广西南宁市高三物理复习 专题四 功能关系的应用 第2课时 功能关系在电学中的应用讲义-人教版高三全册

第2课时功能关系在电学中的应用
1．静电力做功与路径无关．若电场为匀强电场，则W＝Fs cos α＝Eqs cos α；若是非匀强电场，则一般利用W＝qU来求．
2．磁场力又可分为洛伦兹力和安培力．洛伦兹力在任何情况下对运动的电荷都不做功；安培力可以做正功、负功，还可以不做功．
3．电流做功的实质是电场对移动电荷做功．即W＝UIt＝Uq.
4．导体棒在磁场中切割磁感线时，棒中感应电流受到的安培力对导体棒做负功，使机械能转化为电能．
5．静电力做的功等于电势能的变化，即W AB＝－ΔE p.
1．功能关系在电学中应用的题目，一般过程复杂且涉及多种性质不同的力，因此，通过审题，抓住受力分析和运动过程分析是关键，然后根据不同的运动过程中各力做功的特点来选择相应规律求解．
2．动能定理和能量守恒定律在处理电学中能量问题时仍然是首选的方法．
题型1 几个重要的功能关系在电学中的应用
例1如图1所示，在竖直平面内有一匀强电场，其方向与水平方向成α＝30°斜向上，在电场中有一质量为m、电量为q的带电小球，用长为L的不可伸长的绝缘细线挂于O点，当小球静止于M点时，细线恰好水平．现用外力将小球拉到最低点P，然后无初速度释放，则以下判断正确的是( )
图1
A ．小球再次到达M 点时，速度刚好为零
B ．小球从P 到M 过程中，合外力对它做了3mgL 的功
C ．小球从P 到M 过程中，小球的机械能增加了3mgL
D ．如果小球运动到M 点时，细线突然断裂，小球以后将做匀变速曲线运动
审题突破 小球静止在M 时，受几个力的作用？重力和电场力的大小关系是什么？小球由P 到M 的过程中，各力做功是多少？
解析 小球从P 到M 的过程中，线的拉力不做功，只有电场力和小球重力做功，它们的合力也是恒力，大小为3mg ，方向水平向右，所以小球再次到达M 点时，速度最大，而不是零，选项A 错．小球从P 到M 过程中，电场力与重力的合力大小为3mg ，这个方向上位移为L ，所以做功为3mgL ，选项B 正确．小球从P 到M 过程中，机械能的增加量等于电场力做的功，由于电场力为2mg ，由P 到M 沿电场线方向的距离为d ＝L sin 30°＋L cos 30°＝L
2(1＋3)，故电场力做功为2mg ·d ＝mgL (1＋3)，故选项C 错误．如果
小球运动到M 点时，细线突然断裂，小球的速度方向竖直向上，所受合外力水平向右，小球将做匀变速曲线运动，选项D 正确． 答案 BD
以题说法 在解决电学中功能关系问题时应注意以下几点：(1)洛伦兹力在任何情况下都不做功；(2)电场力做功与路径无关，电场力做的功等于电势能的变化；(3)力学中的几个功能关系在电学中仍然成立．
如图2所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，
一质量为m 的带正电小球在外力F 的作用下静止于图示位置，小球与弹簧不连接，弹簧处于压缩状态．现撤去F ，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力、弹簧弹力对小球做的功分别为W 1、W 2和W 3，不计空气阻力，则上述过程中( )
图2
A ．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B ．小球重力势能的变化为W 1
C ．小球动能的变化为W 1＋W 2＋W 3
D ．小球机械能的变化为W 1＋W 2＋W 3 答案 C
解析 由于电场力做功，小球与弹簧组成的系统机械能不守恒，选项A 错误．重力对小球做的功为W 1，小球重力势能的变化为－W 1，选项B 错误．由动能定理可知，小球动能的变化为W 1＋W 2＋W 3，选项C 正确．由功能关系可知，小球机械能的变化为W 2，选项D 错误．
题型2 应用动能定理分析带电体在电场中的运动
例2 如图3所示，虚线PQ 、MN 间存在如图所示的水平匀强电场，一带电粒子质量为m ＝
2.0×10
－11
kg 、电荷量为q ＝＋1.0×10－5
C ，从a 点由静止开始经电压为U ＝100 V 的
电场加速后，垂直进入匀强电场中，从虚线MN 的某点b (图中未画出)离开匀强电场时速度与电场方向成30°角．已知PQ 、MN 间距为20 cm ，带电粒子的重力忽略不计．求：
图3
(1)带电粒子刚进入匀强电场时的速率v 1； (2)水平匀强电场的场强大小； (3)ab 两点间的电势差．
审题突破 带电粒子在水平匀强电场中做什么运动？速度与电场方向成30°角，隐含条件是什么？
解析 (1)由动能定理得：qU ＝12mv 2
1
代入数据得v 1＝104
m/s
(2)粒子沿初速度方向做匀速运动：d ＝v 1t 粒子沿电场方向做匀加速运动：v y ＝at 由题意得：tan 30°＝v 1v y
由牛顿第二定律得：qE ＝ma 联立以上各式并代入数据得：
E ＝3×103 N/C ＝1.732×103 N/C
(3)由动能定理得：qU ab ＝12m (v 21＋v 2
y )－0
联立以上各式并代入数据得：U ab ＝400 V. 答案 (1)104
m/s (2)1.732×103
N/C (3)400 V
以题说法 1.电场力做功与重力做功的特点类似，都与路径无关．
2．对于电场力做功或电势差的计算，选用动能定理往往最简便快捷，但运用动能定理时要特别注意运动过程的选取．
如图4所示，在光滑绝缘水平面上，用长为2L 的绝缘轻杆连接两个质量均
为m 的带电小球A 和B .A 球的带电量为＋2q ，B 球的带电量为－3q ，两球组成一带电系
统．虚线MN 与PQ 平行且相距3L ，开始时A 和B 分别静止于虚线MN 的两侧，虚线
MN 恰为AB 两球连线的垂直平分线．若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MN 、 PQ 间加上水平向右的电场强度为E 的匀强电场后，系统开始运动．试求：
图4
(1)B 球刚进入电场时，带电系统的速度大小；
(2)带电系统向右运动的最大距离和此过程中B 球电势能的变化量； (3)A 球从开始运动至刚离开电场所用的时间． 答案 (1)
2qEL m (2)7
3
L 4qEL (3)(32－2) mL
qE
解析 (1)设B 球刚进入电场时带电系统的速度为v 1，由动能定理得 2qEL ＝12×2mv 2
1
解得：v 1＝
2qEL
m
(2)带电系统向右运动分为三段：B 球进入电场前、带电系统在电场中、A 球出电场后． 设A 球出电场后移动的最大位移为s ，对于全过程，由动能定理得 2qEL －qEL －3qEs ＝0
解得s ＝L
3
，则B 球移动的总位移为
s B ＝73
L
B 球从刚进入电场到带电系统从开始运动到速度第一次为零时的位移为43
L
其电势能的变化量为ΔE p ＝－W ＝3qE ·4
3L ＝4qEL
(3)取向右为正方向，
B 球进入电场前，带电系统做匀加速运动： a 1＝
2qE 2m ＝qE m ，t 1＝v 1
a 1
＝ 2mL
qE
带电系统在电场中时，做匀减速运动：a 2＝－qE
2m
设A 球刚出电场时速度为v 2，由动能定理得： －qEL ＝12×2m (v 22－v 2
1)
解得：v 2＝
qEL m
t 2＝v 2－v 1
a 2
＝2(2－1)
mL qE
解得总时间t ＝t 1＋t 2＝(32－2)
mL qE
题型3 功能观点在电磁感应问题中的应用
例3 如图5所示，固定的光滑金属导轨间距为L ，导轨电阻不计，上端a 、b 间接有阻值为
R 的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，且处在磁感应强度大小为B 、方向垂直于导
轨平面向上的匀强磁场中．质量为m 、电阻为r 的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度v 0.整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知弹簧的劲度系数为k ，弹簧的中心轴线与导轨平行．
图5
(1)求初始时刻通过电阻R 的电流I 的大小和方向；
(2)当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v ，求此时导体棒的加速度大小a ； (3)导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为E p ，求导体棒从开始运动直到停止的过程中，
电阻R 上产生的焦耳热Q .
审题突破 导体棒第一次回到初始位置时，受几个力的作用？最终导体棒静止时，在几个力作用下平衡？具体位置在哪里？
解析 (1)初始时刻，导体棒产生的感应电动势E 1＝BLv 0 通过R 的电流大小I 1＝E 1
R ＋r ＝
BLv 0
R ＋r
电流方向为b →a
(2)导体棒产生的感应电动势为E 2＝BLv 感应电流I 2＝
E 2
R ＋r ＝
BLv
R ＋r
导体棒受到的安培力大小F ＝BIL ＝B 2L 2v
R ＋r
，方向沿导轨向上
根据牛顿第二定律有mg sin θ－F ＝ma
解得a ＝g sin θ－B 2L 2v
m R ＋r
(3)导体棒最终静止，有mg sin θ＝kx 压缩量x ＝
mg sin θ
k
设整个过程回路产生的焦耳热为Q 0，根据能量守恒定律有 12
mv 2
0＋mgx sin θ＝E p ＋Q 0 Q 0＝12mv 20＋
mg sin θ2
k －E p
电阻R 上产生的焦耳热
Q ＝R R ＋r Q 0＝R
R ＋r [12mv 20＋mg sin θ2
k －E p ]
答案 (1)
BLv 0
R ＋r
，电流方向为b →a (2)g sin θ－B 2L 2v
m R ＋r
(3)R
R ＋r [12mv 20＋mg sin θ
2
k
－E p ]
以题说法 导体棒在匀强磁场中运动时棒中的感应电流受到的安培力是变力，所以安培力做的功只能由动能定理或能量守恒定律来求解．
在如图6所示的倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为
B 的匀强磁场，区域Ⅰ的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁
场的宽度均为L ，一个质量为m 、电阻为R 、边长也为L 的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，t 1时刻ab 边刚越过GH 进入磁场Ⅰ区，此时线框恰好以速度v 1做匀速直线运动；t 2时刻ab 边下滑到JP 与MN 的中间位置，此时线框又恰好以速度v 2做匀速直线运动．重力加速度为g ，下列说法中正确的是( )
图6
A ．线框两次匀速直线运动的速度之比v 1∶v 2＝2∶1
B ．从t 1到t 2过程中，线框中通过的电流方向先是a →d →c →b ，然后是a →b →c →d
C ．从t 1到t 2过程中，线框克服安培力做功的大小等于重力势能的减少量
D ．从t 1到t 2过程中，有3mgL sin θ2＋
m v 2
1－v 2
2
2的机械能转化为电能
答案 BD
解析 根据题意，第一次匀速运动时，B 2L 2v 1R ＝mg sin θ，第二次匀速运动时，4B 2L 2
v 2
R
＝
mg sin θ，解得v 1∶v 2＝4∶1，选项A 错误；根据楞次定律可以判断，选项B 中所判断
的感应电流的方向是正确的，选项B 正确；线框克服安培力做的功等于线框产生的热量，根据能量守恒定律，线框克服安培力做的功等于重力势能的减少量和动能的减少量之和，重力势能的减少量为3mgL sin θ2，动能的减少量为
m
v 21－v 2
2
2
，选项C 错误，选项D 正
确．
7．应用动力学和功能观点处理电学综合问题
审题示例
(14分)如图7所示，在水平方向的匀强电场中有一表面光滑、与水平面成45°角的绝缘直杆AC ，其下端(C 端)距地面高度h ＝0.8 m ．有一质量为500 g 的带电小环套在直杆上，
正以某一速度沿杆匀速下滑．小球离杆后正好通过C端的正下方P点处．(g取10 m/s2)求：
图7
(1)小环离开直杆后运动的加速度大小和方向；
(2)小环从C运动到P过程中的动能增量；
(3)小环在直杆上匀速运动时速度的大小v0.
审题模板
答题模板
(1)小环沿杆做匀速运动，受力如图所示
故qE cos 45°＝mg cos 45°
即qE＝mg(1分)
小环离开直杆后，所受合外力为
F合＝2mg＝ma
a＝2g＝10 2 m/s2(2分)
方向垂直于杆向下(1分)
(2)小环从C运动到P的过程中动能的增量为
ΔE k＝W重＋W电(2分)
其中W重＝mgh＝4 J．W电＝0，所以ΔE k＝4 J(3分)
(3)环离开杆做类平抛运动
平行杆方向做匀速运动：
2
2
h ＝v 0t (2分) 垂直杆方向做匀加速运动：22h ＝12
at 2
(2分) 解得v 0＝2 m/s(1分)
答案 (1)10 2 m/s 2
，方向垂直于杆向下 (2)4 J (3)2 m/s
如图8，竖直平面坐标系xOy 的第一象限，有垂直xOy 面向外的水平匀强磁
场和竖直向上的匀强电场，大小分别为B 和E ；第四象限有垂直xOy 面向里的水平匀强电场，大小也为E ；第三象限内有一绝缘光滑竖直放置的半径为R 的半圆轨道，轨道最高点与坐标原点O 相切，最低点与绝缘光滑水平面相切于N .一质量为m 的带电小球从y 轴上(y >0)的P 点沿x 轴正方向进入第一象限后做圆周运动，恰好通过坐标原点O ，且水平切入半圆轨道并沿轨道内侧运动，过N 点水平进入第四象限，并在电场中运动(已知重力加速度为g )．
图8
(1)判断小球的带电性质并求出其所带电荷量； (2)P 点距坐标原点O 至少多高；
(3)若该小球以满足(2)中OP 最小值的位置和对应速度进入第一象限，通过N 点开始计时，经时间t ＝2R /g 小球距坐标原点O 的距离s 为多远？ 答案 (1)正电
mg E (2)2E
B R
g
(3)27R 解析 (1)小球进入第一象限正交的电场和磁场后，在垂直磁场的平面内做圆周运动，说明重力与电场力平衡，设小球所带电荷量为q ，则有
qE ＝mg ①
解得：q ＝mg
E
②
又电场方向竖直向上，故小球带正电．
(2)设小球做匀速圆周运动的速度为v 、轨道半径为r ，由洛伦兹力提供向心力得：
qBv ＝mv 2/r ③
小球恰能通过半圆轨道的最高点并沿轨道运动，则应满足：
mg ＝mv 2/R ④
由②③④得：r ＝
E B R g
⑤ 即PO 的最小距离为：y ＝2r ＝
2E
B
R g
⑥ (3)小球由O 运动到N 的过程中设到达N 点的速度为v N ，由机械能守恒定律得：
mg ·2R ＝1
2mv 2N －12
mv 2
⑦
由④⑦解得：v N ＝5gR ⑧
小球从N 点进入电场区域后，在绝缘光滑水平面上做类平抛运动，设加速度为a ，则有： 沿x 轴方向有：x ＝v N t ⑨ 沿电场方向有：z ＝12at 2
⑩
由牛顿第二定律得：a ＝qE /m ⑪
t 时刻小球距O 点为：s ＝x 2＋z 2＋2R
2
＝27R
(限时：45分钟)
1．(2013·新课标Ⅰ·16)一水平放置的平行板电容器的两极板间距为d ，极板分别与电池两
极相连，上极板中心有一小孔(小孔对电场的影响可忽略不计)．小孔正上方d
2处的P 点有
一带电粒子，该粒子从静止开始下落，经过小孔进入电容器，并在下极板处(未与极板接触)返回．若将下极板向上平移d
3，则从P 点开始下落的相同粒子将( )
A ．打到下极板上
B ．在下极板处返回
C ．在距上极板d
2处返回
D ．在距上极板2
5
d 处返回
答案 D
解析 粒子两次落到小孔的速度相同，设为v ，下极板向上平移后由E ＝U d
知场强变大，故粒子第二次在电场中减速运动的加速度变大，由v 2
＝2ax 得第二次减速到零的位移变小，即粒子在下极板之上某位置返回，设粒子在距上极板h 处返回，对粒子两次运动过
程应用动能定理得mg (d 2＋d )－qU ＝0，mg (d 2＋h )－q U 23
d ·h ＝0.两方程联立得h ＝2
5
d ，选项
D 正确．
2．将带正电的甲球放在乙球的左侧，两球在空间形成了如图1所示的稳定的静电场，实线为
电场线，虚线为等势线．A 、B 两点与两球球心的连线位于同一直线上，C 、D 两点关于直线AB 对称，则( ) A ．乙球一定带负电
B ．
C 点和
D 点的电场强度相同
C ．正电荷在A 点具有的电势能比其在B 点具有的电势能大
D ．把负电荷从C 点移至D 点，电场力做的总功为零 答案 CD
解析 电场线从正电荷出发指向负电荷，根据电场线知乙球左侧带负电，右侧带正电，整体带电情况不确定，A 错误；电场强度是矢量，C 、D 两点电场强度的方向不同，B 错误；电场线的方向是电势降落最快的方向，A 点的电势比B 点的电势高，由电势能的定义式E p ＝qφ知，正电荷在A 点的电势能比在B 点的电势能大，C 正确；C 、D 两点在同一等势面上，故将电荷从C 点移至D 点电势能不变，电场力做功是电势能变化的量度，故电场力不做功，D 正确．
3．如图2所示，绝缘轻弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧与斜面平行，带电小球Q (可视为
质点)固定在光滑绝缘斜面上的M 点，且在通过弹簧中心的直线ab 上．现把与Q 大小相同、电性相同的小球P ，从N 点由静止释放，在小球P 与弹簧接触到压缩至最短的过程中(弹簧始终在弹性限度内)，以下说法正确的是( )
图2
A ．小球P 和弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球P和弹簧刚接触时其速度最大
C．小球P的动能与弹簧弹性势能的总和增大
D．小球P的加速度先减小后增大
答案CD
解析小球P沿斜面向下运动的过程中，在接触弹簧前，库仑斥力变小，合力变小，加速度变小，小球向下加速，接触弹簧后，弹簧弹力增大，故受到的合力沿斜面先向下再向上，小球的加速度先向下减小，再向上增加，小球先向下加速再向下减速，B错误，D 正确；对于小球P和弹簧组成的系统，由于电场力对其做正功，故机械能要增大，A错误；全过程只发生了小球P的动能、重力势能、电势能与弹簧的弹性势能的相互转化，由于重力和电场力都做正功，重力势能和电势能的总和减小，故小球P的动能与弹簧弹性势能的总和增大，C正确．
4．如图3所示，在一个点电荷形成的电场中，M、N、L是三个间距相等的等势面．一重力不计的带电粒子从p点无初速度释放后，沿图中直线依次经过q、k两点，且p、q、k三点是带电粒子的运动轨迹与等势面的交点．设带电粒子从p点到q点电场力做的功为W pq，从q点到k点电场力做的功为W qk，则( )
图3
A．W pq＝W qk
B．W pq<W qk
C．粒子从p点到q点做匀加速直线运动
D．粒子从p点到q点其电势能逐渐减小
答案 D
解析离点电荷越近，等势面分布越密集，即离点电荷越近的地方间距相等的等势面间的电势差越大，则有U pq>U qk，由W＝qU得W pq>W qk，选项A、B错误；粒子从静止开始运动，电场力做正功，电势能逐渐减小，选项D正确；从p到q电场力逐渐减小，则加速度逐渐减小，选项C错误．
5．如图4所示，在倾角为θ的斜面上固定两根足够长的光滑平行金属导轨PQ、MN，相距为
L ，导轨处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下．有两根质量均
为m 的金属棒a 、b ，先将a 棒垂直导轨放置，用跨过光滑定滑轮的细线与物块c 连接，连接a 棒的细线平行于导轨，由静止释放c ，此后某时刻，将b 也垂直导轨放置，a 、c 此刻起做匀速运动，b 棒刚好能静止在导轨上，a 棒在运动过程中始终与导轨垂直，两棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计．则( )
图4
A ．物块c 的质量是2m sin θ
B ．b 棒放上导轨前，物块c 减少的重力势能等于a 、c 增加的动能
C ．b 棒放上导轨后，物块c 减少的重力势能等于回路消耗的电能
D ．b 棒放上导轨后，a 棒中电流大小是mg sin θ
BL
答案 AD
解析 b 棒恰好静止，受力平衡，有mg sin θ＝F 安，对a 棒，安培力沿导轨平面向下，由平衡条件得mg sin θ＋F 安＝m c g ，由上面的两式可得m c ＝2m sin θ，选项A 正确；根据机械能守恒定律知，b 棒放上导轨之前，物块c 减少的重力势能应等于a 棒、物块c 增加的动能与a 棒增加的重力势能之和，选项B 错误；根据能量守恒定律可知，b 棒放上导轨后，物块c 减少的重力势能应等于回路消耗的电能与a 棒增加的重力势能之和，选项C 错误；对b 棒，设通过的电流为I ，由平衡条件mg sin θ＝F 安＝BIL ，得I ＝
mg sin θ
BL
，a 棒中的电流也为I ＝mg sin θ
BL
，选项D 正确．
6．如图5所示，质量为m 的物块(可视为质点)，带正电Q ，开始时让它静止在倾角α＝60°
的固定光滑绝缘斜面顶端，整个装置放在水平方向向左、大小为E ＝3mg /Q 的匀强电场中(设斜面顶端处电势为零)，斜面高为H .释放后，物块落地时的电势能为ε，物块落地时的速度大小为v ，则( )
图5
A ．ε＝
33mgH B ．ε＝－3
3
mgH C ．v ＝2gH D ．v ＝2gH 答案 C
解析 由电场力做功等于电势能的变化可得物块落地时的电势能为ε＝－QEH /tan 60°＝－3mgH /3＝－mgH ，选项A 、B 错误；由动能定理，mgH ＋QEH /tan 60°＝12mv 2
，解
得v ＝2gH ，选项C 正确，D 错误．
7．如图6所示，间距为L 、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻
值为R 的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m 、电阻也为R 的金属棒，金属棒与导轨接触良好．整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中．现使金属棒以初速度
v 沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q .下列说法正确的是
( )
图6
A ．金属棒在导轨上做匀减速运动
B ．整个过程中金属棒克服安培力做功为12mv 2
C ．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为2qR
BL
D ．整个过程中电阻R 上产生的焦耳热为12mv 2
答案 BC
解析 由题意可知金属棒在安培力作用下做减速运动直至静止，由于速度一直减小，故安培力的大小一直减小，金属棒的加速度减小，故金属棒做加速度减小的减速运动，选项A 错误．在整个过程中，只有安培力做负功，由动能定理可知金属棒克服安培力做功为12mv 2，选项B 正确．由q ＝ΔΦR 总可知q ＝BLs 2R ，解得s ＝2qR BL ，选项C 正确．由B 项可知整个回路中产生的焦耳热为12mv 2，电阻R 上产生的焦耳热为14mv 2
，选项D 错误．
8．如图7所示，一长为h 2内壁光滑的绝缘细管竖直放置．管的底部固定一电荷量为Q (Q >0)
的点电荷M .现在管口A 处无初速度释放一电荷量为q (q >0)、质量为m 的点电荷N ，N 在
距离底部点电荷为h 1的B 处速度恰好为零．再次从A 处无初速度释放电荷量为q 、质量为3m 的点电荷P (已知静电常数为k ，重力加速度为g )．求：
图7
(1)电荷P 运动过程中速度最大处与底部点电荷间的距离； (2)电荷P 运动到B 处时的速度大小． 答案 (1)
kQq
3mg
(2)2 g h 2－h 1
3
解析 (1)电荷P 运动到重力等于电场力时，速度最大，距底部距离为r ， 则有3mg ＝
kQq r 2
解得r ＝
kQq 3mg
(2)设电荷P 运动到B 处时的速度为v B ，由动能定理， 有3mg (h 2－h 1)－qU AB ＝12×3mv 2
B
依题意有mg (h 2－h 1)＝qU AB 联立两式可得：v B ＝2
g h 2－h 1
3
9．如图8所示，MN 和PQ 为固定在绝缘水平面上两平行光滑金属导轨，导轨左端MP 间接有
阻值为R 1＝2 Ω的导线；导轨右端接有与水平轨道相切、半径r ＝0.5 m 、内壁光滑的半圆金属轨道．导轨间距L ＝0.4 m ，电阻不计．导轨所在平面abcd 区域内有竖直向上、
B ＝0.5 T 的匀强磁场．导轨上长度也为0.4 m 、质量m ＝0.6 kg 、电阻R 2＝1 Ω的金属
棒AB 以v 0＝6 m/s 的速度进入磁场区域，离开磁场区域后恰好能到达半圆轨道的最高点，运动中金属棒始终与导轨保持良好接触．已知重力加速度g ＝10 m/s 2
.求：
图8
(1)金属棒AB 刚滑出磁场右边界cd 时的速度v 的大小； (2)金属棒滑过磁场区域的过程中，导线R 1中产生的热量Q . 答案 (1)5 m/s (2)2.2 J
解析 (1)在轨道的最高点，根据牛顿第二定律有
mg ＝m v 21
r
①
从金属棒刚滑出磁场到最高点，根据机械能守恒定律有 12mv 21＋mg ·2r ＝1
2mv 2② 联立①②两式并代入数据解得
v ＝5 m/s③
(2)在金属棒滑过磁场的过程中，根据能量关系得
Q 总＝1
2mv 20－12
mv 2④
对闭合回路，根据热量关系有
Q ＝Q 总
R 1＋R 2
R 1⑤(3分) 联立④⑤两式并代入数据得
Q ＝2.2 J
10．如图9所示，A 、B 为半径R ＝1 m 的四分之一光滑绝缘竖直圆弧轨道，在四分之一圆弧
区域内存在着E ＝1×106
V/m 、竖直向上的匀强电场，有一质量m ＝1 kg 、带电量q ＝1.4×10－5
C 正电荷的物体(可视为质点)，从A 点的正上方距离A 点H 处由静止开始自由下落(不计空气阻力)，BC 段为长L ＝2 m 、与物体间动摩擦因数为μ＝0.2的粗糙绝缘水平面，C
D 段为倾角θ＝53°且离地面D
E 高h ＝0.8 m 的斜面．
(1)若H ＝1 m ，物体能沿轨道AB 到达最低点B ，求它到达B 点时对轨道的压力大小； (2)通过你的计算判断：是否存在某一H 值，能使物体沿轨道AB 经过最低点B 后最终停在距离B 点0.8 m 处；
(3)若高度H 满足：0.85 m≤H ≤1 m，请通过计算表示出物体从C 处射出后打到的X 围．(已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.不需要计算过程，但要有具体的位置，不讨论物体反弹以后的情况)
图9
答案 (1)8 N (2)不存在 (3)在斜面上距离D 点5
9 mX 围内 在水平面上距离D 点0.2
mX 围内
解析 (1)物体由初始位置运动到B 点的过程中根据动能定理有mg (R ＋H )－qER ＝12
mv 2
B
到达B 点时由支持力F N 、重力、电场力的合力提供向心力F N －mg ＋qE ＝m v 2B
R
解得F N ＝8 N
根据牛顿第三定律，支持力与压力大小相等、方向相反 所以物体对轨道的压力大小为8 N ，方向竖直向下
(2)要使物体沿轨道AB 到达最低点B ，当支持力为0时，最低点有个最小速度v ，则
qE －mg ＝m v 2
R
解得v ＝2 m/s
在粗糙水平面滑行时的加速度a ＝μg ＝2 m/s 2
物体最终停止的位置距离B 为s ＝v 2
2a
＝1 m>0.8 m
故不存在某一H 值，使物体沿着轨道AB 经过最低点B 后，停在距离B 点0.8 m 处． (3)在斜面上距离D 点5
9
mX 围内(如图PD 之间区域)
在水平面上距离D 点0.2 mX 围内(如图DQ 之间区域)。