11-8条件概率、事件的独立性理

(1)对于事件 A、B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称
_____A__、__B__是__相___互__独__立___事__件__________
北
(2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝ P(B) ，
师
大
P(AB)＝ P(B|A)·P(A) ＝ P(A)·P(B) ．
版
(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ，A 与 B ， A 与 B也相
师
A1A2A3)
大
版
＝ P(A1A2 A 3) ＋ P(A1 A 2A3) ＋ P( A 1A2A3) ＋
P(A1A2A3) ＝ 0.9×0.8×0.3 ＋ 0.9×0.2×0.7 ＋ ×0.1×0.8×0.7
＋0.9×0.8×0.7＝0.902.
第11章 第八节
高考数学总复习
解法二 P(C)＝1－P( C )
北
P3＝P(X＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.82＝0.48.
事件 B 发生的概率叫做 条件概率，用符号 P(B|A) 来表示，其
北 师
大
PAB
版
公式为 P(B|A)＝ PA .
(2)条件概率具有的性质：
① 0≤P(B |A )≤1 ；
②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A)
第11章 第八节
高考数学总复习
2．相互独立事件
＝1－P( A1A2A3 ＋A1 A2A3 ＋ A1 A2 A3 ＋ A1A2 A3)
＝ 1 － [P( A1A2A3 ) ＋ P(A1 A2A3 ) ＋ P( A1 A2 A3 ) ＋ 北
师
P( A1A2 A3)]
大 版
＝ 1 － (0.1×0.2×0.3 ＋ 0.9×0.2×0.3 ＋
0.1×0.8×0.3＋0.1×0.2×0.7)＝1－0.098＝0.902.
(2)解法 1：第一次取走 1 件不合格品后，还剩下 99 件产
大 版
品，其中有 4 件不合格品．于是第二次再次取到不合格品的
概率为949.
第11章 第八节
高考数学总复习
解法 2：根据条件概率的定义计算，需要先求出事件 AB
的概率：P(AB)＝CC212500＝4915，
北
1
师 大
所以有 P(B|A)＝PPAAB＝4955＝949.
师
大
1
5
1
1
版
A.2
B.12
C.4
D.6
[答案] B
第11章 第八节
高考数学总复习
[解析] 恰有一个一等品即一个是一等品，另一个
不是，则情形为两种，即甲为一等品，乙不是或乙为一
等品甲不是，
北 师
大
∴P＝23×1－34＋1－23×34＝152，故选 B.
版
第11章 第八节
高考数学总复习
＝0.5
北
∵B A，故 A∩B＝B，
师 大
版
于是 P(B|A)＝PPA∩AB＝PPAB＝00..85＝58
已经使用了 800h 的节能灯还能继续使用到 1000h 的概率为58.
第11章 第八节
高考数学总复习
7．投掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，求正好出现 3 个正面的概率．
北
件 Ai 的对立事件，i＝1,2,3.
北
师
记“甲实验考核合格”为事件 B1；“乙实验考核合格”为事 大
版
件 B2，“丙实验考核合格”为事件 B3.
第11章 第八节
高考数学总复习
(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C，记
C 为事件 C 的对立事件．
解法一 P(C)＝P(A1A2 A 3＋A1 A 2A3＋ A 1A2A3＋ 北
互独立．
(4)若 P(AB)＝P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立 .
第11章 第八节
高考数学总复习
基础自测
北 师
大
版
第11章 第八节
高考数学总复习
1.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概
率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，
北
则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
[解析] 记“至少出现两个正面”为事件 A，“正好出现 3 师
大
个正面”为事件 B.
版
n(A)＝C25＋C35＋C45＋C55＝26.n(B)＝C35＝10.
∴所求概率 P＝1206＝153.
第11章 第八节
高考数学总复习
北 师 大 版
第11章 第八节
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条件概率
[例 1] 在 100 件产品中有 95 件合格品，5 件不合格品．现
0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2) 求 这 三 人 该 课 程 考 核 都 合 格 的 概 率 ( 结 果 保 留 三 位 小
数)．
第11章 第八节
高考数学总复习
[解析] 记“甲理论考核合格”为事件 A1；“乙理论考核合
格”为事件 A2；“丙理论考核合格”为事件 A3，记事件 A i 为事
6．某种节能灯使用了800h，还能继续使用的概率是
0.8，使用了1000h还能继续使用的概率是0.5，问已经使用
了800h的节能灯，还能继续使用到1000h的概率是____．
北
师
大
[答案]
5 8
版
第11章 第八节
高考数学总复习
[解析] 设节能灯使用了 800h 还能继续使用为事件 A，使用
了 1000h 还能继续使用为事件 B，则由题意知 P(A)＝0.8，P(B)
决这个问题的概率是( )
北
A．p1p2
师 大
B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
版
C．1－p1p2
D．1－(1－p1)(1－p2)
[答案] B
第11章 第八节
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[解析] 设甲解决问题为事件 A，乙解决问题为事件
B，则恰有一人解决为事件 A B＋A B ，由题设 P(A)＝p1，
P(B) ＝ p2 ， ∴P( A B ＋ A B )＝ P( A B)＋ P(A B )＝
投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质
可知．北P(X＝0)(1－q1)(1－q2)2＝0.03，解得 q2＝0.8.
师 大
版
第11章 第八节
高考数学总复习
(2)根据题意 P1＝P(X＝2)＝(1－q1)C12(1－q2)q2 ＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24.
P2＝P(X＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01.
的求法．
∵P(A)＝C23C＋25C22＝25，P(AB)＝CC2225＝110，
北 师 大
版
∴P(B|A)＝PPAAB＝14.
第11章 第八节
高考数学总复习
3．打靶时甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次，
可中靶 7 次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶
的概率是( )
北
师
3 3 12 14
2．(2011·辽宁理，5)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的
数，事件 A＝“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝
“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝( )
北
师
1121
大
A.8 B.4 C.5 D.2
版
[答案] B
第11章 第八节
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[解析] 本小题考查的内容为古典概型与条件概率
高考数学总复习
北 师 大 版
第11章 计数原理与概率
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第 八 节 条件概率、事件的独立性(理)
北
师
大
版
第11章 第八节
高考数学总复习
北 师 大 版
第11章 第八节
高考数学总复习
考纲解读
1．了解条件概率和两个事件相互独立的概率．
2．能解决一些简单的实际问题．
北
师
大
版
第11章 第八节
高考数学总复习
第11章 第八节
高考数学总复习
X 0 2345
P 0.03 P1 P2 P3 P4
(1)求 q2 的值；
北
师
(2)求随机变量 X 的数学期望 EX；
大
版
(3)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上
述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小．
第11章 第八节
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[解析] (1)由题设知，“X＝0”对应的事件为“在三次
师
大
版
第11章 第八节
高考数学总复习
在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如
北
果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮；否则投第三次．某同学 师
大
在 A 处的命中率 q1 为 0.25，在 B 处的命中率 q2.该同学选择先在 版 A 处投一球，以后都在 B 处投，用 X 表示该同学投篮训练结束后 所得的总分，其分布列为
第11章 第八节
高考数学总复习
相互独立事件同时发生的概率
[例 2] 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核
成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该 北
师
课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率
大 版
分别为 0.9、0.8、0.7，在实验考核中合格的概率分别为 0.8、0.7、
从中不放回地取两次，每次任取 1 件．试求：
北
师
(1)第一次取到不合格品的概率；
大 版
(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品
的概率．
第11章 第八节
高考数学总复习
[解析] 设“第一次取到不合格品”为事件 A，“第二次
取到不合格品”为事件 B.
(1)P(A)＝1050＝0.05.
北 师
考向预测
1．在选择、填空中考查条件概率、相互独立事件的概率．
2．在解答题中考查这些概率，或者综合考查分布列、均 北
师
值与方差等．
大 版
第11章 第八节
高考数学总复习
北 师 大 版
第11章 第八节
高考数学总复习
知识梳理
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，
北
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面
师 大
版
计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计
算．
第11章 第八节
高考数学总复习
(2)在应用相互独立事件的概率乘法公式时，一定要认
真审题，找准关键字句，如“至少有一个发生”、“至多
有一个发生”、“恰有一个发生”等等，同时结合独立事
北
件的概率乘法进行求解．
版
[答案]
1 2
1 3
第11章 第八节
高考数学总复习
PA·PB＝16
[解析]
由P

B
·PC＝18
北
PA·PB·P
C
＝18
师 大 版
得 P(A)＝13，P(B)＝12.
∴P( A B)＝P( A )·P(B)＝23×12＝13.
第11章 第八节
高考数学总复习
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902.
第11章 第八节
高考数学总复习
(2)记“三人该课程都合格”为事件D，
P(D)＝P[(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)]
＝P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3)
北
＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)
大
A.5 B.4 C.25 D.25
版
[答案] D
第11章 第八节
高考数学总复习
[解析] 甲中靶的概率为45，乙中靶的概率为170，
两人打靶相互独立，同时中靶的概率为45×170＝1245.
北 师
大
版
第11章 第八节
高考数学总复习
4．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的
概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解
版
100
第11章 第八节
高考数学总复习
1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和
3 个红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后 北
师
从 2 号箱随机取出一球，问从 2 号箱取出红球的概率是多少？
大 版
第11章 第八节
高考数学总复习
[解析] 记事件 A：最后从 2 号箱中取出的是红球；事件
B：从 1 号箱中取出的是红球．
则 P(B)＝2＋4 4＝23，P( B )＝1－P(B)＝13，
北 师
大
P(A|B)＝38＋＋11＝49，P(A| B )＝8＋3 1＝13，
版
从而 P(A)＝P(AB)＋P(A B )
＝P(A|B)P(B)＋P(A| B )P( B ) ＝49×23＋13×13＝2117.
北 师
大
P( A )·P(B)＋P(A)·P( B )＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)．
版
第11章 第八节
高考数学总复习
5．事件 A，B，C 相互独立，如果 P(AB)＝16，P( B
C)＝18，P(AB C )＝18，则 P(B)＝________，P( A B)＝ 北
师
________.
大
师 大
＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9
版
＝0.254016≈0.254.
所以，这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.
第11章 第八节
高考数学总复习
[点评] A1、A2、A3 为独立事件，那么 A1 、A2 、A3 也为独立事件，根据独立事件同时发生的概率公式计算．
(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：