七年级数学全等三角形

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初中数学全等三角形知识点

初中数学全等三角形知识点(一)、基本概念1、“全等”的理解全等的图形需要满意：(1)外形相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;3、全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等。

(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的'性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上(二)敏捷运用定理证明两个三角形全等，需要依据已知条件与结论，仔细分析图形，精确无误的确定对应边及对应角;去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。

运用定理证明三角形全等时要留意以下几点。

1、判定两个三角形全等的定理中，需要具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在查找全等的条件时，总是先查找边相等的可能性。

2、要擅长发觉和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要擅长敏捷选择适当的方法判定两个三角形全等。

(1)已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)(2)已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)(3)已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)三、疑点、易错点1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时肯定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

切记不要弄错。

2、对全等三角形判定方法理解错误;3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。

初中数学-全等三角形

常见几种构造全等的题型
常见几种构造全等的题型一：倍长中线构造全等
例14、已知：△ABC中，AM是中线．求证：AB+AC>2AM
解析：延长AM至A'，使得A'M=AM，连接A'B
很容易得△AMC≌△A'MB，从而A'B=AC
利用三角形三边关系可得AB+A'B>AA'
B
从而得AB+AC>2AM
A
M
C
A'
例3、已知BE=CF，AB=CD， ∠B=∠C.问AF=DE吗？解析：除了已知条件以外，有重叠边EF=FE，
那么BE+EF=CF+FE，即BF=CE
A BE
D FC
例4、已知AB=AC， ∠1=∠2，AD=AE，问⊿ABD≌⊿ACE.说明理由。
解析：除了已知条件以外，有重叠角∠BAE=∠EAB， C 那么∠1+∠BAE=∠2＋∠EAB，即∠CAE=∠BAD
2020/9/15
全等三角形的性质与判定
全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
∴∠EMP=∠PNF=2∠PAE=2∠PBF，∴∠PAE=∠PBF
2020/9/15
课堂总结
1、认识并掌握全等三角形的性质与判定 2、掌握全等三角形的证明思路 3、掌握构造全等来得到相关结论的几种常见题型

初中数学全等三角形

初中数学全等三角形
目录
1. 几何基础知识
1.1 点、线、面的概念
1.2 角的概念
1.3 直线、射线、线段的区别
2. 三角形的性质
2.1 三角形的定义
2.2 三角形的内角和为180°
2.3 等边三角形、等腰三角形、直角三角形的特点
3. 三角形的分类
3.1 依据边长分类
3.2 依据角度分类
4. 三角形的全等性质
4.1 全等三角形的定义
4.2 全等三角形的性质
4.3 证明全等三角形的方法
5. 三角形全等定理
5.1 SSS全等定理
5.2 SAS全等定理
5.3 ASA全等定理
6. 全等三角形的应用
6.1 利用全等三角形证明几何定理
6.2 利用全等三角形解决实际问题
7. 总结与拓展
7.1 总结全等三角形的重要性
7.2 拓展全等三角形的相关知识
以上是目录，接下来将根据目录内容展开写作。

七年级(下)数学第11讲全等三角形的概念和性质及判定

本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单．一、全等形、全等三角形及其相关的概念（1）全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.（2）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．如下图所示：已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点) 对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ．对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与．全等三角形的概念性质和判定内容分析知识结构模块一全等三角形的概念和性质知识精讲ABCDEF- 2 -二、全等三角形的数学语言：三角形ABC 与三角形A′B′C′全等，记作△ABC ≌△A′B′C′，读作“三角形ABC 全等于三角形A′B′C′ ”．三、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等．四、全等三角形中应注意的问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等；（3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；五、画三角形：确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素： ①两角及其夹边； ②两边及其夹角； ③三边.【例1】下列说法正确的是（）A ．全等三角形是指形状相同的三角形B ．全等三角形是指面积相等的三角形C ．全等三角形的周长和面积都相等D ．所有的等边三角形都全等【例2】直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．全等【例3】如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（） A ．∠1＝∠2 B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC例题解析21ABCD【例4】下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边【例5】练习画出下列条件的三角形：（1）画,ABC ∆使40,45,4A B AB cm ∠=︒∠=︒=；（2）画,ABC ∆使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===；（3）画,ABC ∆使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=︒；（4）画,ABC ∆使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=︒．【例6】下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例7】下列说法中错误的是（）A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B ．全等三角形的公共边也是对应边C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边- 4 -【例8】如图所示，ABE ADC ABC ∆∆∆和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（） A ．80° B ．100° C ．60° D ．45°【例9】如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ∆≅∆∠=︒∠=︒=，，，，14CD cm DF cm ==，．求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长．【例10】如图，在△ABC 中，∠ A ：∠B ：∠ACB =2：5：11，若将△ABC 绕点C 逆时针旋转，使旋转前后的△A′B′C′中的顶点B′在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA′的度数．【例11】如图，已知△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交AD 于点F ，交AE 的延长线于G ，∠ACB =105°，∠CAD =10°，∠ADE =25°，求∠DFB 和∠AGB 的度数．α321AB CDEP1ABCDEFABCA′B′A BCD EF G本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应相等（SAS ）”，“两角及夹边对应相等（ASA ）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS ）”“三边对应相等（SSS ）”的两个三角形全等．【例12】如图，已知∠B =∠D ，∠1=∠2，AC =AE ，说明△ABC ≌△ADE 的理由．【例13】如图，已知∠C =∠E ，BE =CD ，说明△ABE 与△ADC 全等的理由，AB 与AD相等吗?为什么?【例14】如图，已知AD =BC ，AE =BE ．说明AC =BD ，∠C =∠D 的理由．模块二全等三角形的判定知识精讲例题解析ABCDEF21AB C DEABCDE- 6 -【例15】如图，已知AB =CD ，AD =BC ，说明∠A =∠C 的理由．【例16】如图，已知BD 是△ABC 的中线，B 、D 、E 、F 在一条直线上，且AE ∥CF ，说明△ADE 与△CDF 全等的理由．【例17】如图，已知AC ∥BD ，AC =BD ，（1）说明△AOC 与△BOD 全等的理由；（2）说明EO =FO 的理由．【例18】如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD =OE ，说明AB =AC 的理由．【例19】如图，已知AD ∥BC ，BF ∥DE ，AE =CF ．（1） △ADE 与△CBF 全等吗，为什么? （2）说明AB =CD 的理由；（3）图中有哪几对全等三角形?ABCDABC D EFABCD EFO ABCDEOABCDEF【例20】如图，已知AB =CD ，BM =CM ，AC =BD ，说明AM =DM 的理由．【例21】如图所示，AB =AC ，CE =BE ，连结AE 并延长交BC 于D ，说明AD ⊥BC 的理由．【例22】如图所示，BE 、CD 相交于O ，AB =AC ，AD =AE ，说明OD =OE 的理由．【例23】如图，线段BE 上有一点C ,以BC 、CE 为边分别在BE 的同侧作等边三角形ABC 、DCE ，连结AE 、BD ，分别交CD 、CA 于Q 、P ．（1）找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外)，并说明你的理由；（2）取AE 的中点M 、BD 的中点N ，连结MN ，试判断△CMN 的形状．ABCDMABCDE ABC DEO2121A BCDEQP ABCDEMN PQ- 8 -【例24】如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA =CB ，四边形CDEF 是正方形，连接AF 、BD ．（1）观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．【习题1】下列命题中正确的是（）A ．全等三角形的高相等B ．全等三角形的中线相等C ．全等三角形的角平分线相等D ．全等三角形对应角的平分线相等【习题2】如图，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD =7厘米，DM =5厘米，∠DAM =39°，则AN = 厘米，NM =_________厘米，∠NAB = ．随堂检测A BCDMNABCD EF【习题3】如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC //DB ，且AC =DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据____________；（2）若AC //DB ，且AE =BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据____________；（3）若AE =BF ，且CE =DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据_____________；（4）若AC =BD ，AE =BF ，CE =DF ．则△ACE ≌△BDF ，根据_______．【习题4】如图，已知△ABC ≌△ADE , ∠CAD =15°，∠DFB =90°，∠B =25°．求∠E 和∠DGB 的度数．【习题5】如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、DF ⊥AC ，且AB ∥CD ，AB =CD ．试说明：BD 平分EF ．【习题6】已知：如图，△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC ，交AC于点G ，•在GD 的延长线上取点E ，使DE =DB ，连结AE 、CD ．试说明：△AGE ≌△DAC ．ABCEDFABC D EFG ABCDE FGABCDE FG- 10 -【习题7】在∠O 的两边上分别取点A 、D 和B 、C ，连接AC 、BD 相交于P ．（1）若∠A ＝∠B ，P A ＝PB ，试说明OA ＝OB 的理由；（2）若OA ＝OB ，P A ＝PB ，试说明PC ＝PD 的理由．【作业1】如图，△ABC ≌△ABD ，C 和D 是对应顶点，若AB =6cm ，AC =5cm ，BC =4cm ，则AD 的长为_________cm ．【作业2】如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF ===∠∠，，； ③B E BC EF C F ===∠∠∠∠，，； ④AB DE AC DF B E ===∠∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组【作业3】下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边【作业4】已知△ABC ≌△DEF ，若△ABC 的周长为32，AB =8，BC =12，则DE =_______，DF =_______，EF = _______．课后作业ABC DEFABCDPOAB CDP OABCD【作业5】如图△ACE ≌△DBF ，AE =DF ，CE =BF ，AD =8，BC =2．（1）求AC 的长度；（2）说明CE ∥BF 的理由．【作业6】如图，已知△ABC ≌△AED ，AE =AB ，AD =AC ， ∠D -∠E =20°，∠BAC =60°，求∠C 的度数．【作业7】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，点C 在线段AB 上，AE 、BD 分别与CD 、 CE 交于点M 、 N ，有如下结论①△ACE ≌△DCB ；② CM =CN ；③ AC =DN ．其中正确的结论是，证明正确的结论．【作业8】如图，AD ⊥AB ，AC ⊥AE ，且AD ＝AB ，AC ＝AE ．试说明：DC ＝BE ，DC ⊥BE ．ABCDEABCD EM NABC DEGABCDEF。

七年级数学全等三角形

03
全等三角形的应用
证明线段相等
证明两条线段相等，可以通过证明这两条线段所在的两个三角形全等来实现。
常用的证明线段相等的方法有：SAS、ASA、SSS等。
在证明过程中，需要仔细分析图形的性质和已知条件，选择合适的方法进行证明。
证明角相等
02
01
03
证明两个角相等，可以通过证明这两个角所在的两个三角形全等来实现。
总结词
考察全等三角形的综合应用和推理能力
题目1
已知一个三角形中，两边及其中一边的对角相等，求证这个三角形全
等。
题目2
两个等腰三角形中，底边和一个顶角相等，求证这两个三角形全等。
题目3
两个三角形中，一个角和两个夹边相等，求证
这两个三角形全等。
综合练习题
总结词
考察全等三角形的复杂推理和综合应用能力
当两个等腰三角形中，两个等腰边和它们之间的夹角分别相等时，这两个三角形全等。
底角夹边判定条件
当两个等腰三角形中，底角和它们之间的边分别相等时，这两个三角形全等。
等边三角形全等的特殊判定条件
三边判定条件
当两个等边三角形中，三边分别相等时，这两个三角形全等。
两边夹角判定条件
当两个等边三角形中，两边和它们之间的夹角分别相等时，这两个三角形全等。
题目1
在两个三角形中，一个角和两条边分别相等，求证这两个三角形全等。
题目2
两个等腰直角三角形中，斜边和一个直角边相等，求证这两个三角形全等。
题目3
两个三角形中，三条边分别相等，求证这两个三角形全等。
THANK YOU
感谢聆听
05
全等三角形的练习题及解析

初一数学全等三角形的全章复习

小学生元旦联欢会的主持词精选4篇小学生元旦联欢会主持词篇一主持词要根据活动对象的不同去设置不同的主持词。

我们眼下的社会，各种集会的节目都通过主持人来进行串联，快来参考主持词是怎么写的吧，以下是小编为大家整理的小学生元旦联欢会主持词（精选13篇），仅供参考，希望能够帮助到大家。

小学生元旦联欢会的主持词篇二甲：尊敬的各位领导﹑老师，乙：亲爱的同学们，大家，合：晚上好！甲：我是来自2020级的小鱼。

乙：我是来自2020级的小绿。

丙：我是来自2020级的小黄。

丁：我是来自2020级的小红。

甲：新年的钟声即将敲响，时光的车轮又留下了一道深深的印痕。

满天的雪花，是飞舞的音符，以思念谱成乐章，用祝福奏出所盼。

乙：没有松风的秋，雁去长空；没有飞雪的冬，乍暖还寒。

一夜高风凋碧树，凋不了青春不灭的火焰；满地余寒露凝香，凝不住你绝美的年华。

丙：在这烛光与微笑构成的舞台，在这笑声与歌声汇成的海洋，在这永恒与温馨筑就的圣地，我们欢聚在一起。

丁：光阴茬苒，我们即将迎来新的一年。

今天大家在这里欢聚一堂，迎接元旦的曙光。

这一刻是美好的，这一刻是温馨的，这一刻是充满激情的。

甲：台历翻去最后一页，20--年已经成为历史。

回首时光年轮上又一度春秋寒暑，我们不禁感慨万千。

乙：灿烂辉煌的20--年即将向我们告别，充满希望与奋进的20--年正微笑着向我们走来。

丁：在这辞旧迎新的日子里，就让我们用热情与激情来表达我们的喜悦，传达对新一年的憧憬。

丙：今晚，就让我们踏着歌声的翅膀，向着梦想――启航！甲：现在我宣布20--年庆元旦文艺晚会，合：现在开始！甲：首先请允许我为大家隆重介绍今晚到场的领导和嘉宾，--。

乙：欢迎您的到来！丙：---。

丁：欢迎您的到来！甲：还有我们敬爱的--老师和--老师，乙：让我们用热烈的掌声来欢迎各位老师的到来！丁：今天啊，我们在开场前将会进行第一个抽奖环节的前奏！丙：没错！我们需要在场的观众拿出旁边已经为你们准备好的袋子，里面呢会有一张小纸条，请将你对20--年的新年愿望写在纸上，并写好你的姓名，待会儿会有同学去收集，我们将在晚会的最后从这些小纸条中抽出3位幸运儿，并且由主持人念出这3个新年愿望，而这3位幸运的同学也将获得奖品哦！大家快点动起来吧！甲：OK，相信你们已经写好了自己的新年愿望了吧，我们马上进入今晚的正轨了哟！乙：没错，接下来呢就让我们跟着--和--的歌声走进《下一站天后》。

初中数学《全等三角形》教案优秀6篇

课前准备全等三角形纸片、三角板、
教学过程
一、创设情境，导入新课
1.复习：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
三个角、三个边、两边一角、两角一边。
(2)到目前为止，可
2.两角和其中一角的对边。
做一做：
三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
2、把下列各式化成最简二次根式：
六、作业
教材P、187习题11、4；A组1；B组1、
七、板书设计
数学全等三角形教案篇四
教材内容分析：
本节课内容是全章学习的开篇课，也是本章学习的主线，主要介绍全等三角形的概念和性质。通过对生活中的全等图形和抽象的几何图形的观察，使学生对全等有一个感性的认识，建立对应的概念，掌握寻找全等三角形中对应元素的方法，理解全等三角形的性质，为学习判定两个三角形全等以及第十六章轴对称图形提供了必要的理论基础。
1、被开方数的因数是整数，因式是整式、
2、被开方数中不含能开得尽方的'因数或因式、
例1?指出下列根式中的最简二次根式，并说明为什么、
分析：
说明：这里可以向学生说明，前面两小节化简二次根式，就是要求化成最简二次根式、前面二次根式的运算结果也都是最简二次根式、
例2?把下列各式化成最简二次根式：
说明：引导学生观察例2题中二次根式的特点，即被开方数是整式或整数，再启发学生总结这类题化简的方法，先将被开方数或被开方式分解因数或分解因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简、
(二)新课
由以上例子可以看出，遇到一个二次根式将它化简，为解决问题创
这两个二次根式化简前后有什么不同，这里要引导学生从两个方面考虑，一方面是被开方数的因数化简后是否是整数了，另一方面被开方数中还有没有开得尽方的因数、

全等三角形教案6篇

全等三角形教案6篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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全等三角形考点汇总

全等三角形全等三角形的概念：经过翻转、平移、旋转后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形的性质：1. 对应边和对应角完全相等2. 能完全重合的顶点叫做对应顶点3. 全等三角形的周长和面积相等（反之不成立）4. 对应边上的高对应相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等三角形全等判定定理1. 三边对应相等的三角形是全等三角形（SSS 边边边）2. 两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形（SAS 边角边)3. 两角及其夹边对应相等的三角形是全等三角形（ASA 角边角)4. 两角及其一角的对边对应相等的三角形是全等三角形（AAS 角角边)5. 在一对直角三角形中，斜边及一条直角边对应相等是全等三角形（HL) 备注：1）判定三角形全等必须有一组对应边相等2）三角形全等中，两边对应相等，一角，必须是夹角才全等全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边专题一考点一全等图形识别略定义：经过翻转平移可以完全重合的图形才是全等图形考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和例题1：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（）A．30°B．45°C．60°D．135°+= 2.（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在44⨯的正方形网格中，求αβ______度．3.（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．考点三全等三角形的概念略考点四全等三角形的性质1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-12，5），过点A作AB∠x轴于B，C是x轴负半轴上一动点，D是y轴正半轴上一动点，若始终保持CD=OA，且使∠ABO与∠OCD全等，则点D坐标为__________________．2.（2022·云南昭通·八年级期末）如图，把∠ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若∥，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（）AC DEA．55°B．60°C．65°D．70°3.（2022·广西·西林县民族初中八年级期末）如图，△ABC∠∠ADE，若∠BAE=135°，∠DAC=55°，那么∠CFE的度数是_________．4.（2022·辽宁·东北育才学校七年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE∠l于E，QF∠l于F．若要△PEC 与△QFC全等，则点P的运动时间为_______．专题二全等三角形的判定（证明）考点一用SAS 证明三角形全等1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B 、C 、E 、F 共线，AB =DC ，∠B =∠C ，BF =CE ．求证：∠ABE ∠∠DCF ．考点二用ASA 证明三角形全等1.（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ，AC 和DB 相交于点O ，OA ＝OD ．(1)AB ＝DC ； (2)△ABC ∠∠DCB ．2.（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知AB DE ∥，ACB D ∠=∠，AC DE =．(1)求证：ABC EAD ≅．(2)若60BCE ∠=︒，求BAD ∠的度数．考点三用AAS 证明三角形全等1.（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∠CD ，∠ABE =∠CDF ，AF =CE ．求证：AB =CD ．考点四用SSS 证明三角形全等1.（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC 上有两点E ，F ，在线段CB 的异侧有两点A ，D ，且满足AB CD =，AE DF =，CE BF =，连接AF ；(1)B 与C ∠相等吗？请说明理由．(2)若40B ∠=︒，20∠=DFC °，AF 平分BAE ∠时，求BAF ∠的度数．2.（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．考点五用HL 证明三角形全等1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB =CD ，AE ∠BC 于E ，DF ∠BC 于F ，且BF =CE ．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．2.（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：∠ACB∠∠BDA；(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．2.（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在∠ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F 为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt∠ABE∠Rt∠CBF；(2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．全等三角形综合和常见全等模型汇总1.全等三角形中的平移模型几种常见全等三角形基本图形（平移）1.如图所示，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，求证AB=DE.2.如图，点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC，已知∠ADO=34°，∠B=67°，求∠A的度数．2.全等三角形中的轴对称模型1.如图，过等边△ABC的顶点A作线段AD，若∠DAB=20°，则∠COD的度数是（）A,100°B,80°C,60°D,40°2.在等边△ABC,点E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED。

七年级下数学北师大版三角形全等

一、全等三角形 1．判定和性质注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS例1：如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .例2：如图所示，已知正方形ABCD 的边BC 、CD 上分别有点E 、点F ，且BE ＋DF＝EF ，试求∠EAF 的度数．E ABCD EF例3.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。

（1）求证：AE=CD ，（2）若BD=5㎝，求AC 的长。

例4：如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a 的度数为例5：如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 上一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD交CD 的延长线于F 。

求证：AE=EF+BF 。

练习：F E（图14）D CB A F（图18）E DCBA一、证明题1、已知：如图5—129，△ABC 的∠B 、∠C 的平分线相交于点D ，过D作MN ∥BC 交AB 、AC 分别于点M 、N ，求证：BM ＋CN ＝MN1、如图(13)：已知AB ⊥BD, ED ⊥BD, AB=CD ,BC=DE , 请你判断AC 垂直于CE 吗？并说明理由。

七年级数学全等三角形复习

全等三角形复习一、知识点梳理及示例一重新认识“全等形”与“全等三角形”.全等形和全等三角形，其实质是“完全重合”，也就是“形状相同，大小相等”，全等三角形是全等形中的一种，因此，从这个意义上，不难得到全等三角形的性质，对应边和对应角分别相等．在这里，要特别注意“对应”的问题，当我们用“≌”表示两个三角形全等时；对应字母一定要写在对应的位置，这样便于看出对应的元素是什么。

在学习了第十四章(轴对称)后，对全等形应有一个新的认识：成轴对称的两个图形一定是全等形，只是这时两个图形的位置特殊罢了．我们在解数学中的“折叠问题”时，用全等形的性质往往是个关键．二掌握证明三角形全等的分析要领，会用综合法书写证明过程．证明三角形全等时的分析方法与步骤：(1)仔细观察图形，找出欲证的两个全等三角形已知的直接相等条件，并把已知条件标注在图上，使条件在图上一目了然．(2)注意挖掘图形中的隐含条件，如公共边(角)、对顶角、等腰(边)三角形或正方形中的等角(边)等，这些条件虽然没有直接告诉，它们却是证明三角形全等必不可少的条件。

(3)对照判定三角形全等的五种方法(SSS，SAS，ASA，AAS，HL)，看看三角形全等的条件是否具备了，如果不够，还需要找出哪些条件或创造哪些条件．有时，两个三角形全等的某些条件是必须证明的．常会遇到以下几种情况：①利用中点的定义证明线段相等；②利用角平分线的定义证明角相等；③利用垂直的定义证明角相等；④利用平行线的性质证明角相等；⑤利用三角形的内角和为180°证明角相等；⑥利用图形的和、差证明线段或角相等．经过正确分析之后，要把论证过程规X地写出来．本章要求我们能用综合法书写证明过程，这也是本章的一个重点．什么叫“综合法证明格式”?就是按照从题设(已知条件)出发，经过一步步推理论证，最后得到结论的格式来书写证明过程．例l如下图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，连接BF,DE，你能证明BF=DE吗?分析：①找出欲证的两个全等三角形：从图形及要证的结论来看，可考虑证明△BCF≌△DCE；②找出并标上已知条件：CE=CF，∠ECF=90°；③有没有隐含条件?有：BC=DC，∠BCD=90°，它们是正方形的边和角；④对照判定三角形全等的方法，还差什么条件?因为BF=DE是要证的，所以，可证∠BCF=∠DCE，而这个结论很容易证得．至此，分析过程顺利完成，书写格式如下：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∴∠BCD－∠DCF＝∠ECF－∠DCF即∠BCF＝∠DCE在△BCF和△DCE中，∵∴△BCF≌△DCE,∴BF=DE三理解“SSA”为什么不能判定两个三角形全等，防止误用SSA．在学习新课时，探究并得到了判定两个三角形全等的五种方法．并且知道判断两个三角形全等至少需要3个条件，其中至少有—个条件是边．但SSA却是个假命题，有些同学自觉或不自觉地应用它来证明三角形全等，这是不对的．例2如图，AC、BD交于E，AD=BC，∠C=∠D，试说明AC=BD.错解：在△ABD和△BAC中∴△ABD≌△BAC，∴AC=BD正确解法，在△ADE和△BCE中∴△ADE≌△BCE(AAS)∴AE=BE，DE=CE∴AE+CE=BE+DE，即AC=BDSSA为什么不能判定两个三角形全等呢?我们可以从下图中看出来，你能根据下图说明为什么吗?其实，HL中的3个条件就是SSA，为什么HL是正确的呢?这是由直角三角形的特殊性决定的．下面留一个问题请你解决，这样有助于我们更进一步地理解与掌握全等三角形的判定．探究：我们知道：“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是个假命题．请你对三个条件或三角形的形状给些必要的限制，使得具备“SSA”三个条件的两个三角形全等．四你会判定两个特殊三角形全等吗?我们课本主要研究了一般三角形全等的4种判定方法，只有“HL”，是关于特殊三角形(即直角三角形)全等的判定；课本为什么不探究特殊三角形的全等条件呢?这是因为一般的方法适用特殊，这样也是为了减少我们的学习负担，集中精力学会一般的方法．我们共同来看下面一个例子．例3.下列说法：①一边相等的两个等腰直角三角形全等；②—腰和底对应相等的两个等腰三角形全等；③周长相等的两个等腰三角形全等；④一个钝角和它的一条邻边对应相等的两个等腰三角形全等．其中，正确的说法有( )．A．0个．B．1个C．2个D．3个分析与解：①的说法中相等的这—对边，没有指明是对应腰还是对应底，如果一个是底与另一个的腰相等，则不能得到两个等腰直角三角形全等．②的说法中，一腰和底对应相等，这就有两对边相等了，第三对边是不是相等呢?当然相等了，因为第三对边是腰，也应该相等，这样就符合“SSS”了。

初中数学《全等三角形》优质课件

所以AB=DE,AC=DF,BC=EF.
F
它们的对应角分别相等，所以
∠A=∠D,∠B=∠E
∠ACB=∠DFE.
C E
D
试一试4：
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角
∵△ABC≌△DEC
∴AB=DE,AC=DC, BC=EC
∴∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠ACB= ∠DCE.
A
C D
规律四：一对最长的边是对应边一对最短的边是对应边
E B
试一试5：
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角
FF FFFFFFA
∵△ABC≌△FDE
∴AB=FD,AC=FE, BC=DE
C EEEEEEEEE ∴∠A=∠F,
∠B=∠D, ∠ACB= ∠FED.
DDDDDDDDD
B
规律五：一对最大的角是对应角一对最小的角是对应角
1、请指出下列全等三角形的对应边和对应角
形吗？你能把它分成三个全等三角形吗？四个呢？
总结：寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）两个全等三角形最大的边是对应边，
最小的边是对应边；（5）两个全等三角形最大的角是对应角，
最小的角是对应角；
作业:
1.习题1.1
2.思考：下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等三角
所以BC=DE.
4、如图,已知ΔABE≌ΔACD,且∠1=∠2, ∠B=∠C,请指出其余的对应边和对应角.
A
分析:由ΔABE≌ΔACD以及
∠1=∠2, ∠B=∠C知:
B
2
D
∠ BAE与∠CAD是对应角,

北师版七年级下册数学第4章三角形用三边关系判定三角形全等

知识点 1 判定两个三角形全等的基本事实：“边边边”
1. 只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等). ①只给一条边：
②只给一个角：
60°
60°
知1－导
可以发现按这些条件画的三角形都不能保证一定全等.
60°
2. 给出两个条件： ①一边一内角：
知1－导
30° ②两内角：
30°
30°
30°50°
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
B′
知1－导
A
C A′
C′
知1－讲
例1 如图，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC＝FE， BC＝DE，AD＝FB.试说明：△ABC≌△FDE.
导引：欲说明△ABC≌△FDE，已知AC＝FE， BC＝DE，需说明AB＝FD，然后根据 “SSS”可得结论．由AD＝FB，利用等式的性质可得AB＝FD，进而得解．
两个三角形全等的判定1：三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边边”或“SSS”. 注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理.
用符号语言表达：
在△ABC和△A′B′C′中，
AB＝ A′B′，
A∵C＝ A′C′，
B
BC＝ B′C′，
知2－讲
总结
知2－讲
在本例中，有两组相等线段，可作辅助线构造有公共边的两个三角形，利用“SSS”说明两个三角形全等．
知2－练
1 如图，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，则∠D 等于( D ) A．30° B．50° C．60° D．100°
知2－练
2 如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论： ①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝ ∠BAC；④∠B＝∠E. 其中错误的是( D) A．①② B．②③ C．③④ D．只有④

【初中数学知识点解析】构造全等三角形的五种常用方法

方法4 倍长中线法 4．如应图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD. 又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB. ∴AC＝EB. ∵AB＋BE>AE， ∴AB＋AC>2AD.
∴∠B＝∠ADG＝90°.
在△ABE与△ADG中，
方法5 截长(补短)法
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝
∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图
中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．
AB＝AD，
∠B＝∠ADG＝90°，
BE＝DG，
要点提示
在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．
常见的辅助线作法有：翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法，目的都是构造全等三角形．
方法1 翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D. 求证：∠2＝∠1＋∠C. 证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻
方法3 旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点， BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
∴△ABH≌△ADF. ∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF. ∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°. ∵BE＋DF＝EF， ∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF. 在△AEH和△AEF中，

著名机构七年级数学春季班讲义10全等三角形的判定及性质(教师)

全等三角形的判定及性质课时目标1. 理解全等三角形的概念及性质，并灵活运用；2. 掌握全等三角形的判定方法，并熟练应用于证明题.知识精要1. 全等形能够重合的两个图形叫做全等形.2. 全等三角形（1）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形.（2）两个全等三角形，经过运动后一定能够重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角.注：（1）全等三角形不一定是两个图形之间的关系，还可能是多个图形之间的关系. （2）全等图形也可以看作是把图形翻折，旋转、平移等变换而得到的图形；反过来说，两个全等图形经过这样的变换一定能够重合.3. 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等；4. 确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况（1）两角及夹边（2）两边及其夹角（3）三边（4）两角及其中一角的对边注：知道两边及其中一边的对角时，一般不能确定三角形的形状，大小.5. 全等三角形的判定判定1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等地，那么这两个三角形全等.（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS）判定2：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等地，那么这两个三角形全等.（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA）判定3：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等AAS）DBEDB判定4：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等SSS ）热身练习1. AC 与BD 交于点O ，且AB ∥CD ，AO=CO ，OB=OD ，AB=CD. 求证：△ABD ≌△ACE. 证明：在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(已知已知已知CD AB OD OB CO AO∴△ABD ≌△ACE （SSS ）2. 已知△ABD ≌△ACE ，AD=3cm ，BD=1cm ，BC=6cm ，求△ADE 的周长. 解：∵△ABD ≌△ACE∴AE=AD=3cm ，CE=BD=1cm 又∵BC=6cm ∴DE=4cm ∴ADE C ∆=10cm3. 已知△ABC ≌△DBC ，如果∠ABC=72°，∠ACB=45° （1）求∠D 的度数. （2）求∠ABD 的度数. 解：∠A=180°－72°－45°=63°∵△ABC ≌△DBC∴∠D=∠A=63°（全等三角形的对应角相等）同理：∠DBC=∠ACB=45° ∴∠ABD=72°－45°=27°4. 在水平桌面上放置了一块三角形木块，∠A=30°，∠B=90°，AC=2cm ，经过AECBDBEDBDCA运动后△ABC 到A B C '''∆的位置. （1）求ACB '∆的度数.（2）点A 的运动路线是什么图形？求出它的长度. 解：（1）60°（2）运动路线是圆弧：ππ342231=⋅⋅=l5. 已知AD=AE ，∠ADB=∠AEC ，BE=DC （1）试说明：△ABE ≌△ACD. （2）AB 与AC 相等吗？为什么？证明：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BE AEC ADB AEAD∴△ABE ≌△ACD (SAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)6. 已知AC ∥BE 且AC=BE ，点B 是AD 的中点，试说明△ABC ≌△BDF. 证明：∵AC ∥BE ∴∠A=∠EBD ∵AC=BE ，AB=BD ∴△ABC ≌△BDF （SAS ）7. 已知AD=AE ，∠ADC=∠AEBCBDA （1）△ADC 和△AEB 全等吗？为什么？（2）BD 与CE 相等吗？为什么? 解：（1）△ADC ≌△AEB 全等，证明略（ASA ）（2）∵△ADC ≌△AEB ∴AB=AC∴AB －AD=AC －AE即 BD=CE精解名题例1 △ABC ≌△DEF ，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC 的长.解：∵△ABC ≌△DEF∴∠DEF=∠ACB=180°－30°－50°=100° EC=BF=2例2 P 为∠AOB 的平分线OC 上任意一点，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，求证：OP 是EF 的垂直平分线. 证明：易证 △OEP ≌△OFP （AAS ） ∴OE=OF∴△OME ≌△OMF ∴EM=FM ，∠OME=90° ∴OP 是EF 的垂直平分线例3 在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，求证：BC=AC+AD. 证明：在BC 上截取EC=ACFBO∵CD 是∠ACB 的平分线 ∴∠DCB=∠DCA易证△DEC ≌△ACD （SAS ） ∴∠A=∠DEC=2∠B ，AD=DE ∴∠BDE=∠B ∴BE=DE=AD ∴BC=AC+AD例4 △ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角为∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连结MN ，形面一个△AMN ，求△AMN 的周长. 解：延长NC 到L ，使CL=BM ，连接DL先证BDM DCL ≅V V （SAS ） DMN DLN ≅V V （SAS ） ∴MN NL NC CL NC BM ==+=+ ∴AMN C AM AN MN =++V AM BM AN NC =+++= 2巩固练习1. 如图，△ABC ≌△ DEF ，这两个三角形的对应边是 AB 与 AC ， BC 与 DE ， CA 与 FE .ACDBA(1题图)2. △ABC≌△DEF，那么∠A=∠D3. △ABC以点B为旋转中心，A旋转到E，CDA B D CB(3题图) (4题图)4. AD，BE，CF是△ABC的高，沿AD翻折，点F与点E，点B与点C重合，那么图中全等的三角形有（ D ）A. 3对B. 5对C. 6对D. 7对5. 给定一个三角形的六个元素中的下列条件画三角形，所画的三角形的大小形状可能不唯一确定的是（ D ）A. 两角及夹边B. 两角及其中一个角的对边C. 两边及夹角D. 两边及其中一条边的对角6. 下列判断错误的是（ A ）A. 全等三角形的所有边都相等B. 全等形的周长、面积一定对应相等C. 已知三角形的两条边及其中一条边的对角，所画的三角形不一定是唯一的D．确定一个三角形至少要有一个元素是边7. 下列判断中错误的是（ C ）A. 成轴对称的两个图形全等B. 成中心对称的两个图形全等C．两个正方形一定是全等形 D. 运动后能重合的两个三角形全等8. 已知△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，EEBAED CB求∠DFB 和∠DGB 的度数. 解：∠DFB =90°，∠DGB =65°9. 已知：△ABD ≌△ACE.求证：∠EBO ≌∠DCO. 证明：∵△ABD ≌△ACE ∴∠D=∠E ，DC=BE ∵∠DOC=∠BOE ∴∠EBO ≌∠DCO （AAS ）10. 已知BE=CD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C 解：∵BE=CD∴BD=EC ∵∠ADE=∠AED ∴∠ADB=∠AEC 又∵∠B=∠C∴△ABD ≌△ACE （ASA ）自我测试1. 如图1，已知△ABC ≌ △CDA ，则对应边是 AB 和CD ，BC 和DA ， AC 和CA ，对应角是 ∠ABC 和∠CDA ，∠BCA 和∠DAC ， ∠BAC 和∠DCA .DC图2 图32. 已知ABC∆≌'''CBA∆，A与'A，B与'B是对应顶点，ABC∆的周长为10cm，AB =3cm，BC =4cm.则''BA= 3 cm，''CB= 4cm，''CA= 3 cm.3. 已知ABC∆≌DEF∆，A与D，B与E分别是对应顶点，︒=∠52A，︒=∠67B，BC =15cm，则F∠= 61°，FE = 15 cm.4. 填空题：（1）如图2，已知AC =DB，要使ABC∆≌DCB∆，需增加一个条件是AB=CD等. （2）如图3，已知ABC∆中，090=∠C，AM平分CAB∠，CM =20cm那么M到AB的距离是20cm.（3）如图4，AB =EB，∠1=∠2，∠ADE =120°，AE、BD相交于F，则∠3的度数为30°．（4）如图5，已知：∠1 =∠2，∠3 =∠4，要证BD =CD，需先证△AEB ≌△AEC，根据是ASA ，再证△BDE ≌△BCE ，根据是SAS ．（5）如图6，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC =AE．若AB = 5，则AD = 5 ．5. 如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，B=C∠∠，求证:AD=AE.证明：先证△AEB ≌△ADC（ASA）∴AD=AE(全等三角形的对应边相等)图1E图5 图6图4AACDFEAB6. 如图，DF=AE ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，CE=BF.求证：∠A=∠D. 证明：先证△CDF ≌△BAE (SAS)∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)7. 如图，已知：在梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是BC 的中点，直线AE 与DC 的延长线交于点F. 求证：△ABE ≌△FCE. 证明：∵AB//CD∴∠FCE=∠B ，∠F=∠EAB 又E 是BC 的中点 ∴CE=BE∴△ABE ≌△FCE (AAS)8. 求证：△ABE ≌△FCE 如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，求证：BE=CD. 证明：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ∴∠E=∠CDA=90°EFDCBA∴∠BCE+∠EBC=90°∵∠ACB=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠EBC=∠ACD∴△CBE≌△ACD(AAS)∴BE=CD(全等三角形的对应边相等)9. 已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上.求证：（1）△ACD≌△BCE （2）CF=CG （3）△FCG是等边三角形证明：（1）△ACD≌△BCE （SAS）（2）∵△ACD≌△BCE∴∠ADC=∠BEC∴△CDG≌△CEF(ASA)∴CF=CG（3）∵CF=CG，∠ACE=60°∴△FCG是等边三角形G F。

初中数学竞赛——-全等三角形

第12讲全等三角形知识总结归纳一.叠合与全等（1)两个形状相同，大小相等的几何图形叫全等形．（2）一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了,但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转后的图形与原图形全等．二.全等三角形（1）能够重合的两个三角形叫做全等三角形．（2）把两个三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角．(3）记两个三角形全等时，必须把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．三.全等三角形的性质（1）对应边相等．（2）对应角相等．(3）对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．四.全等三角形的判定（1）“边角边"（或者“SAS”）:两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等．（2）“角边角"（或者“ASA”）:两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等．(3）“角角边”(或者“AAS”）：两个角和其中一个角的对应边对应相等的两三角形全等．（4）“边边边”（或者“SSS"):三边对应相等的两个三角形全等．（5)“斜边、直角边”（或者“HL”）：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等．五.全等三角形的解题要点（1)每组全等三角形的判定需要三个条件（包括HL），证明两个三角形全等的关键就是寻找这三个条件．具体步骤是：先找出这两个三角形中已知或容易证明的对应角或边，然后根据判定方法来确定还需要证明哪些角或边相等，再设法证明这些角或边相等全等三角形主要用来证明线段或角相等的问题．（2）结合其他知识，也常常用全等三角形来证明线段或角的和差倍分计算和直线的垂直或平行问题．初一数学联赛班七年级典型例题一. 全等三角形的认识【例1】如图，已知ABE ACD △≌△，ADE AED ∠=∠，B C ∠=∠，指出其他的对应边和对应角．【例2】如图，已知'''A B C △是ABC △绕C 逆时针旋转60得到的三角形．(1）'''A B C △与ABC △全等吗？（2)如果20ACB ∠=与30B ∠=，那么''A CB ∠等于多少度?'A ∠与''A CB ∠又是多少度？【例3】如图，OAD OBC △≌△，且70O ∠=，25D C ∠=∠=，下列结论（1)OD OC =，（2）BC OD =，（3）BD AC =中,正确的有( )。

北师大数学七年级下册第三章-全等三角形

第02讲_全等三角形知识图谱全等三角形知识精讲一．全等的概念与性质三点剖析一．考点：全等的概念，全等三角形的性质二．重难点：全等三角形的性质三．易错点：利用全等的性质时容易忽略对应关系，导致找错对应边或对应角．全等图形例题1、下列图形中，与右图全等的是（）全等图形（1）能够完全重合的两个图形就是全等图形（2）平移、旋转、对称前后的图形是一组全等图形四边形四边形全等多边形（1）相互重合的顶点为对应点，相互重合的边为对应边，相互重合的角为对应角（2）对应边、对应角分别相等全等三角形的性质（1）对应边相等（ 2）对应角相等（3）对应边上的高相等（4）周长、面积相等易错点：1.利用全等的性质时注意不要找错对应边或对应角A B C DA.A选项B.B选项C.C选项D.D选项【答案】A【解析】观察图形上实心点与空心点的位置得出全等图形即可，原图与选项A全等．例题2、下列说法中，错误的是（）A.全等三角形的周长相等B.全等三角形的对应角相等C.全等三角形的面积相等D.面积相等的两个三角形全等【答案】D【解析】暂无解析随练1、用两个全等的直角三角形（非等腰直角三角形）拼成凸四边形，拼法共有（）A.3种B.4种C.5种D.6种【答案】B【解析】拿两个“90︒，60︒，30︒”的三角板试一试即可得．随练2、如图，ADE BDE≌，若ADC∆∆∆的周长为12，AC的长为5，则CB的长为（）A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】解：∵ADE BDE∆≅∆，∴DA DB=，AC=，∴7BC=，故选B．=++=++=+=，又5ADC∆的周长12AC CD AD AC CD BD AC BC随练3、下图是由全等的图形组成的，其中AB=3cm，CD=2AB，则AF=___________．【答案】27cm【解析】因为AB=3cm，所以CD=2AB=6cm，所以AF=3AB+3CD=3×3+3×6=27（cm）．全等三角形的性质例题1、下列命题中正确的是（）A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中线相等C.全等三角形的角平分线相等D.全等三角形对应角的平分线相等【答案】D【解析】全等三角形的对应边相等，对应角相等．同时，全等三角形对应边上的高、对应边上的中线，对应角的角平分线也分别相等，一定要注意“对应”二字．例题2、如图，在△ABC中，AB＝AC，E、D分别为AB、AC边上的中点，连接BD、CE交于O，此图中全等三角形的对数为（）对．A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】∵AB＝AC，∴∠EBC＝∠DCB，∵AE＝BE，AD＝DC，∴BE＝DC，∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB，∴∠ECB＝∠DBC，∴∠EBO＝∠DCO，∵BE＝CD，∴∠BOE＝∠COD，∴△BOE≌△COD，∵∠A＝∠A，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE，共有3对全等三角形．例题3、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C【答案】A【解析】暂无解析例题4、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB ＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，故①正确；∠EAF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF＝BC，故③正确；∠EAB＝∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．例题5、如图，△ABC 一个等腰三角形，其中AB ＝A C ．分别以AB ，AC 为腰向外作等腰三角形△ADB 和△ACE ，且∠BAD ＝∠CAE ＝84°，连接CD 和BE ，相交于点F ，连接AF ，则∠AFD 的度数为________．【答案】 48°【解析】暂无解析随练1、下列四个命题中，真命题的是（） A.相等的圆心角所对的弧相等 B.同旁内角互补 C.平行四边形是轴对称图形 D.全等三角形对应边上的高相等【答案】 D【解析】 A 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等； B 、两直线平行，同旁内角互补； C 、平行四边形是中心对称图形； D 、全等三角形对应边上的高相等随练2、已知∆≅∆ABC DEF ，DEF ∆的周长为32cm ，9cm 12cm DE EF ==，，则AB =________，BC =________，AC =________【答案】 9cm ；12cm ；11cm【解析】由于∆≅∆ABC DEF ，所以AB 与DE 、AC 与DF 、BC 与EF 分别是对应边，即AB DE =，AC DF =，BC EF =．又DEF ∆的周长为32cm ，9cm 12cm DE EF ==，，则()3291211cm DF =--=．因此9cm AB =，12cm BC =，11cm AC =随练3、如图ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =，求DFE ∠的度数与EC 的长．【答案】 =100DFE ∠︒，2EC =．【解析】在ABC ∆中，180ACB A B ∠=︒-∠-∠．又∵30A ∠=︒，50B ∠=︒ ∴1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒∵ABC DEF ∆≅∆，∴ACB DFE ∠=∠，∴=100DFE ∠︒， ∵BC EF =，∴BC CF EF CF -=-， ∴2EC =全等三角形的判定知识精讲一．全等三角形的判定方法：FE DCBA二．思路点拨边边角（SSA ）不能证明两个三角形全等常见全等图形共线三等角模型4.“AAS ”与“ASA ”易混，要注意区分“边”“角”的位置关系5. 错用“AAA ”，“SSA ”证三角形全等.三点剖析一．考点：全等三角形的判定二．重难点：全等三角形的判定三．易错点：1．边边角（SSA ）在一般情况下是不能证明两个三角形全等的； 2．斜边、直角边定理(HL)必须是在直角三角形中才能使用；3．在使用判定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和判定定理要求的一样．SSS例题1、如图，AB AC =，AD AE =，BE CD =，求证：ABD ACE ∆∆≌．【答案】见解析【解析】由SSS 可得ABD ACE ∆∆≌．随练1、已知：如图，AC=EC ，E 、A 、D 在同一条直线上，∠1=∠2=∠3．试说明：△ABC ≌△EDC ．A BCABCDDABCE90°CEDA BD E CBA【答案】见解析【解析】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD ，∴∠ACB=∠ECD ， ∵∠1=∠3，∠4=∠5，∴∠B=∠D ，在△ABC 和△CDE 中，，∴△ABC ≌△EDC （AAS ）．SAS例题1、已知：如图，E 为BC 上一点，AC ∥BD ，AC BE =，BC BD =．求证：AB DE =【答案】见解析【解析】证明：∵AC ∥BD ，∴C CBD ∠=∠ 在△ACB 和△EBD 中： AC BE C CBD BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBM ≌△DBM （SAS ），∴AB DE =．例题2、已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，直线BD 、CE 交于点G ，（1）如图1，点D 在AC 上，求证：∠BGC ＝∠BAC ；（2）如图2，当点D 不在AC 上，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

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