北师大版八年级数学下册--1.2.1 直角三角形的性质与判定 系列课件
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新课教学
知识点1：直角三角形中角的关系
【归纳】 三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点的高线的夹角等于另 外两个角差的绝对值的一半．
新课教学
知识点1：直角三角形中角的关系
1. 小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中
∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°， 则∠α＋∠β等于( )B
【归纳】 应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长更是简 化了计算步骤，使解题过程变得简明易懂．
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
1. 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长.
解：
因为∠A＝∠B＝45°， 所以△ABC为等腰直角三角形． 所以AC＝BC＝3.
所以 AB＝ AC2＋BC2＝3 2.
直角三角形 —有一个角是直角
钝角三角形 —有一个角是钝角
新课教学
生活中用到直角三角形的 例子很多
知识点1：直角三角形中角的关系
想一想 (1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ (2) 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角
形吗？为 什么？
【定理】直角三角形的两个锐角互余. 【定理】有两个角互余的三角形是直角三角形.
证明：
如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使 ∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC, 则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ，∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形.
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
2. 已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中 线AD＝12cm. 求证：AB＝AC.
解：
如图，
因为AD是BC边上的中线，
所以BD＝ 1 BC＝
1
×10
2
2
＝5(cm)．
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
在△ABD中， 因为AB＝13 cm，AD＝12 cm，BD＝5 cm， 所以AB2＝AD2＋BD2. 所以△ABD为直角三角形．所以AD⊥BC. 在Rt△ADC中，
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，
则点C到AB的距离是( A )
A. 36 B. 12 C. 9 D. 3 3
5
25
4
4
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
方法一：
∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225. ∴AB＝15.
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平 方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结 论.下面我们证明这个结论. 已知：如图 (1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2. 求证：△ABC是直角三角形
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
A．180° B．210° C．360° D．270°
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. B
AB2＝AC 2＋BC 2
A
C
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
【特别提醒】 1.勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角 三角形中才可以使用勾股定理. 2. 利用勾股定理，已知其中任意两边可以求出第三边. 3. 运用勾股定理，若分不清哪条边是斜边，则要分类讨论，写出 所有可能，以免漏解或错解.
AC＝ AD2＋CD2＝ 122＋52 ＝13(cm)，
所以AB＝AC.
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
3. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一 起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C. 若
∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( A)
5
5
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
方法二：
过点C作CD⊥AB于点D，
则S△ABC＝ 1 AC·BC＝ 2
1 AB·CD， 2
∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，
∴CD＝ 9 12＝ 36 15 5
，即点C到AB的距离为 36 . 5
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
新课教学
知识点1：直角三角形中角的关系
【特别解读】： 1.直角三角形角的性质定理和判定定理的理论依据是三角形内角 和定理. 2. 在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，可结合两个锐 角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求 解.
新课教学
知识点1：直角三角形中角的关系
【例1】如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于 点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，则BD＝15－x.
在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝92－x2.
在Rt△B92－x2＝122－(15－x)2，解得x＝5.4.
∴CD2＝92－5.42＝51.84.
∴CD＝7.2＝ 36 ，即点C到AB的距离为 36 .
直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
学习目标
XUEXI MUBIAO
1. 直角三角形中角的关系 2. 直角三角形中边角关系 3. 逆命题和逆定理
教学目标
知识回顾
XUEXI MUBIAO
三角形的分类
按边分类
按角分类
三角形按角的分类
新课教学
XUEXI MUBIAO
锐角三角形 —三个角都是锐角
新课教学
知识点1：直角三角形中角的关系
【解】 由题意可知，
∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－30°－70°＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠BAE＝ 1 ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝290°.
∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
A．3 3 B．6 C．3 2 D. 21
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
4. 赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代
知识点1：直角三角形中角的关系
【归纳】 三角形中一个角的平分线和过这个角的顶点的高线的夹角等于另 外两个角差的绝对值的一半．
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知识点1：直角三角形中角的关系
1. 小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中
∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°， 则∠α＋∠β等于( )B
【归纳】 应用方程思想求线段的长很常见，而用面积法求线段的长更是简 化了计算步骤，使解题过程变得简明易懂．
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
1. 在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长.
解：
因为∠A＝∠B＝45°， 所以△ABC为等腰直角三角形． 所以AC＝BC＝3.
所以 AB＝ AC2＋BC2＝3 2.
直角三角形 —有一个角是直角
钝角三角形 —有一个角是钝角
新课教学
生活中用到直角三角形的 例子很多
知识点1：直角三角形中角的关系
想一想 (1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ (2) 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角
形吗？为 什么？
【定理】直角三角形的两个锐角互余. 【定理】有两个角互余的三角形是直角三角形.
证明：
如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使 ∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC, 则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）. ∵AB2＋AC2＝BC2 ，∴BC2 ＝ B′C′ 2. ∴BC ＝ B′C′. ∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS). ∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）. 因此， △ABC是直角三角形.
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
2. 已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中 线AD＝12cm. 求证：AB＝AC.
解：
如图，
因为AD是BC边上的中线，
所以BD＝ 1 BC＝
1
×10
2
2
＝5(cm)．
新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
在△ABD中， 因为AB＝13 cm，AD＝12 cm，BD＝5 cm， 所以AB2＝AD2＋BD2. 所以△ABD为直角三角形．所以AD⊥BC. 在Rt△ADC中，
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知识点2：直角三角形中边角关系
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，
则点C到AB的距离是( A )
A. 36 B. 12 C. 9 D. 3 3
5
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新课教学
知识点2：直角三角形中边角关系
方法一：
∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2＝92＋122＝225. ∴AB＝15.
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知识点2：直角三角形中边角关系
反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平 方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结 论.下面我们证明这个结论. 已知：如图 (1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2. 求证：△ABC是直角三角形
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知识点2：直角三角形中边角关系
A．180° B．210° C．360° D．270°
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知识点2：直角三角形中边角关系
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. B
AB2＝AC 2＋BC 2
A
C
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【特别提醒】 1.勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角 三角形中才可以使用勾股定理. 2. 利用勾股定理，已知其中任意两边可以求出第三边. 3. 运用勾股定理，若分不清哪条边是斜边，则要分类讨论，写出 所有可能，以免漏解或错解.
AC＝ AD2＋CD2＝ 122＋52 ＝13(cm)，
所以AB＝AC.
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知识点2：直角三角形中边角关系
3. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一 起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C. 若
∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( A)
5
5
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知识点2：直角三角形中边角关系
方法二：
过点C作CD⊥AB于点D，
则S△ABC＝ 1 AC·BC＝ 2
1 AB·CD， 2
∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，
∴CD＝ 9 12＝ 36 15 5
，即点C到AB的距离为 36 . 5
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知识点1：直角三角形中角的关系
【特别解读】： 1.直角三角形角的性质定理和判定定理的理论依据是三角形内角 和定理. 2. 在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，可结合两个锐 角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求 解.
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知识点1：直角三角形中角的关系
【例1】如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于 点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，则BD＝15－x.
在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝92－x2.
在Rt△B92－x2＝122－(15－x)2，解得x＝5.4.
∴CD2＝92－5.42＝51.84.
∴CD＝7.2＝ 36 ，即点C到AB的距离为 36 .
直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
学习目标
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1. 直角三角形中角的关系 2. 直角三角形中边角关系 3. 逆命题和逆定理
教学目标
知识回顾
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三角形的分类
按边分类
按角分类
三角形按角的分类
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锐角三角形 —三个角都是锐角
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知识点1：直角三角形中角的关系
【解】 由题意可知，
∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－30°－70°＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠BAE＝ 1 ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝290°.
∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
A．3 3 B．6 C．3 2 D. 21
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知识点2：直角三角形中边角关系
4. 赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代