【立体设计】高考数学 第九章 8 立体几何中的向量方法挑战真题 理(通用版)

2012高考立体设计理数通用版第九章 8 立体几何中的向量方法挑
战真题
1.（2009·浙江）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是 ( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 解析：如图，取BC 中点
E ，连结DE 、AE 、AD ，依题意知三棱柱为正三棱柱，
易得AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．
设各棱长为1，则AE ＝2
3， DE ＝21，tan ∠ADE ＝32
123
==DE
AE ， 所以∠ADE ＝60°．
答案：Ｃ
2.（2010·天津）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别是棱BC 、CC 1 上的点，CF=AB=2CE,AB ∶AD ∶AA 1=1∶2∶4.
（１）求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值；
（２）证明AF ⊥平面A 1ED ；
（３）求二面角A 1-ED-F 的正弦值．
（1）解:如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB=1,
依题意得D （0,2,0）,F （1,2,1）,A 1（0,0,4）,.0,23,1⎪⎭
⎫
⎝⎛E 易得()4,2,0,1,21,01-=⎪⎭
⎫
⎝⎛=D A EF ,
于是53|
|||11-==D A EF , 所以异面直线EF 与A1D 所成角的余弦值为
53. （２）证明：已知=（1,2,1）, ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0,21,1,4,23,11 , 于是AF ·1=0，AF ·=0.
因此AF ⊥EA 1,AF ⊥ED,
又EA 1∩ED=E,所以AF ⊥平面A 1ED.
（３）解:设平面EFD 的法向量u=（x,y,z ）， 则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0ED u EF u ,即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=+.021,021y x z y 不妨令x=1,可得u=（1,2,-1）.
由（2）可知，AF 为平面A1ED 的一个法向量. 于是cos 〈u, 〉3
2=， 从而sin 〈u, AF 〉=3
5. 所以二面角A 1-ED-F 的正弦值为35.。