人教版高中数学选修(1-2)-2.2《反证法》教学设计

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反证法教案高中数学

反证法教案高中数学
一、教学内容：反证法
二、教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和应用；
2. 能够灵活运用反证法解决问题。

三、教学重点和难点：
1. 反证法的基本原理和思想；
2. 如何正确运用反证法进行证明。

四、教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。

五、教学步骤：
1. 引入：通过一个生活中的例子引发学生对反证法的兴趣，引出反证法的概念。

2. 讲解：讲解反证法的基本原理和思想，以及在数学证明中的应用方法。

3. 练习：设计一些简单的例题，让学生通过反证法进行证明。

4. 拓展：提供一些更具挑战性的问题，引导学生灵活运用反证法解决问题。

5. 总结：对本节课内容进行总结，并强调反证法在解决问题中的重要性。

六、课后作业：
1. 完成课堂练习题，并写出解题思路；
2. 查找一些实际问题，尝试用反证法进行证明。

七、教学反思：
在教学中要注重引导学生思考和灵活运用反证法，培养其逻辑思维和解决问题的能力，同时要注重培养学生的合作意识和自主学习能力。

人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版

2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解：假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12．【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-，故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________．答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1．所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)，又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。

高中数学选修1-2学案：2.2.2 反证法

2.2.2 反证法[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.知识点一间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为______证明.常见的间接证明的方法是________.知识点二反证法1.反证法定义假设原命题________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与__________矛盾，或与______矛盾，或与________________________矛盾等.3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：(2)反证法主要适用于什么情形？题型一用反证法证明结论否定的问题例1如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分.反思与感悟对于结论否定型命题，正面证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明.跟踪训练1已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数.题型二用反证法证明唯一性问题例2用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.反思与感悟证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便. 跟踪训练2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直. 已知：平面α和一点P .求证：过点P 与α垂直的直线只有一条.题型三用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题例3 用反证法证明：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根.(不考虑重根)反思与感悟用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义. 跟踪训练3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y ＜2与1＋y x ＜2中至少有一个成立.因反证法中的反设不当致误例4用反证法证明：若a＞b＞0，则a＞b.错解假设a＞b不成立，则a＜b.若a＜b，则a＜b，与已知a＞b矛盾.故假设不成立，结论a＞b成立.错因分析a＞b的否定应为a≤b，即“大于”的否定是“小于或等于”.同理，“小于”的否定是“大于或等于”，不能漏掉“等于”.因此在用反证法证题时，一定要正确地找出结论的否定，不能犯否定不全的错误.正解假设a＞b不成立，则a≤b.若a＜b，则a＜b，与已知a＞b矛盾；若a＝b，则a＝b，与已知a＞b矛盾.故假设不成立.所以a＞b成立.易错警示在利用反证法证明问题时，往往要假设命题结论的反面成立，而问题结论的反面一定要全面，漏掉任何一种情况，证明都是不正确的.1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°3.“a<b”的反面应是()A.a≠bB.a>bC.a＝bD.a＝b或a>b4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A.a不垂直于cB.a，b都不垂直于cC.a⊥bD.a与b相交5.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数.1.反证法的证题步骤：①反设；②推理归谬；③存真，即假设不成立，原命题成立.2.用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.(3) 推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.[答案]精析知识梳理知识点一间接反证法知识点二1．不成立假设错误原命题成立2．已知条件假设定义、公理、定理、事实3．至多有一个n一个也没有(n－1)任意某个一定是且不都是且思考(1)这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．(2)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．题型探究例1证明连接AC，CB，BD，DA，假设AB，CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，∴∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD.∵四边形ACBD为圆的内接四边形，∴∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°，∴∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，∴对角线AB，CD均为圆的直径，与已知条件矛盾，∴AB，CD不能互相平分．跟踪训练1证明假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾．∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数．例2 证明假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a ，又b ∥a ，由平行公理知b ′∥b . 这与b ∩b ′＝A 矛盾，故假设错误，所以过已知直线a 外一点A 只有一条直线b 与已知直线a 平行．跟踪训练2 证明如图所示，不论点P 在α内还是在α外，设P A ⊥α，垂足为A (或P )．假设过点P 不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB ⊥α，设P A ，PB 确定的平面为β，且α∩β＝a ，于是在平面β内过点P 有两条直线P A ，PB 垂直于a ，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立．例3 证明假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f (α)＝f (β)＝0.因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)＜f (β)，这与f (α)＝f (β)＝0矛盾，所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实数根．跟踪训练3 证明假设1＋x y ＜2和1＋yx ＜2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．∵x ＞0且y ＞0，∴1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，∴x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y ＞2相矛盾， ∴1＋x y ＜2与1＋y x ＜2中至少有一个成立．当堂检测1．B 2.B 3.D 4.D5．证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．。

高中数学_2.2.2反证法教学课件设计

“数即万物”，也就是说
宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。
毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯发现，边长为1的正方形，它的对角线长却不是整数，也不能用整数之比来表达。
在当时，这个小小的 2 ，是多么违反常识，多么荒谬的存在！它简直把以前所知道的事情（“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。）根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬，人们竟然毫无办法。
z 1 至少有一个不小于2 y z
x
3：ABC 的内角 A, B,C 所对的边
a,b, c 的倒数成等差数列，求证：B
2
1：用反证法证明“在△ ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）
A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角或钝角 C．三角形中没有直角或钝角 D ．三角形中三个角都是直角或钝角 2：用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”应先假设这个三角形中（） A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 3：用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a， b，c中无偶数”，正确的假设为________.
王戎不取道旁李
王戎七岁，尝与诸小儿游，看道边李树多子折枝。诸儿竞走取之，唯戎不动。人问之，答曰：“树在道边而多子，此必苦李。”取之信然。
王戎的结论：“此李必苦”
假设：李子不苦
由于是“道边李树” ，故假设错误。因此，李子是苦的。
毕达哥拉斯（公元前5世纪, 古希腊）在宇宙论，哲学思想，数学等方面都有极高的成就。他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，即毕达哥拉斯定理（勾股定理）。

《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)

知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤一、提出假设假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾这与“......”相矛盾. 四、结论成立所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行）归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题；（2）某些定理的逆命题；（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；（4）关于“唯一性”结论的命题；（5）解决整除性问题；（6）一些不等量命题的证明；（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；（8）涉及各种“无限”结论的命题等等.

人教版高中数学选修2-22.2.2反证法学案

2．2.2反证法1．认识反法是接明的一种基本方法．2．理解反法的思虑程，会用反法明数学．基梳理1．定：一般地，由明 p? q 向明：綈 q? r ? ⋯ ? t， t 与假矛盾，或与某个真命矛盾．进而判断┐q 假，推出 q 真的方法，叫做反法．2．反法常的矛盾型：反法的关是在正确的推理下得出矛盾．个矛盾能够是与假矛盾或与数学公义、定理、公式、定或与公的事矛盾等．想想： (1) 反法的是什么？(2)反法属于直接明是接明？其明程属合情推理是演推理？(1)分析：反法的就能否认，推出矛盾，进而明原是正确的．(2)分析：反法是接明中的一种方法，其明程是特别密的演推理．自自1．用反法明命“三角形的内角中起码有一个大于60°” ，反正确的选项是(A)A ．假三内角都不大于60°B．假三内角都大于60°C．假三内角至多有一个大于60°D．假三内角至多有两个大于60°分析：“起码有一个”的否认是“一个都没有”，反“三个内角都不大于60°”．2．有以下：①已知 p3＋ q3＝ 2，求 p＋ q≤2，用反法明，可假p＋ q≥2；②已知a， b∈R，2|a|＋ |b|<1，求方程x ＋ ax＋ b＝ 0 的两根的都小于1，用反法明可假方程有一根x1的大于或等于1，即假|x1|≥ 1.以下法中正确的选项是(D)A ．①与②的假都B．①与②的假都正确C．①的假定正确；②的假定错误D．①的假定错误；②的假定正确分析：用反证法证明问题时，其假定是原命题的否认，故①的假定应为“的假定为“两根的绝对值不都小于1”，故①假定错误．②假定正确．3.“实数 a， b， c 不全大于0”等价于 (D)A ． a， b， c 均不大于0B．a， b， c 中起码有一个大于0C．a， b， c 中至多有一个大于0p＋ q>2”；②D． a， b， c 中起码有一个不大于0分析：“不全大于零”即“起码有一个不大于0”，它包含“全不大于0”．应选 D.基础巩固1． (2014 微·山一中高二期中)用反证法证明命题“假如 a>b>0，那么 a2>b2”时，假定的内容应是 (C)A ． a2＝ b2B． a2<b222222＝ b 2C．a ≤ b D． a <b，且 a2．否认“至多有两个解”的说法中，正确的选项是(D)A ．有一个解B．有两个解C．起码有两个解D．起码有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD 也是异面直线”的过程概括为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，因此AB、 CD共面，这与AB、 CD是异面直线矛盾；②因此假定错误，即直线AC、 BD也是异面直线；③假定直线AC、 BD是共面直线．则正确的序号次序为(B)A ．①②③B ．③①②C．①③② D ．②③①分析：联合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若 |a－ 1|＋ |b－ 1|＝ 0，则 a＝ b＝ 1”用反证法证明时应假定为________．分析：“a＝ b＝ 1”的反面是“a≠1或 b≠1”，因此设为a≠1或 b≠1.答案： a≠1或 b≠1能力提升5．以下命题不适适用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条订交直线垂直的两条直线必订交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线相互均分D．已知 x， y∈ R，且 x＋ y＞ 2，求证： x，y 中起码有一个大于 1.分析：选项 A 中命题条件较少，不足以正面证明；选项 B 中命题能否认性命题，能够反证法证明；选项 D 中命题是起码性命题，能够反证法证明．选项 C 不适适用反证法证明．故选 C.6．设 a、b、c∈R＋，P＝ a＋ b－ c，Q＝ b＋ c－a， R＝ c＋ a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的 (C)A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析：第一若 P、Q、R 同时大于零，则必有PQR>0 建立．其次，若 PQR>0，且 P、Q、R 不都大于 0，则必有两个为负，不如设P<0，Q<0，即 a＋b－ c<0，b＋ c－ a<0，∴ b<0 与b∈ R＋矛盾，故 P、Q、R 都大于 0.应选 C.7．已知数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式分别为a n＝ an＋ 2，b n＝ bn＋ 1(a，b 是常数，且 a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应同样的项有________个．分析：假定存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n＝b n，由题意 a>b， n∈N *，则恒有 an＞ bn，进而 an＋ 2＞bn＋ 1 恒建立，因此不存在n 使 a n＝ b n.答案： 08．有以下表达：①“ a>b”的反面是“a<b”；② “x＝ y”的反面是“ x>y 或 x<y”；③ “三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内” ；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角” ．此中正确的表达有__________( 填序号 ) ．分析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y 或 x<y”，因此②正确；“a>b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角” 的反面是“三角形起码有两个钝角”．因此这三个都错．答案：②9．假如非零实数 a ， b ，c 两两不相等，且2＝1＋1不建立．2b ＝ a ＋ c.证明： b a c证明：假定 2＝1＋ 1建立，则2＝ a ＋ c ＝2b ，∴ b 2＝ ac.b acb ac ac又∵ b ＝ a ＋ c ，∴ a ＋ c 2 2 2 22 2＝ac ，即 a ＋ c ＝ 2ac ，即 (a － c) ＝ 0，∴ a ＝ c ，这与 a ，b ， c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋ 1c 不建立．x x － 2 10．已知函数f(x)＝ a ＋x ＋ 1(a>1)．(1)证明：函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)＝ 0 没有负实根．证明： (1)任取 x 1， x 2∈ (－ 1，＋ ∞)，不如设 x 1<x 2，则 x 2－ x 1>0 ， ax 2－ x 1>1，且 ax 1>0.因此 ax 2 －ax 1＝ ax 1 (ax 2－ x 1－ 1)>0. 又由于 x 1＋1>0 ， x 2＋ 1>0，因此 x 2－ 2－ x 1－ 2x 2＋ 1x 1＋ 1（ x 2－ 2）（ x 1＋ 1）－（ x 1－ 2）（ x 2＋ 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）3（ x 2－ x 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）>0.x 2－ 2 x 1－ 2于是 f(x 2)－ f(x 1)＝ax 2－ ax 1＋ x 2＋ 1－x 1＋1>0，故函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数． (2)设存在 x 0<0(x 0≠－ 1)知足 f(x 0)＝ 0，则 ax 0＝－x 0 －2x 0 .＋1又 0<ax 0<1，因此 0<－x 0－ 21＋ 1<1，即 2<x 0<2.x 0与假定 x 0<0 矛盾，故 f(x)＝ 0 没有负实根．。

高中数学人教A版选修1-2 第二章推理与证明 2.2.2反证法【学案】

课题：2.2.2反证法
课标转述：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法—反证法；了解反证法的思考过程、特点。

学习目标：
1、通过学习P42页内容，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
2、通过对例1、例2的讨论学习，了解反证法的思考过程、特点. 学习重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
学习过程：
一、复习准备：（小组合作完成）
提问：将9个球分别染成红色和白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。

你认为真确么？为什么？（口头展示）
二、新知探索
个人精读反证法的概念并记忆：
三、例题解析：（个人思考后小组讨论）
例1、已知0≠a ，证明x 的方程b ax =有且只有一个根。

例2、已知直线b a ,和平面α，如果αα⊂⊄b a ,，且a ∥b ，求证：a ∥α
四、巩固练习：（个人完成，小组评改，课堂展示）
1、证明：一定是锐角。

是直角，则中，若在B C ABC ∠∠∆.
2、求证：，2，3，5不可能成等差数列.
3、用反证法证明：如果.012,2
12≠-+>
x x x 那么
五、本节小结：（从知识与方法，例题与练习方面总结）
六、延伸提高：
已知(01)a b c ∈，，，．求证：(1)(1)(1)a b b c c a ---，，不能同时大于14．
七、作业：P 44 A 组3题
补充作业：.21,1.2,0中至少有一个小于试证：且、已知x y y x y x y x ++>+>。

高一数学 2.2.2《反证法》教案(新人教A版选修1-2)

§2.2.2反证法一、教学目标：1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

2、过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：了解反证法的思考过程、特点三、教学难点：反证法的思考过程、特点四、教学过程:（一）导入新课：1、复习综合法和分析法的思考过程和特点。

2、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法。

3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。

你能解释这种现象吗？学生尝试用直接证明的方法解释。

采用反正法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．（二）推进新课1、反证法的特点：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2、例题讲解：例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。

证明：因为||a b ,所以经过直线a , b 确定一个平面β。

因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=.下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.例2、求证：2不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n m n=，从而有m =, 因此，222m n =，所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有2242k n =，即所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．注：正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。

高中数学优质教案反证法

2.2.2 反证法一、教学目标1、知识目标：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.2、能力目标：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.3、情感、态度与价值观目标：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机.二、教学重点.难点重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题.难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据.三、学情分析反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.四、教学方法探析归纳，讲练结合五、教学过程教学过程：复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效.就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.分析归纳，抽象概括通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.（2）步骤反证法证题的基本步骤：1．假设原命题的结论不成立；（假设）2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.知识应用，深化理解例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障(1)互补的两个角不能都大于90°.(2)△ABC中,最多有一个钝角(3)c b a ,,中至少有一个是正数例2：已知三个正数a ，b ， c 成等比数列，但不成等差数列，求证：c b a ,,不成等差数列.【设计意图】：本例是否定性命题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例例3:用反证法证明关于x 的方程0)1(,0344222=+-+=+-+a x a x a ax x ，0222=-+a ax x ，当23-≤a 或1-≥a 时，至少有一个方程有实数根. 【设计意图】：本例是“至少”“至多”等存在性问题.从正面证明，需要分成多种情形讨论，而从反面证明，只要研究一种或少数几种情形.故考虑采用反证法.例4、求证：方程32=x中有且只有一个根.【设计意图】：本题是证明唯一性问题.需要证明两个方面，一是存在性；二是唯一性.当证明的结论中含“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式时，由于假设结论易导出矛盾，故采用反证法证明其唯一性往往比较简单.六、当堂检测1．否定下列命题的结论：（1）在⊿ABC 中如果AB=AC ，那么∠B=∠C. .（2）如果点P 在⊙O 外，则d>r （d 为P 到O 的距离，r 为半径）（3）在⊿ABC 中，至少有两个角是锐角.（4）在⊿ABC 中，至多有只有一个直角.2．选择题：证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。

2.2.2 反证法教案-高二数学人教A版选修1-2

[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计《反证法》教学设计第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》.“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。

推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。

这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。

也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。

但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。

究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。

由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。

第三部分：教学目标设置(1)知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

(2)过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。

让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

(3)情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。

核心素养：逻辑推理能力第四部分：重点难点分析重点：1、理解反证法的概念。

人教A版高中数学选修1-2课件2.2.2

解析：因为小于的否定是不小于，所以应填 ∠BAP＝∠CAP和∠BAP＞∠CAP. 答案：∠BAP＝∠CAP ∠BAP＞∠CAP
8．完成下面的反证法证题的全过程．已知：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个全排列．求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则______①______均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________②________ ＝________③________ ＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明，p为偶数．
跟踪训练
3．求证：方程2x＝3有且只有一个根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程至少有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．
假设方程2x＝3有两个根x1，x2(x1≠x2)，则2x1＝3， 2x2＝3，两式相除得，2x1－x2＝1，如果x1－x2＞0，则2x1－x2 ＞1，这与2x1－x2＝1相矛盾；
11．已知 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b ＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，得a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，即a＋b＋c>0，与a＋b＋c≤0矛盾， ∴a，b，c中至少有一个大于0.
(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题．
使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前提，常见“反设词”如下：
原＝＞＜

人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法教学设计

人教版高中选修(B版)2-22.2.2反证法教学设计教学目标•能够理解反证法的基本思想和特点•能够在解决问题时灵活运用反证法进行推理•能够掌握常见的反证法证明方法教学重点•反证法的基本思想和特点•反证法在数学中的应用•常见的反证法证明方法教学难点•反证法的具体运用•反证法证明的层层递进教学内容1.反证法的基本思想和特点–反证法的定义和基本特点介绍–通过反证法引出课堂问题并进行讨论，引导学生理解反证法的基本思想2.反证法在数学中的应用–反证法在等式证明中的应用–反证法在不等式证明中的应用3.常见的反证法证明方法–柿子法证明–最大化误差证明–原命题与反命题结合证明教学过程1.热身–回顾上节课所学知识：直接证明法、归纳证明法–引出课题：反证法2.讲解–介绍反证法的定义和基本特点，通过例子引导学生理解反证法的基本思想–介绍反证法在等式证明中的应用，通过例子引导学生掌握等式证明中的常用反证法方法–介绍反证法在不等式证明中的应用，通过例子引导学生掌握不等式证明中的常用反证法方法3.演示–指导学生进一步理解反证法的应用，通过实例演示反证法证明过程，强化学生认识和运用常见的反证法证明方法的能力4.练习–出示一些数学证明题目，让学生采用反证法的方法进行证明–学生们自主设计，采用反证法的方法证明一些有趣的数学问题，以培养学生的创造性思维能力5.总结–梳理反证法的基本思想和常见证明方法，强化学生对反证法的理解和应用6.作业–布置一些数学证明作业，让学生练习反证法的应用教学评价1.教师评价–通过学生作品的收集，对学生的反证法理解和运用能力进行评价–在教学过程中定期对学生进行课堂练习，了解学生的掌握情况2.学生评价–对学生自己的课堂表现进行自我评价，提高学生的学习自觉性–对学生的作业进行成绩评价，激励学生去认真对待学习教学反思1.教师反思–在反证法知识的讲解中，要注意把握好知识点的引入和引出，让学生更好地吸收和理解知识–在作业时，要设计适合学生能力水平的问题，让学生在巩固基础的同时，逐步提高自己的水平，激发学生的学习兴趣和学习动力2.学生反思–学生要认真听讲，对反证法的基本思想和技巧有清晰的认识，掌握复杂证明的方法–在练习和课后作业中，加强反证法的练习，培养自己的思维能力，提高自己的数学水平。

人教新课标版数学高二-人教选修1-2学案设计反证法

2.2.2 反证法问题导学一、用反证法证明否定性命题活动与探究1已知f(x)＝a x＋21xx-+(a＞1)，证明方程f(x)＝0没有负根．迁移与应用设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1．当要证的结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明直线异面，可以先假设它们共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．二、用反证法证明“至多”“至少”问题活动与探究2若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．迁移与应用若x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：1yx+与1xy+中至少有一个小于2．(1)结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式或直接从正面入手难以寻觅突破口的问题，宜考虑使用反证法．(2)要想得到与原命题相反的判断，必先弄清原命题的含义，即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大)，然后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论，从这些结论中把原命题所含的结论剔除，就得到原命题的相反判断．三、用反证法证明“唯一”问题活动与探究3已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：过a，b，m有且只有一个平面．迁移与应用过平面α内的一点A 作直线a ，使得a ⊥α，求证：直线a 是唯一的．1．当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了．2．用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，再灵活运用．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)间接证明 (2)不成立原命题成立 (3)已知条件假设定义、定理、公理、事实预习交流证明：假设a 不是偶数，则a 一定是奇数．设a ＝2n ＋1(n 是整数)，则a 2＝(2n ＋1)2＝4n 2＋4n ＋1，因为4(n 2＋n )是偶数，所以4(n 2＋n )＋1是奇数，即a 2为奇数，这与已知a 2是偶数相矛盾．故假设不成立，所以a 也是偶数．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：证明：假设x 0是f (x )＝0的负根，则x 0＜0且x 0≠－1且0xa ＝－x 0－2x 0＋1，由0＜0xa ＜1，得0＜－x 0－2x 0＋1＜1，解得12＜x 0＜2，这与x 0＜0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负根．迁移与应用证明：假设a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝1．因为ad －bc ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0，即(a ＋b )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＋(b ＋c )2＝0，所以a ＋b ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0，b ＋c ＝0，则a ＝b ＝c ＝d ＝0，这与已知条件ad －bc ＝1矛盾．故假设不成立，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1．活动与探究2 思路分析：结论中含有词语“至多”，宜采用反证法，注意“至多有一个”的否定是“至少有两个”．证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)＜f (β)．这与假设f (α)＝0＝f (β)矛盾，所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．迁移与应用证明：假设1＋y x 与1＋x y 都大于等于2，即1＋y x ≥2，1＋xy ≥2．因为x ＞0，y ＞0，所以1＋y ≥2x ①，1＋x ≥2y ②．①＋②得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y ＞2矛盾，所以假设不成立，所以1＋y x 与1＋xy中至少有一个小于2．活动与探究3 思路分析：首先证明过a ，b ，m 有一个平面α，再假设过a ，b ，m 还存在平面β异于α，从而得出矛盾，结论得证．证明：∵a ∥b ，∴过a ，b 有一个平面α．又m a ＝A ，m b ＝B ， ∴A a ，B b ，∴A α，B α．又A m ，B m ，∴mα．即过a ，b ，m 有一个平面α．假设过a ，b ，m 还有一个平面β异于平面α．则aα，bα，aβ，bβ，这与a ∥b ，过a ，b 有且只有一个平面相矛盾．因此，过a ，b ，m 有且只有一个平面．迁移与应用证明：假设这样的直线不唯一，则过点A 至少还有一条直线b ，使得b ⊥α． ∵直线a ，b 是相交直线， ∴直线a ，b 可以确定一个平面β．设α和β相交于过点A 的直线c ． ∵a ⊥α，cα，∴a ⊥c ．同理可得b ⊥c ．这样在平面β内，过点A 就有两条直线垂直于c ，这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾，故假设错误，从而这样的直线a 是唯一的．当堂检测1．实数a ，b ，c 不全为0是指( )． A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 至少有一个为0 C ．a ，b ，c 至多有一个为0 D ．a ，b ，c 至少有一个不为0答案：D 解析：“a ，b ，c 不全为0”是“a ＝0，b ＝0，c ＝0”的否定，因此应为a ，b ，c 至少有一个不为0．2．用反证法证明命题“如果a ＞b 33a b ( )．A 3a 3b 成立B 3a 3b 成立C 3a 3b 3a 3b 成立D 3a 3b 3a 3b 成立答案：C3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是()．A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至少有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°答案：B解析：三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②5．下列叙述正确的有__________．(填序号)①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．答案：②解析：①不正确．“a＞b”的反面是“a≤b”；②正确；③不正确，原命题的反面漏掉了“三角形的外心在三角形的边上”；④不正确，原命题的反面为“最少有两个钝角”．。

人教版高中数学选修1-1第一章1.1反证法教案2

反证法[教学目的]使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.[教学过程]一、引入古希腊哲学家是怎样觉察到自己的脸给涂黑了的？答：为了方便，用甲、乙、丙分别代表三个科学家，并不妨设甲已发觉自己的脸给涂黑了.那么甲这样想：“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑，如果我的脸没被涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪.因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了.然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我.由此可知，我的脸也给涂黑了.这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了.简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面—没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了.因此这是一种间接的证明方法.显然这种证明方法也是不可缺少的.像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法“.我们证明数学命题，一般多用直接证法[就是直接从命题的题设(已知部分)出发，经过推理，推出命题的结论（求证部分）正确] .但有时用直接证法不易实现，则可采用间接证法，如反证法就是其中的一种，下面我们把上述问题变成数学上的叙述.二、学习、讲解新课⒈什么是反证法？要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的. 即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法.例如，在上述例子中，要证明的结论是“甲的脸也给涂黑了”.在证明这个结论时，是先提出与结论相反的假设：“甲的脸没被涂黑”，然后根据乙对丙的笑不感到奇怪这个事实（本来由“甲的脸没被涂黑”应推出“乙对丙的笑应感到奇怪”），推导出这个与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立.关于反证法，实际上我们在初中学习平行线时，就早已遇到过了.我们知道，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.我们学过了平行公理：“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”.下面我们用反证法来证明它的一个推论：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.已知：如图，AB∥EF，CD∥EF，求证：AB∥CD.证明：假设AB不平行于CD，则AB与CD就要交于一点，设交点为P.∵AB∥EF，CD∥EF，于是经过点P就将有两条直线AB和CD都与EF平行，根据平行公理，这是不可能的.∴AB与CD 不能相交，只能平行.以上例子说明，无论是在日常生活中还是在数学中，都经常应用反证法.而且在某些情形下它还是一种比较简捷的证明方法.⒉反证法的主要步骤仔细分析上述问题不难看出，运用反证法时，其主要步骤可以概括为：否定—推理—否定—肯定，四个步骤，即⑴否定结论—假设命题的结论不对，即肯定结论的反面成立；⑵推出矛盾—由结论的反面（称为“暂时假设”）出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾；⑶否定假设—由正确推理导出了矛盾，说明“暂时假设”不对；为什么根据这个矛盾就可以断定原来的假设错了呢？因为在人们的思维中，有这样一个规律：在同一时间内，对于同一个对象的两个相互矛盾的思想，不可能都是对的，无论如何至少有一种是错误的.如一个说今天是星期一，另一个说今天是星期二，显然这两个说法不可能都对，至少有一个说法是错误的，因为对同一天来说不可能又是星期一，又是星期二.这个规律在逻辑学中叫做矛盾律.⑷肯定结论—由于否定结论是不对的，于是肯定结论成立.为什么由否定结论是不对的，便可肯定结论成立呢？这是因为在人们的思维过程中，还要遵守这样一个规律：如果一种思想肯定某种东西，而另一种思想却断然否定这同一种东西，那么在这两种思想中必然有一种是正确的，而另一种是错误的，即若肯定是对的，那么否定就是错误的；若否定是正确的，那么肯定就是错误的.在这肯定与否定之间不会再有第三种解决的办法.如关于同一个时间，一个说现在是12点正，另一个说不，不是12点正，那么或者第一种说法是对的，或者第二种说法是对的；又如，这张纸是白的，不，这张纸不是白的，那么或者纸是白的对，或者纸不是白的对，不可能有第三种解答.这个规律在逻辑学中叫做排中律.在上述四步中，关键是第二步，即“由‘暂时假设’推出矛盾”，怎样导出矛盾？通常有以下几种情况：①推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；②推出与已知条件相矛盾的结论；③推出与“暂时假设”相矛盾的结论；④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.⒊例题巩固，反馈矫正例1（P 32例3）用反证法证明：如果a>b>0，那么b a >. 证明：假设a 不大于b ，则或者a <b ,或者a =b .∵a>0，b>0，∴a <b ⇒a a <b a 与a b <b b ⇒ab a <与b ab <⇒a<b ；a =b ⇒a=b.这些都同已知条件a>b>0矛盾，∴b a >.例2（P 32例4）用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于P ，且AB 、CD 不是直径.求证：弦AB 、CD 不被P 平分.分析：假设弦AB、CD被P平分，连结OP后，可推出AB、CD都与OP垂直，则出现矛盾.证明：假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾. ∴弦AB、CD不被P平分.练习：1，2.练习：课本P33提示：1.设b2-4ac≤0，则方程没有实数根，或方程有两个相等的实数根，得出矛盾.2.设∠B≥900，则∠C+∠B≥1800，得出矛盾.三、小结本节主要学习了反证法的基本原理及其四个步骤.它的四个步骤实则是两大阶段，前三步是第一阶段，它是以矛盾律为依据，采用了一种特殊方法—先假设论题A的反面为真，然后进行推理，推出一个与已知的事实相矛盾的结果，从而说明A的反面是谬误的；于是进入第二阶段，它是根据排中律说明，既然A的反面是谬误的，那么论题A就一定是正确的，至此，论题得证.四、布置作业(一)复习：课本内容，熟悉巩固反证法的原理和步骤.(二)书面：课本P习题1.7：5.33-34补充题：⒈若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.⒉试证：一个命题与它的逆否命题是等价的.提示：5.已知∆ABC中，AB≠AC，设∠B=∠C，则AB=AC，得出矛盾.补充题：⒈假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数),由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,∴a能被2整除.⒉分析：所谓一个命题与它的逆否命题是等价的，是说这两个命题同真、同假.即有一个为真，二者都真；有一个为假，二者都假.因此，这个题要分以下四种情况来证明.①已知：命题“若有A，则有B”为真.求证：它的逆否命题“若无B，则无A”也真.证明：假设“若无B，则无A”是假的，那么，‘若无B，则有A’就是真的，又已知‘若有A，则有B’，∴得‘若无B，则有A，若有A，则又有B’，即若无B，则又有B.这是一个同时无B又有B的自相矛盾的结果，∴命题“若无B，则无A”也真的.②同理可证：如果“若无B，则无A”为真，那么“若有A，则有B”也真.（请自己完成）③已知：命题“若有A，则有B”为假.求证：它的逆否命题“若无B，则无A”也假.证明：假设“若无B，则无A”是真的，那么，由②知‘若有A，则有B’也是真的，这个结果与已知条件“若有A，则有B”为假相矛盾，∴命题“若无B，则无A”是假的.④同理可证：如果“若无B，则无A”为假，那么“若有A，则有B”也假.综上所述，此题证毕.(三)思考题：求证：世界上至少有两个人的头发根数相等.答：这一命题若用直接证法，就应该把全世界许多人的头发数一数，然后进行比较，当然这是很难做到的.于是我们考虑用反证法.假设世界上任何两个人的头发根数都不相等，那么我们可以按照头发根数将人编号：秃顶的编为0号，一根头发的编为1号，两根头发的编为2号，“三毛”编为3号……由于全世界的人口已超过50亿，所以一定有人的编号大于50亿，假定中国的李四就是其中的一个人.但根据常识，人的头皮（能长头发的部位）的面积小于103cm2，并且每平方厘米的头发根数都小于103 103=106，即任何人的编号都应小于106，而106这个数远远小于50亿，这就与李四的编号大于50亿矛盾，所以“世界上至少有两个人的头发根数相等”成立.(四)预习：课本1.8.日常生活中使用反证法的例子：甲说：“刚才没有下大雨.”乙说：“何以见得？”甲说：“如果下过大雨，地上就要很湿，现在你看地上并不湿，可见刚才没有下过大雨.”这个例子中，要证明的结论是“刚才没有下过大雨”.在证明这个结论时，是先提出与结论相反的假设：“如果刚才下过大雨”，然后根据地上不湿的实际情况，推导出这个与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立.。

人教版高中数学反证法教案

人教版高中数学反证法教案
教学内容：反证法
教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和原理；
2. 能够熟练运用反证法证明数学命题；
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。

教学重点：反证法的基本原理和运用。

教学难点：运用反证法证明数学命题。

教学准备：教案、黑板、粉笔、教学课件等。

教学过程：
Step 1：导入新知识（5分钟）
教师简单介绍反证法的基本概念和原理，引起学生对反证法的兴趣。

Step 2：学习反证法（15分钟）
教师通过具体案例，详细讲解反证法的基本原理和运用方法，引导学生理解反证法的逻辑推理过程。

Step 3：练习应用（20分钟）
教师设计一些练习题，要求学生用反证法证明数学命题，让学生在实践中掌握反证法的运用技巧。

Step 4：总结回顾（5分钟）
教师对本节课的内容进行总结回顾，并再次强调反证法的重要性和实际应用价值。

Step 5：作业布置（5分钟）
布置相关作业，加深学生对反证法的理解和掌握程度。

教学反思：
本节课通过简单易懂的方式，引导学生了解反证法的基本原理和运用方法，培养了学生的逻辑思维能力和数学推理能力。

在后续的教学中，应多加练习，提高学生对反证法的应用能力。

人教版高中数学教案-反证法

2. 2.2反證法課前預習學案一、預習目標：使學生瞭解反證法的基本原理；掌握運用反證法的一般步驟；學會用反證法證明一些典型問題.二、預習內容：提出問題：問題1：桌面上有3枚正面朝上的硬幣，每次用雙手同時翻轉2枚硬幣，那麼無論怎麼翻轉，都不能使硬幣全部反面朝上。

你能解釋這種現象嗎？學生嘗試用直接證明的方法解釋。

採用反證法證明：假設經過若干次翻轉可以使硬幣全部反面向上，由於每枚硬幣從正面朝上變為反面朝上都需要翻轉奇數次，所以 3 枚硬幣全部反面朝上時，需要翻轉 3 個奇數之和次，即要翻轉奇數次．但由於每次用雙手同時翻轉 2 枚硬幣， 3 枚硬幣被翻轉的次數只能是2 的倍數，即偶數次．這個矛盾說明假設錯誤，原結論正確，即無論怎樣翻轉都不能使3 枚硬幣全部反面朝上．問題2：A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。

則C必定是在撒謊，為什麼？分析:假設C沒有撒謊, 則C真.那麼A假且B假;由A假, 知B真. 這與B假矛盾.那麼假設C沒有撒謊不成立;則C必定是在撒謊.推進新課在解決某些數學問題時，我們會不自覺地使用反證法反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。

三、提出疑惑疑惑點疑惑內容課內探究學案一、學習目標（1）使學生瞭解反證法的基本原理；（2）掌握運用反證法的一般步驟；（3）學會用反證法證明一些典型問題.二、學習過程：例1、已知直線,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求證||a α。

解析：讓學生理解反證法的嚴密性和合理性；證明：因為||a b ,所以經過直線a , b 確定一個平面β。

因為a α⊄，而a β⊂，所以 α與β是兩個不同的平面．因為b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=.下麵用反證法證明直線a 與平面α沒有公共點．假設直線a 與平面α有公共點P ，則P b αβ∈=，即點P 是直線 a 與b 的公共點，這與||a b 矛盾．所以 ||a α.點評：用反證法的基本步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；第二步作出與所證不等式相反的假定；第三步從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；第四步斷定產生矛盾結果的原因，在於開始所作的假定不正確，於是原證不等利變式訓練1.求證：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能互相平分.例2、求證：2不是有理數例3、設二次函數q px x x f ++=2)(，求證：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一個不小於21. 解析：直接證明)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一個不小於21.比較困難，我們應採用反證法證明：假設)3(,)2(,)1(f f f 都小於21，則 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由絕對值不等式的性質，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。

高中数学(人教A选修1-2)课件：2.2.2 反证法

2.2.2 反证法
问 1.反证法的定义是什么?有什么特点?
题 2.利用反证法证题的关键是什么?步骤是
引什么?
航
反证法的定义及证题的关键错误
不成立原命题成立
假设
已知条件定理公理事实
假设
定义
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法. ( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理. ( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾. ( )
【解析】1.选C.由反证法的定义知,可把①②③作为条件使用,而④原命题的结论是不可以作为条件使用的. 2.选A.“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根.”故选A.
【题型示范】
类型一用反证法证明否定性命题
【典例1】
(1)(2014·广州高二检测)用反证法证明:“若方程ax2+bx+c=0,且a,b,c都是奇数,
x)(2-y)(2-z)>1,
①
由于0<x<2,所以0<x(2-x)≤
=1,
同理0<y(22-x)(2-y)(2-z)≤1,
证明.
(2)用反证法证明命题“a,b∈N,如果ab可被5整除,那么a,b
至少有一个能被5整除”,则假设的内容是
.
(3)用反证法证明命题“如果a>b,则 ”时,假设的
内容是
.
3 a 3 b
【解析】(1)当直接证明比较困难时,可以采用反证法,本题即属于此类型,需用反证法证明比较合适. 答案:反证法 (2)“至少有一个”的否定是“一个也没有”,即a,b至少有一个能被5整除的否定是a,b都不能被5整除. 答案:a,b都不能被5整除