2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷(理科)

2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（理科）2014.1
一. 填空题：（本题满分56分，每小题4分）
1. 计算：210lim 323
x n n →∞++= . 2. 函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 .
3. 计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
= . 4. 已知3sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示） 5. 直线()1:330l a x y ++-=与直线()2:5340l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数a = .
6. 如果()1111112312
n f n n n =++++++++ (*n N ∈)那么()()1f k f k +-共有 项. 7. 若函数()f x 的图像经过(0,1)点，则函数()3f x +的反函数的图像必经过点 .
8. 某小组有10人，其中血型为A 型有3人，B 型4人，AB 型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为 .（结论用数值表示）
9. 双曲线22
1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = . 10. 在平面直角坐标系中，动点P 和点M (-2,0)、N (2,0)满足0MN MP MN NP ⋅+⋅= ，则动点P (x ,y )的轨迹方
程为 .
11. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ,y ,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -的值为 .
12. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN yAC == ，则xy x y
+的值为 . N M G C
B A
13. 一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律”.
14. 定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b
+≥--的x 构成的区间的长度之和为 . 二. 选择题：（本题满分20分，每小题5分）
15. 直线()0,0bx ay ab a b +=<<的倾斜角是------------------------------------------------------------------------（ ）
(A) arctan a b π- (B) arctan b a π- (C) arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (D) arctan b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
16. 为了得到函数2sin ,36x y x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）
(A) 向右平移
6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13
倍（纵坐标不变） (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变） 17. 函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件是------------------------------------------------------------------（ ）
(A) 0ab = (B) 0a b += (C) 220a b += (D) a b =
18. 已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①()1,M x y y x ⎧
⎫==⎨⎬⎩⎭
； ②(){},sin 1M x y y x ==+； ③(){}2,log M x y y x ==； ④(){}
,2x
M x y y e ==-. 其中是“垂直对点集”的序号是---------------------------------------------------------------------------------------（ ）
(A) ①② (B) ②③ (C) ①④ (D) ②④
三. 解答题：（本大题共5题，满分74分）
19. （本题满分12分）
在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程22320x x -+=的两个根，且120A B +=
，求△ABC 的面积及AB 的长.
20. （本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）
已知函数()()21,65f x x g x x x =-=-+-. （1）若()()g x f x ≥，求实数x 的取值范围；
（2）求()()g x f x -的最大值.
21. （本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）
某种海洋生物身体的长度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年）
满足如下的函数关系：()41012
t f t -+=+.（设该生物出生时t =0） （1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；
（2）设出生后第0t 年，该生物长得最快，求()00*t t N ∈的值.
22. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分） 给定椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是()()
122,0,2,0F F -. （1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F += ，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为23，求P 点的坐标；
（3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ
+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m m n n 的直线的最短距离22min d a b b =+-.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明
理由.
23. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）
称满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a 为()2,3,4,n n = 阶“期待数列”：
①1230n a a a a ++++= ；②1231n a a a a ++++= .
（1）若等比数列{}n a 为()2*k k N ∈阶“期待数列”，求公比q 及{}n a 的通项公式；
（2）若一个等差数列{}n a 既是()2*k k N ∈阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n = ：
（i ）求证：12
k S ≤； （ii ）若存在{}1,2,3,,m n ∈ 使12m S =
，试问数列{}k S 能否为n 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.。