山东省日照第一中学2020届高三上学期期中考试数学试题(pdf版)

日照一中2019—2020学年度上学期高三期中考试
数学试题 2019.11
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共52分)
一、单项选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1. 已知集合{|ln >2}A x x =，{|B x y ==，则=
B A
C R )(A .2
(0,)e B .
2(0,]e C . 2[2,]e D . [2,)+∞2. 设i 是虚数单位，复数i
i
a +-1为纯虚数，则实数a 的值为
A. 1 B .-1 C . 2
1
D .-2
3. 能够把椭圆C : 18
42
2=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数)(x f 称为椭圆C
的“亲和函数”，下列函数是椭圆C 的“亲和函数”的是 A.2
3
)(x x x f += B . x
x
x f +-=55ln
)( C.x x x f cos sin )(+=D .x
x e
e x
f -+=)(4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是
A ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ
B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ
C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥
D ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ
⊥5. 函数2
()ln ||8
x f x x =-的图象大致是 6.已知点P 是ABC ∆的内心(三个内角平分线交点)、外心(三条边的中垂线交点)、重心(三条中线交点)、垂心(三个高的交点)之一，且满足2
2
2AP BC AC AB ⋅=-，则点P 是ABC ∆的 A. 内心 B. 外心 C. 重心 D 垂心
7. 双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，
则C 的焦距等于
A ．2
B ．
C ．4
D ．
8. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为7
30
，既吹东风又下雨的概率为110.则
在吹东风的条件下下雨的概率为
A ．
311
B ．
37 C ．711 D ．
1
10
9. 已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时， 直线PF 的斜率为
A ．43-
B ．34-
C ．34
D ．4
3
10．已知函数()2, 0
223,0x
e x
f x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪---≤⎩
，当0a <时，方程()()220f x f x a -+=有4个
不相等的实数根，则a 的取值范围是 A ．158a -≤<-
B ．2154e a e -≤≤-
C ．15a -<<-8
D ．2
154
e a e -≤≤
- 二、多项选择题(本题共3小题，每小题4分，共12分。

在每小题给出的四个选项中，有多个
选项是符合题目要求的。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 11. 已知函数2
()2sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个选项，正确的有
A ．函数()f x 的最小正周期是π
B ．函数()f x 在区间[,
]88
π5π
上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于点(,0)8
π
-对称
D ．函数()f x
的图象可由函数2y x =
的图象向右平移
8
π
个单位，再向下平移1个 单位得到．
12. 已知ab ≠0，O 为坐标原点，点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2
外一点，过点P 作直线l ⊥OP ，
直线m 的方程是ax +by ＝r 2
，则下列结论正确的是 A ．m ∥l B ．m ⊥l C ．m 与圆相离 D ．m 与圆相交
13．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少
种？下列结论正确的有
A ．1
1
1
1
3213C C C C
B ．2
3
43C A
C ．122
342C C A D ．18
第Ⅱ卷(非选择题 共98分)
三、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)
14. 已知二项式6
1ax x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为－160，则a =________．
15. 随机变量ζ服从正态分布),(2
σμN ，若241.0)＜2(=≤-μζμP ， 则=+)2＞(μζP .
16. 已知,,,C S A B 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥
,1,SA AB BC ===,则球O 的表面积等于______________.
17. 已知向量||||||1==-=a b a b ，向量c 满足 ()()0-⋅-=c a 2c b ，
则||c 的最小值为_________，最大值为_________.
四、解答题(本题共6小题，共82分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(12分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B b A c +=． (1)求角A 的大小； (2)
若a =ABC ∆
，求b c +的值．
19. (14分)在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠ACB ＝1
2
.已知E ，F 分别是BC ，AC 的中点．将
△CEF 沿EF 折起，使C 到C′的位置且二面角C′－EF －B 的大小是60°.连接C′B ，C ′A ，如图：
(1)求证：平面C′FA ⊥平面ABC′；
(2)求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．
20.(14分)
红铃虫是棉花的主要害虫之一,能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关.现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中1ln ,7i i i z y z z ===∑
(1) 根据散点图判断,bx a y +=与d x
y ce =(其中e=2.718···为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y 关于x 的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)
(2) 根据以往统计,该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害,需要人工防治,
其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为(01)p p <<. (ⅰ) 记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为)(p f ，求)(p f 的最大值，并求出相
应的概率0p .
(ⅱ) 当)(p f 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差. 附：对于一组数据112277(,),(,),
,(,)x z x z x z ，其回归直线ˆˆˆz
a bx =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：7
1
7
2
1
()()
ˆˆˆ,()
i
i
i i
i x x z
z b
a
z bx x x ==--==--∑∑.
21. (14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28a =，1
12
n n a S n =--+. (1) 求数列{}n a 的通项公式；
(2) 设数列123n n n a a +⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，220n n S T n λ++-≥对任意*
n ∈N 的恒成立，
求实数λ的最大值.
22. (14分)设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为
3
5
，13||=AB . (1) 求椭圆的标准方程；
(2) 设直线)0(:<=k kx y l 与椭圆交于N M ,两点，且点M 在第二象限. l 与AB 延长线交
于点P ，若BNP ∆的面积是BMN ∆面积的3倍，求k 的值.
23. (14分)已知函数1)(2---=bx ax e x f x ，其中R b a ∈,，e ＝2.71828…为自然对数的底数. 设)(x g 是)(x f 的导函数.
(1)若1=a 时，函数)(x g 在0=x 处的切线经过点)1,1(-，求b 的值；
(2)求函数)(x g 在区间]0,1[-上的单调区间；
(3)若0)1(=-f ，函数)(x f 在区间)0,1(-内有零点，求a 的取值范围.。