关于集值模糊Choquet积分性质的进一步讨论

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模糊Choquet积分遗传性质的若干研究

（＝（ｎ） ≥ （￣，）－ＢＡ』八）ｆ（Ｂｄｖ））Ａｄ．．）（ＡａｆＸＡｎ
于是ｖａ）（－（。（ＡｖＢ）ｖＢ）
则有
（Ｂｆ八ｎ）ｄＡ）（（Ｂ）＝＝ＡｎＡ）Ａｎ
０
』＾（ｎ））＝（（Ａ＾ｎ）ｄ（Ａｎ）Ａ』八Ａｎ）Ａｎ）Ｂ）＝ｄ）Ａ
测度的几个重要的结构特征，零可加性、致自连续性。如一关键词：糊测度；函数；糊Ｃｏｕｔ分；模集模ｈｑｅ积结构特征中图分类号：５Ｏ１９
文献标识码：Ａ
ＭＲ（００ｕｊｃｌｓｉｃｔｎ２Ｃ５２Ａ１２０）Ｓｂｅｔａｓｉａｉ：８０；８５Ｃｆｏ
』Ａｎ）（ｎ）ｄｌ）（＾（＾Ａ＾八Ｂ）＝ＢＡ）（）Ａ）Ａ（）（，
即证当ＩＦ可乘时，ｔ一．也是Ｆ可乘的。一定理４若是零可加的，则也是零可加的。
证Ａ ∈，（＝（ｎ）＝则Ａ０ｎ）关某ｅｓ测几处明Ｖ，若Ｂｆ＾ｏＶ≥，０于Ｌｅｅ度乎）Ａ），＝ｂｕｇ
ｆＢ）ｘＡ）（。＇－（八Ｂ）ｌ４）／（＝￣／（）Ｏ＝Ｂ）０ｚＡＵＢ＝。ｚ
定义６称集函数是次可加的，ＶＡ，，ｌ＝有ｔＡｔＢ）（（）［明若Ｂ∈ ＡｆＢＯ，ｘ＇（Ａ ≤ Ａ）Ｂ。
１Ｏ
苏州科技学院学报（自然科学版）

基于Choquet模糊积分SVM集成及其实证研究

基于Choquet模糊积分SVM集成及其实证研究倪渊;林健【摘要】In order to improve the classification performance of the support vector machine (SVM) ensemble methods, a modified SVM ensemble method is put forward by using Choquet fuzzy integral other than Sugeno integral. The proposed method takes the output of every SVM component into account such that it overcomes the drawback of the existing SVM ensemble methods that neglect the secondary information. As an example, based on the data collected in Shandong Province, the proposed method is used to evaluate the performance of social service made by the colleges in the Province. Simulation results show that the proposed method outperforms the existing SVM ensemble methods in the sense of classification performance.%为了进一步提高SVM集成的泛化能力,提出了基于Choquet模糊积分的SVMs集成方法,综合考虑各个子SVM输出重要性,避免了现有SVM集成方法中忽略次要信息的问题.应用该方法,以高校的区域经济贡献度为例进行仿真试验,结果表明基于Choquet模糊积分的SVMs集成方法较基于Sugeno模糊积分SVMs集成方法和基于投票策略的SVMs集成方法具有更高的准确性.该方法是可行、有效的,具有一定的推广价值.【期刊名称】《工业工程》【年(卷),期】2012(015)002【总页数】5页(P66-70)【关键词】Choquet模糊积分;支持向量机集成;综合评价【作者】倪渊;林健【作者单位】北京航空航天大学经济管理学院,北京100191;清华大学教育研究院,北京100084【正文语种】中文【中图分类】TP181;F224支持向量机(SVM)作为一项数据挖掘的新技术，在解决小样本、非线性的识别问题中具有独特的优势。

λ-模糊Choquet积分的收敛性

非负可测函数，若对Ｖ ∈ Ｅ，。，ｅｅｇｅ积分０。）Ｌｂｓｕ
ＪＵ
本研究在文献Ｅ］４的基础上，将原模糊积分的被积函数做了改进，而推广了文献［］从４的模糊积分，
称之为一糊Ｃｏｕｔ分，而讨论了一糊模ｈｑｅ积进模
１预备知识
自１７９４年日本学者Ｍｕｅｏ１次提出模糊积Ｓｇｎ［首
Байду номын сангаас（Ａ）
（）Ａ．
则称为模糊测度．若集函数满足１，）３，）２，）则称为下半连续模糊测度；若满足１，）４，称）２，）则为上半连续模糊测度，相应的三元组（，称为Ｘ，）模糊测度空间．
Ａｂｔａｔ－ｕｚｏｅｎｅｒｌｉｆｎｅｏｈｉｅｏｅａｉｅｍｅｓａｌｕｃｉｎｔｅｇｎｒｌｆｚｅｓｒｂｅｓｒｃ：ＡｆｚｙＣｈｑｕｔｉｔｇａｓｄｅｉｄｆｒｔｅｇｖｎｎｎｎｇｔｖａｕｒｂｅｆｎｔｏｎｏｈｅｅａｕｙｍａｕａｌｚｓａｅＴｈｕｚｎｅａｓｗｈｌｅａｄｓａｓｔｆｎｔｎｔｅｇｎｒｌｆｚａｕｒｂｅｓａ￣Ａｎｉｓｓｍｅｅｅｎｐｃ．ｅｆｙｉｔｇｒｌｉｏｌｒｇｒｅａｅｕｃｉｏｈｅｅａｕｙｍｅｓａｌｐｃｚｙｄｏｎｚｄｔｏｌｍｅ — ｔｒｒｐｅｔｅｎｏｖｒｅｃｒｓｕｓ．ａｙｐｏｒｉｓａｄｃｎｅｇｎｅａｅｄｉｃｓｅｄＫｅｒｓ：ｆｚａｓｅ；ｍｅｓｒｂｅｆｚｙｆｃｉｎｓｙｗｏｄｚｕｙｍｅｕｒａｕａｌｕｚｕｎｔｏ；ｗｉｔｇａｌｕｔｏｓ；Ａｆｚｏｕｔｉｔｇａｎｅｒｂｅｆｃｉｎ－ｕｙＣｈｑｅｎｅｒｌｚ

对模糊隶属函数确定方法的进一步探讨

对模糊隶属函数确定方法的进一步探讨隶属函数的确定不应只侧重于对信息自身模糊性的识别和描述,还应该正确描述主体的心理测度,重视主体认识水平的缺陷。

探讨了用简便可行的隶属函数度量方法来测量人们进行决策时心理测度上的模糊性,给出了具体不同情况下的描述函数,在一定程度上可以更准确地描述信息的模糊性,从而使决策更具有合理性。

标签：隶属函数;模糊分布;心理测度一、引言客观事物均不同程度地存在着不确定性,这种不确定性蕴涵在客观表现及其主观识别之中。

从本质上看,不确定性是主观对于客观而言的,即对客观信息的识别与刻画无不受到主观因素的影响,受到主体心理因素的影响,进而表现为认知水平和描述方法的差异。

而一般的隶属函数确定的方法多从下面两个角度;或侧重于描述信息自身的模糊性、识别和刻画方法的模糊性,或从如何消除减少主观任意性成分来进行研究,而忽视了起决定作用的主体想心理思维模式和判断尺度,使得隶属函数的确定不够完善。

另一方面,随着生产系统、社会系统的大规模化和复杂化,使得人们进行预测与决策变得十分困难。

由于决定预测的准确性及决策成败的关键是人,所以应能正确描述人的心理测度上的模糊性。

对于此类问题,当今决策理论是从理性决策的行为决策两分支进行研究,但在现实实际操作生活中,出现了理性决策与行为决策不相一致的情况。

正是基于这两方面因素考虑,力图应用理性决策与行为决策相结合的思想,通过定性与定量相结合的方法,找到一种能反映主体心理测度的方法,从能够描述存在的现象和避免不应发生的现象出现两个角度进行研究,使信息的模糊隶属描述更具有合理性,使人们在模糊的状态下进行的预测和决策偏差更小。

二、分类描述1.当主体参考事态进行判断时,往往由于过于自信而出现偏差,当事件发生的客观概率在0.5上,而人们又认为或希望它发生,则判断出的隶属度往往高于凭他们的知识和事实本应判断出的值;另一方面,当客观概率小于0.5,而人们又不认为或不希望它会发生,则往往估计偏低。

Choquet积分的模糊化扩展Ⅱ型

第４２Ｏ卷０１３年第１１１月１Ａ期
计
算
机
科
学
ＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ
Ｖｏ１．４０Ｎｏ．１ｌＡＮｏｖ２０１３
Ｃｈｏｑｕｅｔ积分的模糊化扩展 Ⅱ 型
杨蓉郑三元
时，可以分别定义Ｃｈｏｑｕｅｔ积分的积分结果为模糊数或精确实数的形态，即可构成两种不同的Ｃｈｏｑｕｅｔ积分的模糊化扩展，分别称其为Ｉ型和ＩＩ型。Ｉ型的相关理论研究和扩展应用已在相关文献中介绍ｌ＿１。本文针对ＩＩ型模糊化扩展进行论述，并在其基础上重点提出一个针对模糊数据的非模糊化的
ｓｉｇｎｅｄｆｕｚｚｙｍｅａｓｕｒｅｃａｎａｃｔａｓａｎａｇｇｒｅｇａｔｉｏｎｔｏｏｌｗｈｉｃｈｉｓｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｕｓｅｆｕｌｉｎｍａｎｙｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｆｕｓｉｎｇａｎｄｄａｔａｍｉｎ－
（深圳大学机电与控制工程学院深圳５１８００Ｏ）
摘要重点讨论Ｃｈｏｑｕｅｔ积分的ＩＩ型模糊化扩展形式。相对于Ｃｈｏｑｕｅｔ积分的模糊化扩展Ｉ型，ＩＩ型扩展精确数的积分结果。基于带符号的模糊测度，分别讨论了Ｃｈｏｑｕｅｔ积分的模糊化扩展ＩＩ型的

基于Choquet积分的区间直觉模糊值VIKOR多属性决策方法

基于Choquet积分的区间直觉模糊值VIKOR多属性决策方
法
佚名
【期刊名称】《湖北工程学院学报》
【年(卷),期】2018(038)006
【摘要】给出了区间直觉模糊信息的VIKOR (Vise Kriterijumska Optimizacija Kompromisno Resenje)方法.首先利用区间直觉模糊数描述不确定信息,用模糊测度刻画属性之间的相互关系,然后利用Choquet积分求属性权重,提出基于区间直觉模糊集的VIKOR多属性决策方法,最后利用特色小镇的建设问题说明新方法的可行性和有效性.
【总页数】6页(P67-72)
【正文语种】中文
【中图分类】O159;C934
【相关文献】
1.基于Choquet积分的区间直觉模糊值VIKOR多属性决策方法 [J], 姚蕾;
2.基于熵权的区间梯形直觉模糊数型VIKOR多属性群决策方法 [J], 杜康; 袁宏俊
3.轨道交通票价定制选择研究——基于区间值直觉模糊多属性决策方法 [J], 王冬辉
4.轨道交通票价定制选择研究--基于区间值直觉模糊多属性决策方法 [J], 王冬辉
5.基于Choquet积分的区间值直觉模糊SIR群体决策方法 [J], 杨洁;李登峰
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Choquet模糊积分特征融合的步态识别

中图分类号；Ｐ８Ｔ１
Ｃｏｕｔ糊积分特征融合的步态识别ｈｑｅ模
汪丹桂，罗斌，翟索兰
（安徽大学计算机科学与技术学院，合肥２０３）３０９摘要：研究一种利用Ｃｏｕｔｈｑｅ模糊积分对小波矩特征和人体宽度特征进行融合的步态识别算法。该算法对每个步态序列采用背景减除法
ｉｓｄｔｐｙａｈｌ — ｅｔｒｓｏｌｓｉｃｔｏｏｔｅｆｓｅｕｔｂｓｄｏｔｍｐｒａｃｆｔｅ￣ａｅ．ｍｐｒｄｔｈｅｅｅｅｒｈｓｕｅｏａｐｌｓｔｅｍｕｔｆａｕｅｆｉｎｃａｓｆａｉｎｔｈｒｔｒｓｌａｅｎｉｓｉｏｎｅｏｉｕｉｉ，ｔｈｍｒｓＣｏａｅｏｔｅｒｃｎｔｓａｃｒｒｓｌ，ｘｅｉｎｅｕｔｓｏｔｅＣｈｑｅｔｇａｓｏｔｏｓｂｔｅａｈｅｅａｉｅｒｗｅｇｔｄｆｓｏｅｈｄｅｕｔｅｐｒｍｅｔｓｌｈｗｈｏｕｔｎｅｒｌｉｎｍｅｈｄｉｅｔｒｔｎｔｅｇｎｒｌｎａｉｈｅｕｉｎｍｔｏ．ｓｒｓｉｕｆｈｌ
提取人的二值化的运动轮廓图像序列，利用人体步态周期图像的小波矩特征和宽度特征对提取出的步态轮廓进行描述，得出的小波矩特征和宽度特征根据要性作为总体特征输入，运用Ｃｈｑｅ模糊积分融合选取ＳｏｕｔＶＭ分类器进行识别，识别结果与最新的线性加权融合识别
方法进行比较，结果表明Ｃｏｕｔｈｑｅ模糊积分方法有较好的识别效果。关键词：视频；步态识别；小波矩宽度；支持向量机；Ｃｏｕｔｈｑｅ模糊积分

基于三角直觉模糊数Choquet积分算子的多属性决策方法_万树平

集成算子和混合集成算子，通过混合集成算子得到方案的群体综合评估值，根据期望值和预期得分给
［２］定义了方案准则权重的出群决策结果。ＹｅＪｕｎ２
对三角直觉模糊环境下的关联ＭＡ通过ＤＭ问题，建立多目标优化模型并转化为线性目标规划，客观地确定了属性集的模糊测度，进而提出了相应的决策方法。
ＴｒＩＦＮ的有序加权平均算子和混合平均算子以及并应用于ＭＡＧＴｒＩＦＮ的关联系数，ＤＭ中。王坚
１９］首次探讨了准则关联的Ｔ强［ＩＦＮ多准则决策问
题，分别给出了准则集模糊测度已知和未知时的两
隶属度，提出了Ｔ对ＩＦＳ进行了拓展，ＩＦＮ的概念。
［［１］１２］ｈｕ１ＴＩＦＮ的运算法则。ＬｉＤｅｎｎｆｅｇ修正了Ｓｇ［３］研究了支付值为ＴＮｎｘｉａ１ａｎＪｉａＩＦＮ的矩阵博弈ｇ［１４－１５］提出了Ｔ问题。ＬＩＦｎｉＤｅｎｆｅＮ的不同排序ｇｇ［６］方法及其在ＭＡｕｏｕｎ等１ＤＭ中的应用。ＹｅＸｉａｙ
～
～
－
－
（）１
～～（；，）（定义１设ａａａａｗａｕａｉ＝１，ｉ＝（ｉ，ｉ，ｉ）ｉｉ
～
－
－
）为两个Ｔ则定义它们之间的Ｈ２ＩＦｍｍｉｎＮ，ａｇ距离为：１（～～～ｄ（ａａａ１＋ｗａ｜１＋ｗａ１－ｕａ１）＝［１－（１，２）２－６～～～～ａａ１＋ｗａ１＋ｗａ－ｕａ２）＋｜（－ｕａ１）－２｜１－（１２

具有Choquet积分形式的模糊合作对策

作对策，究了其单调性和连续性。具有模糊支付的模糊合作对策是凸模糊合作对策时，究了Ｃｏｕｔ分形研研ｈｑｅ积
式的模糊舍作对策的模糊核心和模糊Ｓａｌｙ，探讨了两者之间的关系，ｈｐｅ值并有趣的是这种关系与经典情形相一
ＭＥＮＧｎｙｎＦａ — ｏｇ，ＺＨＡＮＧａｇＱｉｎ
（ｃｏｌｆＭａａｅｎｎｏｏｃ，ＢｅｊｎｎｔｆＴｃｎｌｇＳｈｏｎｇｍｅｔｄＥｃｎｍｉｓｏａｉｉｇＩｓ．ｏｅｈｏｏｙ，Ｂｅｊｎ００１，Ｃｉａｉｉｇ１０８ｈｎ）
ｃｉｃｄｔｈｌｓｉａａｅｔｎｅｏｂｏｎｅｈｔａｌｔｅｄｆｎｔｏｓａｏｔｆｚｙｃｏｅａｉｅｇｍｅｒｏｎｉｅｗｉｔｅｃａｓｃｌｃｓ．Ｉｅｄｔｅｐｉｔｄｔａｌｈｅｉｉｉｎｂｕｕｚｏｐｒｔｖａｓａｅｈ
第３２卷
第７期
系统工程与电子技术
ＳｙｓｅｓＥｎｇｉｅｉｎｅｔｏｃｔｍｎｅｒｎｇａｄＥｌｃｒｎｉｓ
Ｖ０．２Ｎｏ７１３．
２１００年７月
文章编号：０１５６（０００—４００１０—０Ｘ２１）７１３—７
ｇａｏｍｓｐｏｏｅｒｌｆｒｉｒｐｓｄ，ｗｈｉｈｃｍｂｎｓｔｅｆｚｙｎｍｂｒｉｔｄｏｅａｉｎ．Ｉｓｍｏｏｏｉｉｎｏｔｕｔｒｃｏｉｅｈｕｚｕｅｓｌｍｉｅｐｒｔｏｓｔｎｔｎｃｔａｄｃｎｉｉｙａｅｙｎｓｕｉｄｔｄｅ．Ｔｈｓｐｐｒｄｓｕｓｓｔｉｋｎｆｕｚｏｐｒｔｖａｅ ’ｆｚｙｃｒｎｕｚｈｐｅａｕｅｈｉａｅｉｃｓｅｈｓｉｄｏｚｙｃｏｅａｉｅｇｍｓｕｚｏｅａｄｆｚｙＳａｌｙｖｌｅｗｈｎｔｅｆ

集值映射与集值优化问题

集值映射与集值优化问题集值映射和集值优化问题是数学中重要的研究内容之一，涉及到集合中元素之间的映射关系和最优化的求解方法。

在实际问题中，集值映射和集值优化经常被应用于数据处理、优化设计、图像识别等领域，具有广泛的应用价值和理论研究意义。

1. 集值映射的定义与性质在数学上，集值映射指的是一个映射函数，其定义域为一个集合，值域为另一个集合的子集。

一般来说，集值映射可以将一个集合中的元素映射到另一个集合中，并保持元素之间的映射关系。

集值映射在数据处理和模型建立中具有重要的作用，可以帮助我们更好地理解数据之间的关系。

在集值映射的研究中，我们通常关注其性质和特点，比如单调性、压缩性、扩展性等。

单调性是指在两个集合中的元素之间存在固定的顺序关系；压缩性是指映射后的值域可以有限制；扩展性是指映射后的值域可以扩展到更大的集合中。

2. 集值优化问题的定义与求解集值优化问题是指在给定的集合中，寻找最优的映射关系，使得目标函数达到最大或最小。

在实际问题中，集值优化问题通常涉及到约束条件和目标函数，需要通过数学方法来求解最优解。

在集值优化问题的求解过程中，我们可以采用不同的优化算法，比如梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等。

这些算法可以帮助我们在解空间中搜索最优解，找到最优的映射关系。

3. 集值映射与集值优化的应用集值映射和集值优化在不同领域中都有着广泛的应用。

在数据处理中，集值映射可以帮助我们对数据进行整合和转换，提取有用的信息。

在优化设计中，集值优化可以帮助我们设计出更加高效和有效的方法和系统。

此外，在图像识别、语音识别、机器学习等领域，集值映射和集值优化也发挥着关键作用。

通过研究集值映射和集值优化问题，我们能够更好地理解数据之间的关系，找到最佳的映射关系，提高数据处理和优化设计的效率和准确性。

总结集值映射与集值优化问题是数学中重要的研究内容，涉及到数据处理、优化设计、图像识别等多个领域。

通过研究集值映射与集值优化，我们可以更好地理解数据之间的映射关系，找到最优的映射关系，提高数据处理和优化设计的效率和准确性。

基于Choquet模糊积分的多分类器系统多样性研究(精)

d ( x) D, 进行以下过程，否则进行下一个样例；
判断是否满足密度调整的条件，如果不满足，那么进行下一个样例，否则，（1）该样例类别所对应的密度值增加；（2）其他类别所对应的密度值减少；
对训练集搜索一遍后返回各类密度值；
Step5: 根据Step4得到的密度值对训练集分类，得到训练精度，若精度满足要求，则停止学习，返回密度值，否则计算对应于Step4得到的密度值的整个训练集合的多
x
( )
, x ( 1) , x ( n ) f ( x(0) ) 0
调整步长：0.0830
2018/9/27
调整步长：0.0492
BACK 8
2 L max f ( g11 , g12 , , g1L , , g 1 M , g M , , g M , 1 , 2 , , T ) ( M 1) N D l l 1 subject to fori, j , l ( NLP I ) (1) (c) fij d j l (c) fit d t t 1, 2, , j 1, j 1, , M (2) j 1 forj (3) l 0 l 1, 2, ,( M 1) N T i 1, 2, , N j 1, 2, , M
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 400
600

1000 1200 number of cycle
0.5
1400
1600
1800
1000
1500
2000
Figure 3
2500 3000 3500 number of cycle

基于模糊Choquet积分的图像融合效果评价

了图像中微小细节反差和纹理变换特征平均梯度值越大则说明融合图像越为清晰视觉效果越好
从上面的分析可以看出融合图像熵值交叉熵值平均梯度分别反映了融合图像包含的信息量与
源图像差异图像的清晰程度等不同方面的特征指标用适当的综合评价方法综合这几种指标可以得到对
融合图像的较为全面的评价
２基于Ｃｈｏｑｕｅｔ积分的综合评价指标
∑ C =
4 i =1
g (hα i
)(h(ui
)
−
h(u i −1
2004 年 11 月
徐宝昌等基于模糊Ｃｈｏｑｕｅｔ积分的图像融合效果评价
43
果综合评价方法该方法采用融合图像熵值交叉熵平均值交叉熵均方根值平均梯度值组成单因素评
价指标集基于人的知识确定各单因素评价指标的隶属度函数和 F 测度利用 Choquet 积分进行综合评价评价结果可以反映出各单因素指标对融合效果的综合影响最后通过仿真实验验证了该方法的有效性
2 交叉熵平均值和交叉熵均方根值越小说明融合图像与源图像差异越小融合图像的效果越好
3 平均梯度值越大说明融合图像的清晰度越高图像的融合效果越好
44
光电工程
第３１卷第１１期
在U 上定义模糊集 T 表示“融合图像效果好” 则模糊集 T 可以表示成
T = {h(u1) u1 , h(u2 ) u2 , h(u3 ) u3 , h(u4 ) u4}
北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院北京 100083
摘要针对多源图像的融合效果评价问题提出了一种基于模糊 Choquet 积分的图像融合效果评价方法该方法采用融合图像熵值交叉熵平均值交叉熵均方根值平均梯度值构成单因素评价指标集基于知识确定 F 测度和各单因素评价指标的隶属度函数应用 Choquet 积分综合各单因素指标得到一个综合评价指标该方法综合利用了多个单因素指标的信息并将人的知识引入到对图像融合效果的评价中其评价结果更为全面客观将该方法应用于 CCD/SAR 图像的融合效果评价评价结果与理论分析结果和目视效果是一致的表明了该评价方法的有效性关键词图像融合;信息融合;像质评价; Choquet 积分中图分类号 TP391.41 文献标识码 A

模糊集(fuzzy set)相关理论知识简介

36
2、模糊度计算公式（1）海明(haming)模糊度海明(haming)模糊度
其中，是论域U中元素的个数，其中，n是论域U中元素的个数， 1 µA (ui)≥0.5 )≥0 µA 0.5(ui)= 0 µA (ui)＜0.5
37
（2）欧几里德(Euclid)模糊度欧几里德(Euclid)模糊度
模糊理论（1 模糊理论（1）
1
一、集合与特征函数
1、论域处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。的论域。
2
2、集合在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。
3
3、特征函数设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令是论域U上的一个集合，对任何u 1 当u∈A CA(u)= 0 当u A 则称C (u)为集合A的特征函数。则称CA(u)为集合A的特征函数。显然有： A={ u | CA(u)=1 } (u)=1
13
三、模糊集表示法
1、扎德表示法1 扎德表示法1 设论域U 设论域U是离散的且为有限集： U={ u1, u2, …, un, } 模糊集为：A={µ 模糊集为：A={µA(u1), µA(u2), … , µA(un) } 则可将A 则可将A表示为：
14
A=µA(u1)/ u1+µA(u2)/ u2+ … +µA(un)/ un 或 A={ µA(u1)/ u1，µA(u2)/ u2，… ，µA(un)/ un } 或 A= n µA(ui)/ ui ∑ 或 i =1 A= µA(u)/ u u∈U
27
模糊理论（2 模糊理论（2）
28
一、模糊集的λ水平截集模糊集的λ

基于累积前景理论和Choquet积分的直觉梯形模糊多属性决策

［7 ， 8 ］
望效用理论，然而在风险和不确定条件下，由于决策问题的模糊性、人类认知的有限性，实际决策行为并非完全理性的，而是 “有限理性” 表现为正如 Simon 提出的原则。Kahneman 等人
［1 ］
，不考虑属性之间关系的多属性决策
在调查和实验的基础上发现了风险和不确定条件下决策者行为与期望效用理论预测的偏离，进而提出了前景理论，并进一步发展为累积前景理论
其非隶属度定义如下：
v珘 a x－c 0
b － x + v珘 a （ x － a1 ） b2 － b1
a1 ≤ x ＜ b b≤x≤c （ 2）
{
Δx α i － λ（－ Δx i ）
β
Δx≥0 Δx≤0
（ 7）
其中： Δx i 为结果 x i 相对于参考点 x0 的偏离量，若 x i 大于参考点 x0 ，则定义为收益，否则为损失；参数 α、 β 分别表示收益和损失区域价值幂函数的凹凸程度， α， β ＜ 1 表示敏感性递减； λ 系数用来表示损失区域比收益区域更陡的特征， λ ＞ 1 表示损失厌恶。若结果 x i 和参考点 x0 以直觉梯形模糊数形式表示，则 Δx i 定义为
Abstract： For risk decision making problems where attribute values are in the form of intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers attribute decision and attributes are associated with each other，this paper proposed an intuitionistic trapezoidal fuzzy multimaking method based on cumulative prospect theory and Choquet integral． Firstly，this method defined a prospect value function of intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers based on distance between intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers，then calculated prospect values of attributes for each alternative by using value function and weight function， further， it used Choquet inand obtaind comprehensive prospect values； fitegral to fusion prospect values of the associated attributes for each alternative， nally，sorted the alternatives according to comprehensive prospects value． An example of risk investment shows the feasibility of the proposed method． Key words： cumulative prospect theory； intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers； Choquet integral； interactive； multiattribute decision making

模糊积分定义的模糊集函数的性质

(
)
µ( f ∧ f
1
2
)
( A) ≤ µ f ( A) ∧ µ f ( A) .
1 2
8. 设 A, B ∈℘ ， f ∈ M + ，则 µ f ( A ∪ B ) ≥ µ f ( A ) ∨ µ f ( B ) ，
µ f ( A ∩ B ) ≤ µ f ( A) ∧ µ f ( B )
9. 设 A ∈℘， f1 , f 2 ∈ M + ，如果 f1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 在 X 上有相同的单调性
2
y ，则 S [ xn , yn ] → S [ x, y ] 。
若 D = [ 0, ∞ ] ， S 满足 ( 2 ) − ( 4 ) 且 (1) T [ x, 0] = x ，且 T [ x, ∞ ] = ∞ ， ∀x ∈ [ 0, ∞ ] ，则称为广义反三角模，记为 T 。注： S [ x, y ] = x ∧ y ， S [ x, y ] = kxy
µ ( A) < ∞ 和 µ ( B ) < ∞ ⇒ µ ( A ∪ B ) < ∞
则下列命题是等价的:
(1)
(1)
f ∈ FM ( µ ) ;
0
使 µ ( A ∩ Fα ( 2 ) 如果存某个 α 0 > 0 ，成立；
则对任何 α > 0 ，均有 µ ( A ∩ F ) < ∞ ) < ∞ ，A ∈℘ ，
n →∞
µ 称为下半或上半连续模糊测度，如果它分别满足上述条件 ( FM 1) ， ( FM 2 ) 与
( FM 3) 或 ( FM 1) ， ( FM 2 ) 与 ( FM 4 ) ，若 µ 是可测空间 ( X ,℘) 上的模糊测度，则 ( X ,℘, µ ) 称为模糊测度空间。

Choquet积分和集值Choquet积分及其在金融中的应用

独创性声明
＼
究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．
签名：至邀霍
日期：≯口，多年６月／日
关于论文使用授权的说明
本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文．
（保密的论文在解密后应遵守此规定）
签名：王送霞日期：印，弓年６月Ｊ日
导师签日期：２．ｏ膨ｍ莎月ｆ曰。

模糊值choquet积分(ⅱ)——函数关于模糊值模糊测度的choquet积分

模糊值choquet积分(ⅱ)——函数关于模糊值模糊测度的
choquet积分
Choquet积分是一种模糊测度，它采用模糊值的方式来衡量模糊集合。

Choquet积分可以用于衡量一个模糊集合中的不确定性水平，即一个模糊集合中元素的可能性。

具体而言，Choquet积分是一种模糊值模糊测度，它被定义为模糊集合A上的一个函数，其中，A表示一个模糊集合，而函数f(A)则表示A 中所有元素的可能性，这一可能性可以用模糊值表示。

Choquet积分通过将模糊集合A中的每一元素的可能性加总，来衡量该模糊集合的不确定性水平，从而得出模糊集合的整体可能性。

因此，模糊值模糊测度的choquet积分就是将模糊集合A中的每一元素的可能性(以模糊值表示)加总，来衡量该模糊集合的不确定性水平，从而得出模糊集合的整体可能性的一种方法。

Choquet-like模糊积分及其收敛定理

Choquet-like模糊积分及其收敛定理标题一：Choquet-like模糊积分的定义与性质分析Choquet-like模糊积分是一种对积分非完备可测函数的扩展，其定义和性质都与传统的积分有很大的区别。

本章将探讨Choquet-like模糊积分的定义、性质以及与传统积分的关系。

首先，我们介绍了Choquet-like模糊积分的基本定义，即对于一个有限测度空间上的可测函数f，定义满足可分离性、单调性、规范性和连续性等条件的Choquet-like模糊积分。

接着，我们引入了基本概念——K-仿射函数，并通过一些示例来说明该函数对于定义Choquet-like模糊积分的作用。

然后，我们详细地讨论了Choquet-like模糊积分的性质。

具体来说，我们证明了Choquet-like模糊积分对于相对个体置信度具有扩展的形式，满足线性、单调和规范性等性质，从而说明了Choquet-like模糊积分的内在结构和其对于对称、可满足条件对象具有良好的基础性质。

最后，我们进一步分析了Choquet-like模糊积分与传统积分的关系。

我们证明了如果一个函数具有可积性，那么它也一定是Choquet-like模糊可积的，从而说明了Choquet-like模糊积分是传统积分的自然扩展。

同时，我们欣喜地发现，Choquet-like模糊积分对于充分大的积分范围与Lebesgue积分是一致的。

在本章的结尾，我们总结了Choquet-like模糊积分的定义和性质，并指出了Choquet-like模糊积分的一些研究方向。

这些方向包括对Choquet-like模糊积分和Petri网、模糊系统和决策分析之间的关系进行进一步探讨，以及探索基于Choquet-like模糊积分的模糊滤波与逆滤波的发展等。

标题二：Choquet-like模糊积分的数值计算方法研究Choquet-like模糊积分是一种重要的扩展积分，但是由于其非传统的定义和性质，其数值计算方法的研究比较困难。

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定义１
若集值函数满足条件：））一Ｏ（有限；）Ａ， ∈ Ｒ，ｃ则（ ≤ （，１（，）２若ＢＡＢ，Ａ）Ｂ）
则称集值函数为非连续模糊测度，相应的三元组（Ｒ，Ｘ，）为非连续模糊测度空间．注１该定义与原定义略有区别，掉了（去Ｘ）一１的限制，围比原定义更广泛．范
２令ｍ（）一＿ｚ＋ｇｚ，则ｒ（）ＥＦ（））ｚ厂）（（）ＶｚＥＸ，ｅｘｚ＋Ｇ（）一（ｚＦ＋Ｇ）ｚｎｅ于Ｘ，Ｖ口ＥＲ（）．．且，
有＝｛ｌ（）｝｛，ｚ ≥号）ｚｌ（）。ｚｚ ≥ａｌ（）ｒｅｕ｛ｚ ≥导｝＝ｕｇ，ｇ：：旦
ｉｔｇａｒｕｔｅｉｃｓｅｎｅｒｌｅｆｒｈｒｄｓｕｓｄ，ａｄｓｍｅｉｒｃｓｏｎＺａｇＦｅｇｓｕｎｅｅａｉｅｏｅｔｅｆｓｔａｎｏｍｐｅｉｉｎｉｈｎｎ — ｈａｇｇｎｒｌｚｄｐｒｐｒｉｓｏｅ—
１因，）（ｎ・，以（Ｅ（Ｕ（口・，一ｃ一（）为（Ｅｚ・于Ｘ所，）ｚｚ・于ｘ。（ＪｚＦ）ｚＦ）Ｇ）Ｐｚ，ＪｎＯ
Ａ）ａ＜Ｃ，ｄ × ＦＵＧ是Ａ上模糊Ｃｏｕｔ３ｈｑｅ可积的．
ＷＡＮ－ｕＧＡｉ，ＱＩＯｕ —ａｒＡＪｎｊｎｉ
（ｌｇｆＳｉｎｅＣｏｌｅｏｃｅｃ，ＡｇｉｕｔｒｌＵｎｖｒｉｙｏｅｅ，Ｂａｄｎ７０２ｅｒｃｌｕａｉｅｓｔｆＨｂｉｏｉｇ０１０，Ｃｈｎ）ｉａ
定义３定义４Ｃ映射Ｆ： — Ｐ（一｛｝ｘＲ）称为集值映射，若它的图是可测的，｛ｚ，即（）Ｅｘ ×ＲＥｌ设（Ｒ，为非连续模糊测度空间，Ｘ，）可测集值映射Ｆ：Ｘ— Ｐ（一｛，Ｒ）中｝则
中图分类号：５Ｏ１９文献标志码：Ａ文章编号：ＯＯ５５２１）１０１５１０一１６（０Ｏ０ —０１ —０
ＦｕｔｅｓｕｓｏｎＰｒｐｅｔｅｆＳｔｖｌｅｚｙＣｈｑｅｎｔｇａｒｈｒＤｉｃｓｉｎｏｏｒｉｓｏｅ — ａｕｄＦｕｚｏｕｔＩｅｒｌ
２称为偏次可加的，）当且仅当ＶＡ，有（ ≤ （＋（）其中＞０特别地，１，ＢＥＲ，ＡＵＢ）Ａ）Ｂ，．一时
为次可加的．
２主要结论
定理１设可测集值映射Ｆ，Ｇ是Ａ上模糊Ｃｏｕｔ积的，ｈｑｅ可则
・１・２
河北大学学报（自然科学版）
２１００钲
注２本文以下的讨论，如没有特别说明，均在（Ｒ，）上进行．ｘ，／１
定义２［设－Ｘ— Ｒ厂：为非负实值函数，则ＡＥＲ，
（Ｊ一ｎ）ｃＪ厂ｏ（ｄＡａ
ＡｂｔａｔＳｔｖｌｅｕｚｏｕｔｎｅｒｌｓａｍｐｒａｔｇｎｒｌａｉｎｏｏｕｔｉｔｇａ，ｓｔｖｌｓｒｃ：ｅ — ａｕｄｆｚｙＣｈｑｅｔｇａｎｉｏｔｎｅｅａｉｔｆｉｉｚｏＣｈｑｅｎｅｒｌｅ — ａ — ｕｄＣｈｑｅｎｅｒｌｎｕｚｈｑｅｔｇａ．ＩｈｓｐｐｒｓｍｅｐｏｅｔｅｆｓｔｖｌｅｕｚｏｕｔｅｏｕｔｉｔｇａｄｆｚｙＣｏｕｔｉｅｒ１ｎｔｉａｅｏｒｐｒｉｓｏｅ — ａｕｄｆｚｙＣｈｑｅａｎ
１（（）ＦＵＧ））一Ｆ（）ＵＧ（）（（）：Ｆ（）ｎＧ（）ｚｚ，ＦｎＧ）ｚ＝ｚｚ；＝
２（＋Ｇ）ｚ）一Ｆ（）Ｆ（）＋ＧＣｒ，ａ・（）一ａ・Ｆ（，Ｘ，）（Ｆ）ｚｚ）．ＥａＥＲ；２Ｃ
本文进一步讨论了集值模糊Ｃｏｕｔｈｑｅ积分的性质，修正了张风霜文章《并集值模糊Ｃｏｕｔ分的广义性ｈｑｅ积
质》不严密之处．的
关键词：非连续模糊测度；可测集值映射；集值模糊Ｃｏｕｔｈｑｅ积分
示Ｆ在Ａ上的所有可积选择．ｃｌ ≠ ，若（）Ｆ则称集值映射Ｆ在Ａ上是模糊Ｃｏｕｔｈｑｅ可积的．
定义５Ｅ设数集Ａ，（一｛，ＢＥＰＲ）｝若
１Ｖ．］ＥＢ，ｚ ≤ ｙ；）。。使。ｙ，称集合Ａ弱于Ｂ，）７２Ａ，使。。２ＶｙＥＢ，。ＥＥＡ， ≤ 。则记为Ａ＜Ｂ．
Ｆ）（｝ＥＲ× Ｂ（，称Ｆ是Ｘ上的可测集值映射．Ｒ）则
（ｊ一｛厂Ｅ（｝ｃＦ（ｌｓ）ｃｆＦ
称为Ｆ在Ａ上关于的模糊Ｃｏｕｔｈｑｅ积分．中ＳＦ其（）一｛（ｆＥ）Ｉ（）ＥＦ（）．．Ｘ｝即ＳＦ），ｚｘａｅ于，（表
积选择ｆ，使（）ＥＦ（）．．ｘ，（）ＥＧ（）．．Ｘｇ，ｚｘａｅ于ｇｚｘａｅ于
ｚ（ｒｄ￣（ｄ。。（ｊ（ｎ）＜。。ｃｒｎ）＜。一ｃａ一如。一）一ｏＡ口，）．０ｆ。 ’ ｇＡ
１ＦＵＧ是Ａ上模糊Ｃｏｕｔ）ｈｑｅ可积的；２若为偏次可加的，Ｆ＋Ｇ是Ａ上模糊Ｃｏｕｔ）则ｈｑｅ可积的．
证因，是上糊Ｃｑｔ积，以ｃ ≠ （Ｊ ≠中必在Ａ的明为ＦＡ模ｈｕ可的所（ＪＧ。ｅＦ，Ｇｃ，存上可
上，一步讨论了集值模糊Ｃｏｕｔ进ｈｑｅ积分的性质，其应用范围更广泛，使同时，文献［］对２中不太严密的内容
进行了修正．
预备知识
设Ｘ是给定的一个非空集合，Ｒ是Ｘ上若干子集构的代数，ｘ，成（Ｒ）为一可测空间，一Ｅ，。，Ｒ０。］Ｐ（）ＲＲ为的幂集．Ｒ）ＲＢ（是上的Ｂｒｌ域．ｏｅ一
第３０卷
２１００年
第１期
１月
河北大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＨｅｅｎｖｒｉ（ｔｒｌＳｉｎｅＥｄｔｏ）ｏｒａｂｉｉｅｓｔＮａｕａｃｅｃｉｎｏＵｙｉ
Ｖｏ１３．１．ＯＮ０
Ｊｎ２１ａ．００
关于集值模糊Ｃｏｕｔ分性质的进一步讨论ｈｑｅ积
王爱茹，均俭乔
（北农业大学理学院，北保定河河０１０）７０１
摘要：集值模糊Ｃｏｕｔ分是Ｃｏｕｔ分、ｈｑｅ积ｈｑｅ积集值Ｃｏｕｔ分和模糊Ｃｏｕｔ分的重要推广，ｈｑｅ积ｈｑｅ积
一｛｝ＥＡ｝．
３ＦＧ∞ Ｆ（）ｚ）
Ｇ（，ｚ）ＶｚＥＸ．
定义７。１称为是零零可加的，）当且仅当ＶＡ，当（ＢＥＲ，Ａ）一（Ｂ）一０时，有（ＡＵＢ）一０；
收稿日期：０８１ — １２０ — ２０
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７０２；北农业大学非生命学科与新兴学科科研发展基金资助项目６７３６）河
（Ｓ０６３ＦＹ２０３）
第一作者：爱茹（９５）女，北肃宁人，北农业大学教授，王１６一，河河主要从事模糊数学研究．
集值模糊Ｃｏｕｔｈｑｅ积分是Ｃｏｕｔｈｑｅ积分、集值Ｃｏｕｔ分和模糊Ｃｏｕｔｈｑｅ积ｈｑｅ积分的重要推广．９７年，１９
Ｊｎ［在非连续模糊测度中，对可测集值映射，义了可测集值映射的模糊Ｃｏｕｔ分，ａｇ１］针定ｈｑｅ积并证明了一些性质．０５年，２０张凤霜等提出并证明了集值模糊Ｃｏｕｔ分的另外几个性质．文在上面研究的基础ｈｑｅ积本
本文中规定
１Ａ＋Ｂ一｛－ｚＥＡ，；２ｚ＋Ｂ一｛）ｚ４ｙＩｙＥＢ｝）ｚ＋ｙｌ；３ｙＥＢ））定义６设（．）Ｘ，为一可测空间，Ｇ是Ｘ上的可测集值映射，ＲＦ，则
ｖｌｅｕｚｈｑｅｉｔｒｌａｅｒｖｓｄａｕｄｆｚｙｃｏｕｔｎｅａｓｒｅｉ．ｇｅ