高考数学压轴专题珠海备战高考《复数》分类汇编及答案

【最新】数学《复数》高考复习知识点
一、选择题
1．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简z =
-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】
由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --=
==-++-，
则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D .
【点睛】
本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
2．已知i 是虚数单位，则
31i i +-=（ ） A ．1-2i
B ．2-i
C ．2+i
D ．1+2i 【答案】D
【解析】 试题分析：根据题意，由于
33124121112
i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算
点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．
3．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】
由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.
【详解】
由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
4．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则
a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.
【详解】
因为()1223(z z i a bi =++)()
23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，
因为0b ≠，所以
23a b =-，选B. 【点睛】
本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi
5．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -
∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
【答案】D
【解析】
【详解】 因
, 故由题设
, 故,故选D ． 考点：复数的概念与运算.
6．若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A ．2,3b c ==
B ．2,1b c ==-
C ．2,1b c =-=-
D ．2,3b c =-=
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b 的方程组102220
b c b -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】
由题意12+是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0
∴2﹣2+b 2+bi +c ＝0，即()
12220b c b i -+++= ∴102220b c b -++=⎧⎪⎨=⎪⎩
，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．
【点睛】
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
7．复数21i z i
+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1
D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D
【解析】
【分析】 利用复数的四则运算，求得1322
z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可
【详解】 由题意()()()()22121313111122
i i i i z i i i i i ++++====+--+-， 则221310()()22z =+=，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．
【点睛】
复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为a bi -．
8．复数
的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数
的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】
，
的共轭复数为
， 对应坐标是
在第三象限，故选C.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
9．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1
x x x y y ==⎧⎧∴⎨
⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.
本题选择D 选项.
10．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案．
【详解】 若复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.
故选C.
【点睛】
本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．
11．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）
A ．8-
B ．8+
C ．1+
D ．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+-=(,)a b 到原点的距离，计算得到答案.
【详解】
|2|1a bi --=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b 在圆22(2)(1x y -+=上，
(,)a b 到原点的距离，
故22a b +的最大值为)2
21(18=+=+.
【点睛】
本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
12．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）
A ．2i -+
B ．2i --
C ．2i +
D ．2i -
【答案】A
【解析】
【分析】 根据欧拉公式求出2cos
sin 22i z e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.
【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i ππ
π
==+=，
∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.
故选：A.
【点睛】
此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .
13．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =
A ．12i +
B ．12i -
C ．1i +
D ．1i - 【答案】C
【解析】
【分析】
设出复数z ，根据复数相等求得结果.
【详解】
设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-，
故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩
. 所以1z i =+.
故选：C .
【点睛】
本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.
14．欧拉公式cos sin
ix
e x i x
=+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，
4i i
e e π
π表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B
【解析】
【分析】
根据欧拉公式计算
4i i
e e π
π，再根据复数几何意义确定象限.
【详解】
因为
4
22
4422
i
i
e cos isin
i
cos isin
e
π
π
ππ
ππ
+
===-+
+
，所以对应点（，在第
二象限，选B.
【点睛】
本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.
15．已知复数i
z x y
=+（x，y∈R
），且2
z+=
1
y
x
-
的最大值为（）
A
B
C
．2+D
．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据模长公式，求出复数z对应点的轨迹为圆，
1
y
x
-
表示(,)
x y与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.
【详解】
∵复数i
z x y
=+（x，y∈R
），且2
z+=
=()22
23
x y
++=.
设圆的切线l：1
y kx
=+
=
化为2420
k k
--=，解得2
k=
∴
1y x
-的最大值为2 故选:C.
【点睛】 本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
16．复数
52
i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -
C ．2i -+
D ．2i -- 【答案】C
【解析】
【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.
【详解】 因为
522i i =---，所以复数52
i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】
本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.
17．已知复数z 满足(1)2i z i -=，i 为虚数单位，则z 等于
A ．1i -
B ．1i +
C ．1122i -
D ．1122i + 【答案】B
【解析】
【分析】 由题意可得21z i =
-，根据复数的除法运算即可. 【详解】
由()12i z i -=，可得22(1)112
i z i i +=
==+-， 故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，复数的模，属于中档题.
18．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，
∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】B
【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．
详解：由题意，()()()
222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.
故选B.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
20．已知复数
为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1
B ．1
C ．0
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】
化简得到
，根据纯虚数概念计算得到答案. 【详解】
为纯虚数，故
且，即. 故选：.
【点睛】
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。