广东省汕头市金山中学15—16学年高二(上)期末数学试卷(理科)(附解析)

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．
1．已知条件p：log2（x﹣1）＜1；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）
A．e2B．e C．D．ln2
3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）
A．B．C． D．
4．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．在△ABC中，AB=2，AC=3，=，则•=（）
A．﹣B．C．﹣D．
6．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A．10B．20C．30D．40
7．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）
A．B．C．D．
8．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）
A．B．C． D．2
9．已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）
A．B．C． D．
10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）
A．B．1 C．D．
11．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（﹣∞，0）∪（0，
+∞）上的如下函数：1、f（x）=x2；2、f（x）=2x；3、f（x）=；4、f（x）=ln|x|．其中是“保等比函数”的f（x）的序号是（）
A．1，2 B．1，3 C．3，4 D．2，4
12．下列四个命题中
p1：∃x∈（0，+∞），（）x＜（）x；
p2：∃x∈（0，1），log x＞log x；
p3：∀x∈（0，+∞），（）x＜（）x
p4：：∀x∈（0，），（）x＜log x
其中真命题是（）
A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4
二、填空题（每空5，共计20分）
13．函数的单调递减区间为．
14．函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是．
15．正三棱锥A﹣BCD的底面△BCD的边长为是AD的中点，且BM⊥AC，则该棱锥外接球的表面积为．
16．平面向量为非零向量且与夹角为120°则的取值范围是．
三、解答题（共5小题，每题14分）
17．已知函数的最小正周期为π，直线为它的图象的一条对称轴．
（1）当时，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若，求b+c的最大值．
18．已知递增的等差数列{a n}中，a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=1﹣．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）记c n=a n•b n，数列{c n}的前n项和为T n．求证：T n＜2．
19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a；
（Ⅱ）求f（x）的极值．
21．如图，已知圆G：（x﹣2）2+y2=r2是椭圆的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，
（1）求圆G的半径r；
（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．
1．已知条件p：log2（x﹣1）＜1；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】log2（x﹣1）＜1，|x﹣2＜1|，求解两个不等式，即可判断．
【解答】解：∵p：log2（x﹣1）＜1，
∴1＜x＜3，
∵q：|x﹣2|＜1
∴1＜x＜3，
根据充分必要条件的定义可判断：
p是q成立的充分必要条件，
故选：C
【点评】本题考察了充分必要条件的定义，对数不等式，绝对值不等式，属于容易题．
2．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）
A．e2B．e C．D．ln2
【考点】导数的运算．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】求函数的导数，解导数方程即可．
【解答】解：∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
由f′（x0）=2，
得lnx0+1=2，即
lnx0=1，则x0=e，
故选：B
【点评】本题主要考查导数的计算，比较基础．
3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）
A．B．C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题．
【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．
【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，
∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2
∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）
∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）
可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，
向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，
设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==
故选A
【点评】本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．
4．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】双曲线的定义；余弦定理．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|•|PF2|的值．
解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|•|PF2|的值．【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，
由余弦定理得
cos∠F1PF2=
∴|PF1|•|PF2|=4．
法2；由焦点三角形面积公式得：
∴|PF1|•|PF2|=4；
故选B．
【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．
5．在△ABC中，AB=2，AC=3，=，则•=（）
A．﹣B．C．﹣D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，用向量、表示出与，再求它们的数量积．
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=2，AC=3，
∴==（﹣），
∴D是BC的中点，
∴=（+）；
∴•=（+）•（﹣）
=（﹣）
=×（32﹣22）
=．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，是基础题目．
6．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A．10B．20C．30D．40
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，
由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，
根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，
四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．
故选B
【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．
7．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x=上一点
∴
∴
故选C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
8．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）
A．B．C． D．2
【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．
【专题】压轴题．
【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．
【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，
∵|AF|=3，
∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3
∴2+3cosθ=3
∴cosθ=
∵m=2+mcos（π﹣θ）
∴
∴△AOB的面积为S==
故选C．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．
9．已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）
A．B．C． D．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用向量的数量积将条件进行转化，利用数形结合进行求解即可得到结论．
【解答】解：设z=，则z==||•=||•cos∠A0M，
∵O（0，0），A（1，0）．
∴||=1，
∴z=||•cos∠A0M=cos∠A0M，
作出不等式组对应的平面区域如图：
要使cos∠A0M，
则∠A0M最大，
即当M在C处时，∠A0M最大，
由得，即C（1，3），
则|AC|=，
则cos∠A0M==，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用向量的数量积将条件进行转化是解决本题的关键．
10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）
A．B．1 C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是如图所示的直三棱锥，
且侧棱PA⊥底面ABC，
PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；
∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，
侧面△PAB的面积为S2=××1=，
侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，
在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，
∴△PBC是Rt△，
∴△PBC的面积为S4=××=；
∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．
故选：A．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．
11．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：1、f（x）=x2；2、f（x）=2x；3、f（x）=；4、f（x）=ln|x|．其中是“保等比函数”的f（x）的序号是（）
A．1，2 B．1，3 C．3，4 D．2，4
【考点】等比数列的性质．
【专题】新定义；等差数列与等比数列．
【分析】根据新定义，结合等比数列性质a n a n+2=a n+12，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知a n a n+2=a n+12，
①f（a n）f（a n+2）=a n2a n+22=（a n+12）2=f2（a n+1），故正确；
②f（a n）f（a n+2）=2an2an+2=2an+an+2≠22an+1=f2（a n+1），故不正确；
③f（a n）f（a n+2）===f2（a n+1），故正确；
④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠ln|a n+1|2=f2（a n+1），故不正确；
故选B．
【点评】本题考查新定义，考查等比数列性质及函数计算，理解新定义是解题的关键．
12．下列四个命题中
p1：∃x∈（0，+∞），（）x＜（）x；
p2：∃x∈（0，1），log x＞log x；
p3：∀x∈（0，+∞），（）x＜（）x
p4：：∀x∈（0，），（）x＜log x
其中真命题是（）
A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；推理和证明．
【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：p1：∀x∈（0，+∞），（）x＞（）x，故p1不正确；
p2：∀x∈（0，1），log x＞log x；故正确；
p3：∀x∈（0，+∞），（）x＞（）x，故不正确；
p4：：∀x∈（0，），（）x＜1＜log x，故正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题的真假判断，考查指数、对数函数的性质，比较基础．
二、填空题（每空5，共计20分）
13．函数的单调递减区间为（0，1]．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案．
【解答】解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，
y′=x﹣=，
令≤0，
又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；
解可得0＜x≤1，
即函数的单调递减区间为（0，1]，
故答案为（0，1]
【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域．
14．函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是{a|a＜﹣1或a＞2}．
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【专题】计算题．
【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到导函数为0的方程有两个不等的实数根，从而有△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），
要使函数f（x）有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，
所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．
故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}
【点评】本题主要考查了函数的极值问题及导数的应用，利用导数作为工具去研究函数的性质非常方便．
15．正三棱锥A﹣BCD的底面△BCD的边长为是AD的中点，且BM⊥AC，则该棱锥外接球的表面积为12π．
【考点】球的体积和表面积．
【专题】转化思想；空间位置关系与距离；球．
【分析】由正三棱锥的定义，可得AC⊥BD，又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线，运用线面垂直的判定和性质定理，可得AB，AC，AD两两垂直，再由正三棱锥A﹣BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体，则外接球的直径为正方体的对角线，再由表面积公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：由正三棱锥A﹣BCD的定义，可得A在底面上的射影为底面的中心，
由线面垂直的性质可得AC⊥BD，
又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线，
可得AC⊥平面ABD，即有AC⊥AB，AC⊥AD，
可得△ABC，△ACD为等腰直角三角形，
故AB=AC=AD=2，
将正三棱锥A﹣BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体，
则外接球的直径为正方体的对角线，
即有2R=2，可得R=，
由球的表面积公式可得S=4πR2=12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查正三棱锥的外接球的表面积的求法，注意运用线面垂直的判定和性质定理的运用，以及球与正三棱锥的关系，考查运算能力，属于中档题．
16．平面向量为非零向量且与夹角为120°则的取值范围是（0，]．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意可知给出的两个向量，不共线，则三个向量构成三角形，在三角形中运用余弦定理得到关系式所以，
由有解，利用判别式大于等于0可求|的范围．
【解答】解：由题意可知向量不共线，则
，
所以，由，且平面向量为非零向量得：．
故答案为（0，]．
【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了转化思想，解答此题的关键是把给出的数学问题转化为方程有解，是中档题．
三、解答题（共5小题，每题14分）
17．已知函数的最小正周期为π，直线为它的图象的一条对称轴．
（1）当时，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若，求b+c的最大值．
【考点】余弦函数的图象．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）根据三角函数的性质求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的单调性进行求解即可．
（2），求出角A的大小，利用余弦定理和基本不等式解得b+c≤6．【解答】解：（1）∵函数的周期是π，
∴T=，则ω=2，
则f（x）=2cos（2x+φ），
∵为它的图象的一条对称轴，
∴2×（﹣）+φ=kπ，k∈Z，
即φ=kπ+，
∵0＜φ＜，
∴当k=0时，φ=，
即f（x）=2cos（2x+），
若时，2x∈[﹣，]，
2x+∈[﹣，]，
即当2x+=0时，函数f（x）取得最大值此时f（x）=2，
当2x+=时，函数f（x）取得最小值此时f（x）=0，即函数的值域为[0，2]．
（2）若，
则2cos[2×+]=2cos（﹣A+）=，
即cos（﹣A+）=，
额cos（A﹣）=，
∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，
即A﹣=，
即A=，
∵a=3，
∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos=b2+c2﹣bc=9，
即（b+c）2﹣3bc=9
即3bc=（b+c）2﹣9，
∵bc≤（）2，（b+c）2﹣9≤3（）2，
即4（b+c）2﹣36≤3（b+c）2，
则（b+c）2≤36，
即0＜b+c≤6，
即b+c的最大值是6．
【点评】本题主要考查了三角函数解析式的求解，利用三角函数的性质求出函数的解析式，以及利用余弦定理，基本不等式的是解决本题的关键．综合性较强．
18．已知递增的等差数列{a n}中，a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=1﹣．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）记c n=a n•b n，数列{c n}的前n项和为T n．求证：T n＜2．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【专题】计算题；证明题；分类讨论；等差数列与等比数列．
【分析】（1）解方程可得a2=3，a5=9，从而求得a n=2n﹣1；讨论n以确定b1=；n≥2时b n=b n
，从而解得{b n}的通项公式；
﹣1
（2）化简c n=a n•b n=2（）n•（2n﹣1），从而利用错位相减法求数列的前n项和即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣12x+27=0，
∴x=3或x=9，
又∵等差数列{a n}是递增数列，且a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，
∴a2=3，a5=9，
∴a n=2n﹣1；
①当n=1时，b1=1﹣b1，
故b1=；
②当n≥2时，S n=1﹣b n，S n﹣1=1﹣b n﹣1，
故b n=（1﹣b n）﹣（1﹣b n﹣1），
故b n=b n﹣1，
故{b n}是以为首项，为公比的等比数列，
故b n=•（）n﹣1=2（）n．
（2）证明：c n=a n•b n=2（）n•（2n﹣1），
T n=•1+•3+•5+…+2（）n•（2n﹣1），
3T n=2•1+•3+•5+•7+…+2（）n﹣1•（2n﹣1），
故2T n=2+•2+•2+•2+…+4（）n﹣1﹣2（）n•（2n﹣1），
故T n=1++++…+2（）n﹣1﹣（）n•（2n﹣1）
=1+﹣（）n•（2n﹣1）
=2﹣（）n﹣1﹣（）n•（2n﹣1）＜2．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了错位相减法的应用．
19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D 的余弦值；
（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．
【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…（4分）
解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，
所以．
由AD=3，可知，．
则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．
令，则=．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．
所以cos．
因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．
则．
因为AM∥平面BEF，
所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当时，AM∥平面BEF．…（12分）
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中（I）的关键是证得DE⊥AC，AC⊥BD，熟练掌握线面垂直的判定定理，（II）的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，（III）的关键是根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程．
20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a；
（Ⅱ）求f（x）的极值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的导数，由两直线平行的条件得，f′（1）=0，即可求出a；
（2）求出导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间，即可得到函数的极值．
【解答】解：（1）函数f（x）=x﹣1+的导数f′（x）=1﹣，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1﹣=0，
∴a=e；
（2）导数f′（x）=1﹣，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函数，无极值；
②当a＞0时，e x＞a时即x＞lna，f′（x）＞0；
e x＜a，即x＜lna，f′（x）＜0，
故x=lna为f（x）的极小值点，且极小值为lna﹣1+1=lna，无极大值．
综上，a≤0时，f（x）无极值；a＞0时，f（x）有极小值lna，无极大值．
【点评】本题主要考查导数在函数中的综合应用，求切线方程和求极值，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．
21．如图，已知圆G：（x﹣2）2+y2=r2是椭圆的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，
（1）求圆G的半径r；
（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；综合题；压轴题．
【分析】（1）可取BC⊥X轴时来研究，则可设B（2+r，y0），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H由即，再由点B（2+r，y0）在椭圆上，建立关于r的方程求解．
（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y﹣1=kx，由圆心到直线的距离等于半径求，与椭圆方程联立，表示出E，F和坐标，从而得到EF 所在的直线的方程，再探讨圆心到直线的距离和半径的关系．
【解答】解：（1）设B（2+r，y0），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H
由得，
即（1）
而点B（2+r，y0）在椭圆上，
（2）
由（1）、（2）式得15r2+8r﹣12=0，
解得或（舍去）
（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y﹣1=kx（3）
则，即32k2+36k+5=0（4）
解得
将（3）代入得（16k2+1）x2+32kx=0，
则异于零的解为
设F（x1，k1x1+1），E（x2，k2x2+1），
则
则直线FE的斜率为：
于是直线FE的方程为：
即
则圆心（2，0）到直线FE的距离
故结论成立．
【点评】本题主要是通过圆和椭圆来考查直线和圆，直线和椭圆的位置关系．。