甘肃省张掖市山丹县第一中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 Word版含解析

山丹一中2019-2020学年上学期9月月考试卷
高一数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数()f x =( ) A. （一∞，0］ B. ［0，＋∞）
C. （0，＋∞）
D. （－∞，
＋∞） 【答案】A 【解析】 【分析】
根据偶次根式的条件，借助于指数函数的单调性求得结果. 【详解】由题意得120x -≥，解得0x ≤， 所以函数的定义域是(,0]-∞， 故选A.
【点睛】该题考查的是有关函数定义域的求解问题，属于简单题目.
2.已知集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={x|y=lg （x ﹣2）}，则A∩（∁R B ）=（ ） A. （2，4） B. （﹣2，4）
C. （﹣2，2）
D. （﹣2，
2] 【答案】D 【解析】 【分析】
先求得集合B,再进行补集和交集的运算即可． 【详解】B ={x |x ＞2}； ∴∁R B ={x |x ≤2}；
∴A ∩（∁R B ）=（﹣2，2]． 故选：D ．
【点睛】本题考查描述法表示集合，交集和补集的运算．
3.已知函数y =[0,)+∞，求a 的取值范围为（ ） A. 1a ≥ B. >1a
C. 1a ≤
D. <1a
【答案】A 【解析】 【分析】
对a 进行讨论，然后将y =
值域[)0,+∞，转换为 ()211
a x ax -++值域包含[)0,+∞，计算得到答案.
【详解】当1a =时，y =[)0,+∞，符合题意；
当1a ≠时，要使y =
[)0,+∞，则使
2
1014(1)0a a a a ->⎧
⇒>⎨∆=--≥⎩
. 综上，1a ≥. 故答案选A
【点睛】本题考查了函数的值域问题，意在考查学生的计算能力.
4.已知3
log 274
x =-，则x 的值为（ ） A. 9 B. 81
C.
19
D.
181
【答案】D 【解析】 【分析】
首先根据指对互化，写成3
427x -=，再根据分数指数幂的运算法则计算. 【详解】()
443
3
43
343
4
4
3
12727
3
381
x x x -
-
----⎛⎫
=⇒=====
⎪
⎝⎭
故选D.
【点睛】本题考查指对互化和分数指数幂的运算法则，属于简单计算题型.
5.设函数()()()
12
log 131x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则()()16f f 的值是（ ）
A. 9
B.
1
16
C. 81
D.
181
【答案】D 【解析】 【分析】
首先计算()16f ，然后再计算()()16f
f .
【详解】()12
16log 164f ==-，()()()4
11643
81
f
f f -=-==
. 故选D.
【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单计算题型.
6.设15
log 6a =，0.2
16b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，165c =，则（ ）
A. a b c <<
B. c b a <<
C. c a b <<
D.
b a
c <<
【答案】A 【解析】
由指、对函数的性质可知1155
log 6log 10a =<=，0.2
110166b ⎛⎫⎛⎫
<=<= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，106
551c =>=，即a b c <<，故选A.
7.已知函数()f x 满足()()11
20f f x x x x x
⎛⎫+-=≠
⎪⎝⎭，则()2f -= A. 7
2-
B.
92
C.
72
D. 92
-
【答案】C 【解析】 【分析】 令
1
x x
=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值。

【详解】由()()11
2?
1f f x x x x
⎛⎫+-=
⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭
(2), 将(1)x ⨯+(2)得:
()2222f x x x
-=-
⇒ ()21
,f x x x -=-
()7
22
f ∴-=,
故选C ．
【点睛】本题考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题。

8.已知函数f (x ) ，则该函数的单调递减区间为( ) A. (－∞，1] B. [3，＋∞) C. (－∞，－1] D. [1，＋∞)
【答案】C 【解析】
由x 2−2x −3⩾0得x ⩾3或x ⩽−1，
当x ⩽−1时,函数t =x 2−2x −3为减函数,∵y ∴此时函数f (x )为减函数，
即函数的单调递减区间为(－∞，－1]， 故选：C
点睛：求复合函数的单调区间易错点是忽略了函数的定义域，切记单调区间肯定是定义域的子集.
9.已知()2
199(443)f x x x x R +=++∈，那么函数()f x 的最小值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
【答案】B 【解析】 【分析】
解法一：首先根据换元法求函数()y f x =的解析式，再求函数()y f x =的最小值； 解法二：根据函数()199y f x =+和()y f x =的最小值一样，可求出函数()199y f x =+的最小值，即为函数()y f x =的最小值. 【详解】法一：设199x t +=，199x t =-
()()()2
419941993f t t t =-+-+()2
219912t =-++⎡⎤⎣⎦2
397422t ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ 即()2
397422f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ ，()y f x ∴=的最小值是2，故选B.
法二：函数()199y f x =+向右平移199个单位得到函数()y f x =，
()199y f x ∴=+和()y f x =的最小值一样，
()2
2
1199443422f x x x x ⎛
⎫∴+=++=++ ⎪⎝
⎭，
可知函数()y f x =的最小值是2，故选B.
【点睛】本题考查换元法求函数的解析式，以及二次函数求最值，意在考查转化与变形计算能力，以及对知识的理解和运用.
10.已知函数()1,01,0
x f x x ≥⎧=⎨
-<⎩，()3
g x x =，则()()f x g x ⋅的奇偶性为（ ）
A. 是奇函数，不是偶函数
B. 是偶函数，不是奇函数
C. 是奇函数，也是偶函数
D. 不是奇函数，也不是偶函数
【答案】B 【解析】
首先求()()()33
x F x f x g x x ⎧=⋅=⎨-⎩,0
,0x x ≥< ，然后根据()()F x F x -=判断函数的奇偶性. 【详解】()()()33
x F x f x g x x
⎧=⋅=⎨-⎩,0
,0x x ≥< ， 当0x >时，0x -<，
即()()()3
3F x x x F x -=--== 当0x <时，0x ->
()()()3
3F x x x F x -=-=-=，
()()F x F x ∴-=，
()()f x g x ∴⋅是偶函数，不是奇函数.
故选B.
画出函数()()y f x g x =⋅的图象，根据图象也可判断函数是偶函数
.
【点睛】本题考查分段函数判断函数奇偶性的方法，1.可以画出函数的图象，根据图象是否关于原点对称，或关于y 轴对称，判断函数是否具有奇偶性，2.首先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.
11.已知函数()()24,1,1
a x a x f x ax x ⎧--<=⎨
≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围是
A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 1,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C. ()1,0-
D. ()1,2-
【答案】B 【解析】 【分析】
因为函数是R 上的增函数，所以需满足分段函数的每段都是增函数，还需比较分界点处的函数值的大小，列不等式组求解. 【详解】Q 函数是增函数，
20024a a a a a ->⎧⎪
∴>⎨⎪--≤⎩
， 解得：
1
23
a ≤< 故选B.
【点睛】本题考查根据分段函数的单调性，求参数取值范围的问题，本题的易错点是经常会忘记分界点处1x =时，两个函数值需比较大小.
12.函数
()
2
12
log 68y x x =-+-的
单调递减区间为（ ）
A. [)3,4
B. (]2,3
C. [)3,+∞
D. []2,3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的定义域可知2680x x -+->，再根据复合函数单调性的判断方法求单调区间. 【详解】
12
log y t = ，
268t x x =-+- ，且0t >
12
log y t =Q 是减函数，
根据复合函数判断单调性的方法“同增异减”，
∴求268t x x =-+-的增区间，并且0t >
23680x x x ≤⎧∴⎨-+->⎩
，解得23x <≤
∴函数的单调递减区间是(]2,3.
故选B.
【点睛】本题考查复合函数单调区间的求法，属于基础题型，复合函数判断的方法首先要分内层函数和外层函数，根据“同增异减”来判断，并且注意定义域.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数
ln 1x y -=
的定义域为__________．
【答案】()1,3 【解析】 【分析】
根据题意，列不等式组，求定义域. 【详解】2
10
90
x x ->⎧⎨
->⎩ ， 解得：13x << ， 即函数的定义域是()1,3. 故填：()1,3.
【点睛】本题考查函数的定义域，属于简单题型.
14.不等式23
2122x x --⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
的解集是__________．
【答案】()(),13,-∞-+∞U 【解析】
分析：把不等式化为同底的不等式，利用指数函数的单调性即可求解．
详解：原不等式可以化为2
3222x x --<，所以2230x x -->，故1x <-或者3x >，
不等式的解集为()(),13,-∞-+∞U ，填()(),13,-∞-+∞U ． 点睛：一般地，对于不等式()
()()0,1f x g x a
a a a >>≠，
（1）如果1a >，则原不等式等价于()()f x g x > ； （2）如果01a <<，则原不等式等价于()()f x g x < .
15.函数y =log a （x +1）–1（a >0，a ≠1）的图象必定经过的点坐标为____________． 【答案】（0，–1） 【解析】 【分析】
令对数的真数等于1，求得x 、y 的值，即可求得函数的图象经过的定点坐标． 【详解】令x +1=1，解得x=0，求得y=-1，故函数的图象经过定点（0，–1）， 故答案为： （0，–1）．
【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．
16.若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x -=-，则当0x <时，
()f x =______.
【答案】12x - 【解析】 【分析】
利用0x ->计算()f x -的表达式，再根据奇函数可得()()f x f x -=-，由此得到0x <时，()f x 的表达式.
【详解】因为0x <，所以0x ->，则()21x
f x -=-；
又因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，则()12x f x =-.
【点睛】求解含奇偶性的分段函数的解析式，从已知某段函数入手，将未知转化为已知，然后再利用奇偶性完成求解.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.化简与求值： （1
）21log 331
log 27lg 2100
-+++； （2）()13
3211log 16log 279-⎛⎫
⎛
⎫-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭．
【答案】（1）3；（2）-11 【解析】 【
分析】
（1）根据对数运算法则计算.
（2）根据分数指数幂的运算法则计算，以及根据换底公式计算. 【详解】（1）21log 331
log 27lg
2100
-+++ 21
log 33
2
2
31
log 3lg10ln 22
e -=+++⨯
23113log 3lg10322
=-+
+⨯ 13
32322
=-++=
（2）()13
3211log 16log 279-⎛⎫
⎛
⎫-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
1331
lg
1lg1693lg3lg 2
⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
⎛⎫
=-+⨯ ⎪⎝⎭
1
14lg 22lg33lg3lg 2--⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭
3811=--=-
【点睛】本题考查了指数和对数的运算法则，意在考查转化与计算，变形的能力，需熟练掌握对数运算的公式.
18.已知全集R U =，集合()1
2{|2
1},{|log 3}x A x B x y x -=≤==-.
(Ⅰ)求集合()
U A B ⋂ð；
(Ⅱ)设集合{|}C x x a =<，若A C A ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）{}|13x x <<；（Ⅱ）1a ≤. 【解析】
试题分析：化简集合A 、B ，{}|1A x x =≤，{}|3B x x =<，（Ⅰ）{}|1U C A x x =>，
{}|13U C A B x x ⋂=<<；（Ⅱ）A C A =Q U ,C A ∴⊆，则求出1a ≤.
试题解析：（Ⅰ）{|10}{|1}A x x x x =-≤=≤Q ，{}
1U A x x ∴=ð 又{}
30{|3}B x x x x =-=<，
(){|13
}U A B x x ∴⋂=<<ð. （Ⅱ）,A C A C A ⋃=∴⊆Q ，
{|1},{|}A x x C x x a =≤=<Q ，
1a ∴≤.
19.已知二次函数()f x 满足条件()01f =和()()12f x f x x +-=． （1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在区间[]1,1-上的取值范围．
【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）3,34⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【解析】 【分析】
（1）首先设()()2
0f x ax bx c a =++≠，根据待定系数法求解函数的解析式；（2）首先求
函数的对称轴，再根据二次函数的图象求函数的最值. 【详解】（1）设()()2
0f x ax bx c a =++≠
()011f c =⇒=Q
()()()()2
2111f x f x a x b x c ax bx c +-=++++---
22ax a b x =++=
220a a b =⎧∴⎨+=⎩
，解得：1,1a b ==- ，
()21f x x x ∴=-+.
（2）()2
213124f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭
函数的对称轴1
2
x =， 当[]1,1x ∈-时， 函数的最小值是13
24
f ⎛⎫=
⎪⎝⎭，函数的最大值是()13f -=. ()f x ∴的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，并求二次函数的值域，意在考查对求解析式方法的理解和应用，属于基础题型.
20.已知幂函数()y f x =
的图象过点，（1）求函数()f x 的解析式，并求出它的定义域；（2）若偶函数()g x 满足，当0x ≥时，()(24)g x f x =+，写出函数()g x 的解析式，并求它的值域．
【答案】（1）)0⎡+∞⎣，
（2）(
))0
,? 20
x g x x ⎧≥⎪⎡=+∞⎣<， 【解析】 【分析】
（1）由函数为幂函数，可设()f x x α
=，代入题中点即可得解析式(
)f x =
定义域；
（2）由偶函数0x <时，()()g x g x =-，0x ->代入求解析式即可，从而可得值域.
【详解】（1）设()f x x α
=，由条件得1
2
α=，即(
)12f x x ==，
函数()f x 的定义域为[
)0,+∞.
（2）当0x ≥时，()(
)24g x f x =+=当0x <时，()(
)g x g x =-=，故有(
)0
x g x x ⎧≥⎪=<
函数()g x 的值域为[
)2,+∞.
【点睛】利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤：
1.“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设；
2.转化到已知区间上，代入已知的
解析式； 3.利用()f x 的奇偶性，写出()f x 的解析式.
21.若非零函数()f x 对任意实数,a b 均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0x <时，()1f x >； （1）求证：()0f x > （2）求证：()f x 为减函数 （3）当1(4)16
f =
时，解不等式2
1(3)(5)4f x f x -⋅-≤
【答案】（1）见解析（2）见解析(3){}|01x x ≤≤ 【解析】
试题分析：（1）()20222x x x f x f f ⎛⎫⎛⎫
=+=≥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又∵()0f x ≠，∴()0f x >.；（2）设12x x <，根据()()()
()
()()
()()
1221221122221f x x f x f x x x f x f x x f x f x f x -⋅-+-=
=
=>，由（1）得
()()12f x f x >，结论得证；（3）计算()1
24
f =
，原不等式转化为()
()22+352f x x x f -+-≤，结合（2）得：22x +≥，可得0x ≥.
试题解析：（1）()20222x x x f x f f ⎛⎫⎛⎫
=+=≥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又∵()0f x ≠，∴()0f x >. （2）设12x x <，则120x x -<，
又∵()f x 为非零函数 ∴()()()
()
()()
()()
1221221122221f x x f x f x x x f x f x x f x f x f x -⋅-+-=
=
=
>，由（1）得
()()12f x f x >，
∴()f x 为减函数. （3）解：由()()2
14216f f
==
,()0f x >,得()124
f =. 原不等式转化为(
)()2
2
+352f x x x f -+-≤，结合（2）得：22x +≥，∴0x ≥，
故不等式的解集为{}
0x x ≥.
【方法点睛】本题主要考查函数函数单调性的证明与应用，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.
22.已知函数()
x
f x =．
（1）计算11()()22
f x f x ++-的值；
（2）设a R ∈, 解关于x 的不等式：2
11((1))22
f x a x a -+++<
． 【答案】（1）1；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）代入化简即得结果，（2）先研究函数单调性，再根据单调性化简不等式，最后分类讨论解不等式. 【
详
解
】
（
1
）
112
2
1
12
2
1122
2221122212121122
2
x x x x x x x x x
x x f x f x +---+-⎛⎫⎛⎫
++-=+=+=+= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
+ （2）由（1）并令0x =，得1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(
) 1x f x ==， 故()f x 在实数集上是单调递增函数, 原不等式即为()2
11122f x a x a f ⎛
⎫⎛⎫-+++
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()211
122
x a x a ∴-+++
<，即()()10x a x --<
故当1a <时，不等式的解集为{}
1x a x <<； 当1a =时，不等式的解集为φ；
当1a >时，不等式的解集为{}
1x x a <<.
【点睛】本题考查函数单调性性质以及解含参数不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.。