山西省大同市第五中学高三数学理联考试题含解析

山西省大同市第五中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的值域为 ( ）
A． B． C．
D．
参考答案：
A
2. 已知M,N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若则
A.M
B.N
C.I
D.
参考答案：
A
3. 下列判断正确的是（）
A. 若命题为真命题，命题为假命题，则命题“且”为真命题
B. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 命题“对任意成立”的否定是“存在，使成立”.参考答案：
D
4. 命题：“所有梯形都是等腰梯形”的否定形式是（）
A．所有梯形都不是等腰梯形
B．存在梯形是等腰梯形
C．有梯形是等腰梯形，也有梯形不是等腰梯形
D．存在梯形不是等腰梯形
参考答案：
D
【考点】命题的否定．
【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题所有梯形都是等腰梯形是全称命题，
则命题的否定是存在梯形不是等腰梯形，
故选：D
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
5. 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则
可以是
A. B.
C. D.
参考答案：
解析：的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零
点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与
的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。

6. 设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）
A．πB．C．D．
参考答案：
C
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由x∈[0，]求出2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．
【解答】解：由题意x∈[0，]，则2x+∈[，]，
画出函数的大致图象：
由图得，当时，方程f（x）=a恰好有三个根，
由2x+=得x=，由2x+=得x=，
由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，
点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，
∴x1+x2=，x2+x3=，
即x1+2x2+x3=+=，
故选C．
7. 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则
的最大值为（）
A. B. C.4 D.
参考答案：
A
8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）
A. B. C. D.60
参考答案：
A
9. “a=1＂是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x－3y－2＝0垂直”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与直线之间的位置关系．A2 G3
解析：由题意可得a×(a+2)-3 =0，解之可得a=1或-3，所以“a=1＂是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件，故选B
【思路点拨】由a×(a+2)-3 =0可得直线垂直的充要条件为a=1或-3，进而可得对结果作出判断．
10. 设M为实数区间，a>0且，若“”是“函数在（0,1）上单调递减”的一个充分不必要条件，则区间M可以是（）
A. (1,+∞)
B. （1,2）
C. （0,1）
D.
参考答案：
B
【分析】
根据题干满足成立，不成立，即可得M范围。

【详解】因为和f(x)在定义域上是减函数，所以a>1，由充分不必要条件结合选项M为（1,2），故选B。

【点睛】本题考查函数单调性和充分条件必要条件。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是______
参考答案：
12. 如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由已知中的三视图，画出几何体的直观图，进而可得答案．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
它由正方体的后上部分的三棱柱，切去一个同底同高的三棱锥得到，
故体积V=×（1﹣）×2×2×2=
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，难度中档．
13. 已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为．
参考答案：
1≤m≤
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：不等式的解法及应用．
分析：设xy=m可得x=，代入已知可得关于易得一元二次方程（2+3m）y2﹣
10my+m2+4m=0，由△≥0可得m的不等式，解不等式可得．
解答：解：设xy=m，则x=，
∵，
∴++3y+=10，
整理得（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，
∵x，y是正实数，∴△≥0，
即100m2﹣4（2+3m）（m2+4m）≥0，
整理得m（3m﹣8）（m﹣1）≤0，
解得1≤m≤，或m≤0（舍去）
∴xy的取值范围是1≤m≤
故答案为1≤m≤：
点评：本题考查基本不等式求最值，涉及换元的思想和一元二次方程根的存在性，属中档题．
14. 定义在R上的奇函数，当时,
则函数的所有零点之和为_____．
参考答案：
【分析】
函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y＝f（x），y＝a的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答
案．
【详解】∵当x≥0时，
f（x）＝
即x∈[0，1）时，f（x）＝（x+1）∈（﹣1，0]；
x∈[1，3]时，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]；
x∈（3，+∞）时，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；
画出x≥0时f（x）的图象，
再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；
则直线y＝a，与y＝f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a＝0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，
∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），
∴f（﹣x）＝（﹣x+1），
又f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）＝﹣（﹣x+1）＝（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x），
∴中间的一个根满足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a，
解得x＝1﹣2a，
∴所有根的和为1﹣2a．
故答案为：1﹣2a．
【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．
15. 设（i为虚数单位），则
参考答案：
16. 设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此
数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为____________．
参考答案：
{（4，,－4），（4,1）}
略
17. 若函数y=f(x)的图象与函数g(x)=()x-1的图象关于原点对称，则f(2)=______. 参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．
（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求的值．
参考答案：
考点：弦切角；相似三角形的性质．
专题：证明题．
分析：（Ⅰ）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得
∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC 中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得
．利用直角三角形中正切的定义，得到，最后
通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而．
解答：解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，
∴∠BAP=∠C．
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，
∵∠APC=∠BPA，
∵AC=AP，
∴∠APC=∠C
∴∠APC=∠C=∠BAP．
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°．
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°．
∴．
在Rt△ABC中，，即，
∴．
∵在△APC与△BPA中
∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△APC∽△BPA．
∴．
∴．…
点评：本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．
19. 如图在四棱锥A - BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB ＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.
(1)证明：AC⊥平面BCDE；
(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．
参考答案：
【知识点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．G12
【答案解析】（1）证明：略；（2）. 解析：(1)证明：连接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE.
(2)在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝，DC＝2，得BD⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.
作EF∥BD，与CB的延长线交于点F，连接AF，则EF⊥平面ABC.
所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角．
在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝，得EF＝，BF＝；
在Rt△ACF中，由AC＝，CF＝，得AF＝.
在Rt△AEF中，由EF＝，AF＝，得tan∠EAF＝.
所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.
【思路点拨】（Ⅰ）如图所示，取DC的中点F，连接BF，可得DF=DC=1=BE，于是四边形BEDF是矩形，在Rt△BCF中，利用勾股定理可得BC==．在△ACB中，再利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用面面垂直的性质定理即可得出结论．
（Ⅱ）过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M，连接AM．由平面ABC⊥平面BCDE，利用面面垂直的性质定理可得：EM⊥平面ACB．因此∠EAM是直线AE与平面ABC所成的角．再利用勾股定理和直角三角形的边角关系即可得出．
20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，
，，△PAB与△PAD均为等边三角形，点E为CD的中点. （1）证明：平面PAE⊥平面ABCD；
（2）试问在线段PC上是否存在点F，使二面角F-BE-C的余弦值为，若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
参考答案：
（1）见解析（2）点F为PC的中点
试题解析：（1）证明：连接BD，由于AB∥CD，点E为CD的中点，，
∴四边形ABED为正方形，可得
设BD与AE相交于点O
又∵△与△均为等边三角形
∴
在等腰△中，点O为BD的中点
∴，且AE与PO相交于点O，可得平面
又∵平面ABCD
∴平面平面ABCD．
（2）由，△与△均为等边三角形，四边形ABED为正方形，BD与AE相交于点O，可知，，所以，又平面平面ABCD，所以平面ABCD，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y 轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．
可得，，，
设点的坐标为，，由，，可得，
故，
设为平面的一个法向量，则
，得，平面的一个法向量为，
由已知，解得
所以，在线段上存在点，使二面角的余弦值为，且点为的中点．
21. (本小题满分12分)设数列的前项和为，且。

数列满足
⑴ 求数列的通项高三；
⑵ 证明：数列为等差数列，并求的前n项和T n；
参考答案：
⑴当n＝1时，a1＝s1＝21－1＝1;
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1…………3分
因为a1＝1适合通项高三a n＝2n－1,所以a n＝2n－1(n N*) …………4分
⑵ 因为b n＋1－2b n＝8a n,所以b n＋1－2b n＝2n＋2
即
，
…………6分
,所以是首项为1，公差为2的等等差数列。

…………7分
所以，所以b n＝(2n－1)×2n……………8分
22. 如右图，设矩形的周长为，把沿折起来，折过去后交于点设则的面积最大时的的值为 .
参考答案：
略。