|1|2020+-=--=x x x d 823min =∴d ，此时)41,21(P ……… 10分 24.解：⑴9|4||3|)4()(≥++-⇔≥x x f x f⎩⎨⎧≥---≤⇔9124x x 或⎩⎨⎧≥<<-9734x 或⎩⎨⎧≥+≥9123x x 5-≤⇔x 或4≥x ∴不等式的解集为),4[]5,(+∞⋃--∞ ……… 5分 ⑵由数形结合得]2,1(-∈k ……… 10分。
湖南省衡阳市2016届高三第三次联考(三模)数学(理)试题(含答案)-精编
理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则12iz i=-在复平面内的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.若01cos(75)3α+=，则0cos(302)α-的值为（ ）A ．9 B ．9- C ．79 D ．79- 3.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数大约为（ ）A ．1193B ．1359C ．2718D ．3413 附：若X ～2(,)N μσ，()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.4.有下列三个结论：①命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”；②“1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件； ③命题“角α的终边在第一象限，则α为锐角”的逆否命题为真命题； 其中正确结论的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5.某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示，由表可得回归直线^^^y b x a =+中的4b =-，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（ ） 16 17 18 19 y50344131A ．23个B ．25个C ．27个D ．29个 6.将()sin 2f x x =的图象右移(0)2πϕϕ<<个单位后得到()g x 的图象，若对于满足12|()()|2f x g x -=的12,x x 有12||x x -的最小值为3π，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 7.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的3N =，则输出的i 等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．98.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ） A ．143 B ．4 C ．103D ．39.双曲线:M 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为12,F F ，抛物线2:2(0)N y px p =>的焦点为2F ，点P 为双曲线M 与抛物线N 的一个交点，若线段1PF 的中点在y 轴上，则该双曲线的离心率为（ ）A 1B 1C ．12 D ．1210.将4名大学生分配到,,A B C 三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案共有（ ） A ．36种 B ．30种 C ．24种 D ．20种11.设,M N 为抛物线2:2(0)C y px p =>上任意两点，点E 的坐标为(,0)(0)λλ-≥，若EM EN ∙的最小值为0，则λ等于（ ）A ．2pB ．pC ．2pD ．0 12.已知()||xf x x e =∙，又2()()()()g x f x tf x t R =+∈，若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围为（ ）A ．21(,)e e +-∞-B ．21(,)e e ++∞C ．21(,2)e e +--D ．21(2,)e e+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，||||AB AC AB AC +=-，2,1AB AC ==，,E F 为BC 边的两个三等分点，则AE AF ∙= .14.已知(2,1),(0,0)A O ，点(,)M x y 满足12222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则Z OA AM =∙的最大值为 .15.已知,,,P A B C 为球O 球面上四点，其中ABC ∆为正三角形，三棱锥P ABC -的体积，且30APO BPO CPO ∠=∠=∠=，则球O 的表面积为 . 16.若函数2()ln()f x x x a =++与21()(0)2x g x x e x =+-<的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分） 设函数21()(0)3f x x x=+>，数列{}n a 满足1111,()n n a a f a -==，其中*n N ∈，且2n ≥. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）对*n N ∈，设12233411111n n n S a a a a a a a a +=++++，若34n tS n≥恒成立，求实数t 的取值范围.18. （本小题满分12分）某校为了解一个英语教改班的情况，举行了一次测试，将该班60位学生的英语成绩进行统计，得频率分布直方图如图，其中成绩分组区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求出该班英语成绩的众数和平均数；（2）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[50,60)的记1绩点分，在[60,80)的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，SD ⊥面ABCD ，点,E F 分别为,AB SC 的中点.（1）求证：//EF 平面SAD ；（2）设2SD DA =，求二面角A EF D --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点F重合，且点F 到直线10x y -+=，1C 与2C 的公共弦长为. （1）求椭圆1C 的方程及点F 的坐标；（2）过点F 的直线l 与1C 交于,A B 两点，与2C 交于,C D 两点，求11||||AB CD +的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数32()()f x x x x R =-+∈，()g x 满足'()(,0)ag x a R x x=∈>，且()g e a =，其中e 为自然对数的底数. （1）已知1()()xh x ef x -=∙，求()h x 在(1,(1))h 处的切线方程；（2）设函数(),1()(),1f x x F x g x x <⎧=⎨≥⎩，O 为坐标原点，若对于()y F x =在1x ≤-时的图象上的任一点P ，在曲线()y F x =()x R ∈上，总存在一点Q ，使得0OP OQ ∙<，且PQ 的中点在y 轴上，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点作圆O 的两条切线,EA EB ，其中,A B 为切点，BC 为圆O 的一条直径，连CA 并延长交BE 的延长线于D 点. （1）证明：BE ED =；（2）若3AD AC =，求:AE AC 的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，)2A π，(3,)3B π，圆C 的方程为2cos ρθ=. （1）求在平面直角坐标系xoy 中圆C 的标准方程； （2）已知P 为圆C 上的动点，求ABP ∆面积的最大值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|||21|f x x x =--，记()1f x >-的解集为M . （1）求M ；（2）已知a M ∈，比较21a a -+与1a的大小.答案与解析1.B 525)21(ii i Z +-=+=2.C 31)15sin()75cos(=-︒=+︒αα 979121)15(sin 21)230cos(2=⨯-=-︒-=-︒∴αα 3.B 1,1=-=σμ 1359.026826.09544.0=-=∴s 1359.0=∴μ4.B 只有①对5.D 由39,5.17==y x 代入方程可知a=109，∴当20=x 时，29109204=+⨯-=y6.B由图可知，6323434πφπφπππφπ=⇒=-⇒=-+7.C →=→=→=→=→=→=→=→=8416352103n i n i n i n n 8172645=→=→=→=→=→=→=i n i n i n i 8.B 如图，所求几何体的体积为42=正方体V9.B 如图，由题意可知：∴=,2pc 抛物线方程为12.4PF cx y =的中点在y 轴上，c x p =∴，带入抛物线方程可得c y p 2±=，又点P 在双曲线上，12)21(22314222222+=⇒+=+=⇒=-∴e e b c a c10.C ①：甲单独一人，则12222312=⋅⋅A C C ，②：甲与另一人一起，则：12221213=⋅⋅A C C 11.C 由图可知，0)(min =⋅EN EM ∴图中此时的︒=∠90MEN 故此时EM 与抛物线相切，且1=EM k12.A 012=++tx x 一根在)1,0(e 中间，一根在),1(+∞e ，0)1(<∴ey即：01112<+⋅+e t e ，1112--<⋅∴ee t ，e e e e t 112+-=--<∴13.91014.1 52-+=⋅=y x OA Z ，如图，15222max =-+⨯=Z15.π16 令BC=a ，则a AH 33=，又AHPΔ中，︒=∠30APH ，a a PH =⋅=∴333，4391232321313==⨯⨯⨯=∴-a a a a V ABC P 3=⇒a 从而，3PH 3==，AH ，令球O 的半径为R ，则在O ΔAH 中可知：2)3()3(222=⇒=-+R R R ，πR πS 1642==∴球表面积16.),(e -∞ 令)0)(,(000<x y x P 为)(x g 图象上满足条件的对称点，则),-('00y x P 在)(x f 的图象上，210200-+=∴xe x y ，)ln(0200a x x y +-+=，∴方程)0,()ln(21-∞+-=-在a x e x 上有解，)21,21(21)0,(-∈--∞∈x e x 时， ，且函数)ln()(a x x +-=ϕ为定义域上的减函数，又当+∞→+--∞→)ln(,a x x 时，e a a <<<∴,21ln ,21)0(即只需ϕ17.解：(1)由11()n n a f a -=可得，123n n a a --=，n *∈N ，2n ≥. 所以{}n a 是等差数列， 因为11a =，所以2211(1)33n n a n +=+-⋅=，n *∈N . …4分 (2)因为213n n a +=，所以1233n n a ++=， 所以119911()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++. 122334111119113()232323n n n nS a a a a a a a a n n +=++++=-=++. …8分 34n t S n ≥恒成立等价于33234n t n n ≥+，即2423n t n ≤+恒成立．…9分令24()(0)23x g x x x =>+，则 28(3)()0(23)x x g x x +'=>+，18.解：（1）由频率分布直方图可知：众数为85；24610855657585953030303030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1(5526547568510958)30=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 81=∴该班学生英语成绩的平均数为81.（2）依题意，成绩在[50,60)的学生数为230(10)2300⨯⨯=， 成绩在[60,80)的学生数为4630(1010)10300300⨯⨯+⨯=， ∴成绩低于80分的学生总人数为12， ∴ξ可取的值为2,3,4，222121(2)66C P C ξ===， 1121021220(3)66C C P C ξ===， 21021245(4)66C P C ξ===， ∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望1204511()2346666663E ξ=⨯+⨯+⨯=. 19.（解法一）（1）证明：如图1，取SD 的中点G ，连接,GF GA ， 因为,G F 分别是,SD SC 的中点，所以//GF DC ，且12GF DC =. 又底面ABCD 为正方形，且E 是AB 的中点，所以//AE DC ，且12AE DC =. 于是//AE GF ，且AE GF =，所以AEFG 是平行四边形，所以//EF AG . 又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ，故//EF 平面SAD . （2）如图2，取,AG EF 的中点分别为,M N ，连接,,DM MN DN .因22SD DA DG ==，得DA DG =，又M 是AG 的中点，所以DM AG ⊥.又因为SD ⊥平面ABCD ，所以SD AB ⊥，由底面ABCD 为正方形，可得AB AD ⊥， 而SDAD D =，所以AB ⊥平面SAD ，又,M N 分别为,AG EF 的中点，则//MN AB ，所以MN ⊥平面SAD ，又AG ⊂平面SAD ，则MN AG ⊥. 由于DMMN M =，所以AG ⊥平面MND .又由（1）知，//EF AG ，故EF ⊥平面MND . 因此MND ∠是二面角A EF D --的平面角.设2DA =，由22SD DA DG ==，得2,DG DM ==112MN AB ==，又MN ⊥平面SAD ，DM ⊂平面SAD ，得MN DM ⊥，所以DN =从而cos 3MN MND DN ∠==，故所求二面角A EF D --的余弦值为3. （解法二）以D 为原点，射线,,DA DC DS 分别为,,x y z 的正半轴建立空间直角坐标系， （1）设2,2AB a SD b ==，则(2,,0),(0,0,2),(0,2,0)E a a S b C a ，所以(0,,)F a b ，(2,0,),(0,2,0)EF a b DC a =-=，于是(0,2,0)(2,0,)0EF DC a a b ∙=∙-=.则EF DC ⊥，又DC 是平面SAD 的一个法向量，所以//EF 平面SAD .（2）设2DC =，有24SD DC ==，则(0,0,0),D A B C S，(2,1,0),(0,1,2)E F ，则(2,1,0)DE =，(0,1,2)DF =，(0,1,0)AE =，(2,0,2)EF =-，设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则n DEn DF⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，所以2020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取(1,2,1)n =-.同理可得面AEF 的一个法向量为(1,0,1)m =，所以cos ||3||||2nm n m θ∙===∙⨯. 故所求二面角A EF D --的余弦值为3. 20. （1）∵22:2C y px=的焦点F 的坐标为(,0)2p. 由点F 到直线10x y -+=|1|p +=. ∵0p >，解得2p =， 又(1,0)F 为椭圆的一个焦点， ∴221a b -=①∵1C 与2C 的公共弦长为1C 与2C 都关于x 轴对称，而2C 的方程为24y x =，从而1C 与2C的公共点的坐标为3(,2，∴229614a b +=② 联立①②解得229,8a b ==，∴1C 的方程为22198x y +=，点F 的坐标为(1,0). （2）当l 过点F 且垂直于x 轴时，l 的方程为1x =，代入22198x y +=，求得83y =±， ∴16||3AB =，把1x =代入22:4C y x =求得2y =±. ∴||4CD =， 此时，11317||||16416AB CD +=+=， 当l 与x 轴不垂直时，要使l 与2C 有两个交点，可设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 此时设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y把直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立得22(1)198y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简得2222(89)189720k x k x k +-+-=，可得21221889k x x k +=+，212297289k x x k-=+，213664(1)0k ∆=⨯+>，∴||AB =2248(1)89k k+==+ 把直线l 的方程与抛物线2C 的方程联立得24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 化简得2222(24)0k x k x k -++=，可得234224k x x k++=，2216(1)0k ∆=+>，∴223422244(1)||22k k CD x x k k ++=++=+=， ∴22221189||||48(1)4(1)k k AB CD k k ++=+++ 222222891221871348(1)48(1)1648(1)k k k k k k +++===-+++∵20k >，∴211k +>， ∴2131304848(1)k -<-<+， ∴1117(,)||||616AB CD +∈， 综上可得11||||AB CD +的取值范围是17(,]616. 21、解：（1）321()()xh x x x e -=-+，321()(42)xh x x x x e-'=-+，(1)0h ∴=，(1)1h '=-。
2020年衡阳市高三三模理科数学试题及答案
I的延长线于O点
(1)证明/—£6
(2)若初・3祀・求4£：*C的值23・(本小題満分10分)【选修4-4：坐标系与参数方程透讲】
在平面直角坐标系呵中•以坐标匣点为圾点/釉的正半轴为极釉建立极坐标系•已知在 极燮标系中,4(3屈子)上(3,于)，［»0的方程为p-2ca^
姓 名
准考证号
2016届高中毕业班联考（三）
理科数学
注意事項：
1.本试卷分第I卷（选择題）和第口卷（非选择题）卿部分。时*120分钟.涣分150分。
2.答卷前.考生务必将自己的姓名、准考证号填写庄答題卡相应位Sto
3・全部答秦在答題卡上完成.答在本试題左上无效。
4.考试结束丘.将本试临卷和答越卡一并交回。
(1)求在平面直角坐标系妙中画C的标准方程；
(2)已知P为08C上的动点•求LABP面积的用大值・
24.(本小题满分10分)【选修4-5：不等式选讲】 巳知函数心)=1x1 -IZx-ll•记/U)>・1的解集为M⑴求M；耳'：
(2)已知o e M.比较d♦1与丄的大小.
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一联考(三)敎学试昙(理料)第4頁(扶4賈)一
(1)求Ift圆G的方程及点F的坐标；
(2)过点F的直线 < 与G交于* "两点，与G交TC.D两点.求需♦嗇的取值范围•
21.(本小题清分12分)已知函散/("・・/"'("町川“満足$("・£■(<•««*>
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0)•且&(e)二叭其中e为自於对数的底数
湖南省六校联考高三数学模拟试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某省六校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞）B．[1，3] C．（3，5] D．[3，5]2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜32？B．k＜65？C．k＜64？D．k＜31？4．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanxC． D．y=sin2x+cos2x5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．156．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．7．若的展开式中的常数项为a，则的值为（）A．6 B．20 C．8 D．248．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．1 B．C．2 D．9．已知数列{a n}的通项公式a n=5﹣n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值X围是（）A．λ≥2B．λ＞3 C．λ≥3D．λ＞210．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（）A．B．C．若⊥，则S min与||无关D．S有5个不同的值11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c 为三边长的三角形，则实数p的取值X围是（）A．（1，3）B．（1，2] C．D．以上均不正确12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数，则|z|=．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为．15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0相交于A （x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x+y=x+y，则b=．16．给出下列命题：（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；（2）若∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，且函数f（x）在R上递增，则f（x）+g（x）在R上也递增；（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）=，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为；（4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）30 18[30，40）36 24[40，50）12 9[50，60] 4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．20．已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k （k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）设，对任意x＞0，证明：（x+1）g（x）＜e x+e x﹣2．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，某某数m的值．24．函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩∁R A）时，证明： |．2016年某某省六校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞）B．[1，3] C．（3，5] D．[3，5]【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A、B，从而求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣6x+5≤0}={x|1≤x≤5}，B={x|y=}={x|x≥3}，∴A∩B=[3，5]，故选：D．2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，而x，y都是偶数的否定应为x与y不都是偶数．【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”故选C3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜32？B．k＜65？C．k＜64？D．k＜31？【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=6，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k 第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78 8第七次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78•log89 9…第61次循环 log23•log34•log45•log56•…•log6263 63第62次循环 log23•log34•log45•log56••…•lo g6263•log6364=log264=6 64故如果输出S=6，那么只能进行62次循环，故判断框内应填入的条件是k＜64．故选：C．4．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanxC． D．y=sin2x+cos2x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对选项中函数的单调性进行分析、判定即可．【解答】解：对于A，y=2cos2x﹣1=cos2x，在上是先减后增，不满足题意；对于B，y=﹣tanx，在（，）和（，）上都是增函数，不满足题意；对于C，y=cos（2x﹣）=sin2x，在上为减函数，满足题意；对于D，y=sin2x+cos2x=sin（2x+），在上先减后增，不满足题意．故选：C．5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．15【考点】系统抽样方法．【分析】由题意可得抽到的构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数．【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求解几何体的条件即可得出答案．【解答】解：由三视图判断几何体是底面半径为1，高为6 的圆柱被截掉分开，相等的2 部分，∴V=π×12×6=3π，故选：C7．若的展开式中的常数项为a，则的值为（）A．6 B．20 C．8 D．24【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理求得a=2，再求定积分求得要求式子的结果．【解答】解：根据=（2+x+x2）•（1﹣+﹣）=2﹣+﹣+x﹣3+﹣+x2﹣3x+3﹣，故展开式中的常数项为a=2﹣3+3=2，则=•（3x2﹣1）dx=（x3﹣x）=8﹣2=6，故选：A．8．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．1 B．C．2 D．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作图象，从而结合图象可知2m≤1，从而解得．【解答】解：由题意作图象如下，，结合图象可知，函数y=2x图象与y=3﹣x的交点A（1，2），则2m≤1，故m≤；故选：D．9．已知数列{a n}的通项公式a n=5﹣n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值X围是（）A．λ≥2B．λ＞3 C．λ≥3D．λ＞2【考点】数列的求和．【分析】通过a n=5﹣n可求出T n=8（1﹣）、S n=，利用4≤T n＜8及S n≤10，结合题意可知10＜8+λ，进而计算可得结论．【解答】解：∵a n=5﹣n，∴a1=4，a2=3，a3=2，a4=1，则b1=a1=4，b2=a3=2，b3=a4=1，∴数列{b n}是首项为4、公比为的等比数列，∴T n==8（1﹣），∴4≤T n＜8，又∵S n==，∴当n=4或n=5时，S n取最大值10，∵存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，∴10＜8+λ，即λ＞2，故选：D．10．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（）A．B．C．若⊥，则S min与||无关D．S有5个不同的值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】依题意，可求得S有三种结果，，，，可判断①错误；进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=≥=，即S中最小为S3，再对A、B、C逐一分析得答案．【解答】解：∵x i，y i（i=1，2，3，4，5）均由2个a和3个b排列而成，∴S可能情况有以下三种：，，，故D错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=≥=，∴S中最小为S3，若，则S min=S3=，∴A，B错误；若⊥，则S min=，与无关，与有关，故C正确．故选：C．11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c 为三边长的三角形，则实数p的取值X围是（）A．（1，3）B．（1，2] C．D．以上均不正确【考点】基本不等式；简单线性规划．【分析】由基本不等式可得a≥，c≥2，再由三角形任意两边之和大于第三边可得， +2＞，且+＞2，且+2＞，由此求得实数p的取值X围．【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得 1＜p＜3，故实数p的取值X围是（1，3），故选：A．12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．f′（t）=+1+t﹣=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值=++﹣2ln=2+1﹣ln2．∴=．∴=．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数，则|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数==i﹣1，则|z|==，故答案为：．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为4或．【考点】余弦定理；三角形中的几何计算．【分析】利用三角形的面积公式，求出，可得cosC=±，利用余弦定理可求AB的长．【解答】解：∵BC=，AC=2，△ABC的面积为4，∴4=，∴，∴cosC=±，∴AB2==16，∴AB=4；或AB2==32，∴AB=．∴AB的长为4或．故答案为：4或15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0相交于A （x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x+y=x+y，则b=．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把点A、B的坐标分别代人圆O1，化简得2（x1﹣x2）=y1﹣y2；再把点A、B的坐标代人圆O2，整理得b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）；由以上两式联立即可求出b的值．【解答】解：根据题意，把点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代人圆O1，得；+﹣4x1+2y1+5﹣a2=0①，+﹣4x2+2y2+5﹣a2=0②，①﹣②并化简得，2（x1﹣x2）=y1﹣y2③；同理，把点A、B的坐标代人圆O2，整理得，b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）④；把③代人④，化简得2b=﹣（b﹣5），解得b=．故答案为：．16．给出下列命题：（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；（2）若∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，且函数f（x）在R上递增，则f（x）+g（x）在R上也递增；（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）=，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为；（4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为（1）、（2）、（4）．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）利用|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，设x2=﹣x1，|f（x1）+f （﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，根据f（x）是奇函数，即可得出结论；（2）利用函数单调性的定义，即可得出结论；（3）分0＜a＜1和a＞1时加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在[0，2]上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于a的方程，求出满足条件的实数a的值；（4）对k的值分类讨论，将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．【解答】解：对于（1），∵|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，令x2=﹣x1，则|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，∵f（x）是奇函数，∴|f（x1）﹣f（x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，∴g（x1）+g（﹣x1）=0，∴g（﹣x1）=﹣g（x1），∴g（x）是奇函数，（1）正确；对于（2），设x1＜x2，∵f（x）是R上的增函数，∴f（x1）＜f（x2），∵|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，∴f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）=f（x1）﹣f（x2）+g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）＜0，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在R上是增函数，（2）正确；对于（3），①当a＞1时，函数f（x）=在[0，2]上的最大值为f（1）=a，最小值为f（0）=1或f（2）=a﹣2；当a﹣1=时，解得a=，此时f（2）=＞1，满足题意，当a﹣（a﹣2）=0时，2=0不满足题意，∴a=；②当0＜a＜1时，在[0，1]上，f（x）=a x是减函数；在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是减函数，∵f（0）=a0=1＞﹣1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=﹣2+a，因此，﹣2+a+=1，解得a=∈（0，1）符合题意；综上，实数a的取值集合为{， }，（3）错误；对于（4），关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化为（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x≥1或x≤﹣1）（Ⅰ）或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（Ⅱ）①当k=时，方程（Ⅰ）有两个不同的实根±，方程（Ⅱ）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根；②当k=0时，原方程恰有5个不同的实根；③当k=时，方程（Ⅰ）的解为±，±，方程（Ⅱ）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根；④当k=﹣2时，方程化为（|x2﹣1|+1）（|x2﹣1|﹣2）=0，解得|x2﹣1|=2或|x2﹣1|=﹣1（不合题意，舍去）；所以x2﹣1=±2，解得x2﹣1=2，即x=±，方程有2个实数根；所以存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个，命题（4）正确；综上，正确的命题是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）（2）、（4）．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【分析】（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0若取a1=0，则S n=0，a n=S n﹣S n﹣1=0∴a n=0（n≥1）若a1≠0，则，当n≥2时，2a n=，两式相减可得，2a n﹣2a n﹣1=a n∴a n=2a n﹣1，从而可得数列{a n}是等比数列∴a n=a1•2n﹣1==综上可得，当a1=0时，a n=0，当a1≠0时，（II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大18．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）证明：取BC的中点为M，连接FM，则可证AM⊥平面BCD，四边形AEFM为平行四边形，所以EF∥AM，所以EF⊥平面DBC；…（2）解：取AB的中点O，连结OC，OD，则OC⊥平面ABD，∠CDO即是CD与平面ABDE所成角，，设AB=x，则有，得AB=2，取DE的中点为G，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OG为z轴，建立如图空间直角坐标系，则，由（1）知：BF⊥平面DEC，又取平面DEC的一个法向量=（，﹣1，2），设平面BCE的一个法向量=（1，y，z），由，由此得平面BCE的一个法向量=（1，，2），则cos＜，＞====所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为…19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）30 18[30，40）36 24[40，50）12 9[50，60] 4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图能求出从年龄段[20，30）抽取的人数．（2）由频率分布直方图能求出全校教师的平均年龄．（3）由题设知X的可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，0.35×40=14．…（2）由频率分布直方图得：全校教师的平均年龄为：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35．…（3）∵在年龄段[20，30）内的教师人数为120×0.35=42（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为，…∵在年龄段[30，40）内的教师人数为120×0.4=48（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为…由题设知X的可能取值为0，1，2．∴，，…∴X的概率分布为X 0 1 2PX的数学期望为…20．已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k （k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和点满足直线方程，由向量的数量积的坐标表示，化简即可得到所求值；（2）求得切线的斜率和切线的方程，运用弦长公式，可得|AB|，|CD|，求得四边形ABCD 的面积，运用对勾函数的性质，解方程可得k的值．【解答】解：（1）设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程，得x2﹣2pkx﹣p2=0，则x1+x2=2pk，x1x2=﹣p2，可得=x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+（kx1+）（kx2+）=（1+k2）x1x2++（x1+x2）=（1+k2）（﹣p2）++•2pk=﹣p2；（2）由x2=2py，知，可得曲线在A，B两点处的切线的斜率分别为，即有AM的方程为，BM的方程为，解得交点，则，知直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|=•=•=2p（1+k2），用代k得，，四边形ACBD的面积，依题意，得的最小值为，根据的图象和性质得，k2=3或，即或．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）设，对任意x＞0，证明：（x+1）g（x）＜e x+e x﹣2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证成立，从而证明，设F（x）=1﹣xlnx﹣x，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）因为，由已知得，∴．所以，…设，则，在（0，+∞）上恒成立，即k（x）在（0，+∞）上是减函数，由k（1）=0知，当0＜x＜1时k（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时k（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）…（2）因为x＞0，要证原式成立即证成立，现证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2恒成立，当x≥1时，由（1）知g（x）≤0＜1+e﹣2成立；当0＜x＜1时，e x＞1，且由（1）知g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F′（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F′（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2，即0＜x＜1时，g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．①…令G（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），则G'（x）=e x﹣1＞0恒成立，所以G（x）在（0，+∞）上递增，G（x）＞G（0）=0恒成立，即e x＞x+1＞0，即．②当x≥1时，有：；当0＜x＜1时，由①②式，，综上所述，x＞0时，成立，故原不等式成立…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AD，BC，证明A，D，E，F四点共圆，可得结论；（Ⅱ）证明△EFA∽△BCA，可得，所以AF×AB=AC×AE，从而可求AF的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接AD，BC．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，故A，D，E，F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，所以△EFA∽△BCA，所以所以AF×AB=AC×AE设AF=a，则AB=3﹣a，所以a（3﹣a）=，所以a2﹣2a+1=0，解得a=1所以AF的长为1．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，某某数m的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．24．函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩∁R A）时，证明： |．【考点】交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．【分析】（1）分类讨论x的X围，根据负数没有平方根，利用绝对值的代数意义求出x的X 围，即可确定出A；（2）求出B与A补集的交集，得到a、b满足的集合，把所证等式两边平方，利用作差法验证即可．【解答】（1）解：由题意得：|x+1|+|x+2|﹣5≥0，当x≤﹣2时，得x≤﹣4；当﹣2＜x＜﹣1时，无解；当x≥﹣1时，得x≥1，∴A={x|x≤﹣4或x≥1}；（2）证：∵B={x|﹣1＜x＜2}，∁R A={x|﹣4＜x＜1}，∴B∩∁R A={x|﹣1＜x＜1}，∴a、b∈{x|﹣1＜x＜1}，要证＜|1+|，只需证4（a+b）2＜（4+ab）2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=（b2﹣4）（4﹣a2），∵a、b∈{ x|﹣1＜x＜1}，∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴＜|1+|成立．。
湖南省衡阳三中高考数学预测密卷 理(含解析)
2016年湖南省衡阳三中高考数学预测密卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={y|y=2x﹣1}，集合B={x|y=}，全集U=R，则（∁R A）∩B为（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞） B．[1，3] C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．3．已知函数g（x）是定义在[a﹣15，2a]上的奇函数，且f（x）=，则fA．2 B．5 C．10 D．174．下列命题正确的个数为（）①命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”②若命题P：∀x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：∃x∈R，x2+x+1=0③若p∨q为真命题，则p，q均为真命题④“x＞3”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则抛物线的准线与双曲线的两交点为A，B，则|AB|的长为（）A．2 B．4 C．D．6．在等边△ABC中，边长为4，且2=， =，则•=（）A．﹣5 B．5 C．4 D．﹣87．已知函数f（x）=cos（x+）+2sin sin（x+），把函数f（x）的图象向右平移，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g（x），则函数g（x）的一条对称轴为（）A．x=B．x=C．x=D．x=8．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．8πB．12π C．24π D．32π9．已知a，b＞0，且满足a+4b=1， +的最小值为n，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项为（）A．B．﹣ C．D．10．已知变量x，y满足，若目标函数z=（1+a2）x+y的最大值为10，则实数a的值为（）A．±2 B．±1 C．±D．±311．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上下左右顶点分别为A，B，C，D，且左右的焦点为F1，F2，且以F1F2为直径的圆内切于菱形ABCD，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f（x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2） C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13．已知函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，f（﹣1）=0，则满足f（2x﹣1）＜0的x的取值范围为．14．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为63，则输入的x值为．15．已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边．若b•cosC+c•cosB=4a•cosB，b=4，则△ABC的面积的最大值为．16．已知函数f（x）=lg（x+），且对于任意的x∈（1，2]，f（）+f（）＞0恒成立，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知正项数列{a n}，其前n项的和为S n，且满足4S n=a n2+2a n+1，（1）求数列{a n}的通项公式与数列{}的前n项的和．（2）设数列{b n}满足b n=3n•a n，试求数列{b n}的前n项的和T n．18．某校高三学生有两部分组成，应届生与复读生共2000学生，期末考试数学成绩换算为100分的成绩如图所示，从高三的学生中，利用分层抽样，抽取100名学生的成绩绘制成频率分布直方图：（1）若抽取的学生中，应届生与复读生的比为9﹕1，确定高三应届生与复读生的人数；（2）计算此次数学成绩的平均分；（3）若抽取的[80，90），[90，100]的学生中，应届生与复读生的比例关系也是9﹕1，从抽取的[80，90），[90，100]两段的复读生中，选两人进行座谈，设抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望值．19．在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，DC=3，AB=2，AD=1，AE=EB，DF=1，现把它沿FE折起，得到如图所示几何体，连接DB，AB，DC，使DC=，（1）求证：面DBC⊥面DFB；（2）判断是否在DC上存在一点H，使二面角E﹣BH﹣C的余弦值为﹣，若存在，确定点H的位置，若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），过椭圆的上顶点与右顶点的直线l，与圆x2+y2=相切，且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合；（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．21．已知函数f（x）=﹣+alnx．（1）判断函数f（x）在定义域上的增减性；（2）若f'（x）﹣+2x≥﹣+在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）设函数g（x）=（+b）x2+cx（其中a，b，c为实常数），已知曲线h（x）=f（x）+g（x）在x=1处的切线与曲线m（x）=2x2+x﹣1在x=2处切线是同一条直线，且函数h（x）无极值点且h′（x）存在零点，求a，b，c的值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-1：几何证明选讲]22．已知AB为⊙O的直径，PH为切线，PE与⊙O交于C、E两点，且与直径AB交于点D，若PH=3，PC=3，DE=2，DB=2．（1）求圆O的面积；（2）试求线段BE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为，（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为（4，），直线l的倾斜角为，直线l过点M．（1），试写出直线l的极坐标方程，并试求曲线C上的点到直线l距离的最大值；（2）把曲线C上点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标扩大到原来的2倍，得到曲线C1，若过点E（1，0）与直线l平行的直线l′，交曲线C1于A，B两点，试求|EA|•|EB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+4|﹣|x﹣a|．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥10；（2）当a＞0时，f（x）≥a2﹣3恒成立，试求a的取值范围．2016年湖南省衡阳三中高考数学预测密卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={y|y=2x﹣1}，集合B={x|y=}，全集U=R，则（∁R A）∩B为（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞） B．[1，3] C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中的值域确定集合A，根据函数的定义域确定出B，根据全集U=R求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：∵y=2x﹣1＞﹣1，∴A=（﹣1，+∞），∴∁R A=（﹣∞，﹣1]，∵x2﹣4x+3≥0，即（x﹣1）（x﹣3）≥0，解得x≤1或x≥3，∴B=（﹣∞，1]∪[3，+∞），∴（∁R A）∩B=（﹣∞，﹣1]，故选D．2．已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）2z=1﹣i3，则|z|为（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）2z=1﹣i3，∴z=，∴|z|===．故选：C．3．已知函数g（x）是定义在[a﹣15，2a]上的奇函数，且f（x）=，则fA．2 B．5 C．10 D．17【考点】函数的值．【分析】函数g（x）为奇函数，满足a﹣15=﹣2a，解得a=5．再利用函数的周期性可得：f=f（﹣4）．【解答】解：函数g（x）为奇函数，满足a﹣15=﹣2a，解得a=5，x∈[﹣10，10]，可知f=f（1）=f（1﹣5）=f（﹣4）=17，故选：D．4．下列命题正确的个数为（）①命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”②若命题P：∀x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：∃x∈R，x2+x+1=0③若p∨q为真命题，则p，q均为真命题④“x＞3”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断，②根据命题的否定进行判断③根据复合命题真假关系进行判断④根据充分条件和必要条件的定义进行判断，⑤根据正弦定理进行判断．【解答】解：①命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”为正确的命题；故①正确，②若命题P：∀x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：∃x∈R，x2+x+1=0为正确的命题；故②正确，③若p∨q为真命题，可知p，q真命题至少一个为真命题，故可以一真一假，故③错误；④由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，则“x＞3”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故④正确；⑤在△ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB正确，故⑤正确．故选：D5．已知双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则抛物线的准线与双曲线的两交点为A，B，则|AB|的长为（）A．2 B．4 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程，利用待定系数法设出双曲线的方程，根据抛物线的焦点关系求出λ即可得到结论．【解答】解：由双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，可设双曲线的方程为，可知抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦点为（1，0），即c=1，则双曲线的方程为（λ＞0）．则a2=λ，b2=4λ，则满足c2=a2+b2，即λ+4λ=1，∴，双曲线的方程为，抛物线的准线为x=﹣1，当x=﹣1时，代入得y=±，即A（﹣1，﹣），B（﹣1，﹣），则|AB|=，故选：D6．在等边△ABC中，边长为4，且2=， =，则•=（）A．﹣5 B．5 C．4 D．﹣8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的数量积的运算即可求出答案．【解答】解：∵，∴•=（+）•（+AC）=•+•+•+=，故选：D．7．已知函数f（x）=cos（x+）+2sin sin（x+），把函数f（x）的图象向右平移，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g（x），则函数g（x）的一条对称轴为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得g（x）的一条对称轴．【解答】解：∵=cos（x+）cos+sin sin（x+）=cosx，把函数f（x）的图象向右平移，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，令x﹣=kπ，k∈Z，求得x=2kπ+，即对称轴的方程为x=2kπ+，当k=0时，对称轴的方程为x=2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得g（x）的一条对称轴为，故选：C．8．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．8πB．12π C．24π D．32π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为四棱锥，且是棱长为2的正方体的一部分，由正方体的性质求出外接球的半径平方，利用球的表面积公式求出该几何体的外接球表面积．【解答】解：由三视图知该几何体为四棱锥P﹣ABCD，直观图如图所示：则四棱锥P﹣ABCD是棱长为2的正方体的一部分，设外接球的半径为R，由正方体的性质得，（2R）2=22+22+22，∴4R2=12，∴该几何体的外接球表面积S=4πR2=12π，故选B．9．已知a，b＞0，且满足a+4b=1， +的最小值为n，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项为（）A．B．﹣ C．D．【考点】二项式系数的性质；基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质可得n=9，再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：，当且仅当a=4b时，取等号，的展开式的通项为，令，∴常数项为，故选：C．10．已知变量x，y满足，若目标函数z=（1+a2）x+y的最大值为10，则实数a的值为（）A．±2 B．±1 C．±D．±3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最值建立方程关系进行求解即可．【解答】解：作出可行域，把目标函数z=（1+a2）x+y，变形为y=﹣（1+a2）x+z，联立，解得，A（3，4），可知目标函数过点A时，取得最大值，可知10=（1+a2）×3+4，∴a=±1，故选：B．11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上下左右顶点分别为A，B，C，D，且左右的焦点为F1，F2，且以F1F2为直径的圆内切于菱形ABCD，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意写出菱形ABCD一边AD所在直线方程，由坐标原点O到AD的距离等于c列式求得关于e的方程，求解方程得答案．【解答】解：菱形ABCD一边AD所在直线方程为，即bx+ay﹣ab=0，由题意，坐标原点O到AD的距离d=，整理可得 c4﹣3a2c2+a4=0，即：e4﹣3e2+1=0，解得：，（舍去），∴椭圆的离心率e=．故选：D．12．设函数f（x）=x3+x2﹣3x，若方程|f（x）|2+t|f（x）|+1=0有12个不同的根，则实数t的取值范围为（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣∞，﹣2） C．﹣＜t＜﹣2 D．（﹣1，2）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性和极值，利用换元法设|f（x）|=m，转化为一元二次函数根的分布进行求解即可．【解答】解：，得x=﹣3，x=1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，即函数在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）单调递增，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，则函数在（﹣3，1）单调递减，则函数的极大值为f（﹣3）=9，函数的极小值为，根据函数的图象可知，设|f（x）|=m，可知m2+tm+1=0，原方程有12个不同的根，则m2+tm+1=0方程应在内有两个不同的根，设h（m）=m2+tm+1，则，所以取值的范围．故选：C二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13．已知函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，f（﹣1）=0，则满足f（2x﹣1）＜0的x的取值范围为（0，1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性、单调性，可得﹣1＜2x﹣1＜1，由此求得x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）为偶函数，故f（x）的图象关于y轴对称．∵f（x）在（0，+∞）单调递增，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．∵f（﹣1）=0，∴f（1）=0，故由f（2x﹣1）＜0，可得﹣1＜2x﹣1＜1，∴0＜x＜1，故答案为：（0，1）．14．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为63，则输入的x值为7 ．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x的值，当n=4时退出循环，可得8x+7=63，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：第一次循环：可知2x+1，n=2；第二次循环：2（2x+1）+1，n=3；第三次循环：2（4x+3）+1，n=4，退出循环，输出，可知8x+7=63，解得：x=7．故答案为：7．15．已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边．若b•cosC+c•cosB=4a•cosB，b=4，则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=4sinAcosB，又sinA≠0，从而可求cosB，进而可求sinB，利用余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：根据b•cosC+c•cosB=4a•cosB，可得sinBcosC+sinCcosB=4sinAcosB，∴sin（B+C）=sinA=4sinAcosB，又sinA≠0，∴，∵，∴，∴，当且仅当a=c时，等号成立，．故答案为：．16．已知函数f（x）=lg（x+），且对于任意的x∈（1，2]，f（）+f（）＞0恒成立，则m的取值范围是m＜0 ．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据条件可判断函数为奇函数，不等式可整理为m＜（x2﹣1）（6﹣x）恒成立，利用构造函数h（x）=（x2﹣1）（6﹣x），通过求导函数判断函数的单调性，得出函数的最小值．【解答】解：的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，显然在（0，+∞）上为单调递增函数，∴函数在R上也为递增函数，∵f（）+f（）＞0，即f（）＞﹣f（），∴f（）＞f（﹣），∴＞，∴m＜（x2﹣1）（6﹣x）恒成立，设h（x）=（x2﹣1）（6﹣x），h'（x）=﹣3x2+12x+1=﹣3（x﹣2）2+13，∴h'（x）＞0，函数递增，函数的最小值为h（1）=0，∴m＜0．故答案为m＜0．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知正项数列{a n}，其前n项的和为S n，且满足4S n=a n2+2a n+1，（1）求数列{a n}的通项公式与数列{}的前n项的和．（2）设数列{b n}满足b n=3n•a n，试求数列{b n}的前n项的和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推公式、等差数列的通项公式可得a n，再利用“裂项求和”方法即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）当n=1时，，∴，当n≥2时，与，两式相减可得，∴，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，即数列{a n}为等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）•d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴，设数列的前n项的和为，数列的前n项的和为．（2），上式同乘以3可得，两式相减可得可得．18．某校高三学生有两部分组成，应届生与复读生共2000学生，期末考试数学成绩换算为100分的成绩如图所示，从高三的学生中，利用分层抽样，抽取100名学生的成绩绘制成频率分布直方图：（1）若抽取的学生中，应届生与复读生的比为9﹕1，确定高三应届生与复读生的人数；（2）计算此次数学成绩的平均分；（3）若抽取的[80，90），[90，100]的学生中，应届生与复读生的比例关系也是9﹕1，从抽取的[80，90），[90，100]两段的复读生中，选两人进行座谈，设抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）因为抽取的应届生与复读生的比为9﹕1，求出应届生抽取90人，复读生抽取10人，由此能确定确定高三应届生与复读生的人数．（2）由频率分布图中小矩形面积之和为1，得a=0.04，由此能求出此次数学成绩的平均分．（3）根据频率分布直方图可知抽取的复读生的人数分别为2，3人抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，可知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与期望值．【解答】解：（1）∵抽取的应届生与复读生的比为9﹕1，∴应届生抽取90人，复读生抽取10人，应届生的人数为90×20=1800，复读生的人数为2000﹣1800=200．（2）10×（0.01+a+0.02+0.03）=1，∴a=0.04，平均分为10×（0.01×65+0.04×75+0.02×85+0.03×95）=82（3）根据频率分布直方图可知，抽取的[80，90），[90，100]的学生分别为100×0.2=20，100×0.3=30，抽取的复读生的人数分别为2，3人抽取的[80，90）的人数为随机变量ξ，可知ξ=0，1，2，可知，，，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2p∴．19．在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，DC=3，AB=2，AD=1，AE=EB，DF=1，现把它沿FE折起，得到如图所示几何体，连接DB，AB，DC，使DC=，（1）求证：面DBC⊥面DFB；（2）判断是否在DC上存在一点H，使二面角E﹣BH﹣C的余弦值为﹣，若存在，确定点H的位置，若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出DF⊥FC，DF⊥BC，BC⊥BF，从而BC⊥面BDF，由此能证明面DBC⊥面DFB．（2）分别以EF，FC，FD为x，y，z轴建立，空间直角坐标系F﹣xyz，利用向量法能求出当H为CD的中点时，二面角E﹣BH﹣C的余弦值为﹣．【解答】证明：（1）∵，∴DF2+FC2=DC2，∴DF⊥FC，又∵DF⊥EF，∴DF⊥面EBCF，DF⊥BC，在直角△EBF中，BE2+EF2=1+1=BF2，BC2=2，FC2=BF2+BC2，∴BC⊥BF，∴BC⊥面BDF，∵BC⊂平面BDC，∴面DBC⊥面DFB．解：（2）分别以EF，FC，FD为x，y，z轴建立，空间直角坐标系F﹣xyz，则E（1，0，0），D（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0），设，H（x，y，z），则（x，y﹣2，z）=λ（0，﹣2，1），（x，y﹣2，z）=λ（0，﹣2，1）∴H（0，2﹣2λ，λ），，设面EBH的法向量为=（x1，y1，z1），面BHC的法向量为=（x2，y2，z2），，取z1=1，得=（λ，0，1）．，取x2=1，得=（1，1，2），∵二面角E﹣BH﹣C的余弦值为﹣，∴，解得，∴当H为CD的中点时，二面角E﹣BH﹣C的余弦值为﹣．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），过椭圆的上顶点与右顶点的直线l，与圆x2+y2=相切，且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合；（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，求△OAB面积的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）写出过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程，由的到直线的距离得到关于a，b 的等式，由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆的半焦距长，结合隐含条件联立可得a，b 的值，则椭圆方程可求；（2）当两射线与坐标轴重合时，直接求出△OAB面积，不重合时，设直线AB方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，结合OA⊥OB得到k与m的关系，进一步由点到直线的距离得到O到AB的距离，再利用基本不等式求得AB的最小距离，代入三角形面积公式求得最小值．【解答】解：（1）过椭圆的上顶点与右顶点的直线l为，即bx+ay﹣ab=0，由直线与相切，得，①∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴c=1．即a2﹣b2=1，代入①得7a4﹣31a2+12=0，即（7a2﹣3）（a2﹣4）=0，得（舍去），∴b2=a2﹣1=3．故椭圆C的方程为；（2）当两射线与坐标轴重合时，；当两射线不与坐标轴重合时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆联立消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．．∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．即，把代入，得，整理得7m2=12（k2+1），∴O到直线AB的距离．∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2O A•OB，当且仅当OA=OB时取“=”号．由d•AB=OA•OB，得，∴，即弦AB的长度的最小值是．∴三角形的最小面积为．综上，△OAB面积的最小值为．21．已知函数f（x）=﹣+alnx．（1）判断函数f（x）在定义域上的增减性；（2）若f'（x）﹣+2x≥﹣+在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）设函数g（x）=（+b）x2+cx（其中a，b，c为实常数），已知曲线h（x）=f（x）+g（x）在x=1处的切线与曲线m（x）=2x2+x﹣1在x=2处切线是同一条直线，且函数h（x）无极值点且h′（x）存在零点，求a，b，c的值．【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数，令导函数大于零和小于零，通过对参数a分类讨论，得出函数的单调区间；（2）不等式可整理为恒成立，只需求出右式的最小值即可．（3）通过m'（x）=4x+1，求出切线方程y=9x﹣9；根据题意，得出，得出a，b，c的关系：，得出导函数，要使满足题意，则二次函数有等跟时成立，最后求出参数值．【解答】解：（1）由已知可得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以，令f'（x）＞0，解得，当a＞0时，，即，所以函数f（x）在（0，）内为增函数；当a＜0时，或，即，所以函数f（x）在（﹣，+∞）内为增函数；令f'（x）≤0，解得，当a＞0时，或，即，所以函数f（x）在内为减函数；当a＜0时，，即，所以函数f（x）在内为减函数；综上：当a＞0时，函数f（x）在（0，）内为增函数；在内为减函数；当a＜0时，函数f（x）在内为减函数；在（﹣，+∞）内为增函数；（2）根据题意可得，即，而，当且仅当即x=1时取得．根据题意，若f'（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，即是恒成立，所以，所以等价于，所以a＜0或，所以a的取值范围为a＜0或，．（3）由题意可得，m'（x）=4x+1，所以m'（2）=9，所以曲线m（x）=2x2+x﹣1在x=2处切线斜率是k=9，所以切线方程为y=9x﹣9；因为，所以，所以，化简，此时h（x）=﹣cx2+cx+（9+c）lnx，，因为函数h（x）无极值点且h'（x）存在零点，所以所以﹣2cx2+cx+9+c=0，所以△=c2+8c（9+c）=0，解得c=﹣8，所以b=8，a=1，故a=1，b=8，c=﹣8．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-1：几何证明选讲]22．已知AB为⊙O的直径，PH为切线，PE与⊙O交于C、E两点，且与直径AB交于点D，若PH=3，PC=3，DE=2，DB=2．（1）求圆O的面积；（2）试求线段BE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用切割线定理求出DC，根据相交弦的定理求出半径，即可求圆O的面积；（2）在△BDE中，根据余弦定理求线段BE的长．【解答】解：（1）PH为⊙O切线，PE为割线，可知PH2=PC•PE，∴，可知，根据相交弦的定理可知：CD•DE=AD•DB，设圆的半径为R，可知，∴R=5，S=πR2=25π．（2）设BE=x，连接AE，则△AEB为直角三角形，且，在△BDE中，根据余弦定理可得，可知可知，故．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为，（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为（4，），直线l的倾斜角为，直线l过点M．（1），试写出直线l的极坐标方程，并试求曲线C上的点到直线l距离的最大值；（2）把曲线C上点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标扩大到原来的2倍，得到曲线C1，若过点E（1，0）与直线l平行的直线l′，交曲线C1于A，B两点，试求|EA|•|EB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）M点的直角坐标为（0，4），可得直线l的方程为：，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为极坐标的方程．曲线C的参数方程为，利用cos2α+sin2α=1可得曲线C的普通方程．圆心到直线的距离d，可得曲线C到直线的距离的最大值为d+r．（2）直线l的倾斜角为，∴直线l′的参数方程为（t为参数），由，利用cos2α+sin2α=1可得曲线C1的普通方程．联立化简，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）M点的直角坐标为（0，4），∴直线l的方程为：，，化为极坐标的方程为．曲线C的参数方程为，可知曲线C的方程为x2+y2=1，圆心到直线的距离，∴曲线C到直线的距离的最大值为2+1=3．（2）直线l的倾斜角为，∴直线l′的参数方程为（t为参数），由，可得曲线C1的方程为：．联立可得=0，∴t1t2=﹣，故|EA||EB|=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+4|﹣|x﹣a|．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥10；（2）当a＞0时，f（x）≥a2﹣3恒成立，试求a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）把a=1代入函数解析式，由f（x）≥10得|2x+4|﹣|x﹣1|≥10．然后对x分类求解，最后取并集得答案；（2）写出a＞0时函数f（x）的分段解析式，根据函数的解析式可得，当x=﹣2时，函数取得最小值为f（﹣2）=2+a，由f（﹣2）=2+a≥a2﹣3求得a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）≥10，可以变为|2x+4|﹣|x﹣1|≥10；当x＜﹣2时，﹣（2x+4）+（x﹣1）≥10，即x≤﹣15；当﹣2≤x≤1时，，无解；当x＞1时，，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣15}；（2）当a＞0时，，根据函数的解析式可得，当x=﹣2时，函数取得最小值为f（﹣2）=2+a，可知f（﹣2）=2+a≥a2﹣3，解得．。
湖南省衡阳市高考数学三诊试卷(理科)
湖南省衡阳市高考数学三诊试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，则=（）A . NB . MC .D .2. （2分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5<S6,S6=S7>S8 ，则下列结论错误的是（）A . 和均为的最大值.B . ；C . 公差；D . ；3. （2分）(2016·枣庄模拟) 已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量 =（3，4），若⊥ ，则tan（α+ ）=（）A . 7B . -C . ﹣7D .5. （2分） (2017高一下·邢台期末) 设x，y满足约束条件，且目标函数z=ax+y仅在点（4，1）处取得最大值，则原点O到直线ax﹣y+17=0的距离d的取值范围是（）A . （4 ，17]B . （0，4 ）C . （，17]D . （0，）6. （2分） (2016高二下·安徽期中) 的二项展开式中，x2的系数是（）A . 70B . ﹣70C . 28D . ﹣287. （2分） (2015高三上·和平期末) 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为（）A . 5B . 7C . 9D . 118. （2分）已知则a,b,c的大小关系是（）A . a<b<cB . b<c<aC . c<b<aD . b<a<c9. （2分） (2017高一上·武汉期末) f（x）=Asin（ωx+ωπ）（A＞0，ω＞0）在上单调，则ω的最大值为（）A .B .C . 1D .10. （2分）如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）A . 1B .C .D .11. （2分）已知数列{an}满足a1a2a3…an=2 （n∈N*），且对任意n∈N*都有 + +…+ ＜t，则t的取值范围为（）A . （，+∞）B . [ ，+∞）C . （，+∞）D . [ ，+∞）12. （2分）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A . 对任意的，B . 当时，；当时，C . 对任意的，D . 当时，；当时，二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·南通模拟) 设复数z1=2+ai，z2=2﹣i（其中a＞0，i为虚数单位），若|z1|=|z2|，则a 的值为________．14. （1分） (2017高二上·新余期末) 随机写出两个小于1的正数x与y，它们与数1一起形成一个三元数组（x，y，1）．这样的三元数组正好是一个钝角三角形的三边的概率是________．15. （1分） (2015高一上·西安期末) 直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于________．16. （1分）已知函数f(x)＝－f′(0)ex＋2x，点P为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线l上的一点，点Q在曲线y＝ex上，则|PQ|的最小值为________．三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分） (2018高二上·济源月考) 在锐角中，内角的对边分别为 ,且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.18. （10分）(2017·凉山模拟) 2017年春晚分会场之一是凉山西昌，电视播出后，通过网络对凉山分会场的表演进行了调查．调查分三类人群进行，参加了网络调查的观众们的看法情况如下：观众对凉山分会场表演的看法非常好好中国人且非四川（人数比例）四川人（非凉山）（人数比例）凉山人（人数比例）（1）从这三类人群中各选一个人，求恰好有2人认为“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；（2）若在四川人（非凉山）群中按所持态度分层抽样，抽取9人，在这9人中任意选取3人，认为“非常好”的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19. （5分）(2017·榆林模拟) 如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，2AE=BD=2．（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；（Ⅱ）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．20. （5分） (2017高二上·成都期中) 如图，O为坐标原点，椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为e1；双曲线C2：﹣ =1的左、右焦点分别为F3 ， F4 ，离心率为e2 ，已知e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．21. （5分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．22. （10分） (2017高二下·宜昌期末) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l 上，（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．23. （5分）(2017·合肥模拟) 设函数f（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）；（Ⅱ）若实数a，b满足a﹣2b=2，求f（a+1）+f（2b﹣1）的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、21-1、22-1、22-2、23-1、。
湖南省衡阳市2016届高三数学第三次联考(三模)试题 文(扫描版)
数学(文科)参考答案及评分标准1.D 解：]2,0[=P ，23>=m ，故选D.2.B 解：i ii z z 21221+-=--=，故选B. 3.C 解：9=x ，4=y ，3.297.04-=⨯-=∴a ，故选C.4.B 解：12,18,12===n m r ；6,12,6===n m r ；0,6,0===n m r ，故选B.5.A 解：42πϕ=，8πϕ=∴，故选A.6.C 解：)0(4,22b a ab b a <<=-= 4,1==⇒b a ，5=+∴b a ，故选C.7.C 解：p 真q 假，)(q p ⌝∧∴为真，故选C.8.D 解：13-<<-a ，)43,32(ππα∈∴，故选D.9.B 解：πππ24391)3443343(22+=⨯-⋅⋅+⋅+⋅⋅ ，故选B.10.A 解：)(x f 为偶函数，),0()0,(+∞⋃-∞∈x ；当),0(π∈x 时0)(<x f ，故选A. 11.A 解：p ab c p ==2,2 ，21)),1((0122+=⇒+∞∈=--∴e e e e ，故选A. 12.D 解：))(())(())(()(313221x x x x x x x x x x x x x f --+--+--='0)2()(221<--='∴x x f λ，0)2()(232<--='x x f μ βμλα<<<∴，又)(x g 在R 上递增 )()()()(βμλαg g g g <<<∴，故选D.13.)3,3( 解：)3,3(2=+→→b a .14.n 2 解：)2(21≥=-=-n n S S a n n n ，又21=a ，n a n 2=∴.15.52 解：3122|1|≤≤-⇒≤-a a，52104==∴P . 16.8或9 解：029)1(||1211≥-=⋅-+=⋅→→→→→n d a n a a a n 9≤⇒n ，=∴n 8或9时n S 最大.17.解: ⑴2)4tan(=+A π，31tan =∴A ………..2分 521tan 2tan 2cos 2sin 2sin 2=+=+∴A A A A A ………..6分⑵31tan =A ，),0(π∈A ，1010sin =∴A ，10103cos =A (8)分552)4sin()sin(sin =+=+=∴πA B A C ……….10分92sin sin sin 2122==⋅==a simACB a B ac S 3=∴a …………12分18.解：⑴A 类学生有20010040500=⨯（人）；B 类学生有300200500=-（人）……3分 ⑵①表一：组号 分组 频数 频率 1 [55,60) 5 0.05 2[60,65)200.203 [65,70) 25 0.254 [70,75) 35 0.35 5 [75,80) 10 0.10 6[80,85] 5 0.05 合计1001.00 (6)分图二：………9分②79分以上的B 类学生共4人，记80分以上的三人分别是{1，2，3}，79分的学生为{a}.从中抽取2人，有：12，13，1a ，23，2a ，3a 共6种抽法； (10)分抽出的2人均在80分以上有：12，13，23共3种抽法． (11)分则抽到2人均在80分以上的概率为2163=. ……12分19.解:⑴ABCD 是正方形，AC BD ⊥∴⊥EA 平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，EA BD ⊥∴ EA 、⊂AC 平面EACF ，A AC EA =⋂⊥∴BD 平面EACF ，又⊂EF 平面EACFBD EF ⊥∴ (6)分⑵423122=⨯⨯⨯==-BD S V V ACEF ACEF B ABCDEF …………12分20.解: ⑴b b xx x g +≥++=222)( )0(>x ，b x g +=∴22)(min )(x g ∴在),0(+∞上没零点022)(min >+=⇔b x g 22->⇔b),22(+∞-∈∴b …………5分⑵x x f t et 2)(4ln -≤-- 3ln 23++≤-⇔bx x t et 设t et t h ln )(-=，]2,1[∈t 01)(≥-='te t h 对]2,1[∈t 恒成立)(t h ∴在]2,1[∈t 上单调递增 e h t h =≥∴)1()(323++≤∴bx x e 对]2,1[∈x 恒成立)3(2xex b -+-≥∴对]2,1[∈x 恒成立设)3()(2x ex x m -+-=，]2,1[∈x025261)(3<-≤-+-='e x ex m ，)(x m ∴在]2,1[∈x 递减4)1()(-=≤∴e M x m4-≥∴e b ，即),4[+∞-∈e b (12)分21.解：⑴2=a ，c b =，2==∴c b∴椭圆方程为12422=+y x …………3分⑵设),2(0y M ，),(11y x P ，)0,2(-C ，)0,2(D),(11y x OP =∴→，),2(0y OM =→，直线CM 的方程为)2(4+=x y y ⎪⎩⎪⎨⎧=++=42)2(4220y x x y y 03244)8(2020220=-+++⇒y x y x y （0>∆恒成立） 8324)2(20201+-=⋅-∴y y x 8)8(220201+--=⇒y y x ，88)2(4200101+=+=y y x y y )88,8)8(2(2002020++--=∴→y y y y OP 4888)8(420202020=+++--=⋅∴→→y y y y OP OM （为定值） ……… 8分⑶假设存在点)0,(m Q )2(-≠m 满足条件，则DP MQ ⊥),2(0y m MQ --=→，)88,84(2002020++-=→y yy y DP0=⋅∴→→DP MQ 088)84)(2(20202020=+-++--⇒y y y y m 0=⇒m故存在)0,0(Q 满足条件 (12)分22.解：⑴DAC EDC ∠=∠ ，DAB DAC ∠=∠，DCB DAB ∠=∠DCB EDC ∠=∠∴DE BC //∴ ………… 5分 ⑵D 、E 、C 、F 四点共圆，CED CFA ∠=∠∴ DE BC // ，CED ACF ∠=∠∴ACF CFA ∠=∠∴ 设x DAB DAC =∠=∠，又=，x BAC CBA 2=∠=∠∴x FAB FBA CFA 3=∠+∠=∠∴在等腰ACF ∆中，x CAF ACF CFA 7=∠+∠+∠=π，则7π=x722π==∠∴x BAC ………… 10分 23.解：⑴⎩⎨⎧=+=ty tx 221 （t 为参数），1=-∴y x故直线的极坐标方程为1sin cos =-θρθρ，即22)4cos(=+πθρ…… 2分 θθθθρ22cos sin sin 1sin =-=θθρsin cos 2=⇒θρθρsin )cos (2=⇒ y x =∴2故曲线C 的普通方程为2x y = ……… 5分⑵设),(200x x P ，则P 到直线l 的距离243)21(2|1|202+-=--=x x x d 823min =∴d ，此时)41,21(P ……… 10分24.解：⑴9|4||3|)4()(≥++-⇔≥x x f x f⎩⎨⎧≥---≤⇔9124x x 或⎩⎨⎧≥<<-9734x 或⎩⎨⎧≥+≥9123x x 5-≤⇔x 或4≥x∴不等式的解集为),4[]5,(+∞⋃--∞ ……… 5分⑵由数形结合得]2,1(-∈k ……… 10分。
湖南省衡阳市高考数学三模试卷(理科)
湖南省衡阳市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·正定期末) 若集合，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·大新模拟) 设为虚数单位，，则复数的模为（）A . 1B .C . 2D .3. （2分） (2017高二上·西华期中) 等比数列{an}中，若a2+a3=4，a4+a5=16，则a6+a7=（）A . 64B . ﹣64C . 32D . ﹣324. （2分） (2017高三上·廊坊期末) 执行下面的程序框图，则输出的k值为（）A . ﹣1B . 4C .D .5. （2分）(2017·九江模拟) 设随机变量ξ服从正态分布N（μ，7），若P（ξ＜2）=P（ξ＞4），则μ 与Dξ的值分别为（）A .B .C . μ=3，Dξ=7D .6. （2分）(2018·栖霞模拟) 在区间上随机地取一个实数，则方程有两个正根的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）已知底面边长为的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，若点P为底面A1B1C1的中心，则PA 与平面ABC所成角的大小为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·大连期中) 已知椭圆 =1的左、右焦点分别为F1、F2 ，点P在椭圆上，若P，F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A .B .C . 或D .9. （2分）函数y= 在（0，2）上的最小值是（）A .B .C .D . e10. （2分） (2016高二上·湖北期中) 在△OAB中，C为边AB上任意一点，D为OC上靠近O的一个三等分点，若=λ +μ ，则λ+μ的值为（）A .B .C .D . 111. （2分）(2017·桂林模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C . 4D . 712. （2分） (2019高一上·荆门期中) 已知函数满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2017·金山模拟) 点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是________．14. （1分）(2017·海淀模拟) （1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 ，则a3=________．15. （1分） (2015高二下·盐城期中) 已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若 =x，则x+y+z=________．16. （1分） (2016高三上·厦门期中) 已知正项等比数列{an}的前n项积为πn ，已知am﹣1•am+1=2am ，π2m﹣1=2048，则m=________三、解答题： (共7题；共75分)17. （10分）(2019高一上·利辛月考) 在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.18. （15分）(2018·株洲模拟) 某协会对两家服务机构进行满意度调查，在两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：，得到服务机构分数的频数分布表，服务机构分数的频率分布直方图：定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:（1）在抽样的1000人中，求对服务机构评价“满意度指数”为0的人数；（2）从在两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对服务机构评价的“满意度指数”比对服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由19. （10分）(2016·南通模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N 分别是棱PA，CD的中点．（1）求证：PC∥平面BMN；（2）求证：平面BMN⊥平面PAC．20. （10分）(2019·桂林模拟) 已知抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，设为坐标原点，，且 .（1）求的值；（2）若，，的面积成等比数列，求直线的方程.21. （10分）(2017·虎林模拟) 已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若对任意的a∈（1，），都存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，求实数m 的取值范围．22. （10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）判断曲线C1与曲线C2的位置关系；（2）设点M（x，y）为曲线C2上任意一点，求2x+y的最大值．23. （10分）(2020·鹤壁模拟) 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（ t 为参数），曲线的参数方程为（θ为参数）.（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当时，求曲线，的极坐标方程；（2）若曲线与曲线交于，两点（不重合），求的取值范围.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共75分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
湖南省高考数学模拟试卷(三)理(含解析)
2016年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4） B．（﹣3，4）C．（0，3） D．（3，4）3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，925．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当S n取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．27．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或 B．C．D．8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．10．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π12．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是（用数字作答）14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）= ．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．16．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．18．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X 的分布列和数学期望E（X）19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．21．已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．选修4-1几何证明选讲22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．选修4-4坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．2016年湖南省高考数学模拟试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件列式求得a值．【解答】解：由（2+ai）（a﹣2i）=8，得4a+（a2﹣4）i=8，∴，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4） B．（﹣3，4）C．（0，3） D．（3，4）【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】利用并集的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，∴“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，92【考点】茎叶图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数与平均数即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当S n取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式，可求得公差d=2，从而可得其前n项和为S n的表达式，配方即可求得答案．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣9，a2+a8=2a1+8d=﹣18+8d=﹣2，解得d=2，所以，S n=﹣9n+=n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25，故当n=5时，S n取得最小值，故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查其通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．2【考点】循环结构．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环k的值，当k=5时，大于4，计算输出S的值为，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：k=2，k=3，k=4，k=5，大于4，可得S=sin=，输出S的值为．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结果的程序框图，模拟执行程序正确得到k的值是解题的关键，属于基础题．7．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或 B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由已知中函数的图象，通过坐标（，0）代入解析式，结合φ求出φ值，得到答案．【解答】解：由已知中函数y=sin（2x+φ）（φ）的图象过（，0）点代入解析式，结合五点法作图，sin（+φ）=0， +φ=π+2kπ，k∈Z，∵φ，∴k=0，∴φ=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，特殊点是解答本题的关键．8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，分别计算正方体和四棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×=，故组合体的体积V=1﹣=，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考点】余弦定理；平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据三角形重心的性质得到，可得．由已知向量等式移项化简，可得=，根据平面向量基本定理得到，从而可得a=b=c，最后根据余弦定理加以计算，可得角A的大小．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D【点评】本题给出三角形中的向量等式，求角A的大小，着重考查了三角形重心的性质、平面向量基本定理和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．12．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M 坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合隐含条件求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|=|BM|，∠AMB=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，在Rt△BMN中，∵BM=AB=2a，∠MBN=60°，∴|BN|=a，，故点M的坐标为M（2a，），代入双曲线方程得a2=b2，即c2=2a2，∴．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是10 （用数字作答）【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；二项式定理．【分析】由展开式的通项公式T r+1==2﹣r，令=8，解得r即可得出．【解答】解：展开式的通项公式T r+1==2﹣r，令=8，解得r=2，∴（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）= ﹣．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；分类法．【分析】由函数f（x）=且f（a）=﹣3，求出a值，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴当a≤1时，2a﹣2﹣2=﹣3，无解；当a＞1时，﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，∴f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣2﹣2=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，方程思想，难度中档．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为 1 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x数形结合可得结论．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x可知，当直线经过点A（4，﹣1）时，目标函数取最大值，代值计算可得z的最大值为：2×4﹣3=1，故答案为：1．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．16．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（0，+∞）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数令g（x）=，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．【解答】解：由题意令g（x）=，则=，∵f（x）＞f′（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上是单调递减函数，∵y=f（x）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，g（0）=1，则不等式f（x）＜e x等价为＜1=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角形面积公式及余弦定理化简已知等式可得，解得：sinA+2cosA=2，又sin2A+cos2A=1，从而解方程组即可得解．（Ⅱ）由tanC=2，可得sinC，cosC的值，可得，从而由正弦定理即可解得．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由题意可得：，…所以解得：sinA+2cosA=2，又因为sin2A+cos2A=1，解方程组可得．…（Ⅱ）∵tanC=2，C为三角形的内角，∴易得，…∴…∴．…【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，同角三角函数关系式的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．18．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X 的分布列和数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，由此利用等可能事件概率计算公式能求出其中只有一个优秀成绩的概率．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，∴其中只有一个优秀成绩的概率p==．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=+=，P（X=3）==，∴X的分布列为：EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）①由已知得AD⊥平面APB，从而PB⊥AD，由此能证明平面PAD⊥平面PBC．②取PB中点M，连结RM，SM，由已知推导出平面PAD∥平面SMR，由此能证明RS∥平面PAD．（Ⅱ）由已知得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）①证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面APB，又PB⊂平面APB，∴PB⊥AD，∵PD⊥PB，AD∩PD=D，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC．②证明：取PB中点M，连结RM，SM，∵R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，∴SM∥CB∥AD，RM∥AP，又AD∩AP=A，∴平面PAD∥平面SMR，∵RS⊂平面SMR，∴RS∥平面PAD．（Ⅱ）解：由已知得，解得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（0，0，0），P（），D（0，﹣，1），C（0，，2），∴，， =（0，，2），设平面PDQ的法向量，则，取y=2，得，设平面PCQ的法向量，则，取b=4，得=（0，4，﹣3），设二面角C﹣PQ﹣D的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角C﹣PQ﹣D的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若0＜a＜2，当x∈（1，）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，f（x）≤f（1）=0，合题意．故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．当0＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），∴＜2（﹣1）．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键．21．已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），∴c=1，又b2=1，∴∴椭圆方程为： +x2=1．…（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx﹣1由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0∵直线l1与抛物线C2相切于点A．∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．…∵切点A在第一象限．∴k=1…∵l∥l1∴设直线l的方程为y=x+m由，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，…△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，解得．设B（x1，y1），C（x2，y2），则，．…又直线l交y轴于D（0，m）∴…=当，即时，．…所以，所求直线l的方程为．…【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．选修4-1几何证明选讲22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD是⊙O的切线．（Ⅱ）利用射影定理，求出AD，即可求∠AEB 的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△CO B和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（Ⅱ）解：设OA=1，AD=x，则AB=2，AE=x+3，由AB2=AD•AE得x（x+3）=4，∴x=1，∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及射影定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．选修4-4坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m ＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．。
湖南省四县(市区)2016届高三3月联考数学(理)试题 含解析
2016年湖南省四县（市区）高考数学一模试卷（理科)一.选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z=，则z﹣｜z｜对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．cos(﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣B．C．﹣D．3．下列命题中，真命题是（)A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件4．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线)的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2）,则P(μ﹣σ＜X≤μ+σ)=0。
6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ)=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．34135．若圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a，b）所作的切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．66．如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BFB．三棱锥A﹣BEF的体积为定值C．EF∥平面ABCDD．面直线AE、BF所成的角为定值7．如图，在△ABC中,设，,AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若,则m、n对应的值为(）A．B．C．D．8．函数f(x）=Asin(ωx+φ）（A＞0,ω＞0，｜φ｜＜）的图象如图所示,则f（0）等于（）A．B．C．D．9．已知集合A﹣{1，2，3,4，5,6，7，8，9）,在集合A中任取三个元素,分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a)，按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=219,则I（a）=129,D(a）=921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a,则输出b的值为（）A．792 B．693 C．594 D．49510．如图所示,使电路接通，开关不同的开闭方式共有（）A．11 B．12 C．20 D．2111．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点(如图），用过点A,E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为(）A．B．C．D．12．对于曲线C所在平面内的点O,若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C 上的任意两个不同点A、B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”,并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：y=,（其中e为自然对数的底数)，O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为()A．B．C．D．二。
湖南省衡阳市衡阳县2016届高三数学模拟试卷(理科)(4月份) 含解析
2016年湖南省衡阳市衡阳县高考数学模拟试卷（理科)（4月份）一、选择题1．若集合A={x｜3+2x﹣x2＞0}，集合B=｛x｜2x＜2｝，则A∩B等于（)A．（1，3) B．(﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1)2．若复数z=+a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是(）A．﹣4 B．﹣3 C．1 D．23．已知，则cosx等于(）A．B． C．D．4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠,长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何?”意思是：“现有一根金杖,一头粗,一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤;在细的一端截下1尺，重2斤;问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的,问中间3尺的重量为（）A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,且直线AF与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称，则双曲线的离心率为（）A．B．3 C．2 D．6．袋子中装有大小相同的6个小球,2红1黑3白，现从中有放回的随机摸球2此,每次摸出1个小球，则2次摸球颜色不同的概率是()A．B．C．D．7．如图是一个程序框图,若输出i的值为5，则实数m的值可以是()A．3 B．4 C．5 D．68．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（）A．4 B．4C．4D．89．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ｜＜）在区间（﹣，]上单调且最大值不大于,则φ的取值范围是（）A．[0，］B．[，］C．（，0]D．[，0]10．已知函数f（x）=log3（2x+1）+,给出如下两个命题：p1:若a=﹣2，则y=f（x）在(，+∞）上只有一个零点;p2：∀a∈[﹣2,﹣],函数y=｜f(x）|在［﹣，3]上单调递增；则下列命题正确的是（）A．￢p1B．（￢p1）∨p2C．p1∧p2D．p1∧（￢p2）11．已知点A是抛物线M：y2=2px(p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a,若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（)A．2 B．2C．D．12．已知函数f（x）=ae x﹣2x﹣2a，a∈[1，2]，若函数f（x）在区间[0，ln2]上的值域为［p，q]，则（)A．p≥﹣，q B．p，q C．p≥﹣2，q≤﹣1 D．p≥﹣1，q≤0二、填空题13．(﹣）5的展开式中常数项为．14．已知向量,不共线,=2+m,=n﹣3，若∥，则mn=．15．如果实数x，y满足条件,则z=的最小值为,则正数a的值为．16．在数列{a n｝中，a1=，=,n∈N+，且b n=,记P n=b1•b2•b3…b n，S n=b1+b2+b3+…+b n，则3n+1P n+S n=．三、解答题17．已知△ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=．（1)若b=4，求a；（2)若c=3,△ABC的面积为3,求证:3sinC+4cosC=5．18．为了了解某天甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：微克)，当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品．已知该天甲厂生产的产品共有98件，如表是乙厂的5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81（1）求乙厂该天生产的产品数量;（2）用上述样本数据统计乙厂该天生产的优等品的数量；（3)从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件．求抽取的2件产品中优等品的件数X的分布列及数学期望．19．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．（1）求证：平面CFM⊥平面BDF;（2）若EC=2,FD=3，求平面ADF与平面BEF所成角的正弦值．20．已知椭圆M：+=1(b＞0）上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1)求椭圆M的方程；（2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．21．已知函数f（x）=(3﹣a)x+a﹣2lnx（a∈R）(1）若函数y=f（x）在区间（1，3）上单调，求a的取值范围；（2）若函数g（x)=f(x）﹣x在(0，）上无零点，求a的最小值．［选修4—1:几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E,若PA=2，∠APB=30°．。
湖南省衡阳市2016届高三第三次联考(三模)理综试卷(扫描版).pdf
2016年高三第三次联考答案1.D2.C3.B4. D5. A6.D 29、（1）细胞质基质 【H】 （2）①④ ④ （3）暗反应 不能 ①②③ 30.（1）Na+内流 神经递质 （2）促甲状腺激素释放激素 血浆（血液、内环境、体液均给分） b、d （3） 增加 （4）促性腺激素 没有该激素的受体 31.（1）生产者（水稻、蔬菜） （3）水中蒸馏会导致原料焦糊和有效成分水解等 萃取剂的性质和使用量 纸层析 40、（1）构建基因表达载体 DNA 抗原 (2) 卵裂期 桑椹胚 均等分割内细胞层 2016联考三 物理部分答案 题号1415161718192021答案CCADDBCACACD 22．（6分）（1）50（2分）； （2）相等（2分）； （3）压缩量的平方（2分） 23．（9分）（1）a（2分）； （2）U1+I（RA+R）（2分）； （3）6.0，7.5（2分）； （4）0.44（0.41~0.46均得分）（3分） 24．（14分）（1）轿车减速过程 ，得 （4分） （2）轿车减速过程所花的时间 （1分） 轿车的最大速度为 轿车的加速时间为， （1分） 轿车在这段时间内的位移为 （1分） 设轿车达到最大速度后追上面包车的时间为t3，则有 （3分） 解得 （2分） 所以轿车司机接上小孩后追上面包车的时间为 （2分） 25．（18分）（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，这些粒子刚好都能进入磁场， （1分） （1分） （1分） 解得 （2分） 可知出电场时带电粒子的速度，方向与x轴成 （1分） 进入磁场后， （2分） 刚好不能再进入板间电场，由几何关系知 （1分） 解得 （1分） （2）设进入磁场时粒子的速度大小为，方向与x的夹角为，则有 （2分） （2分） 粒子的位置在y轴的侧移为 （2分） 由此可知，所以粒子在y轴上的侧移量都相同，都是向上侧移L 所以粒子打在y轴上的范围为 （2分） 33．（1）（5分）ABE （2）（10分）（）设放出部分水银后A侧空气柱的长度为，因为它温度不变，根据波意耳定律有 即 （2分） 解得 （2分） （）设末状态A侧空气柱的长度为， 即 （2分） 解得 （2分） 所以注入的水银在管内的长度应为 （2分） 34．（1）（5分）BCE （2）（10分）（）由光路图可知入射角，折射角 （4分） （）由 所以 （6分） 35．（1）（5分）BCD （2）（10分）（） （6分） （） 所以 （4分） 2016年第三次联考化学参考答案 7、C 8、B 9、D 10、A 11、A 12、C 13、D 26（1分） ⑴关闭K2打开K1，在D中加水淹没导管末端，用热毛巾或双手捂住烧瓶 A、C、D 硫代硫酸钠在酸性溶液中不稳定 冷却结晶（或降温结晶）硫代硫酸钠⑵S2O32－+4Cl2+5H2O=SO42－+H++8Cl－ ⑶0.0024mol/L （1分）Fe(OH)3而除去 Fe(OH)3、ZnCO3（只写Fe(OH)3不扣分）Zn(或锌) ⑷ ①取最后的洗涤液少许于试管，滴加几滴BaCl2溶液，若出现浑浊则未洗净，反之则已洗净②Na2SO4＋CH4=Na2S＋2H2O＋CO265(Vc－b－d)g 28 （1分）2317 ⑵①2Co2++N2H4+4OH-=2Co↓+N2↑+4H2O ②K=c(N2)·c4(H2)/ c3(N2H4) 降低反应温度①阳（1分）NH4++3F--6e-=NF3+4H+ ②反应生成的产物全部都是气体（或用化学方程式表示为4NF3+Si3N4=4N2↑+3SiF4↑） ③HF和HNO3（或氢氟酸和硝酸） 36（1分）氨气在水中溶解度大，先通氨气，可以吸收更多的二氧化碳，提高生成HCO3-的浓度，有利于促进更多的NaHCO3析出NH3＋CO2＋H2O + NaCl＝NH4Cl＋NaHCO3↓ CO2 、NaCl 取少量氯化铵产品于试管底部，加热，若试管底部无残留物，表明氯化铵产品纯净⑶CH4＋H2O========CO2＋H2或CH4＋H2OCO＋H2 ⑷B（1分） ⑸95.0% 37 ⑴N（1分） 16（1分） 1（1分） ⑵否（1分） 30Zn的4s能级有2个电子，处于全满状态，较稳定；（1分） ⑶4（1分） 正四面体（1分） ⑷sp3（1分） NH3（1分） NH3分子之间有氢键，沸点较高；（2分） ⑸Fe4N （各2分） 38（1分） ⑷ ⑸ ⑹9 或或 900～1000℃ 900～1000℃ Al2O3+Ni Al2O3+Ni。
湖南省衡阳市高三数学三模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省某某市2017届高三数学三模试卷理一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，复数，则a+b=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣22．设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．2805．执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜5？C．i＞4？D．i＜4？6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱柱的高为，若P是△A1B1C1中心，且三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是（）A．B．C．D．7．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈的所有零点之和为（）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A． B． C．6 D．9．已知对任意平面向量=（x，y），把绕其起点沿逆时针旋转θ角得到向量=（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角θ得到点P，设平面内曲线C上的每一点绕原点逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线x2﹣y2=2，则原来曲线C的方程是（）A．xy=﹣1 B．xy=1 C．y2﹣x2=2 D．y2﹣x2=110．已知F1、F2分别为双曲线C： =1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|=2|PF2|，则△PF1F2外接圆的面积为（）A． B．C．D．11．如图．在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是（）A．4 B．8 C．D．12．《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f（x）=x2﹣2x+2，在上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以f （a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值X围为（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．展开式中第三项为．14．设函数f（x）=，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x2+y2+2x+2y在D上的最小值为．15．已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为．16．已知函数f（x）=log（x2+）﹣||，则使得f（x+1）＜f（2x﹣1）成立x的X围是．三、解答题（本大题含6个小题．共70分．解答应写出文字说明或演算步骤）17．已知数列{a n}的首项a1=4，当n≥2时，a n﹣1a n﹣4a n﹣1+4=0，数列{b n}满足b n=（1）求证：数列{b n}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）若=4bn•（na n﹣6），如果对任意n∈N*，都有+t≤2t2，某某数t的取值X围．18．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据： =25， =5.36， =0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=， =﹣．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB=2BC=2．（1）求证：BC⊥D1E；（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．20．已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的左焦点F1（﹣，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F（1）求椭圆E的方程；（2）过坐标原点O的直线交椭圆W： =1于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．21．已知函数．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，某某数m的取值X围．请考生在22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做则按所做的第一个题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑•22．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为：（其中θ为参数）．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若椭圆的参数方程为（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于A，B两点，求|AB|．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X围．2017年某某省某某市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，复数，则a+b=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则，得=1+i，再利用，由复数相等的概念能求出a+b的值．【解答】解： ===1+i，∵，∴a=b=1，∴a+b=2．故选B．2．设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B 的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】1E：交集及其运算；16：子集与真子集．【分析】由题意集合，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数．【解答】解：∵集合，∴为椭圆和指数函数y=3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则A∩B的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，故选A．3．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和与差的三角函数公式整理已知等式，然后逆用两角和与差的三角函数诱导公式解答．【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，∴，∴，∴cos（α﹣）=，∴cos（α+）=cos=﹣cos（α﹣）=．故选C．4．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280【考点】D3：计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有×A33=90种所以共有150种不同的方法．故选：A．5．执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）A．i＞3？B．i＜5？C．i＞4？D．i＜4？【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=10满足判断框内的条件，第1次执行循环体，s=10﹣21=8，i=2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体，s=8﹣22=4，i=3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，s=4﹣23=﹣4，i=4，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣4，则条件框内应填写：i＜4，故选：D．6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱柱的高为，若P是△A1B1C1中心，且三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是（）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，由此能求出PA与平面ABC所成的角．【解答】解：由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，∵|OA|==，|OP|=，又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中体积为，∴由直棱柱体积公式得V==，解得a=，∴tan∠PAO==，∴，∴PA与平面ABC所成的角为．故选：C．7．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈的所有零点之和为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=2sinπx与y=的函数图象，根据图象的交点个数和对称性得出答案．【解答】解：令f（x）=0得2sin（πx）=，作出y=2sinπx与y=的函数图象，如图所示：由图象可知两图象在上共有8个交点，∴f（x）共有8个零点，又两图象都关于点（1，0）对称，∴8个交点两两关于点（1，0）对称，∴8个零点之和为4×2=8．故选D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A．B．C．6 D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，求出各棱的长度，比较后，可得答案．【解答】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位三棱锥P﹣ABC如图所示，其中，正方体棱长为4，点P是正方体其中一条棱的中点，则：，所以最长棱为6．故选：C9．已知对任意平面向量=（x，y），把绕其起点沿逆时针旋转θ角得到向量=（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角θ得到点P，设平面内曲线C上的每一点绕原点逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线x2﹣y2=2，则原来曲线C的方程是（）A．xy=﹣1 B．xy=1 C．y2﹣x2=2 D．y2﹣x2=1【考点】J3：轨迹方程．【分析】设平面内曲线C上的点P（x，y），根据把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P 的定义，可求出其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点P′（（x﹣y），（x+y）），另由点P′在曲线x2﹣y2=2上，代入该方程即可求得原来曲线C的方程．【解答】解：设平面内曲线C上的点P（x，y），则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点P′（（x﹣y），（x+y）），∵点P′在曲线x2﹣y2=2上，∴[（x﹣y）]2﹣[（x+y）]2=2，整理得xy=﹣1．故选：A．10．已知F1、F2分别为双曲线C： =1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|=2|PF2|，则△PF1F2外接圆的面积为（）A． B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=6，再由|PF1|=2|PF2|，求出|PF1|，|PF2|，由此能求出△PF1F2的面积，利用余弦定理求得cos∠PF1F2，由正弦定理求得△PF1F2外接圆的半径，即可求得△PF1F2外接圆的面积．【解答】解：双曲线C： =1，的两个焦点F1（﹣3，0），F2（3，0），|F1F2|=6，a=2，由|PF1|=2|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=2x，由双曲线的性质知，2x﹣x=4，解得x=4．∴|PF1|=8，|PF2|=4，∵|F1F2|=6，∴p==9，∴△PF1F2的面积S==3．在△PF1F2中，由余弦定理可知：cos∠PF1F2==，由0∠PF1F2＜π，则sin∠PF1F2=，=2R，R为△PF1F2外接圆的半径，则R=，∴△PF1F2外接圆的面积S=πR2=，故选D．11．如图．在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是（）A．4 B．8 C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】把所用向量都用表示，结合已知求出的值，则•的值可求．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=， =﹣， =+3， =﹣，∴=，=9，∴，，又∵，，∴=4，故选：C．12．《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f（x）=x2﹣2x+2，在上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值X围为（）A． B．C．D．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，可得m2﹣m+2≤2，即可得出结论．【解答】解：由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，∵f（x）=x2﹣2x+2=2，∴x=0或2，∴m2﹣m+2≤2，∴0≤m≤1，故选A．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．展开式中第三项为60 ．【考点】DA：二项式定理．【分析】确定展开式的通项公式，令r=2，可得结论．【解答】解：展开式的通项公式为：T r+1=令r=2，可得T2+1==15×4=60故答案为：60．14．设函数f（x）=，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x2+y2+2x+2y在D上的最小值为﹣．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最小值即可．【解答】解：当x＞0时，f′（x）=，则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．而z=x2+y2+2x+2y=（x+1）2+（y+1）2﹣2，表示以（﹣1，﹣1）为圆心，以（﹣1，﹣1）与阴影部分内的点为半径的平方再减2，显然（﹣1，﹣1）到直线AC的距离最小，由C（﹣，0），A（0，﹣1）得AC的方程是：2x+y+1=0，此时，r=d==，r2=，故z的最小值是﹣2=﹣，故答案为：﹣．15．已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为﹣4 ．【考点】67：定积分；82：数列的函数特性；8E：数列的求和．【分析】由题意，先由微积分基本定理求出a n再根据通项的结构求出数列的前n 项和为S n，然后代入求b n S n的最小值即可得到答案【解答】解：a n=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{}的前n项和为S n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=又b n=n﹣8，n∈N*，则b n S n=×（n﹣8）=n+1+﹣10≥2﹣10=﹣4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故b n S n的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．16．已知函数f（x）=log（x2+）﹣||，则使得f（x+1）＜f（2x﹣1）成立x 的X围是（0，2）．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】根据函数的单调性和奇偶性将问题转化为|x+1|＞|2x﹣1|，解出即可．【解答】解：∵f（x）=log（x2+）﹣||，∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函数，x＞0时，f（x）=log（x2+）﹣，∴f（x）为减函数，∴当x＜0时，f（x）为增函数若f（x+1）＜f（2x﹣1），则|x+1|＞|2x﹣1|，解得：0＜x＜2，故答案为：（0，2）．三、解答题（本大题含6个小题．共70分．解答应写出文字说明或演算步骤）17．已知数列{a n}的首项a1=4，当n≥2时，a n﹣1a n﹣4a n﹣1+4=0，数列{b n}满足b n=（1）求证：数列{b n}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（2）若=4bn•（na n﹣6），如果对任意n∈N*，都有+t≤2t2，某某数t的取值X围．【考点】8K：数列与不等式的综合；8H：数列递推式．【分析】（1）通过作差可知b n﹣b n﹣1=，结合a n﹣1a n﹣4a n﹣1+4=0可知b n﹣b n﹣1=﹣，进而利用数列{b n}是等差数列即可求出通项公式；（2）通过（1）及b n=b n=可知a n=+2，进而可知=（2n﹣4），结合单调性可知﹣1≤≤，将y=+t﹣2t2看作是关于的一次函数，结合其单调递增可知当=时y≤0即可，进而问题转化为解不等式+t﹣2t2≤0，计算即得结论．【解答】（1）证明：当n≥2时，b n﹣b n﹣1=﹣=，由于a n﹣1a n﹣4a n﹣1+4=0，所以b n﹣b n﹣1=﹣，即数列{b n}是等差数列，又因为b1==﹣，所以b n=+（n﹣1）（）=﹣；（2）由（1）及b n=b n=可知a n=+2，所以=4bn•（na n﹣6）=（2n﹣4），由单调性可知：﹣1≤≤，令y=+t﹣2t2，则y是关于的一次函数，且单调递增，所以当=时y≤0即可，所以+t﹣2t2≤0，解得：t≤﹣或t≥，故实数t的取值X围是：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．18．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据： =25， =5.36，=0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=， =﹣．【考点】BK：线性回归方程；B9：频率分布折线图、密度曲线．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意月份x 3 4 5 6 7均价y 0.95 0.98 1.11 1.12 1.20=5， =1.072， =10，∴==0.064， =﹣=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，X的分布列为X 1 2 3PE（X）=1×+2×+3×=．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB=2BC=2．（1）求证：BC⊥D1E；（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段D1E的长度．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，可得BC⊥CD，BC⊥CC1，由线面垂直的判定可得BC⊥平面DCC1D1，进一步得到BC⊥D1E；（2）由（1）可知BC⊥D1E，结合D1E⊥CD，可得D1E⊥平面ABCD．设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，ED1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BED1的一个法向量与平面BCC1B1的一个法向量，由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为列式求得a值，则线段D1E的长度可求．【解答】（1）证明：∵底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，∴BC⊥CD，BC⊥CC1，又∵CD∩CC1=C，∴BC⊥平面DCC1D1，∵D1E⊂平面DCC1D1，∴BC⊥D1E；（2）解：由（1）可知BC⊥D1E，又∵D1E⊥CD，且BC∩CD=C，∴D1E⊥平面ABCD．设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，ED1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．则E（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），G（1，0，0）．设D1E=a，则D1（0，0，a），B1（1，2，a）．设平面BED1的一个法向量为=（x，y，z），=（1，1，0），=（0，0，a），由，令x=1，得=（1，﹣1，0）；设平面BCC1B1的一个法向量为=（x1，y1，z1），=（1，0，0），=（﹣1，1，a），由，令z1=1，得=（0，﹣a，1）．由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，得|cos＜＞|=|=|cos=，解得a=1．∴D1E=1．20．已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的左焦点F1（﹣，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F（1）求椭圆E的方程；（2）过坐标原点O的直线交椭圆W： =1于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（I）用a，b，c表示出△OF1F的边长，利用勾股定理列方程解出a，b，即可；（II）设P（m，n），用m，n表示出直线AC的方程，求出B点坐标，计算PA，PB的斜率即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）连接DF2，FO（O为原点，F2为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为，因为FO是△DF1F2的中位线，且DF1⊥FO，所以|DF2|=2|FO|=2b，所以|DF1|=2a﹣|DF2|=2a﹣2b，故，在Rt△FOF1中，，即b2+（a﹣b）2=c2=5，又b2+5=a2，解得a2=9，b2=4，所以椭圆E的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆W的方程为，设P（m，n），则A（﹣m，﹣n），C（m，0），∴，，直线，联立方程组，化简得，∴因为x A=﹣m，所以，则所以，则k PA•k PB=﹣1，即PA⊥PB．21．已知函数．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在，使不等式f（x0）＞m （1﹣a2）成立，某某数m的取值X围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求出其导函数：，利用是函数f（x）的一个极值点对应的结论f'（）=0即可求a的值；（Ⅱ）利用：，在0＜a≤2时，分析出因式中的每一项都大于等于0即可证明结论；（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为，把问题转化为对任意的a∈（1，2），不等式恒成立；然后再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求即可某某数m的取值X围．【解答】解：由题得：．（Ⅰ）由已知，得且，∴a2﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2经检验：a=2符合题意．（Ⅱ）当0＜a≤2时，∵，∴，∴当时，．又，∴f'（x）≥0，故f（x）在上是增函数．（Ⅲ）a∈（1，2）时，由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为，于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式恒成立．记，（1＜a＜2）则，当m=0时，，∴g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g （a）＜g（1）=0，由于a2﹣1＞0，∴m≤0时不可能使g（a）＞0恒成立，故必有m＞0，∴．若，可知g（a）在区间上递减，在此区间上，有g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0恒成立矛盾，故，这时，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求，∴，即，所以，实数m的取值X围为．请考生在22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做则按所做的第一个题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑•22．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为：（其中θ为参数）．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若椭圆的参数方程为（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于A，B两点，求|AB|．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，将圆C的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离，由此得到直线l与圆C相离．（2）将椭圆的参数方程化为普通方程为，求出直线l'的参数方程，把直线l'的参数方程代入椭圆的普通方程，得7t2﹣16t+8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出|AB|．【解答】解：（1）将直线l的极坐标方程，化为直角坐标方程：x+y﹣1=0．将圆C的参数方程化为普通方程：x2+（y+2）2=4，圆心为C（0，﹣2），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离为d=＞r=2，∴直线l与圆C相离．（2）将椭圆的参数方程化为普通方程为，∵直线l：x+y﹣1=0的斜率为k1=﹣1，∴直线l'的斜率为k2=1，即倾斜角为，则直线l'的参数方程为，（t为参数），即（t为参数），把直线l'的参数方程代入，整理得7t2﹣16t+8=0．（*）由于△=（﹣16）2﹣4×7×8＞0，故可设t1，t2是方程（*）的两个不等实根，则有t1t2=，，|AB|=．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的X围，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，从而求得实数a的值．（2）在（1）的条件下，f（n）=|2n﹣1|+1，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的X围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故不等式f（x）≤6，即，求得 a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴实数a=1．（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x﹣1|+1，∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，∴m≥4，故实数m的取值X围是[4，+∞）．。
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2016年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•衡阳三模）已知i为虚数单位，则z=在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）（2016•衡阳三模）若cos（75°+α）=，则cos（30°﹣2α）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）（2016•河南二模）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣ς＜X≤μ+ς）=0.6826．p（μ﹣2ς＜X≤μ+2ς）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．34134．（5分）（2016•衡阳三模）有以下三个结论：①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”；②“a=1”是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充要条件；③命题“角α的终边在第一象限，则α为锐角”的逆否命题为真命题其中正确结论的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．（5分）（2016•衡阳三模）某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量由表可得回归直线方程=x+中的=﹣4，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（）A．26个B．27个C．28个D．29个6．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．7．（5分）（2016•衡阳三模）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的N=3，则输出的i等于（）A．6 B．7 C．8 D．98．（5分）（2016•衡阳三模）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4 C．D．39．（5分）（2016•衡阳三模）双曲线M：的左、右焦点是F l，F2，抛物线N：y2=2px（p＞0）的焦点为F2，点P是双曲线M与抛物线N的一个交点，若PF1的中点在y轴上，则该双曲线的离心率为（）A．+1 B．+1 C．D．10．（5分）（2016•衡阳三模）将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有（）A．36种B．30种C．24种D．20种11．（5分）（2016•衡阳三模）设M，N是抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意两点，点E的坐标为（﹣λ，0）（λ≥0），若•的最小值为0，则λ=（）A．0 B．C．p D．2p12．（5分）（2016•武汉模拟）已知f（x）=|x•e x|，又g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）B．（，+∞）C．（﹣，﹣2）D．（2，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2016•白银模拟）在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则•=．14．（5分）（2016•衡阳三模）已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则Z=•的最大值为．15．（5分）（2016•衡阳三模）已知P、A、B、C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为．16．（5分）（2016•衡阳三模）若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016•衡阳三模）设函数f（x）=+（x＞0），数列{a n}满足a1=1，a n=f（），n∈N*，且n≥2（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对n∈N*，设S n=+++…+，若S n≥恒成立，求实数t的取值范围．18．（12分）（2016•衡阳三模）某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班30位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求出该班学生英语成绩的众数和平均数；（2）从成绩低于80分得学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[50，60）的记1绩点分，在[60，80）的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）（2016•衡阳三模）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SD ⊥面ABCD，点E，F分别为AB，SC的中点．（1）求证：EF∥平面SAD；（2）设SD=2DA，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．20．（12分）（2016•衡阳三模）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点F重合，且点F到直线x﹣y+1=0的距离为，C1与C2的公共弦长为2．（1）求椭圆C1的方程及点F的坐标；（2）过点F的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于C，D两点，求+的取值范围．21．（12分）（2016•衡阳三模）已知函数f（x）=﹣x3+x2（x∈R），g（x）满足g′（x）=（a∈R，x＞0），且g（e）=a，其中e为自然对数的底数．（1）已知h（x）=e1﹣x•f（x），求h（x）在（1，h（1））处的切线方程；（2）设函数F（x）=，O为坐标原点，若对于y=F（x）在x≤﹣1时的图象上的任一点P，在曲线y=F（x）（x∈R）上总存在一点Q，使得•＜0，且的中点在y轴上，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•衡阳三模）如图，过⊙O外一点E作⊙O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为⊙O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点．（Ⅰ）证明：BE=DE；（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•衡阳三模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•衡阳三模）已知函数f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2016年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•衡阳三模）已知i为虚数单位，则z=在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．【解答】解：z===，故z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．2．（5分）（2016•衡阳三模）若cos（75°+α）=，则cos（30°﹣2α）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】利用同角三角函数基本关系式以及二倍角公式化简求解即可．【解答】解：cos（75°+α）=，可得sin（15°﹣α）=．cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=1﹣2×=．故选：C．【点评】本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查计算能力．3．（5分）（2016•河南二模）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣ς＜X≤μ+ς）=0.6826．p（μ﹣2ς＜X≤μ+2ς）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2ς＜X≤μ+2ς）﹣P（μ﹣ς＜X≤μ+ς）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和ς的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．4．（5分）（2016•衡阳三模）有以下三个结论：①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”；②“a=1”是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充要条件；③命题“角α的终边在第一象限，则α为锐角”的逆否命题为真命题其中正确结论的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．②根据直线垂直的等价条件进行判断．③根据象限角的定义进行判断．【解答】解：①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”；正确②当a=1时，两直线分别为x﹣y+1=0和x+y﹣2=0，满足两直线垂直，当a=﹣1时，两直线分别为x+y+1=0和x﹣y﹣2=0，满足两直线垂直，但a=1不成立，即“a=1”是“直线x﹣ay+1=0与直线x+ay﹣2=0互相垂直”的充分不必要条件；故②错误③命题“角α的终边在第一象限，则α为锐角”为假命题，当α=360°+30°=390°时，满足终边在第一象限，但α不是锐角，故命题的逆否命题为假命题，故③错误，故选：B【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．5．（5分）（2016•衡阳三模）某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量由表可得回归直线方程=x+中的=﹣4，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（）A．26个B．27个C．28个D．29个【分析】求出数据中心代入回归方程得出，从而得出回归方程，再令x=20求出．【解答】解：，=39．将（）代入回归方程得39=﹣4×17.5+，解得=109．∴回归方程为=﹣4x+109．当x=20时，=﹣4×20+109=29．故选：D．【点评】本题考查了线性回归方程过数据中心的性质，属于基础题．6．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．7．（5分）（2016•衡阳三模）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的N=3，则输出的i等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由题意，模拟执行程序，依次写出每次循环得到的n，i的值，当n=1时满足条件n=1，退出循环，输出i的值为8．【解答】解：模拟执行程序，可得n=3，i=1执行循环体，满足条件n是奇数，n=10，i=2不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=5，i=3，不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是奇数，n=16，i=4，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=8，i=5，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=4，i=6，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=2，i=7，不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n=1，i=8，满足条件n=1，退出循环，输出i的值为8．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．8．（5分）（2016•衡阳三模）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4 C．D．3【分析】由三视图知几何体是正方体的一半，已知正方体的棱长为2，由此可得几何体的体积．【解答】解：由三视图知：余下的几何体如图示：∵E、F都是侧棱的中点，∴上、下两部分的体积相等，∴几何体的体积V=×23=4．故选B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状是解答此类问题的关键．9．（5分）（2016•衡阳三模）双曲线M：的左、右焦点是F l，F2，抛物线N：y2=2px（p＞0）的焦点为F2，点P是双曲线M与抛物线N的一个交点，若PF1的中点在y轴上，则该双曲线的离心率为（）A．+1 B．+1 C．D．【分析】求得抛物线的焦点，由题意可得p=2c，再由中点坐标公式可得P的横坐标为c，即有PF2⊥x轴，可得PF2=p=2c，运用勾股定理和双曲线的定义，结合离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线N：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），而F2（c，0），即有c=，即p=2c，由PF1的中点在y轴上，可得P的横坐标为c，即有PF2⊥x轴，可得PF2=p=2c，即有PF1=PF2=2c，由双曲线的定义，可得PF1﹣PF2=2a，即有（2﹣2）c=2a，离心率e===+1．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用抛物线的焦点和中点坐标公式，考查双曲线的定义，以及化简整理的能力，属于中档题．10．（5分）（2016•衡阳三模）将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有（）A．36种B．30种C．24种D．20种【分析】根据题意中甲要求不到A学校，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，①其中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个学校，有A33=6种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有C32•A22=6种情况；则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有2×（6+6）=24种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意题意中“每个学校至少分配一人”这一条件，再分配甲之后，需要对其余的三人分情况讨论．11．（5分）（2016•衡阳三模）设M，N是抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意两点，点E的坐标为（﹣λ，0）（λ≥0），若•的最小值为0，则λ=（）A．0 B．C．p D．2p【分析】利用数量积公式，结合配方法、的最小值为0，即可求出λ．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则=（x1+λ，y1）•（x2+λ，y2）=x1x2+λ（x1+x2）+λ2+y1y2=+λ•+λ2﹣p2，∵的最小值为0，∴λ=．故选：B．【点评】本题考查抛物线的方程，考查数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）（2016•武汉模拟）已知f（x）=|x•e x|，又g（x）=f2（x）+tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）B．（，+∞）C．（﹣，﹣2）D．（2，）【分析】做出函数f（x）=|x•e x|的图象，根据图象可判断在（，+∞）上可有一个跟，在（0，）上可有三个根，根据二次函数的性质可得出y（）＜0，求解即可．【解答】解：g（x）=﹣1的x有四个，∴f2（x）+tf（x）﹣1=0有4个根，f（x）=|x•e x|的图象如图：在x＜0时，有最大值f（﹣1）=，故要使有四个解，则f2（x）+tf（x）﹣1=0一根在（0，）中间，一根在（，+∞），∴y（）＜0，∴+t+1＜0，∴t﹣＜﹣﹣1，∴t＜﹣﹣e=﹣，故选：A．【点评】考查了抽象函数的理解和利用数学结合的思想求解问题．难点是对函数图象的理解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2016•白银模拟）在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则•=．【分析】根据题意，得到三角形为直角三角形，由、求出，，即可求出•的值．【解答】解：由于在△ABC中，|+|=|﹣|，则∠BAC=90°，由于E，F为BC的三等分点，则=﹣，=，，又有=，=，则=，=，又由AB=2，AC=1，故•==故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键．14．（5分）（2016•衡阳三模）已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则Z=•的最大值为1．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，求出z的表达式，结合图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得，由Z=•=2x+y﹣5，得：y=﹣2x+z﹣5，平移直线y=﹣2x，显然直线过（2，2）时，z最大，z的最大值是1，故答案为：1．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15．（5分）（2016•衡阳三模）已知P、A、B、C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为16π．【分析】设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥P﹣ABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OP=R，∴OS=，BS=，∴=，解得a=R，2a=R，∵三棱锥P﹣ABC的体积为，∴=，解得R=2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时确定球O的半径是关键．16．（5分）（2016•衡阳三模）若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【分析】由题意可得，存在x＜0使f（﹣x）﹣g（x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零点，从而求解．【解答】解：若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）图象上存在关于y轴对称的点，则等价为g（x）=f（﹣x），在x＜0时，方程有解，即x2+e x﹣=x2+ln（﹣x+a），即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为：e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（本大题共70分。