NOIP基础算法——贪心和分治pascal
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• 方法1：顺序查找。方法是一个个寻找，时间复杂 度为O(n)。这个方法并没有用到“n个数从小到 大排列”这一个关键条件，因而时间效率低下。
方法2：二分查找
• 只需要比较log2n个元素。假设需要在a[L]~a[r]中查找元素x。 • 划分：检查某个元素a[m](L<=m<=r)，如果a[m]=x则查找成
三、分治的三步骤
• ①分解：将要解决的问题分解成若干个规 模较小的同类子问题；
• ②解决：当子问题划分得足够小时，求解 出子问题的解。
• ③合并：将子问题的解逐层合并成原问题 的解。
分治算法设计过程图
• 由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类型。如果 得到的子问题相对来说还太大，则可反复使用分治策略将 这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生出不用进 一步细分就可求解的子问题。分治求解可用一个递归过程 来表示。
else if r2=r1+1 then begin if x[r2]>x[r1] then begin maxx:=x[r2];minn:=x[r1];end else begin maxx:=x[r1];minn:=x[r2];end end else begin d:=(r1+r2)/2; pd(r1,d,max1,min1); pd(d+1,r2,max2,min2); if max1>max2 then maxx:=max1;else maxx:=max2; if min1<min2 then minn:=min1;else minn:=min2; end
【文件输入】输入仅一行，有四个数，依次为a、b、c、d
【文件输出】输出也只有一行，即三个根(从小到大输出)
【样例输入】1 -5 -4 20
【样例输入】-2.00 2.00 5.00
分析
• 如果精确到小数点后两位，可用简单枚举法：将x从100.00 到100.00（步长0.01）逐一枚举，得到20000个 f(x)，取其值与0最接近的三个f(x)，对应的x即为答案。而 题目已改成精度为小数点后4位，枚举算法时间复杂度将 达不到要求。
begin write((x2+x1)div 2:0:4);exit;end if(y1*y0<0 or x0-x1>1)then divide(x1,x0); if(y0*y2<0 or x2-x0>1)then divide(x0,x2); End;
3、归并排序
• 归并排序的基本思想：归并排序充分应用分治算法的策略， 通过二分的思想，将n个数最终分成n个单独的有序数列， 每个数列中仅有一个数字；再将相邻的两列数据合并成一 个有序数列；再重复上面的合并操作，直到合成一个有序 数列。按照分治三步法来说，
• 和归并排序一样，划分和递归求解都好办，关键在于合并：如 何求出i在左边，而j在右边的逆序对数目呢？统计的常见技巧是 “分类”。我们按照j的不同把这些“跨越两边”的逆序对进行 分类：只要对于右边的每个j，统计左边比它大的元素个数f(j)， 则所有f(j)之和便是答案。
• 幸运的是，归并排序可以帮助我们“顺便”完成f(j)的计算：由 于合并操作是从小到大进行排序的，当右边的a[j]复制到T中时， 左边还没有来得及复制到T的那些数就是左边所有比a[j]大的数。 此时累加器中加上左边元素个数mid-i+1即可。
使用这一算法，比较次数为2(n-1)。若n=10,则比较18次。
• 用分治法解决这个问题就是把集合a分成a1,a2两个子集， 每个子集有n/2个元素，应用递归结构找出两个子集的最 大元和最小元，比较得到的两个最大元和最小元即可得到 整个集合a中的最大元和最小元。
• 划分：把n个数均分为两半。即：划分点为d=(r1+r2)/2， 两个区间为[r1,d]和[d+1,r2]。
• 递归求解：求左半的最小值min1 和最大值max1以及右 半最小值min2和最大值max2。
• 合并：所有数的最大值为maxx，最小值为minn。
procedure pd(r1,r2:integer;var maxx,minn:integer) begin
var max1,min1,max2,min2,d:integer; if r1=r2 then begin maxx:=x[r1]; minn:=x[r1];end
NOIP基础算法——分治与贪心
巴蜀中学 黄新军
第五部分 分治策略
一、分治思想
• 分治(divide-and-conquer)就是“分而治 之”的意思，其实质就是将原问题分成n个 规模较小而结构与原问题相似的子问题； 然后递归地解这些子问题，最后合并其结 果就得到原问题的解。
二、分治法的适用条件
【变形1】逆序对数目
• 例题3：求“逆序对”。 • 给定一整数数组A=(A1,A2,…An), 若i<j且Ai>Aj,
则<i,j>就为一个逆序对。例如数组（3，1，4， 5，2）的逆序对有<3,1>,<3,2>,<4,2>,<5,2>。 问题是，输入n和A数组，统计逆序对数目。 • 数据范围：1<=n<=30000。
• 直接使用求根公式，极为复杂。加上本题的提示给我们以 启迪：采用二分法逐渐缩小根的范围，从而得到根的某精 度的数值
分析
A.当已知区间(a,b)内有一个根时；
• 用二分法求根，若区间(a,b)内有根，则必有f(a)*f(b)<0。 重复执行如下的过程：
• (1).若a+0.0001>b或f((a+b)/2)=0，则可确定根为 (a+b)/2并退出过程；
if(a[i]>a[j])then begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end else begin temp[p]:=a[i];inc(p);inc(i);end
while(i<=mid)do begin temp[p]:=a[i];inc(p);inc(i);end while(j<=right)do begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(i);end for i:=left to right do a[i]:=temp[i]; End;
• 能使用分治法解决的问题，它们一般具备以下几个特征： • ①该问题可以分解成若干相互独立、规模较小的相同子问
题；
• ②子问题缩小到一定的程度就能轻易得到解； • ③子问题的解合并后，能得到原问题的解； • 分治法在信息学竞赛中应用非常广泛，使用分治策略能生
成一些常用的算法和数据结构，如快排、最优二叉树、线 段树等；还可以直接使用分治策略，解决一些规模很大、 无法直接下手的问题。
end
Hale Waihona Puke 2、非线性方程求根例题2：一元三次方程的解
【题目描述】有形如：ax3+bx2+cx+d=0这样的一个一元三次 方程。给出该方程中各项的系数(a,b,c,d均为实数)，并约定该 方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与 根之差的绝对值>=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个 实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后4位。
procedure MergeSort(left,right:integer)//归并排序 begin
if left=right then exit; //只有一个元素 mid:=(left+right)div 2; //找中间位 MergeSort(left,mid); //对左边归并 MergeSort(mid+1,right); //对右边归并 i:=left;j:=mid+1,p:=left; //合并左右 while(i<=mid and j<=right)do
• 时间效率不尽如人意….. • 问题出现在哪里呢？？
分治算法：
采用二分法求解: 记数列a[st,ed]的逆序对数目为d(st,ed);
mid=[(st+ed)/2],则有：
d(st,ed)=d(st,mid)+d(mid+1,ed)+F(st,mid,ed)
其中F(st,mid,ed)表示一个数取自a[st,mid],令一 个数取自a[mid+1,ed]的逆序对数目。
分析
• B、求方程的所有三个实根 • 所有的根的范围都在-100至100之间，且根与根之差的绝
对值>=1。因此可知：在[-100,-99]、[-99,-98]、……、 [99，100]、[100，100]这201个区间内，每个区间内至 多只能有一个根。即：除区间[100，100]外，其余区间 [a,a+1]，只有当f(a)=0或f(a)·f(a+1)<0时，方程在此区 间内才有解。若f(a)=0 ，解即为a；若f(a)·f(a+1)<0 ，则 可以利用A中所述的二分法迅速出找出解。如此可求出方 程的所有的解。
1、求最大值和最小值
• 例题1：给n个实数，求它们之中最大值和最小值，要求 比较次数尽量小。
分析：假设数据个数为n,存放在数组a[1..n]中。可以直接进 行比较：
minn:=a[1];maxx:=a[1]; for i:=2 to n do
if a[i]>maxx then maxx:=a[i]; else if a[i]<minn then minn:=a[i];
• 要使分治算法效率高，关键在于如何分割？一般地，出于 一种平衡原则，总是把大问题分成K个规模尽可能相等的 子问题，但也有例外，如求表的最大最小元问题的算法， 当n＝6时，等分定量成两个规模为3的子表L1和L2不是最 佳分割。一般来讲，都是2分为主。
四、分治的框架结构
procedure DIVIDE() begin
• 即把“if(a[i]>a[j])then begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end
• 改为“if(a[i]>a[j])then
•
begin tot:=tot+mid-
i+1;temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end
4、二分查找
• 【问题描述】给出从小到大排列的n个不同数 a[1]~a[n]，试判断元素x是否出现在表中。
• (2).若f(a)*f((a+b)/2)<0,则由题目给出的定理可知根在区 间(a,(a+b)/2)中,故对区间重复该过程；
• (3).若f(a)*f((a+b)/2)>0,则必然有f((a+b)/2)*f(b)<0,根在 ((a+b)/2,b)中,对此区间重复该过程。
• 执行完毕,就可以得到精确到0.0001的根。
if(问题不可分)then//解决 begin 直接求解； 返回问题的解；
end else begin
对原问题进行分治；//分解 递归对每一个分治的部分求解; 归并整个问题，得出全问题的解;//合并 end end;
五、分治的典型应用
• 1、求最大值和最小值 • 2、非线性方程求根 • 3、二分查找 • 4、归并排序 • 5、快速幂 • 6、求解线性递推关系 • 7、棋盘覆盖问题 • 8、循环日程表问题 • 9、寻找最近点对
核心参考代码
procedure divide(x1,x2:double) Begin
var x0,y0,y1,y2:double; x0:=(x1+x2)div 2; y1:=cal(x1);y2:=cal(x2);y0:=cal(x0); if(x2-x1<0.00001 and y1*y2<0)then
朴素算法
• 在看完试题以后，我们不难想到一个非常简单的算法—— 穷举算法，即对数组中任意的两个元素进行判断，看它们 是不是构成“逆序对”，因此这种算法的时间复杂度为
O(N2)。
C:=0; for i:=1 to n -1 do
for j:=i+1 to n do if a[i]>a[j] then c:=c+1;
功，返回m。 • 递归求解：如果a[m]>x，那么元素只可能在a[L]~a[m-1]中；
如果a[m]<x，那么元素只可能在a[m+1]~a[r]中。 • 合并：不需要合并。
• 归并过程为： （1）划分：把序列分成元素个数相等的两半； （2）递归求解：把两半分别排序； （3）合并：把两个有序表合成一个有序表；
分析
• 显然，前两部分是很容易完成的，关键在于如何把两个有 序表合成一个。每次只需要把两个序列中当前的最小元素 加以比较，删除较小元素并加入合并后的新表。
核心参考代码
方法2：二分查找
• 只需要比较log2n个元素。假设需要在a[L]~a[r]中查找元素x。 • 划分：检查某个元素a[m](L<=m<=r)，如果a[m]=x则查找成
三、分治的三步骤
• ①分解：将要解决的问题分解成若干个规 模较小的同类子问题；
• ②解决：当子问题划分得足够小时，求解 出子问题的解。
• ③合并：将子问题的解逐层合并成原问题 的解。
分治算法设计过程图
• 由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类型。如果 得到的子问题相对来说还太大，则可反复使用分治策略将 这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生出不用进 一步细分就可求解的子问题。分治求解可用一个递归过程 来表示。
else if r2=r1+1 then begin if x[r2]>x[r1] then begin maxx:=x[r2];minn:=x[r1];end else begin maxx:=x[r1];minn:=x[r2];end end else begin d:=(r1+r2)/2; pd(r1,d,max1,min1); pd(d+1,r2,max2,min2); if max1>max2 then maxx:=max1;else maxx:=max2; if min1<min2 then minn:=min1;else minn:=min2; end
【文件输入】输入仅一行，有四个数，依次为a、b、c、d
【文件输出】输出也只有一行，即三个根(从小到大输出)
【样例输入】1 -5 -4 20
【样例输入】-2.00 2.00 5.00
分析
• 如果精确到小数点后两位，可用简单枚举法：将x从100.00 到100.00（步长0.01）逐一枚举，得到20000个 f(x)，取其值与0最接近的三个f(x)，对应的x即为答案。而 题目已改成精度为小数点后4位，枚举算法时间复杂度将 达不到要求。
begin write((x2+x1)div 2:0:4);exit;end if(y1*y0<0 or x0-x1>1)then divide(x1,x0); if(y0*y2<0 or x2-x0>1)then divide(x0,x2); End;
3、归并排序
• 归并排序的基本思想：归并排序充分应用分治算法的策略， 通过二分的思想，将n个数最终分成n个单独的有序数列， 每个数列中仅有一个数字；再将相邻的两列数据合并成一 个有序数列；再重复上面的合并操作，直到合成一个有序 数列。按照分治三步法来说，
• 和归并排序一样，划分和递归求解都好办，关键在于合并：如 何求出i在左边，而j在右边的逆序对数目呢？统计的常见技巧是 “分类”。我们按照j的不同把这些“跨越两边”的逆序对进行 分类：只要对于右边的每个j，统计左边比它大的元素个数f(j)， 则所有f(j)之和便是答案。
• 幸运的是，归并排序可以帮助我们“顺便”完成f(j)的计算：由 于合并操作是从小到大进行排序的，当右边的a[j]复制到T中时， 左边还没有来得及复制到T的那些数就是左边所有比a[j]大的数。 此时累加器中加上左边元素个数mid-i+1即可。
使用这一算法，比较次数为2(n-1)。若n=10,则比较18次。
• 用分治法解决这个问题就是把集合a分成a1,a2两个子集， 每个子集有n/2个元素，应用递归结构找出两个子集的最 大元和最小元，比较得到的两个最大元和最小元即可得到 整个集合a中的最大元和最小元。
• 划分：把n个数均分为两半。即：划分点为d=(r1+r2)/2， 两个区间为[r1,d]和[d+1,r2]。
• 递归求解：求左半的最小值min1 和最大值max1以及右 半最小值min2和最大值max2。
• 合并：所有数的最大值为maxx，最小值为minn。
procedure pd(r1,r2:integer;var maxx,minn:integer) begin
var max1,min1,max2,min2,d:integer; if r1=r2 then begin maxx:=x[r1]; minn:=x[r1];end
NOIP基础算法——分治与贪心
巴蜀中学 黄新军
第五部分 分治策略
一、分治思想
• 分治(divide-and-conquer)就是“分而治 之”的意思，其实质就是将原问题分成n个 规模较小而结构与原问题相似的子问题； 然后递归地解这些子问题，最后合并其结 果就得到原问题的解。
二、分治法的适用条件
【变形1】逆序对数目
• 例题3：求“逆序对”。 • 给定一整数数组A=(A1,A2,…An), 若i<j且Ai>Aj,
则<i,j>就为一个逆序对。例如数组（3，1，4， 5，2）的逆序对有<3,1>,<3,2>,<4,2>,<5,2>。 问题是，输入n和A数组，统计逆序对数目。 • 数据范围：1<=n<=30000。
• 直接使用求根公式，极为复杂。加上本题的提示给我们以 启迪：采用二分法逐渐缩小根的范围，从而得到根的某精 度的数值
分析
A.当已知区间(a,b)内有一个根时；
• 用二分法求根，若区间(a,b)内有根，则必有f(a)*f(b)<0。 重复执行如下的过程：
• (1).若a+0.0001>b或f((a+b)/2)=0，则可确定根为 (a+b)/2并退出过程；
if(a[i]>a[j])then begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end else begin temp[p]:=a[i];inc(p);inc(i);end
while(i<=mid)do begin temp[p]:=a[i];inc(p);inc(i);end while(j<=right)do begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(i);end for i:=left to right do a[i]:=temp[i]; End;
• 能使用分治法解决的问题，它们一般具备以下几个特征： • ①该问题可以分解成若干相互独立、规模较小的相同子问
题；
• ②子问题缩小到一定的程度就能轻易得到解； • ③子问题的解合并后，能得到原问题的解； • 分治法在信息学竞赛中应用非常广泛，使用分治策略能生
成一些常用的算法和数据结构，如快排、最优二叉树、线 段树等；还可以直接使用分治策略，解决一些规模很大、 无法直接下手的问题。
end
Hale Waihona Puke 2、非线性方程求根例题2：一元三次方程的解
【题目描述】有形如：ax3+bx2+cx+d=0这样的一个一元三次 方程。给出该方程中各项的系数(a,b,c,d均为实数)，并约定该 方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与 根之差的绝对值>=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个 实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后4位。
procedure MergeSort(left,right:integer)//归并排序 begin
if left=right then exit; //只有一个元素 mid:=(left+right)div 2; //找中间位 MergeSort(left,mid); //对左边归并 MergeSort(mid+1,right); //对右边归并 i:=left;j:=mid+1,p:=left; //合并左右 while(i<=mid and j<=right)do
• 时间效率不尽如人意….. • 问题出现在哪里呢？？
分治算法：
采用二分法求解: 记数列a[st,ed]的逆序对数目为d(st,ed);
mid=[(st+ed)/2],则有：
d(st,ed)=d(st,mid)+d(mid+1,ed)+F(st,mid,ed)
其中F(st,mid,ed)表示一个数取自a[st,mid],令一 个数取自a[mid+1,ed]的逆序对数目。
分析
• B、求方程的所有三个实根 • 所有的根的范围都在-100至100之间，且根与根之差的绝
对值>=1。因此可知：在[-100,-99]、[-99,-98]、……、 [99，100]、[100，100]这201个区间内，每个区间内至 多只能有一个根。即：除区间[100，100]外，其余区间 [a,a+1]，只有当f(a)=0或f(a)·f(a+1)<0时，方程在此区 间内才有解。若f(a)=0 ，解即为a；若f(a)·f(a+1)<0 ，则 可以利用A中所述的二分法迅速出找出解。如此可求出方 程的所有的解。
1、求最大值和最小值
• 例题1：给n个实数，求它们之中最大值和最小值，要求 比较次数尽量小。
分析：假设数据个数为n,存放在数组a[1..n]中。可以直接进 行比较：
minn:=a[1];maxx:=a[1]; for i:=2 to n do
if a[i]>maxx then maxx:=a[i]; else if a[i]<minn then minn:=a[i];
• 要使分治算法效率高，关键在于如何分割？一般地，出于 一种平衡原则，总是把大问题分成K个规模尽可能相等的 子问题，但也有例外，如求表的最大最小元问题的算法， 当n＝6时，等分定量成两个规模为3的子表L1和L2不是最 佳分割。一般来讲，都是2分为主。
四、分治的框架结构
procedure DIVIDE() begin
• 即把“if(a[i]>a[j])then begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end
• 改为“if(a[i]>a[j])then
•
begin tot:=tot+mid-
i+1;temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end
4、二分查找
• 【问题描述】给出从小到大排列的n个不同数 a[1]~a[n]，试判断元素x是否出现在表中。
• (2).若f(a)*f((a+b)/2)<0,则由题目给出的定理可知根在区 间(a,(a+b)/2)中,故对区间重复该过程；
• (3).若f(a)*f((a+b)/2)>0,则必然有f((a+b)/2)*f(b)<0,根在 ((a+b)/2,b)中,对此区间重复该过程。
• 执行完毕,就可以得到精确到0.0001的根。
if(问题不可分)then//解决 begin 直接求解； 返回问题的解；
end else begin
对原问题进行分治；//分解 递归对每一个分治的部分求解; 归并整个问题，得出全问题的解;//合并 end end;
五、分治的典型应用
• 1、求最大值和最小值 • 2、非线性方程求根 • 3、二分查找 • 4、归并排序 • 5、快速幂 • 6、求解线性递推关系 • 7、棋盘覆盖问题 • 8、循环日程表问题 • 9、寻找最近点对
核心参考代码
procedure divide(x1,x2:double) Begin
var x0,y0,y1,y2:double; x0:=(x1+x2)div 2; y1:=cal(x1);y2:=cal(x2);y0:=cal(x0); if(x2-x1<0.00001 and y1*y2<0)then
朴素算法
• 在看完试题以后，我们不难想到一个非常简单的算法—— 穷举算法，即对数组中任意的两个元素进行判断，看它们 是不是构成“逆序对”，因此这种算法的时间复杂度为
O(N2)。
C:=0; for i:=1 to n -1 do
for j:=i+1 to n do if a[i]>a[j] then c:=c+1;
功，返回m。 • 递归求解：如果a[m]>x，那么元素只可能在a[L]~a[m-1]中；
如果a[m]<x，那么元素只可能在a[m+1]~a[r]中。 • 合并：不需要合并。
• 归并过程为： （1）划分：把序列分成元素个数相等的两半； （2）递归求解：把两半分别排序； （3）合并：把两个有序表合成一个有序表；
分析
• 显然，前两部分是很容易完成的，关键在于如何把两个有 序表合成一个。每次只需要把两个序列中当前的最小元素 加以比较，删除较小元素并加入合并后的新表。
核心参考代码