鲁教版七年级上册第一章三角形综合练习

三角形综合练习
一、选择题
1.若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（）
A. 14
B. 10
C. 3
D. 2
2.小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，
则∠α+∠β等于（）
A. 180°
B. 210°
C. 360°
D. 270°
3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，
∠ABE=25°，则∠DAC的大小是（）
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
4.从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（）
A. B. C. D. 1
5.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE
的是（）
A. ∠A=∠C
B. AD=CB
C. BE=DF
D. AD∥BC
6.如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，
不能判定△POC≌△POD的选项是（）
A.PC⊥OA，PD⊥OB
B. OC=OD
C. ∠OPC=∠OPD
D. PC=PD
7.如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应
顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）
A. ∠B
B. ∠A
C. ∠EMF
D. ∠AFB
8.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，
连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对
9.等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）
A. 16cm
B. 17cm
C. 20cm
D. 16cm或20cm
10.如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，
则DE的长是（）
A. B. 2 C. 2 D.
二、填空题
11.如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：______ ，使得△ABC≌△DEC．
12.已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a-7|+（b-1）2=0，c为奇数，则c=______．
13.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则
∠A=______．
14.已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，
分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两
弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是______．
15.在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是______．
三、解答题
16.如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．
17.如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．
18.如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．
19.如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．
20.如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：
CE=DF．
答案和解析
【答案】
1. B
2. B
3. B
4. B
5. B
6. D
7. A
8. C
9. C10. B 11. DE=AB12. 713. 40°14. SSS15. 1＜AD＜4
16. 证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠DEB=∠AFC=90°，
∵AE=BF，
∴AF=BE，
在△DEB和△CFA中，
，
△DEB≌△CFA，
∴∠A=∠B，
∴AC∥DB．
17. 解：∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，
∴AF=BE，
在△ADF与△BCE中，
∴△ADF≌△BCE（SAS）
18. 证明：∵BE=DF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠A=∠D．
19. 证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠CEB=∠BDC=90°．
∵在Rt△CBE与Rt△BCD中，，
∴Rt△CBE≌Rt△BCD（HL），
∴∠ECB=∠DBC，
∴AB=AC．
20. 证明：∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°，
又∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴BE=CF，
在△CEB和△DFC中，
，
∴△CEB≌△DFC，
∴CE=DF．
【解析】
1. 解：设第三边为x，
则8-5＜x＜5+8，即3＜x＜13，
所以符合条件的整数为10，
故选B．
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
2. 解：∠α=∠1+∠D，
∠β=∠4+∠F，
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F
=∠2+∠D+∠3+∠F
=∠2+∠3+30°+90°
=210°，
故选：B．
根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．
本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
3. 解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°．
故选：B．
根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC=∠BAC-∠BAD计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
4. 解：从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，
其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种，
则P（能构成三角形）==，
故选：B．
列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求概率．
此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，其中概率=所求情况数与总情况数之比．
5. 解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；
D、∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
故选：B．
求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6. 解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理成立，
B．OC=OD，根据SAS判定定理成立，
C．∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理成立，
D．PC=PD，根据SSA无判定定理不成立，
故选：D．
要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．
本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．7. 解：
∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，
∴∠DCE=∠B，
故选A．
由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项．
本题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的各种性质是解题关键．
8. 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
在△ABD和△BCD中，
，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，
，
∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，
∴全等三角形一共有4对．
故选C．
可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′．由此即可得出答案．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
9. 解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．
故选C．
根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
10. 解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC=1，CE=AD=3．
∴DE=EC-CD=3-1=2
故选：B．
根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．
本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
11. 解：添加条件是：CE=BC，
在△ABC与△DEC中，，
故答案为：DE=AB．本题答案不唯一．
本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC=DC，BC=EC，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．
此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
12. 解：∵a，b满足|a-7|+（b-1）2=0，
∴a-7=0，b-1=0，
解得a=7，b=1，
∵7-1=6，7+1=8，
∴6＜c＜8，
又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案是：7．
根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
13. 解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，
而∠BOC=110°，
∴90°+∠A=110°
∴∠A=40°．
故答案为40°．
先根据角平分线的定义得到∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再根据三角形内角和定理得
∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，则∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°-∠A，所以∠BOC=90°+∠A，然后把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
14. 解：由作法①知，OM=ON，
由作法②知，CM=CN，
∵OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
故答案为：SSS．
利用基本作图得到OM=ON，CM=CN，加上公共边OC，则可根据SSS证明三角形全等．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．
15. 解：如图，延长AD到E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
∵AB=5，AC=3，
∴5-3＜AE＜5+3，
即2＜AE＜8，
1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4．
延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
16. 欲证明AC∥BD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA即可．
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
17. 根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是求证AF=BE，本题属于基础题型．
18. 证明BC=EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得．
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等常用的方法是证明所在的三角形全等．19. 通过全等三角形（Rt△CBE≌Rt△BCD）的对应角相等得到∠ECB=∠DBC，则AB=AC．本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20. 欲证明CE=DF，只要证明△CEB≌△DFC即可．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型．。