利用导数证明不等式50题(学生版)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1） ，其中 ；
（2） ．
5．（本小题满分12分）已知函数 .
（1）若函数满足 ,且在定义域内 恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数 在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当 时，试比较 与 的大小.
6．已知 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若关于 的方程 有实数解,求实数 的取值范围；
（2）当 且 时,求证: .
22．已知函数 ， ，（ ）．
（1）求函数 的极值；
（2）已知 ，函数 ， ，判断并证明 的单调性；
（3）设 ，试比较 与 ，并加以证明．
23．已知 ， ，
（1）若对 内的一切实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）当 时，求最大的正整数 ，使得对 （ 是自然对数的底数）内的任意 个实数 都有 成立；
利用导数证明不等式
1．（本小题满分12分）已知函数 （ ）．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围（ 为自然常数）；
(3)求证 （ ， ）．
2．（本小题满分10分）（1）设 ，试比较 与 的大小；
（2）是否存在常数 ，使得 对任意大于 的自然数 都成立？若存在，试求出 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
(3)求证： ×…× < (n≥2，n∈N*)．
11．已知函数
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值；
(2)求证函数 在 上为单调增函数；
(3)设 ， ，且 ，求证： ．
12．设函数 的定义域是 ,其中常数 .
(1)若 ,求 的过原点的切线方程.
(2)当 时,求最大实数 ,使不等式 对 恒成立.
（Ⅰ）判断函数F(x)＝ 在(0，＋∞)上的单调性；
（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．
18．已知函数 ，其中 是自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数 对任意 满足 ，求证：当 时， ；
（Ⅲ）求证： （其中 ，e是自然对数的底数）．
28．（本小题满分14分）（注意：仙中、一中、八中的学生三问全做，其他学校的学生只做前两问）
已知函数
（Ⅰ）若 ，试确定函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；
（Ⅲ）设函数 ，求证： ．
29．（本Hale Waihona Puke Baidu满分16分）已知函数 为实常数）．
（Ⅱ）当 时，记 ，过点 是否存在函数 图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若 是使 恒成立的最小值，对任意 ，
试比较 与 的大小(常数 ).
27．（本小题满分14分）已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，函数 图象上的点都在 所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（3）当 时，证明不等式 .
9．已知函数 .
（1）证明： ；
（2）证明： .
10．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2 (f′(x)是f(x)的导数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；
（3）当 , 时,求证： ．
7．已知函数 在 处取得极值.
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的方程 在区间 上恰有两个不同的实数根,求实数 的取值范围；
（3）证明:对任意的正整数 ,不等式 … 都成立.
8．已知函数 （ ）
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 在 处取得极值，不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（1）试讨论 在区间 上的单调性；
（2）当 时，曲线 上总存在相异两点 ， ，使得曲线 在点 ， 处的切线互相平行，求证： .
（I）当 时，求函数 在 上的最小值；
（Ⅱ）若方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）证明：
（参考数据： ）
30．（本题满分12分）已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称；
证明：当 时，
（3）如果 且 ，证明
31．（本小题满分12分）已知函数 （ ）．
（3）求证： ．
24．已知函数 的最小值为0，其中 。
（1）求a的值
（2）若对任意的 ，有 成立，求实数k的最小值
（3）证明
25．已知函数 ，
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若不等式 在区间（0,+ 上恒成立，求 的取值范围；
（3）求证：
26．（本题满分14分）
已知函数 ( )， .
（Ⅰ）当 时，解关于 的不等式： ；
（Ⅲ）若 ，且 ，求证：
19．已知函数
（1）当 时，试讨论函数 的单调性；
（2）证明：对任意的 ，有 .
20．已知函数 ( 是常数)在 处的切线方程为 ，且 .
（Ⅰ）求常数 的值；
（Ⅱ）若函数 ( )在区间 内不是单调函数，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）证明: .
21．已知函数 （ 且 ）.
（1）当 时，求证: 在 上单调递增；
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a＝1，证明：当x>1时，f(x)< x2－ － .
16．已知 为实常数，函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个不同的零点 ；
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求证： 且 .（注： 为自然对数的底数）
17．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞ ．
(3)证明当 时,对任何 ,有 .
13．函数 .
（1）令 ，求 的解析式；
（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）证明： .
14．已知 ．
（1）若 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
（2）若 ,求证：当 时， 恒成立；
（3）利用（2）的结论证明：若 ，则 .
15．设函数f(x)＝lnx＋ x2－(a＋1)x(a>0，a为常数)．
3．（本小题满分14分）
已知函数 （其中 ，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．
(Ⅰ)当 时，求函数 的极值；
(Ⅱ)若 恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)求证：对任意正整数n，都有 ．
4．（本小题满分14分）已知函数 ， ， 其中， 是自然对数的底数．函数 ， ．
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）将 的全部零点按照从小到大的顺序排成数列 ，求证：
（2） ．
5．（本小题满分12分）已知函数 .
（1）若函数满足 ,且在定义域内 恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数 在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当 时，试比较 与 的大小.
6．已知 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若关于 的方程 有实数解,求实数 的取值范围；
（2）当 且 时,求证: .
22．已知函数 ， ，（ ）．
（1）求函数 的极值；
（2）已知 ，函数 ， ，判断并证明 的单调性；
（3）设 ，试比较 与 ，并加以证明．
23．已知 ， ，
（1）若对 内的一切实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）当 时，求最大的正整数 ，使得对 （ 是自然对数的底数）内的任意 个实数 都有 成立；
利用导数证明不等式
1．（本小题满分12分）已知函数 （ ）．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围（ 为自然常数）；
(3)求证 （ ， ）．
2．（本小题满分10分）（1）设 ，试比较 与 的大小；
（2）是否存在常数 ，使得 对任意大于 的自然数 都成立？若存在，试求出 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
(3)求证： ×…× < (n≥2，n∈N*)．
11．已知函数
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值；
(2)求证函数 在 上为单调增函数；
(3)设 ， ，且 ，求证： ．
12．设函数 的定义域是 ,其中常数 .
(1)若 ,求 的过原点的切线方程.
(2)当 时,求最大实数 ,使不等式 对 恒成立.
（Ⅰ）判断函数F(x)＝ 在(0，＋∞)上的单调性；
（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．
18．已知函数 ，其中 是自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数 对任意 满足 ，求证：当 时， ；
（Ⅲ）求证： （其中 ，e是自然对数的底数）．
28．（本小题满分14分）（注意：仙中、一中、八中的学生三问全做，其他学校的学生只做前两问）
已知函数
（Ⅰ）若 ，试确定函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；
（Ⅲ）设函数 ，求证： ．
29．（本Hale Waihona Puke Baidu满分16分）已知函数 为实常数）．
（Ⅱ）当 时，记 ，过点 是否存在函数 图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若 是使 恒成立的最小值，对任意 ，
试比较 与 的大小(常数 ).
27．（本小题满分14分）已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，函数 图象上的点都在 所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（3）当 时，证明不等式 .
9．已知函数 .
（1）证明： ；
（2）证明： .
10．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2 (f′(x)是f(x)的导数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；
（3）当 , 时,求证： ．
7．已知函数 在 处取得极值.
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的方程 在区间 上恰有两个不同的实数根,求实数 的取值范围；
（3）证明:对任意的正整数 ,不等式 … 都成立.
8．已知函数 （ ）
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 在 处取得极值，不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（1）试讨论 在区间 上的单调性；
（2）当 时，曲线 上总存在相异两点 ， ，使得曲线 在点 ， 处的切线互相平行，求证： .
（I）当 时，求函数 在 上的最小值；
（Ⅱ）若方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）证明：
（参考数据： ）
30．（本题满分12分）已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称；
证明：当 时，
（3）如果 且 ，证明
31．（本小题满分12分）已知函数 （ ）．
（3）求证： ．
24．已知函数 的最小值为0，其中 。
（1）求a的值
（2）若对任意的 ，有 成立，求实数k的最小值
（3）证明
25．已知函数 ，
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若不等式 在区间（0,+ 上恒成立，求 的取值范围；
（3）求证：
26．（本题满分14分）
已知函数 ( )， .
（Ⅰ）当 时，解关于 的不等式： ；
（Ⅲ）若 ，且 ，求证：
19．已知函数
（1）当 时，试讨论函数 的单调性；
（2）证明：对任意的 ，有 .
20．已知函数 ( 是常数)在 处的切线方程为 ，且 .
（Ⅰ）求常数 的值；
（Ⅱ）若函数 ( )在区间 内不是单调函数，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）证明: .
21．已知函数 （ 且 ）.
（1）当 时，求证: 在 上单调递增；
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a＝1，证明：当x>1时，f(x)< x2－ － .
16．已知 为实常数，函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个不同的零点 ；
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求证： 且 .（注： 为自然对数的底数）
17．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞ ．
(3)证明当 时,对任何 ,有 .
13．函数 .
（1）令 ，求 的解析式；
（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）证明： .
14．已知 ．
（1）若 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
（2）若 ,求证：当 时， 恒成立；
（3）利用（2）的结论证明：若 ，则 .
15．设函数f(x)＝lnx＋ x2－(a＋1)x(a>0，a为常数)．
3．（本小题满分14分）
已知函数 （其中 ，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．
(Ⅰ)当 时，求函数 的极值；
(Ⅱ)若 恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)求证：对任意正整数n，都有 ．
4．（本小题满分14分）已知函数 ， ， 其中， 是自然对数的底数．函数 ， ．
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）将 的全部零点按照从小到大的顺序排成数列 ，求证：