{3套试卷汇总}2017-2018贵州省名校二轮总复习数学能力测试题

中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，某小区计划在一块长为31m ，宽为10m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 1．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）
A ．（31﹣1x ）（10﹣x ）=570
B ．31x+1×10x=31×10﹣570
C ．（31﹣x ）（10﹣x ）=31×10﹣570
D ．31x+1×10x ﹣1x 1=570
【答案】A 【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 1，即可列出方程:(31−1x)(10−x)=570，
故选A.
2．关于x 的不等式21x a --的解集如图所示，则a 的取值是( )
A ．0
B ．3-
C ．2-
D ．1- 【答案】D
【解析】首先根据不等式的性质，解出x≤12a -，由数轴可知，x≤-1，所以12a -=-1，解出即可； 【详解】解：不等式21x a -≤-，
解得x<12
a -， 由数轴可知1x <-，
所以112
a -=-， 解得1a =-；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c ﹣b|的结果是（ ）
A ．a+b
B ．﹣a ﹣c
C ．a+c
D ．a+2b ﹣c
【解析】首先根据数轴可以得到a、b、c的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可．【详解】解：通过数轴得到a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|，
∴a+b＞0，c﹣b＜0
∴|a+b|﹣|c﹣b|=a+b﹣b+c=a+c，
故答案为a+c．
故选A．
4．“山西八分钟，惊艳全世界”.2019年2月25日下午，在外交部蓝厅隆重举行山西全球推介活动．山西经济结构从“一煤独大”向多元支撑转变，三年累计退出煤炭过剩产能8800余万吨，煤层气产量突破56亿立方米．数据56亿用科学记数法可表示为（）
A．56×108B．5.6×108C．5.6×109D．0.56×1010
【答案】C
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于56亿有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝1．
【详解】56亿＝56×108＝5.6×101，
故选C．
【点睛】
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）
A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短D．经过两点，有且仅有一条直线
【答案】C
【解析】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
【点睛】
根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．
6．已知二次函数y＝﹣(x﹣h)2+1(为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣5，则h的值为( )
A．3﹣6或1+6B．3﹣6或3+6
C．3+6或1﹣6D．1﹣6或1+6
【答案】C
【解析】∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最大值-5，
可得：-（1-h）2+1=-5，
解得：h=1-6或h=1+6（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最大值-5，
可得：-（3-h）2+1=-5，
解得：h=3+6或h=3-6（舍）．
综上，h的值为1-6或3+6，
故选C．
点睛：本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的增减性和最值分两种情况讨论是解题的关键．7．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟
悉的方程组形式表述出来，就是
3219
423
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）
A．
211
4327
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
211
4322
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
3219
423
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
D．
26
4327
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
【答案】A
【解析】根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组．
【详解】图2所示的算筹图我们可以表述为：
211 4327
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
．
故选A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
8．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）．
A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒
【答案】B
【解析】试题分析：作点P关于OA对称的点P3,作点P关于OB对称的点P3,连接P3P3,与OA交于点M,与OB交于点N,此时△PMN的周长最小．由线段垂直平分线性质可得出△PMN的周长就是P3P3的长，∵OP=3，∴OP3=OP3=OP=3．又∵P3P3=3，,∴OP3=OP3=P3P3,∴△OP3P3是等边三角形, ∴∠P3OP3=60°，即3
（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°,即∠AOB=30°，故选B．
考点：3．线段垂直平分线性质；3．轴对称作图．
9．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（）
A．6 B．8 C．14 D．16
【答案】C
【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=-5，再变形x12+x22得到（x1+x2）2-2x1•x2，然后利用代入计算即可．
【详解】∵一元二次方程x2-2x-5=0的两根是x1、x2，
∴x1+x2=2，x1•x2=-5，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=22-2×（-5）=1．
故选C．
【点睛】
考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-b
a
，x1•x2=
c
a
．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c ＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤【答案】C
【解析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故①错误；
②由于对称轴可知：
b
2a
-＜1，
∴2a+b＞0，故②正确；
③由于抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；
⑤当x＞
b
2a
-时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是______．
【答案】
3 6
【解析】利用特殊三角形的三边关系，求出AM,AE长，求比值. 【详解】解：如图所示，设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x ，
AB=3BC=3x ，
根据题意得：AD=BC=x ，AE=DE=AB=3x ，
如图，作EM ⊥AD 于M ，则AM=12AD=12
x ， 在Rt △AEM 中，cos ∠EAD=3263X
AM AE x
==， 故答案为：3 6
.
【点睛】
特殊三角形： 30°-60°-90°特殊三角形，三边比例是1：3：2，利用特殊三角函数值或者勾股定理可快速求出边的实际关系.
12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于
12
BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线CE 交AB 于点F ，则AF 的长为_____．
【答案】1；
【解析】分析：根据辅助线做法得出CF ⊥AB ，然后根据含有30°角的直角三角形得出AB 和BF 的长度，从而得出AF 的长度．
详解：∵根据作图法则可得：CF ⊥AB ， ∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8， ∵∠CFB=90°，∠B=10°， ∴BF=
12
BC=2， ∴AF=AB －BF=8－2=1．
点睛：本题主要考查的是含有30°角的直角三角形的性质，属于基础题型．解题的关键就是根据作图法则
得出直角三角形．
13．已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣4
x
图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为__________．
【答案】y1＜y1
【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y1的大小，从而可以解答本题．
详解：∵反比例函数y=-4
x
，-4＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（-4，y1），B（-1，y1）是反比例函数y=-4
x
图象上的两个点，-4＜-1，
∴y1＜y1，
故答案为：y1＜y1．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答．
14．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为_____个．
【答案】1
【解析】分析：类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：万位上的数×64+千位上的数×63+百位上的数×62+十位上的数×6+个位上的数，即1×64+2×63+3×62+0×6+2=1．
详解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1，
故答案为：1．
点睛：本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则BE的长度为______．
【答案】23π 【解析】试题解析：连接AE ，
在Rt 三角形ADE 中，AE=4，AD=2，
∴∠DEA=30°，
∵AB ∥CD ，
∴∠EAB=∠DEA=30°，
∴BE 的长度为：304180π⨯=23
π. 考点：弧长的计算.
16．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC ＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD 的周长是30，则这个风车的外围周长是_____．
【答案】71
【解析】分析：由题意∠ACB 为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC 延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
详解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，AC=y ，则
x 2=4y 2+52，
∵△BCD 的周长是30，
∴x+2y+5=30
则x=13，y=1．
∴这个风车的外围周长是：4（x+y ）=4×19=71．
故答案是：71．
点睛：本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，注意隐含的已知条件来解答此类题．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，1），以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，则AB 的长为_____．
【答案】2π． 【解析】由点A(1，1)，可得OA 的长，点A 在第一象限的角平分线上，可得∠AOB=45°，，再根据弧长公式计算即可．
【详解】∵A(1，1)，
∴OA=22112+=，点A 在第一象限的角平分线上，
∵以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，
∴∠AOB=45°，
∴AB 的长为452180π⨯=24
π， 故答案为：
24π． 【点睛】
本题考查坐标与图形变化——旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键.本题中求出OA=2以及∠AOB=45°也是解题的关键．
18．如图，点A 的坐标是（2，0），△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限，若反比例函数k y x
=的图象经过点B ，则k 的值是_____．
3．
【解析】已知△ABO 是等边三角形，通过作高BC ，利用等边三角形的性质可以求出OB 和OC 的长度；由于Rt △OBC 中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC 的长度，进而确定点B 的坐标；将点B 的坐标代入反比例函数的解析式k y x
=
中，即可求出k 的值. 【详解】过点B 作BC 垂直OA 于C ，
∵点A 的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO 是等边三角形，
∴OC=1，BC=3， ∴点B 的坐标是()1,3, 把()1,3代入k y x
=，得3k =． 故答案为3．
【点睛】
考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标；
三、解答题（本题包括8个小题）
19．矩形AOBC 中，OB=4，OA=1．分别以OB ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F 是BC 边上一个动点（不与B ，C 重合），过点F 的反比例函数y=k x
（k ＞0）的图象与边AC 交于点E 。

当点F 运动到边BC 的中点时，求点E 的坐标；连接EF ，求∠EFC 的正切值；如图2，将△CEF 沿EF 折叠，点C 恰好落在边OB 上的点G 处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】（1）E （2，1）；（2）43；（1）218y x
=. 【解析】（1）先确定出点C 坐标，进而得出点F 坐标，即可得出结论；
（2）先确定出点F 的横坐标，进而表示出点F 的坐标，得出CF ，同理表示出CE ，即可得出结论； （1）先判断出△EHG ∽△GBF ，即可求出BG ，最后用勾股定理求出k ，即可得出结论．
【详解】（1）∵OA=1，OB=4，
∴B （4，0），C （4，1），
∵F 是BC 的中点，
∴F （4，32），
∵F 在反比例y=k x 函数图象上， ∴k=4×32=6， ∴反比例函数的解析式为y=
6x ， ∵E 点的坐标为1，
∴E （2，1）；
（2）∵F 点的横坐标为4，
∴F （4，4
k ）， ∴CF=BC ﹣BF=1﹣4
k =124k - ∵E 的纵坐标为1，
∴E （3
k ，1）， ∴CE=AC ﹣AE=4﹣
3k =123
k -， 在Rt △CEF 中，tan ∠EFC=43
CE CF =， （1）如图，由（2）知，CF=124k -，CE=123k -，43CE CF =， 过点E 作EH ⊥OB 于H ，
∴EH=OA=1，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE ，FG=CF ，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF ，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EHG ∽△GBF ，
∴
EH EG CE BG FG CF
==， ∴343BG =，
∴BG=94， 在Rt △FBG 中，FG 2﹣BF 2=BG 2，
∴（
124k ）2﹣（4k ）2=8116， ∴k=218
， ∴反比例函数解析式为y=
218x ． 点睛：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出CE ：CF 是解本题的关键．
20．如图，已知O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．以0点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；分别写出B 、C 两点的对应点B′、C′的坐标；如果△OBC 内部一点M 的坐标为（x ，y ），写出M 的对应点M′的坐标．
【答案】 (1)画图见解析(2)B'（-6,2）、C '（-4，-2）(3) M'（-2x,-2y ）
【解析】解：（1）
（2）以0点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍，则是对应点的坐标放大两倍，并将符号进行相应的改变，因为B(3，-1)，则B’(-6,2) C(2,1)，则C‘（-4，-2）
（3）因为点M (x ，y)在△OBC 内部，则它的对应点M′的坐标是M 的坐标乘以2，并改变符号，即M’（-2x,-2y ）
21．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE ．求证：DE 是⊙O 的切线；若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为8833π-． 【解析】（1）连接OC ，先证明∠OAC=∠OCA ，进而得到OC ∥AE ，于是得到OC ⊥CD ，进而证明DE 是⊙O 的切线；（2）分别求出△OCD 的面积和扇形OBC 的面积，利用S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC 即可得到答案．
【详解】解：（1）连接OC ， ∵OA=OC ， ∴∠OAC=∠OCA ，
∵AC 平分∠BAE ， ∴∠OAC=∠CAE ，
∴∠OCA=∠CAE ， ∴OC ∥AE ， ∴∠OCD=∠E ，
∵AE ⊥DE ， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC ⊥CD ，
∵点C 在圆O 上，OC 为圆O 的半径， ∴CD 是圆O 的切线；
（2）在Rt △AED 中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12，
在Rt △OCD 中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC ，
∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，
∴CD=22228443
-=-=DO OC ∴S △OCD =43422⋅⨯=CD OC =83， ∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°， ∴S 扇形OBC =16
×π×OC 2=8
3
π， ∵S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC ∴S 阴影=83﹣83
π， ∴阴影部分的面积为83﹣83π．
22．如图，某地方政府决定在相距50km 的A 、B 两站之间的公路旁E 点，修建一个土特产加工基地，且使C 、D 两村到E 点的距离相等，已知DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，DA=30km ，CB=20km ，那么基地E 应建在离A 站多少千米的地方？
【答案】20千米
【解析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE 中利用斜边相等两次利用勾股定理得到AD2+AE2=BE2+BC2，设AE为x，则BE=10﹣x，将DA=8，CB=2代入关系式即可求得．
【详解】解：设基地E应建在离A站x千米的地方．
则BE=（50﹣x）千米
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2
∴302+x2=DE2
在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2
∴202+（50﹣x）2=CE2
又∵C、D两村到E点的距离相等．
∴DE=CE
∴DE2=CE2
∴302+x2=202+（50﹣x）2
解得x=20
∴基地E应建在离A站20千米的地方．
考点：勾股定理的应用．
23．甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%．设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．分别求出y1，y2与x之间的关系式；当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．
【答案】（1）；y2=2250x；
（2）甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；
（3）所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．
【解析】试题分析：（1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可；
（2）由收费相同，列出方程求解即可；
（3）由函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解
试题解析：（1）当x=1时，y1=3000；
当x ＞1时，y 1=3000+3000（x ﹣1）×（1﹣30%）=2100x+1． ∴；
y 2=3000x （1﹣25%）=2250x ，
∴y 2=2250x ；
（2）当甲、乙两个商场的收费相同时，2100x+1=2250x ，
解得x=6，
答：甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件；
（3）x=5时，y 1=2100x+1=2100×5+1=11400，
y 2=2250x=2250×5=11250，
∵11400＞11250，
∴所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．
考点：一次函数的应用
24．如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个码头，A 在B 的正东方向，一艘小船从A 码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P 处，此时从B 码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B 码头的距离（即BP 的长）和A 、B 两个码头间的距离（结果都保留根号）．
【答案】小船到B 码头的距离是102海里，A 、B 两个码头间的距离是（10+103）海里
【解析】试题分析：过P 作PM ⊥AB 于M ，求出∠PBM=45°，∠PAM=30°，求出PM ，即可求出BM 、AM 、BP ．
试题解析：如图：过P 作PM ⊥AB 于M ，则∠PMB=∠PMA=90°，∵∠PBM=90°﹣45°=45°，∠PAM=90°﹣
60°=30°，AP=20，∴PM=
12
AP=10，AM=3PM=103，∴∠BPM=∠PBM=45°，∴PM=BM=10，AB=AM+MB=10103+，∴BP=sin 45PM =102，即小船到B 码头的距离是102海里，A 、B 两个码头间的距离是（10103+）海里．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
25．海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
【答案】有触礁危险，理由见解析.
【解析】试题分析：过点P 作PD ⊥AC 于D ，在Rt △PBD 和Rt △PAD 中，根据三角函数AD ，BD 就可以用PD 表示出来，根据AB=12海里，就得到一个关于PD 的方程，求得PD ．从而可以判断如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险．
试题解析：有触礁危险．理由：过点P 作PD ⊥AC 于D ．
设PD 为x ，
在Rt △PBD 中，∠PBD=90°-45°=45°．
∴BD=PD=x ．
在Rt △PAD 中，
∵∠PAD=90°-60°=30°
∴AD=330x x tan ＝︒
∵AD=AB+BD ∴3∴=63+131
-（） ∵63）＜18
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
【点睛】本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，构造直角三角形是解题的前提和关键．26．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．求每个月生产成本的下降率；请你预测4月份该公司的生产成本．
【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【解析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；
（2）根据数量关系，列式计算．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，实数﹣3、x 、3、y 在数轴上的对应点分别为M 、N 、P 、Q ，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（ ）
A ．点M
B ．点N
C ．点P
D ．点Q
【答案】D
【解析】∵实数-3，x ，3，y 在数轴上的对应点分别为M 、N 、P 、Q ，
∴原点在点M 与N 之间，
∴这四个数中绝对值最大的数对应的点是点Q ．
故选D ．
2．根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（ ）．
x
… 1- 0
1 2 … y
… 1- 74- 2- 74- …
A ．只有一个交点
B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧
C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧
D ．无交点
【答案】B 【解析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.
【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上
则该二次函数的图像与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧
故选B.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成. 3．如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF =4，则下列结论：①12
AF FD =；②S △BCE =36；③S △ABE =12；④△AEF ～△ACD ，其中一定正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．①④
C ．②③④
D ．①②③
【答案】D 【解析】∵在▱ABCD 中，AO=
12AC ， ∵点E 是OA 的中点，
∴AE=13
CE ， ∵AD ∥BC ，
∴△AFE ∽△CBE ， ∴AF AE BC CE ==13
， ∵AD=BC ，
∴AF=
13
AD ， ∴12AF FD =；故①正确； ∵S △AEF =4， AEF BCE S S =（AF BC ）2=19
， ∴S △BCE =36；故②正确；
∵EF AE BE CE = =13
， ∴AEF ABE S S =13
， ∴S △ABE =12，故③正确；
∵BF 不平行于CD ，
∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，
∴△AEF 与△ACD 不一定相似，故④错误，故选D ． 4．已知关于x 的方程()2
kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是 A ．当k 0=时，方程无解
B ．当k 1=时，方程有一个实数解
C ．当k 1=-时，方程有两个相等的实数解
D ．当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解
【答案】C
【解析】当k 0=时，方程为一元一次方程x 10-=有唯一解．
当k 0≠时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：
∵()()()22
1k 4k 1k 1∆=--⋅⋅-=+， ∴当k 1=-时，方程有两个相等的实数解，当k 0≠且k 1≠-时，方程有两个不相等的实数解．综上所述，说法C 正确．故选C ．
5．如图所示，点E 是正方形ABCD 内一点，把△BEC 绕点C 旋转至△DFC 位置，则∠EFC 的度数是( )
A ．90°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
【答案】C 【解析】根据正方形的每一个角都是直角可得∠BCD=90°，再根据旋转的性质求出∠ECF=∠BCD=90°，
CE=CF ，然后求出△CEF 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答．
【详解】∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵△BEC 绕点C 旋转至△DFC 的位置，
∴∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF ，
∴△CEF 是等腰直角三角形，
∴∠EFC=45°.
故选：C.
【点睛】
本题目是一道考查旋转的性质问题——每对对应点到旋转中心的连线的夹角都等于旋转角度，每对对应边相等，故CEF ∆ 为等腰直角三角形.
6．第 24 届冬奥会将于 2022 年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等．如图，有 5 张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同．现将这 5 张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（ ）
A ．15
B ．25
C ．12
D ．35
【解析】先找出滑雪项目图案的张数，结合5 张形状、大小、质地均相同的卡片，再根据概率公式即可求解．
【详解】∵有 5 张形状、大小、质地均相同的卡片，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张， ∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是
25. 故选B ．
【点睛】
本题考查了简单事件的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m≥1
B ．m≤1
C ．m ＞1
D ．m ＜1
【答案】D
【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．
详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，
∴()2240m =-->， 解得：m ＜1．
故选D ．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 8．一个正比例函数的图象过点（2，﹣3），它的表达式为（ ）
A ．3y -2x =
B ．2y 3x =
C ．3y 2x =
D ．2y -3
x = 【答案】A
【解析】利用待定系数法即可求解.
【详解】设函数的解析式是y=kx ，
根据题意得：2k=﹣3，解得：k=32-
． ∴ 函数的解析式是：32
y x =-
． 故选A ． 9．若数a 使关于x 的不等式组()3x a 2x 11x 2x 2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩
有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y 的分式方程y 51y --+3=a y 1
-有整数解，则满足条件的所有整数a 的个数是（ ） A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【解析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．
【详解】不等式组整理得：
1
3
x a
x
≥-
⎧
⎨
≤
⎩
，
由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，
分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=
2
2
a-
，
由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
【答案】B
【解析】试题分析：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=1．
①当1是腰时，2是底边，此时周长=1+1+2=2；
②当1是底边时，2是腰，2+2＜1，不能构成三角形．
所以它的周长是2．
考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象
限作正方形，点D恰好在双曲线上
k
y
x
=，则k值为_____．
【答案】1
【解析】作DH ⊥x 轴于H ，如图，
当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，则A （1，0），
当x=0时，y=-3x+3=3，则B （0，3），
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=AD ，∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAH=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAH ，
在△ABO 和△DAH 中
AOB DHA ABO DAH AB DA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ABO ≌△DAH ，
∴AH=OB=3，DH=OA=1，
∴D 点坐标为（1，1），
∵顶点D 恰好落在双曲线y=k
x 上， ∴a=1×1=1．
故答案是：1.
12．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A′的位置，若OB ＝5，tan ∠BOC ＝12
，则点A′的坐标为_____．
【答案】34(,)55
-
【解析】如图，作辅助线；根据题意首先求出AB 、BC 的长度；借助面积公式求出A′D 、OD 的长度，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC，AB=OC，tan∠BOC=1
2=
BC OA OC AB
=，
∴
AB=2OA，
∵222
OB AB OA
=+，OB=5，
∴OA=2，AB=2．∵OA′由OA翻折得到，
∴OA′= OA=2．
如图，过点A′作A′D⊥x轴与点D；
设A′D=a，OD=b；
∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠OCB=90°；四边形ABA′D为梯形；设AB=OC=a，BC=AO=b；
∵OB=5，tan∠BOC=1
2
，
∴
225)2
(
1
2
a b
b
a
⎧+=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
，
解得：
2
1
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
；
由题意得：A′O=AO=2；△ABO≌△A′BO；由勾股定理得：x2+y2=2①，
由面积公式得：1
2
xy+2×
1
2
×2×2＝
1
2
(x+2)×(y+2)②；
联立①②并解得：x=4
5
，y=
3
5
．
故答案为（−3
5
，
4
5
）
【点睛】
该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等几何知识点；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
13．若-2a m b4与5a2b n+7是同类项，则m+n= ．
【答案】-1．
【解析】试题分析：根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得方程组，根据解方程组，可得m 、n 的值，根据有理数的加法，可得答案．
试题解析：由-2a m b 4与5a 2b n+7是同类项，得
， 解得
．
∴m+n=-1． 考点：同类项．
14．如图，用10 m 长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积________m 1．
【答案】2
【解析】设与墙平行的一边长为xm ，则另一面为202x - ， 其面积=2201·1022
x x x x -=--， ∴最大面积为241005042
ac b a -== ； 即最大面积是2m 1．
故答案是2．
【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x1-1x+5，y=3x1-6x+1等用配方法求解比较简单．
15．如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在反比例函数
的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF 的边长
为 .
【答案】2
【解析】试题分析：由OA=1，OC=6，可得矩形OABC 的面积为6；再根据反比例函数系数k 的几何意义，。