高考一轮数学复习理科课件(人教版)第5课时 直线、平面垂直的判定及性质

第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 2 由(1)应掌握证明两平面垂直常转化为线面 垂直，利用判定定理来证明．也可作出二面角的平面角， 证明平面角为直角，利用定义来证明．
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
由(2)已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一 点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂 直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得 出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的 交线也垂直于第三个平面．②的关键是灵活利用①题的结 论．
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
(2)∵SA⊥平面 AC，DC⊂平面 AC，∴SA⊥DC. 又 AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面 SAD， 又 AG⊂平面 SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF，AG⊂平面 AEF， ∴SC⊥AG 且 SC∩CD＝C，∴AG⊥平面 SDC， 又 SD⊂平面 SDC，∴AG⊥SD.
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
【证明】 (1)连接 AC，∵PA⊥平面 ABCD， ∴PA⊥AC，在 Rt△PAC 中，N 为 PC 中点， ∴AN＝12PC. ∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BC， 又 BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 PAB，∴BC⊥PB， 从而在 Rt△PBC 中，BN 为斜边 PC 上的中线，
答案 B
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
解析 选项 A 中平面 α，γ 可以是斜交，也可以是平 行；选项 C 中直线 m 可在 β 内；选项 D 中的直线 m，n 可以是斜交、平行，还可以是异面；选项 B 正确．
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
4．(2011·浙江理)下列命题中错误的是( ) A．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线 平行于平面 β B．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定 不存在直线垂直于平面 β
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第八章 立体几何
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第5课时 直线、平面垂直的判定及性质
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2012·考纲下载
1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识 和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位 置关系的简单命题.
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
请注意！
纵观近几年高考题，始终围绕着垂直关系命题，这突 出了垂直关系在立体几何中的重要地位，又能顺利实现各 种关系的转化，从而体现了能力命题的方向．特别是线面 垂直，集中了证明和计算的中心内容.
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第八章 立体几何
第八章 立体几何
高考调研 思考题 1
高三数学（新课标版·理）
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
如上图，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA⊥平面 AC，再 过 A 作 AE⊥SB 交 SB 于 E，过 E 作 EF⊥SC 交 SC 于 F.
(1)求证：AF⊥SC； (2)若平面 AEF 交 SD 于 G. 求证：AG⊥SD.
第八章 立体几何
高考调研 【证明】
高三数学（新课标版·理）
第八章 立体几何
高考调研
高ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数学（新课标版·理）
①在平面 ABC 内取一点 D，作 DF⊥AC 于 F. 平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC，∴DF⊥平面 PAC. 又 PA⊂平面 PAC， ∴DF⊥PA.作 DG⊥AB 于 G， 同理可证：DG⊥PA. DG、DF 都在平面 ABC 内， ∴PA⊥平面 ABC.
②取 CA 的中点 N，连接 MN、BN，则 MN 綊12EC，
∴MN∥BD，∴N 点在平面 BDM 内．
∵EC⊥平面 ABC，∴EC⊥BN. 又 CA⊥BN，∴BN⊥平面 ECA. ∵BN⊂平面 BDM，∴平面 BDM⊥平面 ECA.
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
③∵DM∥BN，BN⊥平面 ECA，
高考调研
高三数学（新课标版·理）
1．直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与平面内的两条 相交 直线垂直，那么 这条直线与这个平面 垂直． 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面， 那么另一条直线也 垂直 于这个平面．
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2．直线与平面垂直的性质定理 (1)如果两条直线垂直于 同一个平面 ，那么这两条直 线平行． (2)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内 的任意一条 直线垂直．
高三数学（新课标版·理）
解析 如果一条直线平行于一个平面，它不是与平面 内的所有直线平行，只有部分平行，故 A 错；
若一条直线与平面内的直线平行，该直线不一定与该 平面平行，该直线可能是该平面内的直线，故 B 错；
如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这 两个平面垂直，这是一个真命题，故 C 对；
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
【证明】 (1)∵SA⊥平面 AC，BC⊂平面 AC，∴SA ⊥BC.
∵ABCD 为矩形，∴AB⊥BC 且 SA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 SAB. 又∵AE⊂平面 SAB，∴BC⊥AE. 又 SB⊥AE 且 SB∩BC＝B，∴AE⊥平面 SBC. 又∵SC⊂平面 SBC，∴AE⊥SC. 又 EF⊥SC 且 AE∩EF＝E，∴SC⊥平面 AEF. 又∵AF⊂平面 AEF，∴AF⊥SC.
∴DM⊥平面 ECA，又 DM⊂平面 DEA， ∴平面 DEA⊥平面 ECA.
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
(2)已知：平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC.AE⊥平面 PBC，E 为垂足．
①求证：PA⊥平面 ABC； ②当 E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三 角形． 【思路】 已知条件“平面 PAB⊥平面 ABC，……”， 想到面面垂直的性质定理，便有如下解法．
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
∴BN＝12PC.∴AN＝BN，∴△ABN 为等腰三角形，又 M 为底边的中点．
∴MN⊥AB，又 AB∥CD，∴MN⊥CD.
(2)∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD， ∵ABCD 为矩形．∴AD＝BC，∴PA＝BC， 又∵M 为 AB 的中点，∴AM＝BM， 而∠PAM＝∠CBM＝90°，
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
3．平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面 经过了另一个平面的一条垂线 ，那么 两个平面互相垂直． 4．平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它 _们__交__线__的直线垂直于另一个平面．
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2．(2012·衡水调研)设 b、c 表示两条直线，α、β 表示 两个平面，下列命题中真命题是( )
A．若 b⊂α，c∥α，则 b∥c B．若 b⊂α，b∥c，则 c∥α C．若 c∥α，c⊥β，则 α⊥β D．若 c∥α，α⊥β，则 c⊥β
答案 C
第八章 立体几何
高考调研
对 D 来讲若 c∥α，α⊥β，则 c 与 β 的位置关系不定，
故选 C.
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
3．设 α，β，γ 是三个互不重合的平面，m，n 是两条 不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A．若 α⊥β，β⊥γ，则 α⊥γ B．若 α∥β，m⊄β，m∥α，则 m∥β C．若 α⊥β，m⊥α，则 m∥β D．若 m∥α，n∥β，α⊥β，则 m⊥n
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型二 面、面垂直
例 2 (1)△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD∥CE， 且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点，求证：
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
①DE＝DA； ②平面 BDM⊥平面 ECA； ③平面 DEA⊥平面 ECA.
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
【证明】 (1)∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，∴AD⊥ BC.
∵底面 ABC⊥侧面 BB1C1C，且交线为 BC， ∴由面面垂直的性质定理可知 AD⊥侧面 BB1C1C. 又∵CC1⊂侧面 BB1C1C，∴AD⊥CC1.
第八章 立体几何
高考调研
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
②连接 BE 并延长交 PC 于 H， ∵E 是△PBC 的垂心，∴PC⊥BH. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，PC⊂平面 PBC， ∴PC⊥AE.又 BH∩AE＝E，∴PC⊥平面 ABE. 又 AB⊂平面 ABE，∴PC⊥AB. ∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB. 又 PC∩PA＝P，∴AB⊥平面 PAC， 又 AC⊂平面 PAC，∴AB⊥AC， 即△ABC 是直角三角形．
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
C．如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β＝l， 那么 l⊥平面 γ
D．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所有直线都垂 直于平面 β
答案 D
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
解析 对于 D，若平面 α⊥平面 β，则平面 α 内的直 线可能不垂直于平面 β，甚至可能平行于平面 β，其余选 项均是正确的．
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
【证明】 ①取 EC 的中点 F，连接 DF，
∵BD∥CE，∴DB⊥BA.又 EC⊥BC，
在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中， ∵EF＝12EC＝BD，FD＝BC＝AB， ∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴DE＝DA.
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
高三数学（新课标版·理）
1．(课本习题改编)若直线 a 与平面 α 不垂直，那么在 平面 α 内与直线 a 垂直的直线有________条．
答案 无数 解析 虽然可以在平面 α 内找到一条直线 b⊥a，而在 平面 α 内有无数条直线平行 b，从而与直线 a 垂直的直线 有无数条．
第八章 立体几何
高考调研
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
思考题 2 如图所示，在斜三棱柱 A1B1C1－ABC 中， 底面是等腰三角形，AB ＝AC，侧面 BB1C1C⊥底面 ABC.
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
(1)若 D 是 BC 的中点，求证：AD⊥CC1； (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M， 若 AM＝MA1，求证：截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C； (3)AM＝MA1 是截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C 的充要条件 吗？请你叙述判断理由．
高三数学（新课标版·理）
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
(2)方法一 取 BC1 的中点 E，连接 DE、ME.在△BCC1 中，D、E 分别是 BC、BC1 的中点，
∴DE 綊12CC1.
又 AA1 綊 CC1，∴DE 綊12AA1.
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型一 线线、线面垂直
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
例 1 如上图，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面，M， N 分别是 AB，PC 的中点．
(1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面 PCD.
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
∴PM＝CM，又 N 为 PC 的中点，∴MN⊥PC， 由(1)知 MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面 PCD.
第八章 立体几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 1 证线面垂直的方法有： (1)利用判定定理，它是最常用的思路． (2)利用线面垂直的性质：两平行线之一垂直于平面， 则另一条线必垂直于该平面． (3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一 个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面． ②两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂 直于第三个平面．