问题7.2 立体几何中的折叠问题-2020届高三数学成功在我之优等生提分精品(学生版)

专题七解析几何
问题二：立体几何中折叠问题
一、考情分析
立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.
二、经验分享
(1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点.
(2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键．
(3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.
三、题型分析
(一) 平面图形的折叠
1. 折叠后的形状判断
【例1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上)
①②③
④⑤⑥
【小试牛刀】下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（）
A. B. C. D.
2.折叠后的线面关系
【例2】将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是()
图1图2
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
【小试牛刀】【2017届浙江省宁波市高三上学期期末】如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为边BC,AD的中点,将沿BF所在直线进行翻折,将沿DE所在直线进行翻折,在翻折过程中（）
A. 点A与点C在某一位置可能重合
B. 点A与点C的最大距离为
C. 直线AB与直线CD可能垂直
D. 直线AF与直线CE可能垂直
3.折叠后几何体的数字特征
【例3】（体积问题）如图所示,等腰ABC △的底边66AB =,高3CD =,点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点,点F 在BC 边上,且EF AB ⊥,现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置,使PE AE ⊥,记
BE x =,()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．
（1）求()V x 的表达式；
（2）当x 为何值时,()V x 取得最大值？
【小试牛刀】【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】平行四边形ABCD 中,AB ·
BD =0,沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C,且422
2
=+BD AB ,则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（ ） A ．
2π B ．4
π C ．π4 D ．2π
. .
A
C
D
B
E
F
图
图
A
B
C
D P
E
F
【例4】（空间角问题）如左图,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且
3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如右图所示),连结AP 、EF 、PF ,其中25PF =.
(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.
【小试牛刀】【2017届陕西省西安市高三模拟（一）】如图：在直角梯形中
,,,于,把沿折到的位置,使,如图,分别为
,的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角
(二) 几何体的展开
几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面距离的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试.
1.展开后形状的判断
【例5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（）
【小试牛刀】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________.
2.展开后的数字特征——表面上的最短距离问题 【例6】如图,已知圆柱体底面圆的半径为
2
π
,高为2,AB CD ，分别是两底面的直径,AD BC ，是母线．若一只小虫从A 点出发,从侧面爬行到C 点,求小虫爬行的最短路线的长度．
【小试牛刀】如图,在长方体中,13,4,5AB BC CC ===,求沿着长方体表面从A 到1C 的最短路线长.
四、迁移运用
1.【2017辽宁省六校协作体下学期期初】已知一个圆柱的底面半径和高分别为和,,侧面展开图是一
个长方形,这个长方形的长是宽的2倍,则该圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A. B.
C.
D.
2.【四川省德阳市2018届高三二诊】以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将ABD ∆与ACD ∆折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①BD ⊥平面ACD ；②ABC ∆为等边三角形；③平面ADC ⊥平面ABC ；④点D 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外接圆圆心.其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
3.【2017河南省信阳市上学期期末教学质量监测】已知梯形如下图所示,其中,
,为线段
的中点,四边形为正方形,现沿
进行折叠,使得平面
平面
,得到如图所示的几何体.已知
当点满足
时,平面
平面
,则的值为（ ）
A. B. C. D.
4.【2016学年湖南师大附中第三次检测】如图是棱长为1的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下结论错误的是（ ）
A ．点M 到A
B 的距离为
22
B ．AB 与EF 所成角是90︒
C ．三棱锥C DNE -的体积是1
6
D ．EF 与MC 是异面直线
5.【2016学年四川省成都七中】把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A B C D ，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）度 A ．90 B ．60 C ．45 D ．30
6.【辽宁省辽阳市2018学届高三第一次模拟】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，ABE，BCF，CDG，ADH 分别以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA 为折痕折起ABE，BCF，CDG，ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．
7．【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】表面积为的球面上有四点,且是边长为的
等边三角形,若平面在侧棱长为的正三棱锥中,,过作截面,交
于,交于,则截面周长的最小值为__________．
8.如图所示,在四边形ABCD 中,CD BD BD CD AD AB ⊥====,2,1,将四边形ABCD 沿对角线
BD 折成四面体BCD A -',使平面⊥BD A /平面BCD ,则下列结论正确的是 ．
（1）BD C A ⊥'； （2）ο90='∠C A B ；
（3）A C '与平面BD A '所成的角为︒
30；
（4）四面体BCD A -'的体积为6
1．
9．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】如图,矩形ABCD 中,2AB AD =,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆,若M 为线段1AC 的中点,则在ADE ∆翻折过程中,下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项)
（1）||BM 是定值 （2）点M 在某个球面上运动 （3）存在某个位置,使1DE A C ⊥ （4）存在某个位置,使//MB 平面1A DE
10．【四川省广元市高2018届第二次高考适应性统考】如图，在矩形ABCD 中， 4AB =， 2AD =，
E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起， D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE .
（Ⅰ）求证： 'AD EB ⊥； （Ⅱ）求二面角'A BD E --的大小
11．【2017安徽省黄山市上学期期末质量检测】如图1,在中,,是斜边上的高,沿将折成的二面角.如图2.
（1）证明：平面平面；
（2）在图2中,设为的中点,求异面直线与所成的角.
12．【2017辽宁省六校协作体下学期期初】如图（1）所示,在直角梯形
中,,,,,、、分别为线段、、的中点,现将折起,使平面平面（图（2））．
（1）求证：平面平面；
（2）若点是线段的中点,求证：平面.
（3）求三棱锥的体积．
13．【2017届河北省正定中学高三上学期第三次月考】如图,菱形的对角线与交于点
,,,点分别在上,,交于点,将沿折到的位置,．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
14. 如图1所示,正ABC ∆的边长为2a ,CD 是AB 边上的高,E,F 分别是AC,BC 的中点.现将ABC ∆沿CD 翻折,使翻折后平面ACD ⊥平面BCD （如图2） 求三棱锥C-DEF 的体积.
15.现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ,然后沿边AD 将正方形ADEF 折叠,使平面ADEF 与平面
ABCD 垂直,M 为ED 的中点,如图2．
（1）求证：AM ∥平面BEC ; （2）求证：BDE BC 平面 ;
（3）求点D 到平面BEC 的距离.
F
E
D C
B
A
图1
A
B
C
D
F
E
图2
M
16.正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,,E F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折
--．
成直二面角A DC B
（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由；
--的余弦值；
（2）求二面角E DF C
⊥？证明你的结论．
（3）在线段BC上是否存在一点P,使AP DE。