2020年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷

2020年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）下列各数中是无理数的是( )
A ．0
B ．73
C ．2π
D ．4
2．（2分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（2分）“弘扬雷锋精神，共建幸福沈阳”，幸福沈阳需要830万沈阳人共同缔造，将数据
830万用科学记数法可以表示为( )万．
A ．8310⨯
B ．28.310⨯
C ．38.310⨯
D ．30.8310⨯
4．（2分）下列运算正确的是( )
A ．325235m m m +=
B ．32()m m m ÷-=
C ．236()m m m =g
D ．22()()m n n m m n +-=-
5．（2分）在平面直角坐标系中，点B 的坐标是(4,1)-，点A 与点B 关于x 轴对称，则点A
的坐标是( )
A ．(4,1)
B ．(1,4)-
C ．(4,1)--
D ．(1,4)--
6．（2分）如果81m ，那么m 的取值范围是( )
A ．01m <<
B ．12m <<
C ．23m <<
D ．34m <<
7．（2分）已知ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的面积比是( )
A ．5:3
B ．25:9
C ．3:5
D ．9:25
8．（2分）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是( )
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
9．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数1y x =-的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．（2分）正六边形ABCDEF 内接于O e ，正六边形的周长是12，则¶AB 的长是( )
A ．12π
B ．23π
C ．43π
D ．2π
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：3218x x -= ．
12．（3分）一个多边形的内角和是720︒，这个多边形的边数是 ．
13．（3分）化简：2244
x x x x x -=-+g ． 14．（3分）已知点A 为双曲线(0)k y k x
=≠上的点，点O 为坐标原点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接OA ．若AOB ∆的面积为4，则k 的值为 ．
15．（3分）如图，点A ，B 在O e 上，直线AC 是O e 的切线，OC OB ⊥，连接AB 交OC 于点D ．若2AC =，5AO =，则OD = ．
16．（3分）如图，正方形ABCD 的对角线BD 上有一点E ，且3BE DE =，点F 在AB 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG EF ⊥，交BC 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交DB 的
延长线于点P ，若4AB =，1BF =，则线段EP 的长是 ．
三、解答题（第17、18小题各6分，第19小题8分，第20小题10分，第21小题12分，共42分）
17．（6分）计算：023127(52)()|sin 601|3
-+--+︒- 18．（6分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A ，B 两种型号的健身器材若干套，A ，B 两种型号健身器材的购买单价分别为每套280元，430元，且每种型号健身器材必须整套购买．若购买A ，B 两种型号的健身器材共50套，且支出不超过16000元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？
19．（8分）已知，如图，在ABCD Y 中，延长AB 到点E ，延长CD 到点F ，使得BE DF =，连接EF ，分别交BC ，AD 于点M ，N ，连接AM ，CN ．
（1）求证：BEM DFN ∆≅∆；
（2）求证：四边形AMCN 是平行四边形．
20．（10分）如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，13AB =，24BD =，在菱形ABCD 的外部以AB 为边作
等边三角形ABE ．点F 是对角线BD 上一动点（点F 不与点B 重合），将线段AF 绕点A 顺时针方向旋转60︒得到
线段AM ，连接FM ．
（1）线段AO 的长为 ；
（2）如图2，当点F 在线段BO 上，且点M ，F ，C 三点在同一条直线上时，求证：3AM AC =； （3）连接EM ．若AFM ∆的周长为329，请直接写出AEM ∆的面积．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223
y x bx c =-++与y 轴交于点(0,2)A ，与x 轴交于(3,0)B -、C 两点（点B 在点C 的左侧），抛物线的顶点为D ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）用配方法求点D 的坐标；
（3）点P 是线段OB 上的动点．
①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE PC =，求点E 的坐标；
②在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长；
③若点Q 是射线OA 上的动点，且始终满足OQ OP =，连接AP ，DQ ，请直接写出AP DQ +的最小值．
2020年辽宁省沈阳市于洪区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）
1．（2分）下列各数中是无理数的是( )
A ．0
B ．73
C ．2π
D ．4 【解答】解：0是整数，属于有理数；
73是分数，属于有理数；2
π是无理数；42=，是整数，属于有理数．
故选：C ． 2．（2分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：从左面看易得上面一层中间有1个正方形，下面有3个正方形．
故选：C ．
3．（2分）“弘扬雷锋精神，共建幸福沈阳”，幸福沈阳需要830万沈阳人共同缔造，将数据
830万用科学记数法可以表示为( )万．
A ．8310⨯
B ．28.310⨯
C ．38.310⨯
D ．30.8310⨯
【解答】解：830万28.310=⨯万．
故选：B ．
4．（2分）下列运算正确的是( )
A ．325235m m m +=
B ．32()m m m ÷-=
C ．236()m m m =g
D ．22()()m n n m m n +-=-
【解答】解：A ．32m 与23m 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B ．32()m m m ÷-=，正确；
C ．237()m m m =g ，故本选项不合题意；
D ．22()()m n n m n m +-=-，故本选项不合题意．
故选：B ．
5．（2分）在平面直角坐标系中，点B 的坐标是(4,1)-，点A 与点B 关于x 轴对称，则点A
的坐标是( )
A ．(4,1)
B ．(1,4)-
C ．(4,1)--
D ．(1,4)--
【解答】解：Q 点B 的坐标是(4,1)-，点A 与点B 关于x 轴对称，
∴点A 的坐标是：(4,1)．
故选：A ．
6．（2分）如果1m ，那么m 的取值范围是( )
A ．01m <<
B ．12m <<
C ．23m <<
D ．34m <<
【解答】解：23Q ，
112∴<<，
12m ∴<<，
故选：B ．
7．（2分）已知ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的面积比是( )
A ．5:3
B ．25:9
C ．3:5
D ．9:25
【解答】解：ABC ∆Q ∽△A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应中线，10AD =，6A D ''=， ∴两三角形的相似比为：5:3，
则ABC ∆与△A B C '''的面积比是：25:9．
故选：B ．
8．（2分）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是( )
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
【解答】解：菱形，理由为：
如图所示，E Q ，F 分别为AB ，BC 的中点，
EF ∴为ABC ∆的中位线，
//EF AC ∴，12EF AC =，
同理//HG AC ，1
2HG AC =，
//EF HG ∴，且EF HG =， ∴四边形EFGH 为平行四边形，
1
2EH BD =Q ，AC BD =，
EF EH ∴=，
则四边形EFGH 为菱形， 故选：B ．
9．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数1y x =-的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：一次函数1y x =-+，
其中1k =-，1b =，
其图象为：，
故选：A ．
10．（2分）正六边形ABCDEF 内接于O e ，正六边形的周长是12，则¶AB 的长是(
)
A ．12π
B ．23π
C ．43π
D ．2π
【解答】解解：连接OB ，OA ，
Q 多边形ABCDEF 是正六边形，
60BOA ∴∠=︒，
OB OA =Q ，
OBA ∴∆是等边三角形，
OB BA ∴=，
Q 正六边形的周长是12，
2BC ∴=，
O ∴e 的半径是2，
∴弧AB 的长为60221803ππ⨯=， 故选：B ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：3218x x -= 2(3)(3)x x x +- ．
【解答】解：原式22(9)x x =-
2(3)(3)x x x =+-，
故答案为：2(3)(3)x x x +-．
12．（3分）一个多边形的内角和是720︒，这个多边形的边数是 6 ．
【解答】解：Q 多边形的内角和公式为(2)180n -︒g ，
(2)180720n ∴-⨯︒=︒，
解得6n =，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13．（3分）化简：2244x x x x x -=-+g 12
x - ． 【解答】解：原式22(2)x x x x -=-g 12
x =-， 故答案为：
12x -． 14．（3分）已知点A 为双曲线(0)k y k x
=≠上的点，点O 为坐标原点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接OA ．若AOB ∆的面积为4，则k 的值为 8± ．
【解答】解：Q 点A 为双曲线k y x =
图象上的点， ∴设点A 的坐标为(,)k
x x
； 又AOB ∆Q 的面积为4，
1||||42AOB k S x x
∆∴==g ，即||8k =， 解得，8k =或8k =-；
故答案是：8或8-．
15．（3分）如图，点A ，B 在O e 上，直线AC 是O e 的切线，OC OB ⊥，连接AB 交OC 于点D ．若2AC =，5AO =，则OD = 1 ．
【解答】解：OA OB =Q ，
OAB B ∴∠=∠，
Q 直线AC 为圆O 的切线，
90OAC OAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，
OB OC ⊥Q ，
90BOC ∴∠=︒，
90ODB B ∴∠+∠=︒，
ODB CDA ∠=∠Q ，
90CDA B ∴∠+∠=︒，
DAC CDA ∴∠=∠，
AC CD ∴=，
在Rt OAC ∆中，2AC CD ==，5AO =，2OC OD DC OD =+=+，
根据勾股定理得：222OC AC AO =+，即222(2)2(5)OD +=+，
解得：1OD =．
故答案为：1．
16．（3分）如图，正方形ABCD 的对角线BD 上有一点E ，且3BE DE =，点F 在AB 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG EF ⊥，交BC 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交DB 的延长线于点P ，若4AB =，1BF =，则线段EP 的长是 252 ．
【解答】解：如图，作EN AB ⊥于N ，EM BC ⊥于M ，PH CB ⊥于H ．
Q 四边形ABCD 是正方形，
4AD DC CB AB ∴====，90ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=︒，45ABD CBD ADB CDB ∠=∠=∠=∠=︒，
EN EM BN BM ∴===，
3BE DE =Q ，
3BN AN ∴=，所以1AN =，3BN =，
3EM EN BM BN ∴====，
EF EG ⊥Q ，
90FEG ∴∠=︒，
90NEM ∠=︒Q ，
NEF MEG ∴∠=∠，
在NEF ∆和MEG ∆中：
FNE GME NE ME
NEF MFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()NEF MEG ASA ∴∆≅∆，
MG NF ∴=，EG EF =，
1BF =Q ，
4NF NB BF ∴=+=，
4MG ∴=，
7BG BM MG ∴=+=，
45PBF ABD ∠=∠=︒Q ，
135PBG ∴∠=︒，
45PBH ∴∠=︒，
45HPB ∴∠=︒，
BH PH ∴=
，PB ，
设BH PH x ==
，则PB =，7GH BH BG x =+=+， 因为GH PH BG BF =，所以771
x x +=，解得76x =，
所以，
又因为BE =
所以EP EB BP =+． 三、解答题（第17、18小题各6分，第19小题8分，第20小题10分，第21小题12分，共42分）
17．（6
0212)()|sin 601|3
---+︒- 【解答】
解：原式3191|=+-+-，
35
1=-+-
， 34=--． 18．（6分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A ，B 两种型号的健身器材若干套，A ，B 两种型号健身器材的购买单价分别为每套280元，430元，且每种型号健身器材必须整套购买．若购买A ，B 两种型号的健身器材共50套，且支出不超过16000元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？
【解答】解：设购进x 套A 种型号健身器材，则购进(50)x -套B 种型号健身器材， 依题意，得：280430(50)16000x x +-„，
解得：1103
x …． 又x Q 为正整数，
x ∴的最小值为37．
答：A 种型号健身器材至少要购买37套．
19．（8分）已知，如图，在ABCD Y 中，延长AB 到点E ，延长CD 到点F ，使得BE DF =，连接EF ，分别交BC ，AD 于点M ，N ，连接AM ，CN ．
（1）求证：BEM DFN ∆≅∆；
（2）求证：四边形AMCN 是平行四边形．
【解答】证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
BAD BCD ∴∠=∠，//AB CD ，
BAD ADF ∴∠=∠，EBC BCD ∠=∠，E F ∠=∠，
ADF EBC ∴∠=∠，
在DFN ∆和BEM ∆中
F E DF BE
NDF EBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()DFN BEM ASA ∴∆≅∆；
（2）四边形ANCM 是平行四边形，
理由是：Q 由（1）知DFN BEM ∆≅∆，
DN BM ∴=，
Q 四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC ∴=，且//AD BC ，
AD DN BC BM ∴-=-，
AN CM ∴=，//AN CM ，
∴四边形ANCM 是平行四边形．
20．（10分）如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，13AB =，24BD =，在菱形ABCD 的外部以AB 为边作
等边三角形ABE ．点F 是对角线BD 上一动点（点F 不与点B 重合），将线段AF 绕点A 顺时针方向旋转60︒得到
线段AM ，连接FM ．
（1）线段AO 的长为 5 ；
（2）如图2，当点F 在线段BO 上，且点M ，F ，C 三点在同一条直线上时，求证：3AM AC =； （3）连接EM ．若AFM ∆的周长为329，请直接写出AEM ∆的面积．
【解答】解：（1）Q 四边形ABCD 是菱形，
AC BD ∴⊥，1122
OB BD ==， 在Rt AOB ∆中，13AB =，根据勾股定理得，222213125AO AB OB =--=， 故答案为5；
（2）由旋转知，AM AF =，60MAF ∠=︒， AMF ∴∆是等边三角形，
60AFM ∴∠=︒，
Q 点M ，F ，C 三点在同一条直线上，
180120AFC AFM ∴∠=︒-∠=︒，
Q 菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ， 12
OA OC AC ∴==， 在AOF ∆和COF ∆中，90OA OC AOF COF OF OF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()AOF COF SAS ∴∆≅∆，
1602
AFO AFC ∴∠=∠=︒， 在Rt AOF ∆中，sin OA AFO AF
∠=，
sin sin 60OA OA AF AC AFO ====∠︒，
AM AC ∴=
；
（3）如图，由（2）知，AMF ∆是等边三角形， AFM ∆Q
的周长为，
AF ∴=
在Rt AOF ∆
中，根据勾股定理得，2OF =， 12210BF OB OF ∴=-=-=，
连接EM ，
ABE ∆Q 是等边三角形，
13AE AB ∴==，60BAE ∠=︒，
由（1）知，AM AF =，60FAM ∠=︒， BAE EAM ∴∠=∠，
EAM BAF ∴∠=∠，
()AEM ABF SAS ∴∆≅∆，
10EM BF ∴==，AEM ABF ∠=∠，
过点M 作MN AE ⊥于N ，
90MNE AOB ∴∠=∠=︒，
MNE AOB ∴∆∆∽，
∴MN EM AO AB =， ∴10513
MN =， 5013
MN ∴=， 115013252213AEM S AE MN ∆∴=
=⨯⨯=g ．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223
y x bx c =-++与y 轴交于点(0,2)A ，与x 轴交于(3,0)B -、C 两点（点B 在点C 的左侧），抛物线的顶点为D ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）用配方法求点D 的坐标；
（3）点P 是线段OB 上的动点．
①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE PC =，求点E 的坐标； ②在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长；
③若点Q 是射线OA 上的动点，且始终满足OQ OP =，连接AP ，DQ ，请直接写出AP DQ +的最小值．
【解答】解：（1）Q 抛物线223
y x bx c =-++与y 轴交于点(0,2)A ，与x 轴交于(3,0)B -， ∴2063c b c =⎧⎨=--+⎩
∴432b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴
抛物线解析式为：22
4233y x x =--+； （2）2224282(1)3333
y x x x =--+=-++Q ， ∴顶点D 坐标8
(1,)3
-； （3）①Q 抛物线224233
y x x =--+与x 轴交于(3,0)B -、C 两点， ∴点(1,0)C
设点224(,2)33
E m m m --+，则点(,0)P m ， PE PC =Q ，
∴22
42133
m m m --+=-， 1m ∴=（舍去），32
m =-， ∴点3
(2E -，5)2
②如图，连接AE 交对称轴于点N ，连接DE ，作EH DN ⊥于H ，交y 轴于点F ，
Q 点(0,2)A ，点3
(2E -，5)2
， ∴直线AE 解析式为123y x =-+，
∴点N 坐标7
(1,)3
- 851326DH ∴=-=，571236
HN =-=， DH NH ∴=，且EH DN ⊥，
DEH NEH ∴∠=∠，
∴点F 到AE ，DE 的距离相等，
//DN y ∴轴，EH DN ⊥， EH y ∴⊥轴， 32
EF ∴=； ③在x 轴正半轴取点H ，使2OH OA ==，
OH OA =Q ，90AOP QOH ∠=∠=︒，OP OQ =， ()AOP HOQ SAS ∴∆≅∆ AP QH ∴=，
AP DQ DQ QH DH ∴+=+…， ∴点Q 在DH 上时，DQ AP +有最小值，最小值为DH 的长， AP DQ ∴+的最小值264145(21)9=++。