难点解析沪教版(上海)九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形定向测试练习题(含详解)

九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形定向测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
AB cm，则水的最大1、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽8
深度为（）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2、下列判断正确的个数有（）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（）
A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<2
4、如图，四边形ABCD内接于O，若四边形ABCO是菱形，则D
的度数为（）
A．45°B．60°C．90°D．120°
5、已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，则∠C的度数是（）
A．45°B．60°C．90°D．135°
6、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（）
A B C．D
7、如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（）
A．50°B．55°C．65°D．75°
8、如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，若130
BOC
∠=︒，则ADC
∠=（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
9、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（）
A．AM=BM B．CM=DM C．AC BC
=D．AD BD
=
10、如图，直线
3
3
4
y x
=--交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以
1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）
A．
7
(,0)
3
-B．
17
(,0)
3
-
C ．7(,0)3-或17(,0)3-
D ．（﹣2，0）或（﹣5，0）
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、圆形角是270°的扇形的半径为4cm ，则这个扇形的面积是______2cm ．
2、如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，8CD =，5OA =，则AH 的长为________．
3、AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AC 于点E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，若BD ＝12cm ，OE ＝52
cm ，则OF ＝________cm ． 4、圆锥底面圆的半径为2cm ，其侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的侧面积是______2cm ．
5、如图，在⊙O 中，∠BOC =80°，则∠A =___________°．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的纵坐标为a b c ++．
（1）求a ，b 应满足的数量关系；
（2）若抛物线上任意不同两点()11,A x y ，()22,B x y 都满足：当的12c x x a <<
时，()()12120x x y y --<；当12c
x x a <<时，()()12120x x y y -->．直线y c =与抛物线交于M 、N 两点，且PMN 为等腰直角三角形．
①求抛物线的解析式
②若直线AB 恒过定点()1,1，且以AB 为直径的圆与直线y m =总有公共点，求m 的取值范围．
2、如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD OC ∥，直线CD 交BA 的延长线于点E ，连接BD ．
求证：（1）EDA EBD △△；
（2）ED BC AO BE ⋅=⋅．
3、如图，已知等边ABC ∆内接于⊙O ，D 为BC 的中点，连接DB ，DC ，过点C 作AB 的平行线，交BD 的延长线于点E ．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若AB 的长为6，求CE 的长．
4、如图，A是O上一点，过点A作O的切线．
（1）①连接OA并延长，使AB=OA；
②作线段OB的垂直平分线；使用直尺和圆规，在图中作OB的垂直平分线l（保留作图痕迹）．（2）直线l即为所求作的切线，完成如下证明．
证明：在O中，∵直线l垂直平分OB
∴直线l经过半径OA的外端，且__________，
∴直线l是O的切线（____________）（填推理的依据）．
5、如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，－3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A´．
（1）画出旋转后的图形△OA′B′，并写出点A′ 的坐标；
（2）求点B经过的路径'
BB的长（结果保留π）.
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【详解】
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=8cm，
∴BD=1
2
AB=4（cm），
由题意得：OB=OC=1
10
2
⨯=5cm，
在Rt△OBD中，OD3
=（cm），
∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），
即水的最大深度为2cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2、B
【详解】
①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③
故选B
【点睛】
本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．
3、A
【分析】
点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．
【详解】
解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，
∴OP需要满足的条件是OP>4，
故选：A．
【点睛】
此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．4、B
【分析】
设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得
180
1
2
，求出β即可解决问题．
【详解】
解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOCβ
=；
∴∠ADC=1
2
β；
四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴α+β=180°，
∴
180
1
2
，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC =60°，
故选：B ．
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.
5、A
【分析】
根据圆内接四边形的性质得出∠A +∠C ＝180°，再求出∠C 即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，
∴∠A +∠C ＝180°，
∵∠A ：∠C ＝3：1，
∴∠C ＝11+3
×180°＝45°， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了元内接四边形对角互补的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
6、A
【分析】
如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM 再设,PQ x 利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.
【详解】 解：如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA
记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM
四边形HGFE 为正方形，则,HG EF ∥
,,QM HG QM EF
设,PQ x 而AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，结合正方形的性质可得：
5,NQ x
而22
2,HM MQ HQ 115,5,5510,2
22HM HG EF MN EF MQ x x 222510,4
HQ x 又222,AQ PQ AP 而51523,22AP 22215
,2AQ x
2225
22510,44x x 解得：5,2
x 25225
250510.4442
AQ
故选A
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A，G，H三点的圆的圆心是解本题的关键.
7、C
【分析】
首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．
【详解】
解：∵BD是切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BOC＝50°，
∠BOC＝25°，
∴∠A＝1
2
∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8、C
【分析】
根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．
【详解】
解：∵∠BOC=130°，
∴∠BDC=1
2
∠BOC=65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°-65°=25°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9、B
【分析】
根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．
【详解】
解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM=BM，AC BC
=，AD BD
=，
即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，
当根据已知条件得CM和DM不一定相等，
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．
10、C
【分析】
由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵直线
3
3
4
y x
=--交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，
∴PD AP OB AB
=，
∴1
35
AP =，
∴AP= 5
3
，
∴OP= 7
3
或OP=
17
3
，
∴P
7
(,0)
3
-或P
17
(,0)
3
-，
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．
二、填空题
1、12π
【分析】
根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】 ∵22
2704=360360
n r S ππ⨯⨯=扇形 =12π，
故答案为：12π．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，熟记扇形面积公式是解题的关键．
2、8
【分析】
如图所示，连接OC ，由垂径定理可得1=42
CH DH CD ==，再由勾股定理求出OH ，即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接OC ，
∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，CD =8， ∴1=42
CH DH CD ==，∠OHC =90°，
∴OH，
∴AH=OA+OH=8，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．
3
【分析】
根据题意分两种情况并综合利用垂径定理和勾股定理以及圆的基本性质进行分析即可求解. 【详解】
解：如图，连接BO
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，BD＝12cm，
∴162BE ED BD cm ===,
∵OE ＝5
2cm ，BD ⊥AC ,
∴132BO CO AO ===
cm ,
∴9CE CO CE cm =+=,
BC =,
∵OF ⊥BC ,
∴1
2CF BF BC ==,
∴
OF ,
如图，
∵OE ＝5
2cm ，BD ⊥AC , 132
BO CO AO cm ===,
∴
4,EC CO OE cm BC =-==,
∵OF ⊥BC ,
∴12BF CF BC ==,
∴OF =
.
【点睛】
本题考查圆的综合问题，熟练掌握并利用垂径定理和勾股定理以及圆的基本性质进行分析是解题的关键.注意未作图题一般情况下要进行分类作图讨论.
4、8π
【分析】
设圆锥的母线长为R ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，根据扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式即可列出等式：18022180R ππ⨯⨯=
，然后解方程即可得母线长，最后利用扇形的面积公式即可求出结果．
【详解】
解：设圆锥的母线长为R ，即其侧面展开图的半径为R ． 根据题意得18022180
R ππ⨯⨯=
， 解得：R ＝4． 则圆锥的侧面积是22
1801804==8360360R πππ⨯， 故答案是：8π．
【点睛】
本题考查了圆锥的有关计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长及熟记弧长公式和扇形的面积公式是解答本题的关键． 5、40°度
【分析】
直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】
解：BOC ∠与BAC ∠是同弧所对的圆心角与圆周角，80BOC ∠=︒，
1402
A BOC ∴∠=∠=︒．
故答案为：40︒．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，解题的关键是熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
三、解答题
1、（1）2b a =-；（2）①221y x x =-+；②02m ≤≤
【分析】
（1）当x =1时，y =a +b +c ，确定P 的坐标为（1，a +b +c ），确定函数的对称轴为x =1即b -
12a
=，关系确定；
（2）①由12c x x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y --<，得120y y -＞， 得到x c a
<时，y 随x 的增大而减小；由12c x x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y -->，得120y y -<，得到x c a
＞时，y 随x 的增大而增大，判定直线x c a =是抛物线的对称轴，且a ＞0；得到1c a
=，从而确定P （1，0），线y c =与抛物线交于M 、N 两点，其中一点必是抛物线与y 轴的交点，设为M （0，c ），根据PMN 为等腰直角三角形，可证△OPM 是等腰直角三角形，从而得到PO =OM =1即M （0，1），故c =a =1，b =-2a =-2即确定函数解析式；
②由直线AB 恒过定点()1,1，得到直线AB 为y =1；结合抛物线与y 轴的交点为（0，1），
不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点，根据对称轴为x =1，确定B 的坐标为（2，1），
故AB =2，所以AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点，从而确定出圆，利用数形结合思想，可以确定圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围．
【详解】
（1）（1）当x =1时，y =a +b +c ，
∴P 的坐标为（1，a +b +c ），
∴函数的对称轴为x =1， ∴b -12a
=， ∴b =-2a ；
（2）①∵12c x x a
<<时， ∴120x x -<，
∵()()12120x x y y --<，
∴120y y -＞， ∴x c a <
时，y 随x 的增大而减小； ∵12c
x x a <<时，
∴120x x -<，
∵()()12120x x y y -->，
∴120y y -<， ∴x c a
＞时，y 随x 的增大而增大， ∴直线x c
a =是抛物线的对称轴，且a ＞0；
∵函数的对称轴为x =1， ∴1c a
=， ∴a +b +c =2a -2a =0，
∴P （1，0），PO =1，
∵（0，c ）是抛物线与y 轴的交点，
∴直线y =c 与抛物线交于M 、N 两点中一点必是抛物线与y 轴的交点，
设为M （0，c ），则OM =c ，
∵PMN 为等腰直角三角形，
∴∠NMP =45°，
∴∠OMP =45°，
∴△OPM 是等腰直角三角形，
∴PO =OM =1，
∴c =a =1，b =-2a =-2，
∴函数解析式为2
21y x x =-+； ②∵直线AB 恒过定点()1,1，
∴直线AB 为y =1；
∵抛物线与y 轴的交点为（0，1），
∴不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点，
∵对称轴为x =1，
∴B 的坐标为（2，1），
∴AB =2，
∴AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点（1，1），
作图如下，
∵y =0时，直线与圆相切；y =2时，直线与圆相切；
∴圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围为0≤m ≤2．
【点睛】
本题考查了抛物线的解析式，对称性，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，熟练掌握抛物线的对称性，灵活判定直线与圆的位置关系是解题的关键．
2、（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接DO ，根据AD OC ∥，可证COD COB ∠=∠．从而可得()COD COB SAS ≅，
90CDO CBO ∠=∠=︒，即可证明EDA DBE ∠=∠，故EDA EBD △△；
（2）证明EOD ECB △△，可得ED OD BE BC
=，即可证明ED BC AO BE ⋅=⋅．
【详解】
证明：（1）连接DO ，如图：
∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，
∴90CBO ∠=︒，
∵AD OC ∥，
∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠．
∵OA OD =，
∴DAO ADO ∠=∠，
∴COD COB ∠=∠．
在COD △和COB △中，
CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()COD COB SAS ≅，
∴90CDO CBO ∠=∠=︒，
∵AB 为O 的直径，
∴90EDO ADB ∠=∠=︒，即90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，
∴EDA BDO ∠=∠，
∵OD OB =，
∴BDO DBO ∠=∠，
∴EDA DBO ∠=∠，即EDA DBE ∠=∠，
∵E E ∠=∠，
∴~EDA EBD ；
（2）由（1）知：90EDO EBC ∠=∠=︒，
又∵E E ∠=∠，
∴EOD ECB △△， ∴ED OD BE BC
=， ∴ED BC OD BE ⋅=⋅，
∵OD AO =，
∴ED BC AO BE ⋅=⋅．
【点睛】
本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明COD COB ≅，从而得到90EDO ∠=︒．
3、（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）由题意连接OC ，OB ，由等边三角形的性质可得∠ABC =∠BCE =60°，求出∠OCB =30°，则∠OCE =90°，结论得证；
（2）根据题意由条件可得∠DBC =30°，∠BEC =90°，进而即可求出CE =1
2BC ＝3．
【详解】
解：（1）证明：如图连接OC 、OB ．
∵ABC ∆是等边三角形
∴ 60A ABC ∠=∠=
∵//AB CE
∴ 60BCE ABC ︒∠=∠=
又 ∵OB OC =
∴30OBC OCB ︒∠=∠=
∴90OCE OCB BCE ︒∠=∠+∠=
∴OC CE ⊥
∴CE 与⊙O 相切；
（2）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴180A BCD ︒∠+∠=
∴120BDC ︒∠=
∵D 为BC 的中点，
∴30DBC BCD ∠=∠=︒
∴90ABE ABC DBC ∠=∠+∠=︒
∵//AB CE
∴90E ∠=︒ ∴11322
CE BC AB === 【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的
性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．
4、（1）见解析；（2）l ⊥OA ，经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．
【分析】
（1）根据题中给出的作图步骤完成作图即可；
（2）根据切线的判定定理证明即可
【详解】
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形如图所示；
（2）完成下面的证明
证明：在O 中，∵直线l 垂直平分OB
∴直线l 经过半径OA 的外端，且l ⊥OA ，
∴直线l 是O 的切线(经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线) ．
【点睛】
本题考查了做垂线，切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键．
5、（1）见解析，'A 的坐标为(0,5)-；（2）'52
BB l π=
【分析】
（1）将点A 、B 分别绕点O 顺时针旋转90°得到其对应点，再与点O 首尾顺次连接即可；
（2）根据弧长公式求解即可．
【详解】
解：（1）如图，△OA ´B ´即为所求．
点'A 的坐标为(0,5)-
（2）由题意可求OB =5 ∴'90551802
BB l ππ⨯== 【点睛】
本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质及弧长公式．。