2017届高一数学北师大版选修1-1课时作业：4.2.2 最大值、最小值问题 Word版含解析

答案：C
4．已知 f(x)＝2x3－6x2＋m(m 为常数)在[－2,2]上有最大值 3，那么此函数在[－2,2]上
的最小值是( )
A. －37
B. －29
C. －5
D. 以上都不对
解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
又∵f(x)在(－2,0)上为增函数，
在(0,2)上为减函数，
ππ 当 x∈(6，2]时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
π 即 x＝6，f(x)取最大值．故选 B.
答案：B
2．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
23
22
A. 9
B. 9
32
3
C. 9
D.8
3
3
解析：f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令 f′(x)＝0 得 x＝ 3 (x＝－ 3 舍去)，又 f(0)
3 23
3 23
＝0，f(1)＝0，f( 3 )＝ 9 ，则比较得最大值为 f( 3 )＝ 9 .
答案：A π
3．函数 y＝x－sinx，x∈[2，π]的最大值是( )
神笛 2005
神笛 2005
A．π－1
π B.2－1
C．π
D．π＋1
π 解析：y′＝1－cosx≥0，所以 y＝x－sinx 在[2，π]上为增函数．当 x＝π 时，ymax＝π.
故 h(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
故当 0<x<1 时，h(x)>h(1)＝0，
当 x>1 时，h(x)<h(1)＝0，
从而当 0<x<1 时，g′(x)>0，当 x>1 时，g′(x)<0
⇒g(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数， 2x－xlnx
故 g(x)max＝g(1)＝1, 要使 x＋1 <m 成立，只需 m>1， 故 m 的取值范围是(1，＋∞)．
故有Error!⇒Error!
2－lnx (2)由(1)得 f(x)＝ x＋1 (x>0)，
m
2x－xlnx
f(x)< x 及 x>0⇒ x＋1 <m.
2x－xlnx
令 g(x)＝ x＋1
1－lnxx＋1－2x－xlnx
⇒g′(x)＝
x＋12
1－x－lnx
＝ x＋12 ，
1
令 h(x)＝1－x－lnx⇒h′(x)＝－1－x<0(x>0)，
神笛 2005
神笛 2005
1
1
即 y＝x2＋x在(－∞，－2]上单调递减．
1
7
∴当 x＝－2时，y 取得最小值为－4.
1
7
∵x2＋x≥m 恒成立，∴m≤－4.
7 答案：(－∞，－4]
1 7．函数 f(x)＝2ex(sinx＋cosx)，x∈[0,1]的值域为__________．
1
1
解析：当 0≤x≤1 时，f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)＋2ex(cosx－sinx)＝excosx>0，所以 f(x)在
11 [0,1]上单调递增，则 f(0)≤f(x)≤f(1)，即函数 f(x)的值域为[2，2e(sin1＋cos1)]．
11 答案：[2，2e(sin1＋cos1)]
三、解答题
11
2
8．设 x>0，求 lnx＋x－2(x－1)2＋3(x－1)3 的最小值．
11
2
解：设 f(x)＝lnx＋x－2(x－1)2＋3(x－1)3，
∴当 x＝2 时 F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.
答案：2＋2a－2ln2
1
1
6．若关于 x 的不等式 x2＋x≥m 对任意 x∈(－∞，－2]恒成立，则 m 的取值范围是
__________．
1
1 2x3－1
解析：设 y＝x2＋x，则 y′＝2x－x2＝ ，
(2)对函数 f(x)定义域内的任一个实数 x，f(x)< x 恒成立，求实数 m 的取值范围． a＋blnx
解：(1)由 f(x)＝ x＋1 ⇒ b x＋1－a＋blnx x
f′(x)＝ x＋12 ， 而点(1，f(1))在直线 x＋y＝2 上⇒f(1)＝1，
又直线 x＋y＝2 的斜率为－1⇒f′(1)＝－1，
神笛 2005
选修 1-1 第四章 §2 课时作业 31
一、选择题
π
1．[2014·大连模拟]使函数 f(x)＝x＋2cosx 在[0，2]上取最大值的 x 为( )
π
A. 0
B. 6
π
π
C. 3
D. 2
π 解析：∵f′(x)＝1－2sinx＝0，x∈[0，2]时，
1π sinx＝2，x＝6，
π ∴当 x∈[0，6)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
11 则 f′(x)＝x－x2－(x－1)＋2(x－1)2
1 ＝x2(x－1)－(x－1)＋2(x－1)2
1 ＝(x－1)[x2－1＋2(x－1)]
1－x2 ＝(x－1)[ x2 ＋2(x－1)]
1＋x
2x＋1
＝(x－1)2(2－ x2 )＝(x－1)3 x2 .
令 f′(x)＝0，由 x>0，解得 x＝1.列表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值

神笛 2005
神笛 2005
由题可知，当 x＝1 时，f(x)有最小值 1. a＋blnx
9．[2014·山西省阳泉第二调研]已知函数 f(x)＝ x＋1 的图像在点(1，f(1))处的切线方 程为 x＋y＝2.
(1)求 a，b 的值； m
神笛 2005
神笛 2005 神笛 2005
∴当 x＝0 时，f(x)＝m 最大．
∴m＝3，从而 f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值为－37.故选 A.
答案：A 二、填空题 5．若 F(x)＝x－2lnx＋2a，则 F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________．
2 x－2 解析：令 F′(x)＝1－x＝ x ＝0 得 x＝2. 当 x∈(0,2)时 F′(x)<0，当 x∈(2，＋∞)时，F′(x)>0，