2015届高考数学一轮复习课件：第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
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数值，等于 α 的_同___名____同名函数值，前面加上一个把 α
看成_锐 ___角____时原函数值的符号，记忆规律是：函数名不变，
符号看象限．
(3)公式五～六：π2 ±α的正弦(余弦)值，分别等于 α
的余___弦___(_正__弦___)____值，前面加上一个把 α 看成__锐___角___
•
双 向
固
基
础
2．诱导公式
(1)sin(kπ＋α)＝(－1)ksin α.( )
(2)cos3π 2 －α＝－sin α.(
)
[答案] (1)√ (2)√
[解析] (1)分 k 为奇数和偶数，根据诱导公式可得．
(2)cos（3π 2 －α）＝
－sin α.
＝cosπ2 ＋α＝
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
[解析] (1)若k为偶数，则
•
点 面
原式＝
sin（－α）cos α
sin（π＋α）cos（π－α）
＝
讲 考 向
－sin αcos α （－sin α）（－cos
α）＝－1；
若k为奇数，则原式＝
sin（π－α）cos（π＋α）
sin αcos（－α）
＝
sin sαin（α－cocos sαα）＝－1.
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第二十二页，编辑于星期五：十点 一分。
第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
［归纳总结］ 诱导公式的用途就是把任意角的三角
•
点 面
函数转化为0，π2 内的三角函数，然后根据这个范围内特 殊角的三角函数值或者通过三角函数值表或者计算器计
讲 考 向
算这个三角函数值，从而达到计算任意角的三角函数值的 目的．解决问题的一般步骤是先把负角的三角函数化为正
• 点 为 α，且 sinα＝12，则 cosα＝( )
面 讲 考
3 A. 2
B．－
3 2
向
C.
23或－
3 2
D．－12
(2)[2013·长沙雅礼中学模拟] 已知 sinα＋cosα＝ 2，则
tanα＋scionsαα的值为( A．－1 C.12
) B．－2 D．2
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
点 面
讲
考
向
[答案](1)A (2)D
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
[解析] (1)由于异面直线所成的角 α 的范围为(0，90°]，
所以 cos α＝
1－sin2α＝
3 2.
•
点 面 讲 考 向
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
［思考流程］ (1)条件：角 α 的正切值．目标：角 α
•
点 面 讲 考
的正余弦．方法：根据同角三角函数关系得之． (2)条件：角 α 的正切值．目标：正余弦的齐次式的值．方
法：使用同角三角函数关系将待求值的齐次式转化为与正
[解析]由于α是第四象限角，故sin α＝－ 1－cos2α
＝－153.
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固
基
础
2．[教材改编]
已知
sin 3sin
α－2cos α＋5cos
α α
＝－5，那么tan
α的值为________．
[答案] －2136
•
点 面
用
讲
考
向
例探2究点(1)二cos26三00°角等函于数( 的)诱导公式及其应
A．±
3 2
3 B. 2
C．－
3 2
1 D.2
(2)下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°<cos 10°<sin 168°
B．sin 168°<sin 11°<cos 10°
C．sin 11°<sin 168°<cos 10°
［归纳总结］(1)同角三角函数关系的基本用途有两个
方面，一个是根据已知角的一个三角函数值求解另外的三
•
点 面 讲
角函数值，另一个是根据这个关系对三角函数式进行变 换．在使用同角三角函数关系由角的一个三角函数值求解
考 另外的三角函数值时要注意符号的选取，在三角函数的公
向 式中符号选取的基本原则是求解的三角函数值是什么符号
上．推理：使用三角函数的诱导公式．结论：根据三角函
向 数的性质得出．
[答案] (1)D (2)C
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
[解析] (1)因为600°角是第三象限角，所以cos 600°
• 点 <0，所以 cos2600° ＝－cos 600°＝－cos(360°＋240°)
α α对任意角α均成立．(
)
(2)当sin α＝ 22时，tan α＝1.( )
[答案] (1)× (2)×
π
[解析] (1)当cos α＝0，即α＝kπ＋ 2 (k∈Z)时不成
立．
(2)当sin α＝ 22时，tan α＝±1.
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
α＋cos α－sin
αα＝co2scoαs －α＋2ccooss
αα＝11＋－
22＝－3－2
向
2.
②2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝2( 2cos α)2－ 2cos
αcos
α＋cos2α＝(5－
2)cos2α＝5－3
2 .
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
D．sin 168°<cos 10°<sin 11°
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
［思考流程］(1)分析：需要化为已知的三角函数值．推
理：根据三角函数值的符号去根号，再使用诱导公式转化
•
点 面 讲 考
为已知的特殊角的三角函数值．结论：计算得出． (2)分析：需要把角化为正弦函数的同一个单调区间
cos α
－cosisnαα
余 弦
cos α
_ta_n_α_ －cotasnαα ____ sin α ____
正
tan α ____ ____ －tan
/ /返回目录 第四页，编辑于星期五：十点 一分。
第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固 基 础
(2)公式一～四：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
点 面 讲 考
sin
(2) 因为 sin α＝－35或 sin
α是方程 5x2－7x－6＝0 的一个根，所以 α＝2(舍去)．因为 α 是第三象限角，所
向 以 cos α＝－45，所以 sinα－32πcos(π－α)tan(π＋α)＝cos
＝
2tan2αtan－2αta＋n 1α＋1＝4－ 32＋1＝5－3
2 .
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
方法二：由 tan α＝ 2得 sin α＝ 2cos α，
•
点 面
讲
考
再由 sin2α＋cos2α＝1 得 cos2α＝13.
①sin cos
角的三角函数，再把任意角正角的三角函数化为[0，2π)
内的三角函数，然后再根据π±α，3π2 ±α等公式把其
化到0，π2 内的三角函数．
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第二十三页，编辑于星期五：十点 一分。
第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
变式题(1)当 k∈Z 时，
•
点 面
sin [（skin＋（1k）ππ－＋α）α]ccooss（[（kπk＋＋1α））π－α]＝(
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固
基
础
2．诱导公式
(1)公式：
公式一
公式 二
公式 三
公式 四
公式 五
公式 六
角
α＋k·2π (skin∈α Z)
π＋α
－sinα
－α
π－α
－α
＋α
正 弦
____
－_c_o_s_α
－sin α
－scionsαα
[解析]
由
sin 3sin
α－2cos α＋5cos
α α
＝－5，知cos
α≠0，分
子分母同时除以cos
α可得 tan
3tan
αα－＋25＝－5，得tan
α＝－
23 16.
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固 基 础
3．[教材改编]
已知cos
的正弦、余弦、正切的诱导公式.
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第二页，编辑于星期五：十点 一分。
第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固
基
础
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：____s_i_n_2_α__＋___c_o__s_2α___＝___1_________.
(2)商数关系：____ta__n__α___＝__c_s_oin_s__αα_______________.
α＝－
3 5
，则sin
π2 ＋α
等于
________．
[答案] －35
[解析]
π sin（ 2 ＋α）＝cos
α＝－35.
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固
基
础
—— 疑 难 辨 析 ——
1．同角三角函数基本关系
(1)tan
α＝sin
cos
就选取什么符号．(2)一个关于正弦和余弦的齐次分式，可
以通过分子分母同时除以一个余弦的方幂将其转化为一个
关于正切的分式，只要知道了正切值就可以求出这个分式
的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．
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第十六页，编辑于星期五：十点 一分。
第18讲 同角三角函[2013·株洲模拟] 在空间中，异面直线 a，b 所成的角
时原函数值的符号，记忆规律是：函数名改变，符号看象限．
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固
基
础
—— 链接教材 ——
1．[教材改编] 已知 cos α＝1123，且 α 是第四象限角，
则 sin α的值为________．
[答案] －153
第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
• ► 探究点一 同角三角函数基本关系式及其应
•
点 面
用
讲
考
例 1 (1)已知 tan α＝2，求 sin α，cos α的值．
(2)已知 tan
α＝
2，求①ccooss
α＋sin α－sin
αα；②2sin2α－
向 sin αcos α＋cos2α的值．
5
5 .
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
点
(2)方法一：①ccooss
α＋sin
α－sin
αα＝11－＋ttaann
αα＝11＋－
面 讲
－2
2.
22＝－3
考 向
②
原
式
＝
2sin2α－sin αcos α＋cos2α sin2α＋cos2α
)
讲 考 向
A．－1 C．－1 或 1
B．1 D．0
(2)[2013·长沙雅礼中学月考] 已知 sin α是方程 5x2－7x
－6＝0 的一个根，α 是第三象限角，则 sinα－32πcos(π－ α)tan(π－α)＝________．
[答案] (1)A (2) －1225
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面 讲 考
＝－cos 240°＝－cos(180°＋60°)＝cos 60°＝12.
向
(2)因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10
°＝cos(90°－80°)＝sin 80°，且正弦函数y＝sin x在区间
0°，90° 上为递增函数，所以sin 11°<sin 12°<sin 80 °，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.
(2)由 sin α＋cos α＝ 2，得 1＋2sin αcos α＝2，
即 2sin
αcos
α＝1，所以 tan
α＋cos sin
αα＝ssinin2αα＋cocsosα2α
＝ sin
1 αcos
α＝2.
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第十九页，编辑于星期五：十点 一分。
第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•►
•
双 向
固
基
础
•
点 面
讲 考 向
第18讲
同角三角函数的基本关
•
多 元
系式与诱导公式
提
能
力
•
教 师
备
用
题
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第一页，编辑于星期五：十点 一分。
考试说明
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，
sin cos
xx＝tan
x.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2 ±α，π±α
向 切值有关的式子．
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
解：(1)由于tan
α＝2，所以csions
α α ＝2，即sin
α＝2cos
• 点 α，
面 讲 考
代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝15，
向
所以cos
α＝± 55，sin
α＝±2
看成_锐 ___角____时原函数值的符号，记忆规律是：函数名不变，
符号看象限．
(3)公式五～六：π2 ±α的正弦(余弦)值，分别等于 α
的余___弦___(_正__弦___)____值，前面加上一个把 α 看成__锐___角___
•
双 向
固
基
础
2．诱导公式
(1)sin(kπ＋α)＝(－1)ksin α.( )
(2)cos3π 2 －α＝－sin α.(
)
[答案] (1)√ (2)√
[解析] (1)分 k 为奇数和偶数，根据诱导公式可得．
(2)cos（3π 2 －α）＝
－sin α.
＝cosπ2 ＋α＝
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
[解析] (1)若k为偶数，则
•
点 面
原式＝
sin（－α）cos α
sin（π＋α）cos（π－α）
＝
讲 考 向
－sin αcos α （－sin α）（－cos
α）＝－1；
若k为奇数，则原式＝
sin（π－α）cos（π＋α）
sin αcos（－α）
＝
sin sαin（α－cocos sαα）＝－1.
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第二十二页，编辑于星期五：十点 一分。
第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
［归纳总结］ 诱导公式的用途就是把任意角的三角
•
点 面
函数转化为0，π2 内的三角函数，然后根据这个范围内特 殊角的三角函数值或者通过三角函数值表或者计算器计
讲 考 向
算这个三角函数值，从而达到计算任意角的三角函数值的 目的．解决问题的一般步骤是先把负角的三角函数化为正
• 点 为 α，且 sinα＝12，则 cosα＝( )
面 讲 考
3 A. 2
B．－
3 2
向
C.
23或－
3 2
D．－12
(2)[2013·长沙雅礼中学模拟] 已知 sinα＋cosα＝ 2，则
tanα＋scionsαα的值为( A．－1 C.12
) B．－2 D．2
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
点 面
讲
考
向
[答案](1)A (2)D
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
[解析] (1)由于异面直线所成的角 α 的范围为(0，90°]，
所以 cos α＝
1－sin2α＝
3 2.
•
点 面 讲 考 向
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
［思考流程］ (1)条件：角 α 的正切值．目标：角 α
•
点 面 讲 考
的正余弦．方法：根据同角三角函数关系得之． (2)条件：角 α 的正切值．目标：正余弦的齐次式的值．方
法：使用同角三角函数关系将待求值的齐次式转化为与正
[解析]由于α是第四象限角，故sin α＝－ 1－cos2α
＝－153.
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固
基
础
2．[教材改编]
已知
sin 3sin
α－2cos α＋5cos
α α
＝－5，那么tan
α的值为________．
[答案] －2136
•
点 面
用
讲
考
向
例探2究点(1)二cos26三00°角等函于数( 的)诱导公式及其应
A．±
3 2
3 B. 2
C．－
3 2
1 D.2
(2)下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°<cos 10°<sin 168°
B．sin 168°<sin 11°<cos 10°
C．sin 11°<sin 168°<cos 10°
［归纳总结］(1)同角三角函数关系的基本用途有两个
方面，一个是根据已知角的一个三角函数值求解另外的三
•
点 面 讲
角函数值，另一个是根据这个关系对三角函数式进行变 换．在使用同角三角函数关系由角的一个三角函数值求解
考 另外的三角函数值时要注意符号的选取，在三角函数的公
向 式中符号选取的基本原则是求解的三角函数值是什么符号
上．推理：使用三角函数的诱导公式．结论：根据三角函
向 数的性质得出．
[答案] (1)D (2)C
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
[解析] (1)因为600°角是第三象限角，所以cos 600°
• 点 <0，所以 cos2600° ＝－cos 600°＝－cos(360°＋240°)
α α对任意角α均成立．(
)
(2)当sin α＝ 22时，tan α＝1.( )
[答案] (1)× (2)×
π
[解析] (1)当cos α＝0，即α＝kπ＋ 2 (k∈Z)时不成
立．
(2)当sin α＝ 22时，tan α＝±1.
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
α＋cos α－sin
αα＝co2scoαs －α＋2ccooss
αα＝11＋－
22＝－3－2
向
2.
②2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝2( 2cos α)2－ 2cos
αcos
α＋cos2α＝(5－
2)cos2α＝5－3
2 .
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
D．sin 168°<cos 10°<sin 11°
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
［思考流程］(1)分析：需要化为已知的三角函数值．推
理：根据三角函数值的符号去根号，再使用诱导公式转化
•
点 面 讲 考
为已知的特殊角的三角函数值．结论：计算得出． (2)分析：需要把角化为正弦函数的同一个单调区间
cos α
－cosisnαα
余 弦
cos α
_ta_n_α_ －cotasnαα ____ sin α ____
正
tan α ____ ____ －tan
/ /返回目录 第四页，编辑于星期五：十点 一分。
第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固 基 础
(2)公式一～四：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
点 面 讲 考
sin
(2) 因为 sin α＝－35或 sin
α是方程 5x2－7x－6＝0 的一个根，所以 α＝2(舍去)．因为 α 是第三象限角，所
向 以 cos α＝－45，所以 sinα－32πcos(π－α)tan(π＋α)＝cos
＝
2tan2αtan－2αta＋n 1α＋1＝4－ 32＋1＝5－3
2 .
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
方法二：由 tan α＝ 2得 sin α＝ 2cos α，
•
点 面
讲
考
再由 sin2α＋cos2α＝1 得 cos2α＝13.
①sin cos
角的三角函数，再把任意角正角的三角函数化为[0，2π)
内的三角函数，然后再根据π±α，3π2 ±α等公式把其
化到0，π2 内的三角函数．
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第二十三页，编辑于星期五：十点 一分。
第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
变式题(1)当 k∈Z 时，
•
点 面
sin [（skin＋（1k）ππ－＋α）α]ccooss（[（kπk＋＋1α））π－α]＝(
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固
基
础
2．诱导公式
(1)公式：
公式一
公式 二
公式 三
公式 四
公式 五
公式 六
角
α＋k·2π (skin∈α Z)
π＋α
－sinα
－α
π－α
－α
＋α
正 弦
____
－_c_o_s_α
－sin α
－scionsαα
[解析]
由
sin 3sin
α－2cos α＋5cos
α α
＝－5，知cos
α≠0，分
子分母同时除以cos
α可得 tan
3tan
αα－＋25＝－5，得tan
α＝－
23 16.
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固 基 础
3．[教材改编]
已知cos
的正弦、余弦、正切的诱导公式.
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第二页，编辑于星期五：十点 一分。
第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固
基
础
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：____s_i_n_2_α__＋___c_o__s_2α___＝___1_________.
(2)商数关系：____ta__n__α___＝__c_s_oin_s__αα_______________.
α＝－
3 5
，则sin
π2 ＋α
等于
________．
[答案] －35
[解析]
π sin（ 2 ＋α）＝cos
α＝－35.
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固
基
础
—— 疑 难 辨 析 ——
1．同角三角函数基本关系
(1)tan
α＝sin
cos
就选取什么符号．(2)一个关于正弦和余弦的齐次分式，可
以通过分子分母同时除以一个余弦的方幂将其转化为一个
关于正切的分式，只要知道了正切值就可以求出这个分式
的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．
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第18讲 同角三角函[2013·株洲模拟] 在空间中，异面直线 a，b 所成的角
时原函数值的符号，记忆规律是：函数名改变，符号看象限．
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
双 向
固
基
础
—— 链接教材 ——
1．[教材改编] 已知 cos α＝1123，且 α 是第四象限角，
则 sin α的值为________．
[答案] －153
第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
• ► 探究点一 同角三角函数基本关系式及其应
•
点 面
用
讲
考
例 1 (1)已知 tan α＝2，求 sin α，cos α的值．
(2)已知 tan
α＝
2，求①ccooss
α＋sin α－sin
αα；②2sin2α－
向 sin αcos α＋cos2α的值．
5
5 .
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•
点
(2)方法一：①ccooss
α＋sin
α－sin
αα＝11－＋ttaann
αα＝11＋－
面 讲
－2
2.
22＝－3
考 向
②
原
式
＝
2sin2α－sin αcos α＋cos2α sin2α＋cos2α
)
讲 考 向
A．－1 C．－1 或 1
B．1 D．0
(2)[2013·长沙雅礼中学月考] 已知 sin α是方程 5x2－7x
－6＝0 的一个根，α 是第三象限角，则 sinα－32πcos(π－ α)tan(π－α)＝________．
[答案] (1)A (2) －1225
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面 讲 考
＝－cos 240°＝－cos(180°＋60°)＝cos 60°＝12.
向
(2)因为sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10
°＝cos(90°－80°)＝sin 80°，且正弦函数y＝sin x在区间
0°，90° 上为递增函数，所以sin 11°<sin 12°<sin 80 °，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.
(2)由 sin α＋cos α＝ 2，得 1＋2sin αcos α＝2，
即 2sin
αcos
α＝1，所以 tan
α＋cos sin
αα＝ssinin2αα＋cocsosα2α
＝ sin
1 αcos
α＝2.
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
•►
•
双 向
固
基
础
•
点 面
讲 考 向
第18讲
同角三角函数的基本关
•
多 元
系式与诱导公式
提
能
力
•
教 师
备
用
题
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考试说明
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，
sin cos
xx＝tan
x.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2 ±α，π±α
向 切值有关的式子．
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第18讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
解：(1)由于tan
α＝2，所以csions
α α ＝2，即sin
α＝2cos
• 点 α，
面 讲 考
代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝15，
向
所以cos
α＝± 55，sin
α＝±2