66定积分的几何应用1

（2） 一般图形
由曲线 r r1(q ),r r2(q )
及射线q=, q =所围图形的面积微元为
dA

1 2
[r22 (q
)

r12 (q
)]dq
则面积为 A
1 2
[r22
(q
)

r12
(q
)]dq
例4 求阿基米德螺线r=aq(a>0)上 o
r r1(q )
r r2 (q )
()=a, ()=b,在[,]上(t)有连续导数, (t)连续,
则曲边梯形面积面积为
b

A f ( x)dx (t) (t)dt
a

在例1中,若采用椭圆的参数方程
x

y

a cos t, (0
b si nt .

t

2
)
则
0
A 4 b sintd (a cos t)
即 du f (x)dx
(3) 以所求量U的微元 f (x)dx 为被积表达式,
b
在区间[a, b]上作定积分,得 U f ( x)dx a
6.5.2 平面图形的面积 1. 直角坐标情形
Байду номын сангаас
y
y f (x)
（1）曲边梯形
当f(x)在 [a,b]上连续时, a
0c bx
由曲线 y =f(x) 和x =a,
, (0 .

r

)
或rq

x2 y2 arctan y
x
（x = 0而y 0 时，规定 q/2）
一些曲线方程的直角坐标形式与极坐标形式
x2 y2 a2(a 0)极坐标形式为 r a;
x2 y2 2ax(a 0)极坐标形式为 r 2a cosq;
（1）曲边扇形 设图形由曲线r=r(q)及射线q=, q =所围成.
其中r(q)在[ ,]上连续,且r(q)0. 取q为积分变量,其变化区间为[ ,], 相应于[q, q+dq]的面积微元为
dA 1 [r(q )]2 dq
2
则图形面积为

A

1
o
[r(q
)]2
dq
2
r =r(q)
相应于q从 0到2的一段弧与极轴所围图形的面积.
解 如图,可视为q=0, q= 2及r=aq
围成的曲边扇形.则其面积为
A
2 (aq )2 dq
02

a2 2
q3
( 3
)
|02

4 3
a 2
3
o
例5 求r =1与 r =1+cosq 所围公共面积.
解 如图,曲线交点为
M
M (1, ), N (1, 3 )
所 围 成 的 公 共 部 分 图 形的 面 积 。
解 由对称性可知，所求面积 为第一象限部分的两倍，
y 2
q/4
A 2[ 1 /6 2 sin2 qdq 20
q/6
1
/4
cos 2qdq ]
2 /6
x

/6
(1 cos 2q )dq
-1
0
1
/4
cos 2qdq /6
6.6 定积分的几何应用
6.5.1 定积分的微元法 一 . 能用定积分表示的量所必须具备的特征
用定积分表示的量U必须具备三个特征 : (1) U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;
(2) U 对于区间[a,b]具有可加性. 即如果把区间[a,b] 分成许多部分区间, 则U相应地分成许多部分量; (3) 部分量 U i 的近似值可表示为 f (i )xi 二 .微元分析法
x 2 y 3的极坐标形式为r(cos q 2sinq ) 3
或者r
3
;
cosq 2sinq
q (为常数)表示以极点为端点、极角
为的射线;
r q表示从极点出发的螺旋线。
一般平面曲线方程的极坐标形式为r r(q )
或者f (r,q ) 0.
3 平面图形面积的极坐标情形
x =b 及x 轴所围成的曲边梯形面积就是
b
A | f ( x) | dx a
c
b
A f (x)dx f (x)dx
a
c
（2） 一般图形
如果函数 f1(x), f2(x) 在[a,b]上连续, 且 f1(x) f2(x), x [a,b]
则介于两条曲线 y f1(x), y f2(x) 以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为
解 由对称性,椭圆的面积
a2
b2
1
A 4A1
o
x
其中 A1 为椭圆在第一象限部分.
则
A

4A1

4
a
ydx
0

4
a 0
b a
a2 x2 dx
4b ( x a2
a2

x2

a2 2
arcsi
n
x a
)
|a0
ab
例6.5.1 求由 y2 x, y x2 所围图形面积. y

[q

1 2
s in 2q
]

0
/6
1 sin2q
2
/4 /6
1 ( 3 3 3 ).
6
16
用定积分表示量U的基本步骤:
(1) 根据问题的具体情况,选取一个变量 例如x为积分变量,并确定其变化区间[a, b];
(2) 在区间[a,b]内任取一个小区间 [x, x dx]
求出相应于这个小区间的部分量 U 的近似值.
如果 U 能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数
在 x 处的值 f (x)与dx 的乘积, 就把 f (x)dx称为量U的微元且记作 du ,
根据此图形特点,可以选择y作为积分变
量,其变化区间为[-2,4].
y
(8,4)
图形的面积微元为:
dA ( y 4 1 y 2 )dy 2
从而可得图形面积
x (2,-2)
A
4 2
(y

4
1 2
y2 )dy

(
y2 2
4y

y3 6
) |42 18
2.参数方程情形
当曲边梯形的曲边为参数方x=(t),y=(t) ,且
(1,1)
解 两抛物线的交点为(0,0)及(1,1).
取x为积分变量,其变化区间为
x
[0,1].由前面讨论可知:
o
1
A ( 0
x

x2 )dx

23 ( x2 3

x3 3
)
|10
1 3
例6.5.2 求由 y2 2x, y x 4 所围图形面积.
解 两曲线的交点为(2,-2)及(8,4).

4ab
0
s i n2
tdt
2

4ab
0

1 cos2t 2
dt
2
ab

4ab(
t 2
2

1 4
si
n2t
)

|02
补充知识——极坐标：
y
Ox轴——极轴； q ——极角； r ——极径；
y r
q
P(r, q) (x, y)
直角坐标与极坐标之间 o 的关系：
xx
x

y
r cosq r sinq
2
2
A1 A2
o
则
A1

1 2

(1

cosq
)2
dq
N
1 2

2
(1
2 cosq

cos2 q
)
dq

(
3
2
q
2

2 s i nq

1 4
sin2
q
)
|
而

A2 4
2
3 1
8
由对称性
A

2( A1

A2 )

2( 3
8
1 )
4

5
4
2
例 6.5.6 求由圆r 2 sinq和双纽线r 2 cos 2q
dA [ f2( x) f1( x)]dx
则图形的面积为
y
y f2 (x)
b
A [ f2 ( x) f1( x)]dx a
a
x o
x+dx b
x
注意:根据具体的图形特点,也 可以选择y作为积分变量或者 利用图形的对称性简化计算.
y f1(x)
例1（6.5.3） 求椭圆的面积(如图). x2 y2 y