2021年天津西青区杨柳青第一中学高二数学文上学期期末试题含解析

2020-2021学年天津西青区杨柳青第一中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 有关正弦定理的叙述：
①正弦定理仅适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于直角三角形；
③正弦定理仅适用于钝角三角形；
④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；
⑤在△ABC中，sinA：sinB：sinC=a：b：c．
其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；阅读型；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】由正弦定理及比例的性质即可得解．
【解答】解：∵由正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．对于任意三角形
ABC，都有，其中R为三角形外接圆半径．
所以，选项①，②，③对定理描述错误；选项④⑤是对正弦定理的阐述正确；
故：正确个数是2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理及比例性质的应用，属于基本知识的考查．
2. 从1、2、3、4、5种任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(= ( ) （A） (B) （C） (D)
参考答案：
A
3. 已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）
A.13，1
B.13，2
C.13，
D.，
参考答案：
C
略
4. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数
的“新驻点”分别为那么的大小关系是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【详解】由已知得到：，
对于函数h（x）=lnx，由于h′（x）=
令，可知r（1）＜0，r（2）＞0，故1＜β＜2
，
且，选D.
5. 已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为 ()
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
参考答案：
B
略
6. 正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为
（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题．
【分析】过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接OE，我们根据正四棱锥P﹣ABCD的底面积
为3，体积为，E为侧棱PC的中点，易求出∠OEB即为PA与BE所成的角，解三角形OEB，即可求出答案．
【解答】解：过顶点作垂线，交底面正方形对角线交点O，连接OE，
∵正四棱锥P﹣ABCD的底面积为3，体积为，
∴PO=，AB=，AC=，PA=，OB=因为OE与PA在同一平面，是三角形PAC的中位线，
则∠OEB即为PA与BE所成的角
所以OE=，
在Rt△OEB中，tan∠OEB==，
所以∠OEB=
故选B
【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据已知得到∠OEB即为PA与BE所成的角，将异面直线的夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键．
7. 在空间中，已知是直线，是平面，且，则的位置关系是
(A)平行 (B)相交 (C)异
面 (D)平行或异面
参考答案：
D
8. 若存在实数使成立，则实数的取值范围是（)..
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
9. 在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
试题分析：恰好有2件次品时，取法为，恰好有3件次品时，取法为，所以总数为。

10. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（）
是奇函数的周期为
的图像关于对称的图像关于对称参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线x+2y-3=0和直线ax+y+2=0（）垂直，则a=________．
参考答案：
-2
12. 对于三次函数，给出定义：设是的导数，
是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称
中心.设函数，则
．
参考答案：
2017
13. 已知实数满足
，则=
；=。

参考答案：
14. 向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线
下方的概率为。

参考答案：15. 直线为函数图像的切线，则的值为．
参考答案：
16. 在等比数列中，若是方程的两根，则的值是__________.
参考答案：
略
17. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有____ ____种.
参考答案：
34
分3步来计算，
①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；
②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，
③根据排除法，可得符合题意的选法共35-1=34种；
故答案为34．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知集合，若A∩B＝A，求a的取值范围。

参考答案：
解：∵，2分
∵，3分
∵，∴解得，5分
∵A∩B＝A，，7分
，8分
解得。

9分
19. 某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．
[20，30）抽取的人数； （2）求全校教师的平均年龄；
（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）由频率分布直方图能求出从年龄段[20，30）抽取的人数． （2）由频率分布直方图能求出全校教师的平均年龄．
（3）由题设知X 的可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由频率分布直方图知，0.35×40=14．… （2）由频率分布直方图得： 全校教师的平均年龄为：
25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35．…
（3）∵在年龄段[20，30）内的教师人数为120×0.35=42（人），从该年龄段任取1人， 由表知，此人A 项培训结业考试成绩优秀的概率为，
B 项培训结业考试成绩优秀的概率为
，
∴此人A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为，… ∵在年龄段[30，40）内的教师人数为120×0.4=48（人），
从该年龄段任取1人，由表知，此人A 项培训结业考试成绩优秀的概率为，
B 项培训结业考试成绩优秀的概率为
，
∴此人A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为…
由题设知X 的可能取值为0，1，2． ∴
，
，…
∴X 的概率分布为
X 的数学期望为…
20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M ，N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为；圆弧C 2过点A （29，
0）．
（1）求圆弧C 2所在圆的方程； （2）曲线C 上是否存在点P ，满足？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，
请说明理由； （3）已知直线
与曲线C 交于E ，F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线
l 的距离．
参考答案：
解：（1）由题意得，圆弧C1所在圆的方程为．…………………………… 1分
令，解得，，又C2过点A（29，0），
设圆弧C2所在圆方程为，则
，解得．
所以圆弧C2所在圆的方程为．……………………………………… 4分（2）假设存在这样的点，则由，得
，即．…………………………………… 6分由，解得（舍去）；
由，解得（舍去）．
所以这样的点P不存在．……………………………………… 10分
（3）因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为，
解得，所以点O到直线l的距离为．………………………………… 16分21. 已知成等差数列.又数列此数列的前n项的和S n （）对所有大于1的正整数n都有
（1）求数列的第n+1项；
（2）若的等比中项，且T n为{b n}的前n项和，求T n
参考答案：
解：（1）成等差数列，∴
∴
∵，
∴∴{}是以为公差的等差数列.
∵，
∴∴
（2）∵数列的等比中项，∴
∴
22. 长为L（米）的大型机器零件，在通过传送带的流水线时，为安全起见，零件之间的距离不得小于（米），其中v（米/时）是流水线的流速，k为比例系数，现经测定，当流速为60（米/时）时，零件之间的安全距离为1.44L.
（1）根据给出数据求出比例系数k；
（2）写出流水线上的流量y关于流水线流速v的函数关系式；（流量是单位时间内通
过的零件数，即流量=）
（3）应该规定多大的流速，才能使同一流水线上的零件流量最大？最大流量是多少？
参考答案：
解析：（1）将流速为60（米/时），安全距离为1.44L代放，可求得……3分（2）……………………………………………………6分（3）…………10分
即流速v=50时，能使流量达到最大为…………13分。