人教A版高中数学必修第一册 同步学案2-2-2 第2课时利用基本不等式求最值

第2课时 利用基本不等式求最值
1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
基本不等式与最值 已知x,y 都是正数,
(1)如果积xy 等于定值P,那么当x ＝y 时,和x ＋y 有最小值2P ； (2)如果和x ＋y 等于定值S,那么当x ＝y 时,积xy 有最大值14
S 2
.
温馨提示：从上面可以看出,利用基本不等式求最值时,必须有：(1)x 、y>0,(2)和(积)为定值,(3)存在取等号的条件．
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a>0,b>0,且a ＋b ＝16,则ab ≤64.( ) (2)若ab ＝2,则a ＋b 的最小值为2 2.( ) (3)当x>1时,函数y ＝x ＋1
x －1
≥2
x
x －1
,所以函数y 的最小值是2x
x －1
.( ) (4)若x ∈R,则x 2
＋2＋1x 2＋2≥2.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
题型一 利用基本不等式求最值
【典例1】 (1)若x>0,求y ＝4x ＋9
x 的最小值；
(2)设0<x<3
2,求函数y ＝4x(3－2x)的最大值；
(3)已知x>2,求x ＋4
x －2
的最小值；
(4)已知x>0,y>0,且1x ＋9
y
＝1,求x ＋y 的最小值．
[思路导引] 利用基本不等式求最值,当积或和不是定值时,通过变形使其和或积为定值,再利用基本不等式求解．
[解] (1)∵x>0, ∴由基本不等式得 y ＝4x ＋9
x
≥2
4x ·9
x
＝236＝12,
当且仅当4x ＝9x ,即x ＝32时,y ＝4x ＋9
x 取最小值12.
(2)∵0<x<3
2,∴3－2x>0,
∴y ＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92.
当且仅当2x ＝3－2x,即x ＝3
4时取“＝”．
∴y 的最大值为9
2.
(3)∵x>2,∴x －2>0, ∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4
x －2＋2
≥2
(x －2)·4x －2
＋2＝6.
当且仅当x －2＝4
x －2,
即x ＝4时,x ＋4
x －2取最小值6.
(4)∵x>0,y>0,1x ＋9
y
＝1,
∴x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29＝16.
当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9
y ＝1时等号成立,
即x ＝4,y ＝12时等号成立．
∴当x ＝4,y ＝12时,x ＋y 有最小值16.
[变式] (1)本例(3)中,把“x>2”改为“x<2”,则x ＋
4
x －2
的最值又如何？ (2)本例(3)中,条件不变,改为求x 2
－2x ＋4
x －2的最小值．
[解] (1)∵x<2,∴2－x>0,
∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )＋42－x ＋2≤－2 (2－x )·4
2－x
＋2＝－2.
当且仅当2－x ＝4
2－x ,即x ＝0时,
x ＋4x －2
取最大值－2. (2)x 2
－2x ＋4x －2＝(x －2)2
＋2(x －2)＋4x －2
＝x －2＋4x －2
＋2≥2
(x －2)·4
x －2
＋2＝6
当且仅当x －2＝4
x －2
,即x ＝4时,原式有最小值6.
(1)若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)若多次使用基本不等式,等号成立的条件应相同． [针对训练]
1．已知x,y>0,且满足x 3＋y
4＝1,则xy 的最大值为________．
[解析] ∵x,y>0, ∴x 3＋y
4
＝1≥2 xy 12
, 得xy ≤3,当且仅当x 3＝y 4即x ＝3
2,y ＝2时,取“＝”号,
∴xy 的最大值为3. [答案] 3
2．已知x,y>0,且x ＋y ＝4,则1x ＋3
y 的最小值为________．
[解析] ∵x,y>0,
∴(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋23,
当且仅当y x ＝3x
y
,
即x ＝2(3－1),y ＝2(3－3)时取“＝”号, 又x ＋y ＝4, ∴1x ＋3y ≥1＋32
, 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. [答案] 1＋
3
2
3．若x<3,则实数f(x)＝
4
x －3
＋x 的最大值为________． [解析] ∵x<3,∴x －3<0,
∴f(x)＝4x －3＋x ＝4
x －3＋(x －3)＋3
＝－⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤43－x ＋(3－x )＋3
≤－2
4
3－x
·(3－x )＋3＝－1, 当且仅当4
3－x ＝3－x,即x ＝1时取“＝”号．
∴f(x)的最大值为－1. [答案] －1
题型二 利用基本不等式解决实际问题
【典例2】 如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m 2
,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
[思路导引] 设每间虎笼长x m,宽y m,则问题是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值． [解] (1)设每间虎笼长x m,宽为y m,则由条件知4x ＋6y ＝36,即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S,则S ＝xy.
解法一：由于2x ＋3y ≥22x·3y＝26xy,
∴26xy ≤18,得xy ≤27
2
,
即S ≤27
2
,当且仅当2x ＝3y 时,等号成立．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4.5，
y ＝3.
故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m 时,可使面积最大． 解法二：∵2x ＋3y ＝18,
∴S ＝xy ＝16·(2x)·(3y)≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝816＝27
2.(以下同解法一)
(2)由条件知S ＝xy ＝24. 设钢筋网总长为l,则l ＝4x ＋6y. ∵2x ＋3y ≥22x·3y＝26xy ＝24,
∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥48,当且仅当2x ＝3y 时,等号成立．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＝3y ，
xy ＝24，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝6，
y ＝4.
故每间虎笼长6 m,宽4 m 时,可使钢筋网总长最小．
解决实际问题时,先弄清题意(审题),建立数学模型(列式),再用所掌握的数学知识解决问题(求解),最后要回应题意下结论(作答)．
[针对训练]
4．某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000 m 2
的楼房．经测算,如果将楼房建为x(x ≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用,平均购地费用＝购地总费用
建筑总面积)
[解] 设将楼房建为x 层,则每平方米的平均购地费用为2160×104
2000 x ＝10800
x .
于是每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x (x ≥10),
当x ＋225
x 取最小时,y 有最小值．
∵x>0,∴x ＋225
x
≥2
x ·225
x
＝30,
当且仅当x ＝225
x ,即x ＝15时,上式等号成立．
∴当x ＝15时,y 有最小值2000元．
因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最小．
课堂归纳小结
1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意： (1)x,y 一定要都是正数；
(2)求积xy 最大值时,应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 最小值时,应看积xy 是否为定值； (3)等号是否能够成立．
以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.
2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用．
3．求解应用题的方法与步骤
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
1．已知y ＝x ＋1
x －2(x>0),则y 有( )
A ．最大值为0
B ．最小值为0
C ．最小值为－2
D ．最小值为2
[答案] B
2．已知0<x<1,则当x(1－x)取最大值时,x 的值为( ) A.13 B.12 C.14
D.23
[解析] ∵0<x<1,∴1－x>0.∴x(1－x)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14
,当且仅当x ＝1－x,即x ＝12时,等号成立．
[答案] B
3．已知p,q ∈R,pq ＝100,则p 2
＋q 2
的最小值是________． [答案] 200
4．已知函数f(x)＝4x ＋a
x (x>0,a>0)在x ＝3时取得最小值,则a ＝________.
[解析] 由基本不等式,得4x ＋a
x ≥2
4x ·a x ＝4a,当且仅当4x ＝a x ,即x ＝a 2时,等号成立,即a
2
＝
3,a ＝36.
[答案] 36
5．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2
－200x ＋
80000,该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？
[解] 由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000
x －200≥2
12x ·80000
x
－200＝200,
当且仅当12x ＝80000
x
,即x ＝400时等号成立,
故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元．
课后作业(十二)
复习巩固
一、选择题
1．当x>0时,y ＝12
x ＋4x 的最小值为( )
A ．4
B ．8
C ．8 3
D ．16
[解析] ∵x>0,∴
12x >0,4x>0.∴y ＝12
x
＋4x ≥212x ·4x＝8 3.当且仅当12
x
＝4x,即x ＝3时取最小值83,∴当x>0时,y 的最小值为8 3.
[答案] C
2．设x,y 为正数,则(x ＋y)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
[解析] (x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝x·1x ＋4x y ＋y x ＋y·4y ＝1＋4＋4x y ＋y x ≥5＋2 4x y ·y
x
＝9. [答案] B
3．若x>0,y>0,且2x ＋8
y ＝1,则xy 有( )
A ．最大值64
B ．最小值1
64
C ．最小值1
2
D ．最小值64
[解析] 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y·8x＝8xy,∴xy ≥8,即xy 有最小值64,等号成立的
条件是x ＝4,y ＝16.
[答案] D
4．已知p>0,q>0,p ＋q ＝1,且x ＝p ＋1p ,y ＝q ＋1
q ,则x ＋y 的最小值为( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
[解析] 由p ＋q ＝1,
∴x ＋y ＝p ＋1p ＋q ＋1q ＝1＋1p ＋1q ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋1q (p ＋q)
＝1＋2＋q p ＋p
q
≥3＋2
q p ·p
q
＝5, 当且仅当q p ＝p q 即p ＝q ＝1
2时取等号,
所以B 选项是正确的． [答案] B
5．若a<1,则a ＋1
a －1有最________(填“大”或“小”)值,为________．
[解析] ∵a<1, ∴a －1<0,
∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a)＋11－a ≥2, ∴a －1＋1
a －1≤－2,
∴a ＋1
a －1≤－1.
当且仅当a ＝0时取等号． [答案] 大 －1 二、填空题
6．已知0<x<1,则x(3－3x)取得最大值时x 的值为________．
[解析] 由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34,当且仅当3x ＝3－3x,即x ＝1
2时等号成立．
[答案] 12
7．已知正数x,y 满足x ＋2y ＝1,则1x ＋1
y 的最小值为________．
[解析] ∵x,y 为正数,且x ＋2y ＝1,
∴1x ＋1y ＝(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22, 当且仅当2y x ＝x y ,即当x ＝2－1,y ＝1－2
2时等号成立．
∴1x ＋1
y 的最小值为3＋2 2. [答案] 3＋2 2
8．某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x ＝________吨．
[解析] 每年购买次数为400
x 次．
∴总费用＝400
x ·4＋4x ≥26400＝160,
当且仅当1600
x ＝4x,即x ＝20时等号成立．
[答案] 20 三、解答题
9．已知a,b,x,y>0,x,y 为变量,a,b 为常数,且a ＋b ＝10,a x ＋b
y ＝1,x ＋y 的最小值为18,求a,b.
[解] x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b)2
,
当且仅当bx y ＝ay
x 时取等号．
故(x ＋y)min ＝(a ＋b)2
＝18, 即a ＋b ＋2ab ＝18,① 又a ＋b ＝10,②
由①②可得{ a ＝2，?b ＝8或{ a ＝8，?b ＝2. 10．(1)已知x<3,求f(x)＝
4
x －3
＋x 的最大值； (2)设x>0,y>0,且2x ＋8y ＝xy,求x ＋y 的最小值． [解] (1)∵x<3,∴x －3<0. ∴f(x)＝4x －3＋x ＝4
x －3＋x －3＋3
＝－⎝
⎛⎭
⎪
⎫43－x ＋3－x ＋3
≤－2
4
3－x
·(3－x )＋3＝－1,
当且仅当4
3－x ＝3－x,即x ＝1时取等号,
∴f(x)的最大值为－1. (2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0, 得y(x －8)＝2x, ∵x>0,y>0,∴x －8>0,y ＝
2x x －8
, ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋(2x －16)＋16
x －8
＝(x －8)＋16
x －8＋10
≥2 (x －8)×16
x －8
＋10
＝18.
当且仅当x －8＝16
x －8,即x ＝12时,等号成立．
∴x ＋y 的最小值是18.
解法二：由2x ＋8y －xy ＝0及x>0,y>0,得8x ＋2
y
＝1,
∴x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭
⎪⎫8x ＋2y ＝
8y x ＋2x
y
＋10≥2 8y x ·2x
y
＋10 ＝18.
当且仅当8y x ＝2x
y ,即x ＝2y ＝12时等号成立,
∴x ＋y 的最小值是18.
综合运用
11．已知a>0,b>0,a ＋b ＝2,则y ＝1a ＋4
b 的最小值是( )
A.72 B ．4 C.9
2 D ．5 [解析] ∵a ＋b ＝2,∴a ＋b 2
＝1,
∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b
2a
,即b ＝2a 时,“＝”成立),故y ＝1a ＋4b 的最小值为92
.
[答案] C
12．若xy 是正数,则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92
[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x
＝⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x ＝y ＝
22或x ＝y ＝－22
时取等号． [答案] C
13．若对任意x>0,x x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立,则a 的取值范围是________． [解析] 因为x>0,所以x ＋1x
≥2, 当且仅当x ＝1时取等号,
所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x
＋3≤12＋3＝15, 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15,故a ≥15. [答案] ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫15，＋∞ 14．设x>－1,则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1
的最小值是________． [解析] ∵x>－1,∴x ＋1>0,设x ＋1＝t>0,则x ＝t －1,
于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2
＋5t ＋4t
＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9, 当且仅当t ＝4t
,即t ＝2时取等号,此时x ＝1, ∴当x ＝1时,函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1
取得最小值9. [答案] 9
15．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留3 m 宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
[解] 设矩形温室的一边长为x m,则另一边长为
800x m(2<x<200)．依题意得种植面积：S ＝(x －2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫800x －4＝800－1600x －4x ＋8 ＝808－⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x ＋4x ≤808－21600x
·4x＝648, 当且仅当1600x
＝4x,即x ＝20时,等号成立． 即当矩形温室的一边长为20 m,另一边长为40 m 时种植面积最大,最大种植面积是648 m 2
.。