广东省茂名市吴川第二高级中学2020-2021学年高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省茂名市吴川第二高级中学2020-2021学年高三数
学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列三个命题：
①在区间内任取两个实数，则事件“成立”的概率是；
②函数关于（3,0）点对称，满足，且当时函数为增
函数，则在上为减函数；
③满足，，的有两解。

其中正确命题的个数为（）
A.１
B.２
C.３
D. 0
参考答案：
C
略
2. 函数的大致图像是( )
参考答案：
B
略
3. 已知为上的可导函数，当时，，则关于的函数
的零点个数为（）
A.1
B.2
C.0
D.0或 2
参考答案：
C
略
4. 直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋a x＋1相切于点（2，3）则b的值为（）
A、－3
B、9
C、－15
D、－7
参考答案：
C
5. 设集合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B={0，1}，则?A B=（）
A．{﹣3，﹣2，﹣1} B．{﹣1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1}
参考答案：
B
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【分析】列举出全集A，即可确定出B的补集．
【解答】解：∵合A={x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}={﹣1，0，1，2，3}，B={0，1}，
∴?U A={﹣1，2，3}．
故选B．
6. 已知函数，各项均不相等的数列满足．令
．给出下列三个命题：
(1)存在不少于3项的数列，使得；
(2)若数列的通项公式为，则对恒成立；
(3)若数列是等差数列，则对恒成立．
其中真命题的序号是（）
（A）(1)(2) （B）(1)(3) （C） (2)(3) （D）(1)(2)(3)
参考答案：
D
7. 设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双
曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
8. 设集合A={x|y=lgx}，，则集合A,B的关系是
(A) (B) (C) (D)A=B
参考答案：
D
略
9. 的内角的对边分别是,若,,,
则
（）
A．2 B．C．D．1
参考答案：
A
10. 已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若?=﹣3，则λ的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
参考答案：
A
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
【解答】解：由题意可得=2×2×cos60°=2，
?=（+）?（﹣）=（+）?[（﹣）﹣]
=（+）?[（λ﹣1）?﹣]=（1﹣λ）﹣+（1﹣λ）?﹣
=（1﹣λ）?4﹣2+2（1﹣λ）﹣4=﹣6λ=﹣3，∴λ=，
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量的基本定理的应用，两个向量的数量积的运算，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则边；.
参考答案：
，
12. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱与底面边长均为2，则该三棱柱的外接球的表面积为______.
参考答案：
【分析】
先找到球心的位置，然后计算出球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】画出图像如下图所示，设B是底面的外心，则球心在其正上方，也即BC中点O 的位置.故外接球的半径，故外接球的表面积为.
13. 已知满足约束条件则的最大值为．
参考答案：
作出不等式组对应的可行域，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线
的截距最大，此时最大。

由解得，即，代入
得。

14. 已知平面内有A（﹣2，1），B（1，4），使=成立的点C坐标为．
参考答案：
（﹣1，2）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】设C（x，y），由=，列出方程组，能求出C点坐标．
【解答】解：平面内有A（﹣2，1），B（1，4），
设C（x，y），∵=，
∴（x+2，y﹣1）=（，），
∴，解得x=﹣1，y=2，
∴C（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
15. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(0)＝1，则f(2 010)＝________. 参考答案：
1
16. 从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为__________.
参考答案：
略
17. 如果，那么 .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】计算题；分类讨论；转化思想．
分析：（Ⅰ）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；
（II）若在区间（0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区间[1，e]上的最小值，先求出导函数f'（x），然后讨论研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．
解：（I）因为，
当a=1，，
令f'（x）=0，得x=1，
又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
所以x=1时，f（x）的极小值为1．
f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（II）因为，且a≠0，
令f'（x）=0，得到，
若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．
（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，
故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
由，得，即
（2）当a＞0时，
①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，
所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立
②若，即1＞时，则有
所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，
由，
得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；
当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，
可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．
综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的计算能力．
19. 四棱锥底面是平行四边形，面面,
,,分别为的中点.
（1）求证：
（2）求证：
（3）求二面角的余弦值
参考答案：
（1）
,所以
（2）----------------①
所以
-----------------------②
由①②可知，
(3)取的中点,
是二面角
的平面角
由（2）知
即二面角的余弦值为
解法二（1）
所以
建系令
,
因为平面PAB的法向量
(2)
(3) 设平面PAD的法向量为,
令所以
平面PAB的法向量
，即二面角的余弦值为
略
20. 在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．
（1）求AB的值；
（2）已知D为AB的中点，求线段CD的长．
参考答案：
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：计算题；转化思想；分析法；解三角形．
分析：（1）根据正弦定理即可求值得解．
（2）根据余弦定理可求cosA，由D为AB边的中点，可求AD，根据余弦定理即可求得CD的值．
解答：（本题满分13分）
解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，，
于是．…
（2）在△ABC中，根据余弦定理，得，
∵D为AB边的中点，
∴AD=，
在△ACD中，由余弦定理有：
．…（13分）
点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
21.
（12分）
观察下列三角形数表
1 -----------第一行
2 2 -----------第二行
3 4 3 -----------第三行
4 7 7 4 -----------第四行
5 11 14 11 5
…………
……………
假设第行的第二个数为，
（Ⅰ）依次写出第六行的所有个数字；
（Ⅱ）归纳出的关系式并求出的通项公式；
（Ⅲ）设求证：
参考答案：
解析：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6； --------------2分
（2）依题意， -------------------------------4分
------------------------6分
，
所以；-------------------------------------8分
（3）因为所以 -------------10分
---12分
22. (本小题满分12分)
有两个不透明的箱子，每个箱子里都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4 （1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；
（2）摸球方法与（1）相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不同则乙获胜，这样规定公平吗？
参考答案：
解：（1）用（表示甲摸到的数字，表示乙摸到的数字）表示甲乙各摸到一球构成的基本事件有：（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）
（4,2）（4,3）（4,4）共有16个------------------------------------------------3分
设甲获胜的事件为，则事件包括的基本事件为（2,1）（3,1）（3,2）（4,1）
（4,2）（4,3）共有6个，------------------------------------------5分
答：甲获胜的概率为-----------------------6分
（2）设甲获胜的事件为，乙获胜的事件为，事件所包含的基本事件为（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）共有4个，--------------------------------------------8分
则，，-----------------------------------10分
，所以不公平--------------------------------------------------12分
略。