高考数学(文)一轮复习 课后训练 4-2b平面向量的基本定理及坐标表示

板块五 限时·规范·特训
（限时60分钟）
[A 级 基础达标](时间：40分钟)
1．[2016· 衡水模拟]已知点A (－1,1)，B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →
∥a ，则实数y 的值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
答案 C
解析 AB →＝(3，y －1)，a ＝(1,2)，AB →
∥a ，则2×3＝1×(y －1)，解得y ＝7，故选C.
2．[2016·攀枝花模拟]已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )
A.14
B.12 C ．1 D ．2
答案 B
解析 因为a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，又(a ＋λb )∥c ，所以4(1＋λ)－2×3＝0.解得λ＝1
2.
3．已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →
＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →
的坐标为( )
A.⎝
⎛⎭
⎪⎫－12，5 B.⎝
⎛⎭
⎪⎫
12，5 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－5 答案 D
解析 AC →＝AB →＋AD →
＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．
∴OC →＝12AC →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫12，5.
∴CO →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
－12，－5.故选D.
4．[2015·辽宁五校联考]已知直角坐标系内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)使平面内的任意一个向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)
B ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)
C ．(－∞，3)∪(3，＋∞)
D ．[－3,3) 答案 B
解析 由题意可知向量a 与b 为基底，所以不共线，则m 1≠2m －33，解得m ≠－3，选B.
5．[2016·临沂模拟]在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →
等于( )
A ．(－6,21)
B ．(－2,7)
C ．(6，－21)
D ．(2，－7)
答案 A
解析 如图，QC →＝AQ →＝PQ →－P A →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC →＝PQ →
＋QC →＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，BC →＝3PC →
＝(－6,21)．
6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(22，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，
则函数f (x )＝3x ＋|λ|
x ＋1
(x >－1)的最小值为( )
点击观看解答视频
A ．10
B ．9
C ．6
D ．3
答案 D
解析 ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝3
1＝3.
f (x )＝3x ＋3x ＋1＝3(x ＋1)＋3
x ＋1
－3≥2
3(x ＋1)·3
x ＋1
－3＝6－3
＝3，当且仅当3(x ＋1)＝3
x ＋1，即x ＝0时等号成立，∴函数f (x )的最
小值为3，故选D.
7．[2015·江苏高考]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．
答案 －3
解析 由m a ＋n b ＝(9，－8)得， m (2,1)＋n (1，－2)＝(9，－8)， 即(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为第一象限内一点且∠AOC ＝π
4，|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝________.
答案 2 2
解析 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π
4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →
，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.
9．[2016·枣庄模拟]在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|
＝________.
答案 13
解析 利用已知条件转化为向量BC →，CA →
的关系，确定点C 位置后可解．由已知得，3OC →＝2OA →＋OB →
，
即OC →－OB →＝2(OA →－OC →)， 即BC →＝2CA →
.如图所示：
故C 为BA 的靠近A 点的三等分点，因而|AC →||AB →|＝1
3.
10．[2016·宜昌模拟]已知向量a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；
(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？
解 (1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，
故|a ＋3b |＝72＋32＝58.
(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－1
3.
此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )， 即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．
11．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0. (1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值；
(2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．
点击观看解答视频
解 (1)因为四边形OACB 是平行四边形， 所以OA →＝BC →
，即(a,0)＝(2,2－b )，
⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，2－b ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝2. 故a ＝2，b ＝2.
(2)因为AB →＝(－a ，b )，BC →
＝(2,2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →
， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a >0，b >0，
所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
，
即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0， 解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0. 因为a >0，b >0，
所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8. 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．
12．[2016·南宁模拟]如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .
(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →
； (2)若OE →＝λOA →
，求实数λ的值．
解 (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →
，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →
，
所以OC →＝2OA →－OB →
＝2a －b ， DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b . (2)由题意知，EC →∥DC →
， 故设EC →＝xDC →.
因为EC →＝OC →－OE →
＝(2a －b )－λa
＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －5
3b ， 所以(2－λ)a －b ＝x ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2a －53b .
因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，
得⎩⎨⎧
2－λ＝2x ，
－1＝－5
3x ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝35，λ＝4
5.
故λ＝45.
[B 级 知能提升](时间：20分钟)
1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为( )
A ．(0，－2)
B ．(－4,2)
C ．(16,14)
D ．(0,2)
答案 A
解析 设D (x ，y )，由题意知BD →＝BA →＋BC →
，
即(x －6，y －8)＝(－8，－8)＋(2，－2)＝(－6，－10)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －6＝－6，y －8＝－10，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝－2.
故选A. 2．[2015·遵义模拟]△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n ，则cos A ＝________.
答案 16
解析 ∵m ∥n ，∴(3c －b )·c ＝(a －b )(3a ＋3b )， 即bc ＝3(b 2＋c 2－a 2)，
∴b 2＋c 2－a 2bc
＝13，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝16.
3．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n 的值为________．
答案 2
解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．
又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n
2＝1.则m ＋n ＝2.
4．[2016·贵阳模拟]如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →
，求实数m 的值．
点击观看解答视频
解 由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12AO →
＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →， 又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →
， 即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34AD →＋14AB →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝14λ，1＝3
4λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝13，
λ＝4
3，
故实数m ＝13.。