【苏科版】初三数学上期末第一次模拟试题及答案

一、选择题
1．下列说法：①“明天的降水概率为80%”是指明天有80%的时间在下雨；②连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次（ ）
A ．只有①正确
B ．只有②正确
C ．①②都正确
D ．①②都错误 2．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是（ ）
A ．15
B ．310
C ．13
D ．12
3．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ ）
A ．13
B ．415
C ．15
D ．215
4．下列说法正确的是（ ）．
A ．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
B ．天气预报“明天降水概率10％，是指明天有10％的时间会下雨”
C ．一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖
D ．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 5．在平面直角坐标系中，以点()3,4-为圆心，半径为5作圆，则原点一定（ ） A ．与圆相切
B ．在圆外
C ．在圆上
D ．在圆内
6．已知⊙O ，如图，
（1）作⊙O 的直径AB ；
（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；
（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．
根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
7．如图，△ABC 内接于☉O ，若☉O 的半径为6，∠A=60°，则BC 的长为（ ）
A ．2π
B ．4π
C ．6π
D ．8π 8．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半
径为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，△ABC 中，AB =6，AC =4，以BC 为对角线作正方形BDCF ，连接AD ，则AD 长不可能是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
11．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）
A ．0.8m
B ．1.6m
C ．2m
D ．2.2m 12．若关于x 的一元二次方程2(2)210m x x --+=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．3m < B ．3m C ．3m <且2m ≠ D ．3m 且2m ≠
二、填空题
13．在一个不透明的袋子中放有m 个球，其中有6个红球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m 的值约为________．
14．如图所示的转盘分成8等份，若自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是_______．
15．在一个不透明的盒子中，装有红、黄、绿三种只有颜色不同、其余均相同的小球各2个，从中任取一个球，取出的球为红色的概率为_____．
16．下列说法：①弦是圆上任意两点之间的部分；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧；④直径是最长的弦；⑤弦的垂直平分线经过圆心；⑥直径是圆的对称轴．其中正确的是________．
17．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.
18．如图，在ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝30°，将ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到11AB C △，连接BC 1，则BC 1的长为__________ ．
19．将二次函数 ()2
213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则
所得图象的函数表达式为________.
20．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则11m n
+的值为_________． 三、解答题
21．某数学小组为调查成都七中万达学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A ：乘坐电动车，B ：乘坐普通公交车或地铁，C ：乘坐学校的定制公交车，D ：乘坐家庭汽车，E ：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中， E 选项对应的扇形心角是 度．
（2）请补全统计图．
（3）若甲、乙两名学生放学时从A 、B 、C 三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具的概率．
22．2019年5月，某校八年级部分同学参加了学校首届“中国诗词大会”活动，根据学生的成绩划分为A 、B 、C 、D 四个等级，并绘制了不完整的两种统计图．
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）请把条形图补充完整．
（2）扇形统计图中，m=______．
（3）某班要从B 等级中的小明和小刚中选一人参加复赛，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
23．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，E 是AB 上一点，
30AEO DAC ∠=∠=︒，连接BD ．
（1）求证：OAE CDB △≌△；
（2）连接DE ，若DE AB ⊥，2OA =，求BC 的长．
24．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）． （1）请画出将△ABC 向左平移4个单位长度后得到的图形△A 1B 1C 1；
（2）请画出△ABC 关于点（1，0）成中心对称的图形△A 2B 2C 2；
（3）若△A 1B 1C 1绕点M 旋转可以得到△A 2B 2C 2，请直接写出点M 的坐标；
（4）在x 轴上找一点P ，使PA +PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．
25．已知：二次函数2y x bx c =++过点（0，－3），（1，－4）
（1）求出二次函数的表达式；
（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；
（3）根据图像回答：当0≤x ＜3时，y 的取值范围是 ．
26．解方程：
（1）2x 2+1=3x （配方法）
（2）(2x-1)2=(3-x)2（因式分解法）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
【详解】
①“明天的降水概率为80%”是指是指明天下雨的可能性是80%，不是有80%的时间在下雨，故①错误；
②“连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次”，这是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预料，故②错误；
①和②都是错误的．
故选D．
【点睛】
本题考查概率的相关概念．不确定事件是可能发生也可能不发生的事件．正确理解随机事件、不确定事件的概念是解决本题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】
因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，
所以P(飞镖落在黑色区域)=4
8
=
1
2
.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查了几何概率，解题的关键是熟练的掌握几何概率的相关知识点. 3．C
解析：C
【分析】
先求出阴影方砖在整个方砖中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论．【详解】
∵图中共有15个方砖，其中阴影方砖3个，
∴阴影方砖在整个方砖中所占面积的比值=3
15=
1
5
，
∴最终停在阴影方砖上的概率为1
，
5
故选C．
【点睛】
本题考查的是几何概率，熟知概率公式是解答此题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数不一定是500次，故A错误；
B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故B错误；
C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故C错误；
D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是概率的意义，熟知一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率是解答此题的关键．5．C
解析：C
【分析】
设点（-3，4）为点P，原点为点O，先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】
解：∵设点（-3，4）为点P，原点为点O，
∴OP5，
而⊙P的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
∴点O在⊙P上．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
6．D
解析：D
【分析】
①根据作图过程可得AC AD
=，根据垂径定理可判断；
②连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；
③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．
【详解】
解：①∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，
∴AC AD
=，
根据垂径定理可知，AB⊥CE，CE=DE，
∴①正确；
②连接OC，∵AC=OA=OC，
∴△AOC为直角三角形，
∵AB⊥CE，
∴AE=OE，
∴BE=BO+OE=3AE，
∴②正确；
③∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CE，
∴③正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．
7．B
解析：B
【分析】
连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．
【详解】
解：连接OB，OC，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴BC =0
208161π⨯=4π． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，利用圆周角定理及弧长公式求解是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，由垂径定理得DM ＝3，在Rt △PMD 中，由勾股定理可求得PM 为5即可． 【详解】
解：过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，如图所示：
∵⊙P 与y 轴交于M （0，−4），N （0，−10）两点，
∴OM ＝4，ON ＝10，
∴MN ＝6，
∵PD ⊥MN ，
∴DM ＝DN ＝
12
MN ＝3， ∴OD ＝7，
∵点P 的横坐标为−4，即PD ＝4，
∴PM 22PD DM +2243+5，
即⊙P 的半径为5，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理
是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形定义可得答案．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
10．D
解析：D
【分析】
将△ABD绕点D顺时针旋转90º得△ECD，AB=EC，DE=AD，等腰Rt△ADE中，
在△ACE中由三边关系得，CE-AC<AE<CE+AC,即2<<10求出AD的范围即可．【详解】
将△ABD绕点D顺时针旋转90º得△ECD，AB=EC=6，DE=AD，
在Rt△ADE中由勾股定理得，
在△ACE中由三边关系得，CE-AC<AE<CE+AC,即2<<10，
<，
8
故选：D．
【点睛】
本题考查AD 的范围问题，掌握正方形的性质，和旋转性质，由条件分散，将已知与未知化归一个三角形中，利用旋转构造等腰直角三角形△ACE 实现转化，利用三边关系确定AE 的范围是解题关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．
【详解】
如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．
设抛物线的解析式为2y ax c =+， 代入得12
a =-，12c =， ∴抛物线的解析式为21122y x =-
+． 当0.2x =时，0.48y =，
当0.6x =时，0.32y =．
∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=，
故选B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．
12．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac 的意义得到m-2≠0且△≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程（m-2）x 2-2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m 的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
二、填空题
13．20【分析】根据频率估计概率简单事件的概率公式即可得【详解】由题意得：任意摸出一球是红球的概率约为则解得故答案为：20【点睛】本题考查了频率估计概率简单事件的概率公式熟练掌握频率估计概率是解题关键 解析：20
【分析】
根据频率估计概率、简单事件的概率公式即可得．
【详解】
由题意得：任意摸出一球是红球的概率约为0.3， 则60.3m
≈， 解得20m ≈，
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了频率估计概率、简单事件的概率公式，熟练掌握频率估计概率是解题关键． 14．【分析】用阴影部分的份数除以总份数即可得【详解】解：由图可知自由转动转盘一次停止后指针落在阴影区域的概率是故答案为：【点睛】本题考查了概率公式解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现
解析：5 8
【分析】
用阴影部分的份数除以总份数即可得．【详解】
解：由图可知自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是5
8
，
故答案为：5
8
．
【点睛】
本题考查了概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15．【分析】直接利用概率公式求解【详解】摸出的一个球是红球的概率＝＝故答案为：【点睛】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
解析：1 3
【分析】
直接利用概率公式求解．【详解】
摸出的一个球是红球的概率＝
2
23
＝
1
3
．
故答案为：1
3
．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．④⑤【分析】根据弦的定义垂径定理圆的对称性即可求解【详解】解：①连接圆上两点间的线段才是弦故原说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦故原说法错误；③垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧故原说法错误
解析：④⑤．
【分析】
根据弦的定义、垂径定理、圆的对称性即可求解．
【详解】
解：①、连接圆上两点间的线段才是弦，故原说法错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
③垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，故原说法错误；
④直径是最长的弦，正确；
⑤弦的垂直平分线经过圆心，正确；
⑥直径所在的直线是圆的对称轴，故原说法错误；
所以，正确的结论有④⑤．
故答案为：④⑤．
【点睛】
本题考查了圆的对称性，垂径定理的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．
17．3或5【分析】分类讨论：当点P 在当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切过P 作PE ⊥CD 与E 根据切线的性质得到PE=1cm 再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm 则⊙P 的圆心在直线AB 上
解析：3或5
【分析】
分类讨论：当点P 在当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE ⊥CD 与E ，根据切线的性质得到PE=1cm ，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm ，则⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，即可得到⊙P 移动所用的时间；当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，过P 作PE ⊥CD 与F ，同前面一样易得到此时⊙P 移动所用的时间．
【详解】
当点P 在射线OA 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE ⊥CD 与E ，
∴PE=1cm ，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PE=2cm ，
∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，
∴⊙P 移动所用的时间=822
=3（秒）； 当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE ⊥CD 与F ，
∴PF=1cm ，
∵∠AOC=∠DOB=30°，
∴OP=2PF=2cm ，
∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8+2）cm 后与CD 相切，
∴⊙P 移动所用的时间=
822
+=5（秒）． 故答案为3或5．
【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质.
18．【分析】先根据旋转的定义和性质可得从而可得再利用勾股定理即可得
【详解】由旋转的定义和性质得：在中故答案为：【点睛】本题考查了旋转的定义和性质勾股定理熟练掌握旋转的性质是解题关键
【分析】
先根据旋转的定义和性质可得111,60A AC C CAC ==∠=︒，从而可得190BAC ∠=︒，再利用勾股定理即可得．
【详解】
由旋转的定义和性质得：111,60A AC C CAC ==∠=︒，
30BAC ∠=︒，
1190AC BAC AC B C ∴∠=+=∠∠︒，
在1Rt ABC 中，1BC =
==，
【点睛】
本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 19．y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减左加右减可得平移后的函数解析式【详解】解：将二次函数 的图象先向左平移2个单位再向下平移4个单位则所得图象的函数表达式为：y=2（x
解析：y=2（x+1）2-1
【分析】
利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式．
【详解】
解：将二次函数 ()2
213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为：y=2（x-1+2）2+3-4
∴y=2（x+1）2-1.
故答案为：y=2（x+1）2-1.
【点睛】
本题考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 20．；【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1mn=-2将其代入中即可求出结论【详解】解：∵方程x2+x ﹣2＝0的两个根分别为mn ∴m+n ＝﹣1mn ＝﹣2
故答案为：【点睛】本题考查了根与系数的关系牢 解析：12
； 【分析】
根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入
11n m m n mn
++=中即可求出结论． 【详解】
解：∵方程x 2+x ﹣2＝0的两个根分别为m ，n ，
∴m +n ＝﹣1，mn ＝﹣2， 111122
n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-． 故答案为：
12 ． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a
是解题的关键． 三、解答题
21．（1）200；72；（2）见解析；（3）图表见解析，
13
【分析】
（1）根据B 的人数以及百分比，得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）求出C 组的人数即可补全条形统计图；计算出A 、C 、D 、E 所占百分数即可补全扇形统计图；
（3）画树状图得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具的概率．
【详解】
解：（1）本次调查的学生人数为60÷30%=200（名），
扇形统计图中，E 选项对应的扇形圆心角是360°×
40200=72°， 故答案为：200；72；
（2）C 选项的人数为200-（20+60+30+40）=50（名），
补全条形图如下：
A选项对应的百分数是20
200
×100%=10%，
C选项对应的百分数是50
200
×100%=25%，
D选项对应的百分数是30
200
×100%=15%，
E选项对应的百分数是40
200
×100%=20%，
补全扇形图如下:
（3）画树状图如下：
共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具的结果有3个，
∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具的概率为3
9=
1
3
．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确画出树状图．
22．（1）补图见解析；（2）10；（3）游戏不公平，理由见解析．
【分析】
（1）根据D等级有12人，所占百分比为30%，求得参加演讲比赛的学生总数，再用学生总数乘以B等级所占百分比得到B等级的人数，即可补全条形图；
（2）用A等级的人数除以学生总数乘以100%得到m的值；
（3）根据题意列出树状图，分别求出小明去和小刚去的概率即可判断．【详解】
（1）参加演讲比赛的学生共有12÷30%=40(人)，
B等级的人数是40×20%=8(人)．
条形图补充：
（2）4
100%=10% 40
⨯
故答案为：10．
（3）列树状图得：
从树状图可以看出所有可能的结果有12种，数字之和为奇数的有8种，则：
P(小明)＝
8
12
=
2
3
，
P(小刚)＝
4
12
=
1
3
，
2 3≠
1
3
，
故游戏规则不公平．
【点睛】
本题考查条形统计图和扇形统计图统计数据，概率的计算，熟练掌握统计图的对应关系以及画出树状图计算概率是解题的关键．
23．（1）见解析；（227
.
【分析】
(1)借助同圆中，同弧上的圆周角相等，利用AAS证明全等；
(2) 过O作OH AB
⊥，利用三角形全等，勾股定理，建立一元二次方程求解即可.
【详解】
解：（1）证明：∵AC 是O 的直径， ∴90ADC ∠=︒．
∵30CAD ∠=︒，
∴2AC CD =．
∵2AC OA =，
∴OA CD =．
∵BC BC =，CD CD =，
∴EAO CDB ∠=∠，CAD CBD ∠=∠．
∵AEO DAC ∠=∠，
∴AEO CBD ∠=∠．
∴OAE CDB △≌△；
（2）解：连接DE ，过O 作OH AB ⊥于H ，
∴AH HB =．
∵AO OC =，
∴2BC OH =．
设OH x =，
∵30OEA CAD ∠=∠=︒， ∴3HE x =．
由（1）知OAE CDB △≌△，
∴AE DB =．
∵AD AD =，
∴60ABD ACD ∠=∠=︒．
∵DE AB ⊥，
∴30BDE ∠=︒．
∴2DB BE =，AE DB =．
∴2AE BE =．
设AH HB y ==，
则3AE y x =+，3BE y x =-．
∴()323y x y x +=-．
∴33y x =．
在Rt OAH 中，2OA =，33AH x =，OH x =，
222OH AH OA +=，
()222332x x +=．
解得1
77x =，277x =-（舍去）． ∴77
OH =． ∴2727BC OH ==
． 【点睛】
本题考查了圆周角的性质，垂径定理，勾股定理，方程思想，熟练运用圆周角定理，作辅助线，构造垂径定理是解题的关键.
24．（1）见解；（2）见解析；（3）M 的坐标为（-1，0）；（4）P 的坐标为（2，0）
【分析】
（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．
（2）分别作出A ，B ，C 关于点（1，0）的对称点A 2，B 2，C 2即可．
（3）连接A 1A 2，B 1B 2交于点M ，点M 即为所求．
（4）连接BA 2交x 轴于点P ，点P 即为所求．
【详解】
解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求．
（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求．
（3）如图，点M 即为所求，点M 的坐标为（-1，0）．
（4）如图，点P 即为所求，点P 的坐标为（2，0）．
【点睛】
本题考查作图——旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（1）2-2-3y x x =；（2）见解析；（3）－4≤y ＜0
【分析】
（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）根据函数的解析式画出抛物线即可；
（3）把二次函数解析式化成顶点式，再根据图形分析计算y 的取值范围即可．
【详解】
解：（1）将点（0，－3），（1，－4）代入二次函数2y x bx c =++得：
314
c b c =-⎧⎨++=-⎩， 解得：23
b c =-⎧⎨=-⎩， 所以，二次函数的表达式为：223y x x =--；
（2）二次函数的图象如下：
（3）∵()214y x =--
∴当x ＝1时，有最小值－4，
当x ＝0时，y ＝（0−1）2－4＝−3，
当x ＝3时，y ＝（3−1）2－4＝0，
又对称轴为x ＝1，
∴当0≤x ＜3时，y 的取值范围是−4＜y≤0．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、也考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的三种常用形式：一般式、顶点式、交点式．
26．（1）11x =，212
x =
；（2）12x =-，243x = 【分析】
（1）首先把方程移项变形为2x 2-3x=-1的形式，二次项系数化为1，再进行配方即可; （2）根据平方差公式可以解答此方程．
【详解】
（1）解：移项，得2x 2-3x=-1
二次项系数化为1，得x 2-
32x =12- 配方，得x 2-32x +234⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12-+234⎛⎫ ⎪⎝⎭
231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
解得11x =，212
x =． （2）解：原方程化为： ()()222130x x ---=
()()2132130x x x x -+---+=
()()2340x x +-=
20x +=或340x -=
解得 12x =-，243
x =
． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程-因式分解法（公式法），配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．。