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化学工业出版社《线性代数》第1章习题解答

《线性代数》第一章习题解答1．确定下列排列的逆序数，并指出它们是奇排列还是偶排列.（1） 41253 （2）654321 （3）(1)(2)321n n n --⋅⋅ 解：（1）(41253)4τ=偶排列（2）(654321)15τ=奇排列（3）12((1)321)(1)n n n n τ-⋅⋅=- ，当441n =ℜℜ+或时：偶排列当4243n =ℜ+ℜ+或时，奇排列.2．设四阶行列式1325127064311916231419--，试求：142232,,A A A .解：14141270(1)4311908162314A +=--=， 2222125(1)4119803161419A +-=--=-，2332125(1)1206660161419A +-=-=-3．设四阶行列式1241111125683152----，试求：41424344.A A A A +++ 解：4142434412411111025681111A A A A -+++==-.4．计算下列行列式：（1）352423124-（2）11121321223100a a a a a a （3）1210032141031263------（3）14232432333441424344000000a a a a a a a a a a （5）100110011001a b c d ---（6）0000a b aa ab b a a a b a （7）1111111111111111x xy y+-+-解：（1）-69 （2）132231a a a -（3）0 （4）14233241a a a a（5）1abcd ab cd ad ++++（6）222(4)b b a -（7）22x y 5．证明：（1）22322()111a ab b aa b b a b +=-（2）33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b y zx az bxax by ay bz zxy++++++=++++ （3）222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++(4)222244441111()()()()()()()a b c da b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d =------+++解：证明略. 6．已知：0231111xy z=，求下列各行列式的值. （1）11133323111xyz （2）111134111x y z --- （3）33436111xyzxy z x y z +++++解：（1）13（2）1 （3）2 7．n 阶行列式111213121222323132333123nnn n n n n nna a a a a a a a D a a a a a a a a =中，若： ,1,2,,ij ji a a i j n =-= 那么称n D 为反对称行列式（n 阶）.证明：奇数阶反对称行列式等于零.证明：11213111112131122232221222321132********333123123nn n n n n n nnn nnn nnnna a a a aaa a a a a a a a a aD a a a a a aa a a a a a a a a a --------==--------21(1)(1)n n n n D D D ℜ+=-⋅=-=-，0n D ∴=.8．计算n 阶行列式（1）00010200100000n n-（2）010000200010n n-（3）000000000x y x x y yx（4）121212n nn mx m x x x x m x x x x ---（5）12311100002200011n n n n-----（6）1231111111111111111na a a a ++++（7）01211111001001n a a a a -(120n a a a ⋅≠ ) 解：（1）(3)2(1)!n n n +-⋅（2）1(1)!n n +-⋅ （3）1(1)nn nx y ++-（4）11()()nn i i m x m -=--∑（各列加到第一列）（5）1(1)(1)!2n n -⋅⋅+（各列加到第一列）（6）112211111111111100111n n a a a a D a ++++=+12111210000111n n n n n a a a D a D a a a ---=+=+12122121[]n n n n n a a D a a a a a a ----=++12123122121n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ---==++++111(1)n ni i i ia a ===⋅+∏∑ (7) 1121011()n n n i ia a a a a a --=-∑ (各列乘1i a -加到第一列11i n ≤≤-) 9．证明：（1）（2）cos 100012cos 100cos()012cos 00012cos n ααααα=（3）123112231111000000(1)00000n n nin i in n na x a a a a x x x x a x x x x x x -=--+--=+-∑，这里 1230n x x x x ⋅⋅⋅⋅≠ .（4）11000100()01000001n n a b ab a b aba b a b a ba ba b++++-=≠+-+证明：（1）左121212110000100001n n nn n xx C xC a a a x a x a x a -----+-+++211211010000010001n n nn in i i C xC C xC x a x x a ---=--++-++∑111(1)()(1)nn nn i n i i x a x +--==-+⋅-∑111n n n x a x a x x --=++++ =右（2）当1n =时成立，设当n k =时成立，则当1n k =+时，行列式按第1k +行展开1cos 1012cos 02cos 2cos 011D D θθθθℜ+ℜ=⋅-12cos 2cos cos cos(1)cos(1)D D k k k θθθθθℜℜ-=⋅-=⋅--=+故命题成立. （3）.31121231121110001100(1)()0001000011n n n na a a a a x x x x x n j n x x x χ--+--≤≤-j 各列提出因子左32231121210100)()011001in inna a a a x x x x i n n C C C x x x =++++-∑121()(1)ii na n x i x x x ==+∑ =右（4） 00001000000001n a a b ab D a b ab a b+==+++左 00010000001b ab a b ab a b ab a b+++=110001000001n a a b ab a D ba b -+⋅++1100001000001n b ab a D ba b-=⋅++ 1n n a D b -=⋅+同理由,a b 的对称性，可得：1n n n D b D a -=⋅+两式联立消去1n D -，得11n n a b n a bD ++--=10．利用范德蒙行列式计算（1）1111437516949256427343125--（2）1111234514916182764解：（1）10368 （2） 12 11．用拉普拉斯定理计算下列行列式（1）560001560015600015600015（2）a a a b x y yb y x y byy xλ解：（1）56016056501560561516015015D =⋅-⋅=665 （2）0000000a a a a bx y y y y x x y D y x x y x yλ--=---(1)(2)00000000000n a a a a b x n yy y y x y x y x yλ-+--=--00000000(1)0000(2)00000x y x y n a x y bx n yx y x yλ----=⋅+---2[(2)(1)]()n x n y n ab x y λλ-=+-⋅---12. 用克莱姆法则解下列线性方程组（1）123412423412342583682254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩（2）123412341234123425323321348256642x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=-⎪⎨-++-=-⎪⎪--+=⎩解：（1）123427,81,108,27,27∆=∆=∆=-∆=-∆=12343,4,1,1x x x x ==-=-=（2）123417,34,0,17,85∆=∆=-∆=∆=∆= 12342,0,1,5x x x x =-===13. 求k 的值，使下列方程组有非零解0020kx y z x ky z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩解：211113404 1.211kk k k k ∆=-=--=∴==--或k 14．设有方程组33331x y z ax by cz d a x b y c z d ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩试求它能用克莱姆法则求解的条件，并求出解. 解：333111()()()()0a bc b a c a c b a b c a b c ∆==---++≠,,,0a b a c b c a b c ∴≠≠≠++≠时有解，且解为：123()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()b dcd c b d b c x b a c a c b a b c d a c a c d d b c x b a c a c b a b c b a d a d b a b c x b a c a c b a b c ---++=---++---++=---++---++=---++14. 设121222212111111211111()n n n n n n n xa a a F x xa a a x a a a -------=，其中11,n a a - 互不相同。

线性代数第一章第一节

在生活中存在很多数表：例 1.1 1.1.1 矩阵的概念某城市有4个县城, 所示为公路网中各段公路的城E 1, E 2,E 3, E 4,线的数字表示两地公路的总里程．市政府决定修建公路网．图1.1里程数(单位: km); 其中五个圆分别表示城市O 与四个县图中两圆连E 1E 2E 3E 4O 615455.3图1.1图1.1可用下面的矩形数表表示：O E1E2E3E4O E1 E2 E3 E4061101635461063.5648410163.5055.3102636455.30575484102570E1E2E3E4O615455.3图1.1n m ⨯()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==111212122212n n m m mna a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵,简称m ⨯n 矩阵.排成的m 行n 列的数表个数由定义1.1111212122211,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L简记为n m A A ⨯=实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.(),ij m n a ⨯=记作这m ×n 个数称为A 的元素,简称元素.例如⎪⎭⎫ ⎝⎛-34695301是一个2×4实矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222613i 是一个3×3复矩阵.()4是一个1×1实矩阵.11112211211222221122,,.n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L ij a 111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L 系数矩阵11121121222212n n m m mn m a a a b a a a b B a a a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L LL 增广矩阵例1.3线性方程组12nx x x其中为常数.下面介绍几种特殊矩阵1) 方阵行数与列数都等于n 的矩阵A ,称为n 阶方阵,.n A 记作例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222222613A 是一个3 阶方阵.2) 行矩阵、列矩阵只有一行的矩阵(),,,,21n a a a A =称为行矩阵(或行向量).,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a B 只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001000100单位矩阵==n E E 全为110001⎛ ⎪⎝⎭=3E 0010⎝⎭不为单位阵0的方阵, 称为定义1.2称为对角矩阵(或对角阵).⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ00000021形如4) 对角矩阵00如果12λλλ==L .记作数量矩阵.diagonal的方阵,()1diag ,,,.λλλL =L 000000λλλ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭L L L L L L L 定义1.31112122200n n nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭L L M M L ML11212212000n n nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M L M L元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n O ⨯5) 零矩阵()00013O ⨯=000000⎛⎫ ⎪⎝⎭23O ⨯=6) 三角形矩阵称为上三角形矩阵与下三角形矩阵.零矩阵记作或m n ⨯.O 定义1.4形如与两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为例如125637⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1.1.2 矩阵的加法与数量乘法同型矩阵.1438439⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭与为同型矩阵.两个矩阵()()ij ij A a B b ==与(),,,2,1;,,2,1n j m i b a ij ij ===则称矩阵A 与B 相等, 记作A = B .任意两个零矩阵都相等吗?答: 不一定.0000⎛⎫ ⎪⎝⎭≠对应元素相等, 即为同型矩阵, 并且()00.定义1.5例如1110,02,233a A b B c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知A = B , 求a , b , c .解a = 1,b = 2,c = 2.引例某公司为两个单位供三种货物如下：甲货Ａ货Ｂ货Ｃ数量(千)138金额(万)864乙货Ａ货Ｂ货Ｃ数量(千)224金额(万)1642问：总数量总金额是多少？351224106定义1.6111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b C A B a b a b a b +++⎛⎫ ⎪+++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭L L L L L LL 设有两个只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算.令矩阵m n ⨯()(),,ij ij A a B b ==则称矩阵C 为矩阵A 与B 的和,记作A+B .说明:例1.4 求1235189190654.368321-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= .98644741113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112+83+95+-61+59+-40+33+26+18+解原式矩阵加法的运算规律;A B B A +=+()().A B C A B C ++=++111212122212n nm m mn a a a aa a A a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪-=⎪⎪---⎝⎭ ();A A O +-=(),ijm na ⨯=-称为矩阵A 的负矩阵.(1) 交换律(2) 结合律(3) 零矩阵的特性A O O A A+=+=().A B A B -=+-(4) 存在负矩阵－A ，满足(5) 矩阵减法定义 1.7数与矩阵相乘设矩阵(),ij m n A a ⨯=λ是一实数或复数，规定111212122212(),n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a λλλλλλλλλλλ⨯⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭L L M M ML 称此矩阵为数λ与矩阵A 的数量乘积, 简称为矩阵的数乘.()()()A A A (3);==λμλμμλ()A A A (1);+=+λμλμ()(2);A B A B λλλ+=+数乘矩阵运算满足下述规律:（设A ,B 为m ×n 矩阵，μλ,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.(4)1,0.A A A O ⋅=⋅=为数）例1.5 设231,121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭111,201B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭求矩阵X , 使得42.A X B +=解24X B A =-111201-⎛⎫=⎪-⎝⎭2314121⎛⎫- ⎪-⎝⎭111201-⎛⎫=- ⎪-⎝⎭8124484⎛⎫ ⎪-⎝⎭7133.685---⎛⎫= ⎪--⎝⎭从而713312685X ---⎛⎫= ⎪--⎝⎭7/213/23/2.345/2---⎛⎫= ⎪--⎝⎭称为一个从变量12,,,m y y y 12,,n x x x 变换.11111221221122221122,,.n n n n m m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ ()ijm nA a ⨯=(a ij 为常数)称为线性变换的系数矩阵.1.1.3 矩阵与矩阵的乘法n 个变量12,,,n x x x L 与m 个变量12,,,m y y y L 的关系式之间到变量的线性引例设有两个线性变换11111221332211222233,(1),y a x a x a x y a x a x a x =++⎧⎨=++⎩111112222112223311322,, (2),x b t b t x b t b t x b t b t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩求出从12,t t 到12,y y 的线性变换.221112221233112112222223322()().y a b a b a b t a b a b a b t =+++++111111221133111112122213322()(),y a b a b a b t a b a b a b t =+++++线性变换(3)称为线性变换(1)与(2)的乘积.(3)把(3)所对应的矩阵定义为(1)与(2)所对应的矩阵的乘积.记作11111221332211222233, (1),y a x a x a x y a x a x a x =++⎧⎨=++⎩111112222112223311322,, (2),x b t b t x b t b t x b t b t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩221112221233112112222223322()().y a b a b a b t a b a b a b t =+++++111111221133111112122213322()(),y a b a b a b t a b a b a b t =+++++(3)111213212223a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭111112211331111212221332211122212331211222222332a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++⎛⎫=⎪++++⎝⎭111221223132b b b b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1,pik kj k a b =∑=ij c (),,,2,1;,2,1n j m i ==(),p n ij p n B b ⨯⨯=+j i b a 11+j i b a 22+ ip pj a b =()ij m n C c ⨯=矩阵与矩阵相乘的定义()m p ij m p A a ⨯⨯=给定矩阵与矩阵定义1.9 111121212p i i ip m m mp a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M M L M M L M L 111121221j n j n p pj pn b b b b b b B b b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L L M M L M L L 记则称C 为A 与B 的乘积.,AB =例1.6222263422142⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C 22⨯⎪⎭⎫⎝⎛=16-32-816设101221300514A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭034211432B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭例1.7?第i 行第j 列c ij注意:AB =?无意义行数时, 两个矩阵才能相乘.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的注意:.AB BA ≠()31,2,321⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()132231⨯+⨯+⨯=().10=例1.8()321231⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭369246,123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭m k ⨯的矩阵的矩阵相乘k n ⨯与m n⨯k n ⨯的矩阵与m k ⨯的矩阵相乘当n =m 时k k⨯当n ≠m 时不能相乘矩阵不满足交换律，即.AB BA ≠故矩阵乘法的运算规律()();AB C A BC =();C A B CA CB +=+();A B C AC BC +=+性质1 性质2 下证:();A B C AC BC +=+设(),ij m n A a ⨯=(),ij m n B b ⨯=(),ij n s C c ⨯=则证明A B +(),ij ij m n a b ⨯=+()A B C +1().n ik ik kj k m s a b c =⨯⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑AC 1,n ik kj k m s a c =⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭∑BC 1,nik kj k m sb c =⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭∑AC BC +1().n ik ik kj k m sa b c =⨯⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑故().A B C AC BC +=+而()()()AB A B A B λλλ==（其中λ为数）;;m n n m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯==.AB BA ≠;;m n n s m s p m m n p n A O O O A O ⨯⨯⨯⨯⨯⨯==性质3 性质412m b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例1.911112211211222221122,,.n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 请把线性方程组写成矩阵相乘形式.线性方程组=111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭12 n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭b=Ax系数矩阵Ax b=线性变换11111221221122221122,,.n n n nm m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 12m y y y ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 12n x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ Y AX=系数矩阵可记作(1) AB BA≠（无交换律）.(2) 000.AB A B=⇒==/或？000.AB A B=⇒==或例如1000, .0001 A B⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=AB10000001⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭,0=AB但,0≠A0.B≠矩阵乘法应注意的几点：(3) ,AB AC =(无消去律), 0.AB AC A B C =≠⇒=？例如1000,,0001A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00.00C ⎛⎫= ⎪⎝⎭=AB 00,00⎛⎫ ⎪⎝⎭00.00⎛⎫⎪⎝⎭=AC AC AB =且,0≠A 但.B C ≠0.A B C ≠⇒=/若若下面介绍矩阵的方幂.若A 是n 阶方阵,则A k 为A 的k 次幂，kA A A A =L ,)(km kmAA A +=1()(2) ,km mk AA =即方幂的运算规律(),m m mAB A B ≠,)(mm m B A AB =？=mAB )()(AB )(AB )(ABmm B A ≠m 个注意:m, k 为正整数.定义1.10k 个例如11,2A ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭21,5B ⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭求AB .解AB 112⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭215⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭200001-0010-一般地,若1212diag(,,,),diag(,,,),n n A B k k k λλλ== 则1122= diag(,,,).n n k k k λλλ AB2012(),nn f x a a x a x a x =++++A 是n 阶方阵, 记nn A a A a A a a A f ++++= 2210 )(E 矩阵多项式若12diag(,,,),n A λλλ= 12diag(,,,)nλλλ =mA m m m()12diag (),(),,()n f f f λλλ ()=A f 设则(3)222()2A B A AB B±=±+⨯22B A B A B A -=-+))((⨯E A E A E A -=-+2))((√???x 的1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 1110(),nn n n f A a A a Aa A a E --=++++ 若A 是n 阶方阵,称为方阵A 的n 次多项式.方阵A 的n 次多项式：设注意：f (A )是一个方阵而不是一个数.定义 1.11 n 次多项式,例如1021A ⎛⎫= ⎪⎝⎭3223A A A E -+-2,A 方阵A 的2次多项式.方阵A 的3次多项式.例1.10求矩阵的方幂A n :0241)003.000A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭2024*******03000000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解006000000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3006024000003000000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= O .(3).nA O n ≥⇒=。

线性代数第一章行列式课件

a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设

大学线性代数课件第一章第1节

四、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D = a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a 23 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a 33
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．）（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）乘积．乘积．
τ
对于D中任意一项对于中任意一项
( 1)τ a1 p a2 p
1
2
anpn ,
总有且仅有 D1 中的某一项 ( 1) aq1 1aq2 2 aqnn ,
s
与之对应并相等; 反之, 与之对应并相等反之对于 D1 中任意一项
( 1) a p 1a p 2 a p n ,
τ
1 2 n
也总有且仅有D中的某一项也总有且仅有中的某一项从而 D = D1 .
a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31
为一个三阶行列式。可用下面的对角线法则记忆
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
（3）当每一项行指标排列均为123时，这一项的正负当每一项行指标排列均为123时 123 号取决于列指标排列的奇偶性，偶排列带正号，号取决于列指标排列的奇偶性，偶排列带正号，奇排列带负号。列带负号。
例如
a13a21a32
列标排列的逆序数为偶排列
+ 正号

线代第一章

上一页下一页
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
上一页下一页
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
如：2 4 3 1（逆序数为 4，偶排列） 2 1 3 4（逆序数为 1，奇排列）
上一页下一页
定理 2 全部 n 级排列中，偶排列与奇排列各
占一半，都是 n!（n ≥ 2）个。 2
如果全部 n 级排列中奇排列有 p 个，偶排列有 q 个，所有的排列都经过一次同样的对换（对换相同的两个数），则奇排列变成了偶排列（即 p ≥ q ），偶排列变成了奇排列（即 q ≥ p ），所以 p = q。
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
还有其他阶的行列式吗
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
上一页下一页
第二节行列式的一般规律是什么构成项数
t 23218
上一页下一页
定义 4 把一个排列中的某两个元素位置对调，而其它的元素不动，就得到了另一个排列，这种变换就称为一个对换。
如：排列 3 5 4 2 1 中的 5 与 2 对换，就得到新排列 3 2 4 5 1。定理 1 任何一个排列经过一次对换，排列改变奇偶性。即奇排列经过一次对换变成偶排列，偶排列经过一次对换变成奇排列。

线性代数第一章-第六节

a 11
a 12
D a i1
0
a n1 a n 2
a 11
+ ···+ 0
a n1
两a数1n之和a,1则 1 这个 a 12行列式等于 a 1两 n 个行列式之和,即
a11
a 12
a1n
a 12
0 0 ai2
b1 c1 b 2 c 2
a nn
a n1 a n 2 a n1
依次替代 ai1 , ai2 , ···, ain ，可得
a11 a1n
ai1,1 ai1,n
b1 bn b1 Ai1 b2 Ai2 bn Ain .
ai1,1 ai1,1
an1 ann
类似地，用 b1 , b2 , ···, bn 替代 det(aij) 中旳第 j 列，可得
或
ai1Aj1+ ai2Aj2 + ···+ ainAjn = 0 , i j ,
a1iA1j + a2iA2j + ···+ aniAnj = 0 , i j .
证明把行列式 D = det( aij ) 按第 j 行展开，
有
a11 a1n
ai1 ain
a A j1 j1 a A j 2 j 2 a jn A jn
an1 ann
在上式中把 ajk 换成 aik ( k = 1, 2, ···, n )，可得
综合
定理 3 行列式等于它的任一行(列)的各元
素与其对应的代数余子式乘积之和,
或
D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj

1-1(线性代数第一章)

解
在五级排列 21534 中，构成逆序数对的有 . （21534） =3 21,53,54 因此
在五级排列32541中，构成逆序数对的有32,31
（32541） =6 21,54,51,41,因此
定义3 如果排列 i1 ,i2 ,in 的逆序数为偶数，则
称它为偶排列; 它为奇排列. 例3 试求 123n , nn 1321 ,并讨论其奇偶性. 解易见在n阶排列1,2,3,…n中没有逆序,所以如果排列的逆序数为奇数,则称
（is，it ) 的位置，称为一次交换，记为 1,3 如 21534 23514 一般,我们有以下结论.
定理1
任意一个排列经过一次对换后,改变其奇偶性.
定理2
n 2 ),奇偶排列各占一半. 在全部n级排列中(
三、小结
1.（重点）会求排列的逆序数，会判断排列的奇偶性。
（1）标准排列（偶排列）（2）奇排列（3）偶排列掌握求排列逆序数的方法
第一章
行列式
行列式是研究线性代数的基础工具，也是线性代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、工程、技术及经济等众多领域.
本章首先介绍预备知识，接下来从低价行列式入
手，给出行列式的一般定义；然后讲解行列式的性
质和计算方法；最后研究任意阶线性方程组的行列
式解法------克莱姆法则.
第一章
§1.1
123n 0 ,这是一个偶排列,它具有自然顺序,
故又称为自然排列. 在n,n-1,…3,2,1中,只有逆序,没有顺序,故有
1 (n(n 1) 21) (n 1) (n 2) 2 1 n(n 1) 2
可以看出，排列n,n-1,…3,2,1的奇偶性与n的取值有关,从而当 n=4k 或 n=4k+1 时这个排列为偶排列,否则为奇排列. 定义4 排列i1 ,i2 ,in 中，交换任意两数 i t 与 i s

线性代数第一章习题答案.pdf

习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。

线性代数第一章课件

（五）性质5：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第

j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式㈠二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点（1）行列式由n!项求和而成（2）每项是取自不同行、不同列的n个元素乘积，每项各元素行标按自然顺序排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1

《线性代数》第1章-矩阵(张小向2014黑白打印版)

c 3
同型
20 16
50 20
30 16
与
20 50 30
16 20 16
不同型
5. 两个矩阵相等(equal)
大前提: 同型
A = (aij)m×n与B = (bij)m×n相等:
对∀1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n, aij = bij都成立记为A = B.
第一章矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
0 0
0 0
2
3
10 1 0
从i市经一次中转到达j市航线的条数=?
bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j .
1
21 1 0
i
2
j
B = (bij) =
01 10
1 0
1 0
3 4
02 1 1
第一章矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
2. 定义: A = (aij)m×s与B = (bij)s×n的乘积(product)
a1
列向量(row vector):
a2 …
n–维
(n–dimensional)
an
第i分量 (ith component): ai (i = 1, …, n)
第一章矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等
20 16
50 20
30 16
与
a 1
b 2
注: ① 设矩阵A = (aij)m×n , 记−A = (−aij)m×n , ——A的负矩阵(additive inverse of A).
② 设A, B是同型矩阵, 则它们的差

第一篇线性代数第一章

a12 a1n a22 a2 n 0 ann
a 11 32 Dn a11 (1) an2
a n 3 a nn
a11 Dn1 a11a22 Dn2 a11a22 ann
叫上三角行列式。
习题1.1
1．计算下列行列式：
（1） 2 1
1 1 2 1
（2）
2 x 3 y 12 0 3x 7 y 5 0
x2 4 9 2 1 3 0 1
4．解下列方程
（1） 1
x2 0
1 x2 0
0 。 1 x2
0
（2） x
1
5．写出下列行列式中元素
1 3 2 4 0 8 3 0 1 0 4 1 2 1 0 1
a12
到 a 21 用虚线连接，称该虚线为副对角线。于是二阶行列式的
值便是主对角线上两个元素之积减去副对角线上两个元素之积所得
的差，其计算规律遵循如图1-1所示的对角线法则。
a11
a12
a21 a22
图1-1
(1-1-2)右端的式子又称为二阶行列式的展开式。当所有的 aij 都是数时，行列式的值是一个具提的数值，若其中有字母出现，则行列式的值是一个代数式。通常用字母Ｄ表示行列式。利用二阶行列式的概念，方程组(1-1-1)中 x , x 的分子也可以用二阶行列式表示， b1 a12 a11 b1
(1-1-1)
用消元法消去 x2 ，得到
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 b2a12
同理消去 x1 ，得到 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 a21b1 当 a11a22 a12a21 0时，方程组(1-1-1)的解为

线性代数(同济版) 课后习题答案第一章

c
1
（3 ） a
1 b b2
1 c = bc 2 + ca 2 + ab 2 − ac 2 − ba 2 − cb 2 c2 = ( a − b )(b − c )(c − a ) y x+ y x x+ y x y
a2
x
（4 ）
y x+ y
= x( x + y ) y + yx( x + y ) + ( x + y ) yx − y 3 − ( x + y )3 − x 3 = 3 xy( x + y ) − y 3 − 3 x 2 y − 3 y 2 x − x 3 − y 3 − x 3 = −2( x 3 + y 3 )
4 0
10
2
17 17
2 1
3 − 1 2 1 c4 − c2 3 − 1 2 2 ( 2 ) 1 2 3 2 1 2 3 0 5 0 2 1 2 6 2 1 4 0 2 1 3 0 4 0 5 0 2 1 0 6 2 1 4 0 2 0 3 0 0 0
= 0
r4 − r2 3 − 1 2 2
r4 − r1 3 − 1 2 2
x + b3 z
x + b3 y
a2
( 3 ) 左边 =
b2 c2 d2
a 2 + ( 2a + 1) ( a + 2) 2 b 2 + ( 2b + 1) ( b + 2) 2 c 2 + ( 2c + 1) ( c + 2) 2 d 2 + ( 2d + 1) ( d + 2) 2

线性代数学习笔记——第一章

线性代数学习笔记——第⼀章线性代数学习笔记——第⼀章⽼规矩，不放图，没找到合适的图床平台⼆阶三阶⾏列式⾏列式⼀定是⽅的。

排列：由1,2,...,n组成的⼀个有序数组叫n级排列，中间不能缺数。

逆序：⼤数排在⼩数前⾯。

逆序数：逆序的总数。

奇排列：逆序数为奇数的排列。

偶排列：逆序数为偶数的排列。

标准排列：逆序数为0的排列，也称为⾃然排列。

（由n个数构成的逆序数为0的排列称为N级标准排列）对换：交换排列中的两个数。

定理：1、⼀个排列每做⼀次对换，排列奇偶性改变。

2、在所有的N级排列中，奇排列和偶排列的数量相等，各占：n!2。

⼆阶三阶⾏列式按⾏展开：⾏标取标准排列。

列标取排列的所有可能，从不同⾏不同列取出n个元素相乘。

⼀共有N!项。

每⼀项的符号由列标排列的奇偶性决定。

按列展开：列标取标准排列。

⾏标取n级排列的所有可能。

⼀共有N!项。

每⼀项的符号由⾏标排列的奇偶性决定。

既不按⾏展开，也不按列展开：⾏标和列标都取n级排列的所有可能。

⼀共有n!项。

符号由⾏标和列标的奇偶性共同决定。

如下图：特殊结构⾏列式：上三⾓⾏列式下三⾓⾏列式对⾓型⾏列式以上三种的值都为主对⾓线元素相乘。

⼭寨版上三⾓⾏列式⼭寨版下三⾓⾏列式⼭寨版对⾓型⾏列式以上三种的值都等于次对⾓线元素相乘，符号由(−1)n(n−1)2决定。

⾏列式的性质转置：将⾏列式的⾏做成列，转置记作：D T或D'（T表⽰Transformers）。

⾏列式转置后值不变。

⾏列式转置的转置等于本⾝。

性质：⾏列式两⾏互换，值变号。

⾏列式两⾏（列）对应相等，⾏列式等于零。

⾏列式D某⼀⾏（列）元素都乘以数k，等于k乘以⾏列式D。

⾏列式两⾏（列）对应成⽐例，⾏列式等于零。

推论：⾏列式某⾏（列）都为零时，⾏列式为零。

提取公因⼦0，则0提到外⾯后乘以⾏列式肯定等于0。

根据⾏列式展开的定义来理解，展开项不同⾏不同列取到的元素肯定会包含0，所以⾏列式必然等于零。

引申：⾏列式两⾏（列）对应成⽐例；⾏列式两⾏（列）相等；⾏列式某⾏均为零；可以推出⾏列式为零，但是反过来，⾏列式为零，上述三个条件可能都不成⽴。

线性代数_第一章

n( n 1) -I=5*4/2-6=4 2
印证以上结论。
方法2 n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为表示 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n) …… 从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 ) n( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 2 n( n 1) I .为所求即 ( x n x n 1 x 1 ) 2
第1章行列式
行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了 n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克莱姆法则.
主要内容
1.1 1.2 1.3 1.4
n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则—行列式应用
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) 并冠以符号 ( 1) 的项的和.
(i) a1 j1 a 2 j2 a nj n 是取自不同行、不同列的n个元素乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 ( j1 j2 jn ) 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
例5 计算
=-4-6+32-24-8-4
=-14
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16

实用线性代数课件第一章

线性代数
第一章矩阵与行列式 1 矩阵及其运算 2 n阶行列式 3 可逆矩阵 4 分块矩阵
线性代数
线性代数是研究离散变量之间线性关系的基础理论之一，矩阵与行列式是线性代数中重要且应用广泛的两个概念，两者之间既有区别又有联系。矩阵是一个数表，它的行数与列数可以不同；行列式是一种代数运算公式，可将其视为方阵的函数；同时，行列式又是方阵特性的一个重要标志。
A 150 180
70 40
而表
1-2
的数据组成了一个
2×3
矩阵
B

2 3.5
0.9 0.5
00.2.35
例 1.3 中确定二元线性方程组（1.1）的数表是一个 2×3 矩阵

a11 a21
a12 a22
b1 b2

，通常称之为方程组（1.1）的增广矩阵；
而由方程组中未知量的系数构成的矩阵

a11 a21
a12 a22

，称为方
程组（1.1）的系数矩阵。
线性代数
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵都指实矩阵。
若两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称它们是同型矩阵。
定义1.2 设矩阵 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是同型矩阵，
0 1
0 2
A

B

2 1
2 1
.
线性代数
线性代数
矩阵的线性运算满足如下规律：
设 k, l, 为数， A, B,C 为同型矩阵，则有：（1）加法结合律 (A B) C A (B C) （2）加法交换律 A B B A （3）数乘结合律 k(lA) (kl) A （4）数乘分配律 k(A B) kA kB (k l)A kA lA

线性代数讲义-01行列式

线性代数讲义-01行列式第一章行列式第一节行列式的定义.一排列的逆序数将数n ,,2,1 按照某个顺序排成一行, 称为一个n 阶排列. 记作n p p p 21. 共有!n 种不同的n 阶排列.按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n 12称为标准排列.定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数.在n 阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1( -n n 的逆序数最大, 等于2/)1(-n n .定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列).例如, 共有6个三阶排列, 其中123, 231, 312是偶排列, 而132, 213, 321是奇排列.定义 1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换.定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性.证如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变.考虑排列n k i i i p p p p p ++11, 其中1>k . 为完成i p 与k i p +的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将i p 与1+i p 对换, 再将i p 与2+i p 对换, 继续进行, 直至i p 与k i p +相邻. 在这个过程中, i p 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1-k 次对换, 得到排列n k i i i p p p p p ++11. 然后将k i p +与i p 对换, 再将k i p +与1-+k i p 对换, 继续进行, 直至k i p +向前移动到1+i p 的左边为止. 此时恰好得到排列n i i k i p p p p p 11++.如此又进行k 次相邻对换. 总计进行12-k 次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性.如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑n ,,2,1 的一个排列n p p p 21, 任取一个数i p , 如果有i t 个比i p 大的数排在i p 的前面, 则称i t 是i p 的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数.例1.1 求排列32514的逆序数.解按照上面的方法, 得逆序数为513010=++++.例1.2 设1>n , 求证: 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半.证将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等.二行列式定义以前学过二阶与三阶行列式:2112221122211211a a a a a a a a -=;333231232221131211a a a a a a a a a 322113312312332211a a a a a a a a a ++=312213332112322311a a a a a a a a a ---. 为了将他们推广, 首先研究三阶行列式的结构. 行列式中的数ij a 称为它的元素. 其中元素321,,i i i a a a 组成行列式的第i 行, 元素j j j a a a 321,,组成行列式的第j 列, 元素332211,,a a a 组成行列式的主对角线. 每个元素有两个下标. 第一个是行标i , 表示该元素属于第i 行. 第二个是列标j , 表示该元素属于第j 列.在形式上, 三阶行列式是一个数表. 而实质是其元素的一个多项式. 这个多项式由六项组成, 每项包含三个元素的乘积. 这三个元素分别属于不同的行, 不同的列. 现在每一项中元素的行标组成标准排列, 则其列标恰组成所有的三阶排列. 而且, 如果列标排列是奇排列, 则前面是负号. 如果列标排列是偶排列, 则前面是正号. 于是, 可以将三阶行列式写作333231232221131211a a a a a a a a a ∑-=321321)1(p p p t a a a , 其中t 是列标排列321p p p 的逆序数, 求和遍及所有三阶排列.按照三阶行列式的结构进行推广, 得到n 阶行列式的定义. 定义1.4 称111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n np p p t a a a 2121)1(为n 阶行列式, 其中t 是列标排列n p p p 21的逆序数, 而求和遍及所有n 阶排列.常将行列式简记作D . 如果需要明确行列式的阶, 则将n 阶行列式记作n D .一个n 阶行列式有!n 项. 当1>n 时, 其中正项与负项各占一半.与三阶行列式类似，n 阶行列式也是其元素的多项式. 因此, 如果行列式的元素都是数, 则行列式也是数. 如果行列式的元素是某些字母的多项式, 则行列式也是这些字母的多项式.注意一阶行列式||11a 与数的绝对值的符号相同, 但意义不同. 作为行列式2|2|-=-,而作为数的绝对值2|2|=-. 因此必须用文字严格区分这两种不同对象.例1.3 求四阶行列式中包含元素23a 的所有负项.解在四阶排列中, 数3在第二个位置的共有6个. 其中的奇排列为1324, 2341与4312. 于是, 四阶行列式中包含元素23a 的负项为44322311a a a a -, 41342312a a a a -, 42312314a a a a -.当n 较大时, n 阶行列式中的项很难一一列举. 不过, 如果一个行列式的许多元素等于0, 则不等于0的项数将大大减少.例1.4 求证：行列式1112122200n n nna a a a a a nn a a a 2211=.证为了得到非零项, 在第n 行中只能取nn a . 此后不能再取第n 列的其他元素. 因此,在第1-n 行只能取1,1--n n a . 继续这个讨论可得: 行列式只有一个正项nn a a a 2211.在这个行列式中, 主对角线下面的元素都等于0, 称为上三角行列式. 类似定义下三角行列式, 且有相同结果.例1.5 求证: 行列式12,1100000n n n a a a -11,212/)1()1(n n n n n a a a ---=.证仿照例1.4的推理, 这个行列式也只有一个非零项. 当该项的行标组成标准排列时, 它的列标排列为1)1( -n n . 逆序数为2/)1(1)2()1(-=++-+-n n n n .例1.6 求证：行列式000000044434241343332312111=a a a a a a a a a a .证因为行列式的每一项需要在前两行取不同列的元素，所以行列式的每一项都至少包含一个等于0的元素. 因此该行列式等于0.前面将行列式中每项的行标组成标准排列, 由列标排列的逆序数决定符号. 现在考虑列标组成标准排列时的情形.定理 1.2 行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n p p p s n a a a 2121)1(. 其中s 是行标排列n p p p 21的逆序数.证行列式定义中的一般项为n np p p ta a a 2121)1(-. 对换它的两个元素, 该项中的元素乘积n np p p a a a 2121不变. 考虑该项前面的符号. 原来的符号是t)1(-, 其中t 是行标组成标准排列时, 列标排列的逆序数. 经过对换两个元素, 根据定理 1.1, 其行标排列与列标排列同时改变奇偶性. 然而, 行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性. 继续这个过程, 使列标组成标准排列. 由于标准排列的逆序数等于0, 此时行标排列的奇偶性与原来列标排列的奇偶性相同. 即=-s)1(t)1(-.定理1.2说明行标排列与列标排列的地位是相同的. 从定理1.2的证明中还可以看到: 当行标排列与列标排列都不是标准排列时, 行列式的项的符号可以由行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性决定.习题1-11. 求下列九阶排列的逆序数，从而确定其奇偶性. (1) 135792468;(2) 219786354.2. 选择i 与k 使下列九阶排列(1) 9561274k i 为偶排列; (2) 4897251k i 为奇排列.3. 求证: 用对换将奇(偶)排列变成标准排列的对换次数为奇(偶)数.4. 已知排列n p p p 21的逆序数为k ，求排列11n n p p p - 的逆序数.5. 在六阶行列式中, 确定下列项的符号.(1) 233146521465a a a a a a ; (2) 256651144332a a a a a a .6. 计算下列行列式.(1) 613322131; (2) 0551111115----. 7. 计算下列行列式.(1)00000012,11,11,2222111,11211n n n n n n a a a a a a a a a a ----; (2)nn 0000100200100-.8. 求证: 0000000052514241323125242322211514131211=a a a a a a a a a a a a a a a a . 9. 设一个n 阶行列式至少有12+-n n 个元素等于0，求证：这个行列式等于0.第二节行列式的性质用行列式定义计算一般的高阶行列式非常困难. 而计算三角行列式特别简单. 本节研究行列式的性质, 以寻找简单的计算方法.定义1.5 将行列式D 的行列互换, 而不改变行与列的先后顺序(第一行变成第一列, 第二行变成第二列等等), 所得到的行列式称为原行列式的转置, 记作D '.例如, 行列式613322131的转置是631123321. 性质1.1 行列式的转置与原行列式相等. 即D D ='.证设行列式D 的元素为ij a , 转置D '的元素为ij b , 则有ji ij a b =. 根据定理1.2, 有D '∑-=n np p p t b b b 2121)1(D a a a n p p p t n =-=∑ 2121)1(.注意在行列式中, 行与列的地位是相同的. 因此, 对行列式的行成立的命题, 对列也同样成立.性质1.2 交换行列式的两行(列), 行列式改变符号.证交换D 的第h 行与第k 行产生的新行列式记作hk D . 设hk D 的元素为ij b , 则有kj hj a b =, hj kj a b =,n j ,,2,1 =, 而hk D 的其他行的元素与D 相同. 设n 阶行列式D 的一般项为n k h np kp hp p ta a a a 11)1(-, 其中t 是列标排列n k h p p p p 1的逆序数. 在hk D 的定义中与上面D 的一般项具有相同元素的项为11(1)h k n s p kp hp np b b b b -= 11(1)k h n s p hp kp np b b b b - ,其中s 是列标排列n h k p p p p 1的逆序数. 根据定理 1.1, 这两个排列的奇偶性不同, 因此相应的两项符号相反. 因为hk D 与D 的具有相同元素的项符号都相反, 所以D D hk -=. 推论1.1 如果行列式D 中有两行的元素对应相等, 则0=D .证设行列式D 的第h 行与第k 行相同, 交换这两行产生的行列式记作hk D , 则D D hk =. 然而根据性质1.2, 又有D D hk -=. 于是0=D .性质1.3 用数k 乘以行列式的一行的每个元素，相当于用k 乘以原行列式. 即有111111j n i ij in n njnn a a a ka ka ka a a a111111j ni ij in n nj nna a a a a a k a a a =. 证设n 阶行列式∑-=n i np ip p t a a aD 11)1(, 用数k 乘以其第i 行的每个元素产生的新行列式记作)(k D i , 根据定义, 有)(k D i ∑-=n i np ip p t a ka a )()1(11kD a a a k n i np ip p t =-=∑ 11)1(.这个性质可以看作提取行列式的一行(或一列)元素的公因数.推论1.2 如果行列式D 的某两行的元素对应成比例, 则0=D .证设行列式第h 行的每个元素是第i 行的对应元素的k 倍, 提取第h 行元素的公因数k , 根据性质 1.3, 原行列式等于数k 乘以一个新行列式. 由于这个新行列式中有两行相同, 根据推论1.1, 有0=D .性质1.4 如果行列式的一行的每个元素都是两个数的和，则原行列式等于两个行列式的和. 即有1111111j n i i ij ij in in n njnna a abc b c b c a a a +++111111j n i ij in n nj nna a ab b b a a a =111111j n i ij in n nj nna a a c c c a a a +. 证设n 阶行列式∑-=n i np ip p t a b aD 111)1(,∑-=n i np ip p t a c a D 112)1(,其中只有第i 行不同. 将两个行列式的第i 行求和, 其他行不变产生的新行列式记作)(+i D ,根据行列式定义, 有)(+i D ∑+-=n i i np ip ip p t a c b a )()1(11∑-=n i np ip p t a b a 11)1(∑-+n i np ip p t a c a 11)1(21D D +=.可以将性质1.3看作行列式的数乘运算, 而将性质1.4看作行列式的加法. 行列式的加法与数乘都是对一行进行, 而不是对整个行列式. 此外, 性质 1.4可以推广为: 如果行列式的一行中所有元素都是k 个数的和, 则它等于k 个行列式的和.性质1.5 将行列式的某一行的每个元素加上另一行对应元素的k 倍, 行列式不变. 证设n 阶行列式∑-=n h i np hp ip p ta a a aD 11)1(, 将第i 行的元素加上第h 行的对应元素的k 倍产生的新行列式记作)(k D ih , 根据性质1.4与推论1.2, 有)(k D ih ∑+-=n h h i np hp hp ip p t a a ka a a )()1(11∑-=n h i np hp ip p t a a a a 11)1(∑-+n h h np hp hp p t a a ka a )()1(11D a a a a n h i np hp ip p t =-=∑ 11)1(.例1.7 求证: 行列式h g i g ih e d f d fe b a c a cb +++++++++i h g f e dc b a 2=. 证先用性质1.4将等式左边分成两个行列式, 再用性质1.5, 得h g i g i h e d f d f e b a c a c b +++++++++h g i g h e d f d e b a c a b ++++++=h g i g i e d f d fb ac a c +++++++ gi g hd fd e a c a b +++=hg gi e d d fb a ac ++++gihd fe a c b =hgie df b a c +ihgf e dc b a 2=. 例1.8 计算行列式4321651005311021.解用性质1.5, 得43216510053110213300651015101021-=3300700015101021-=21700330015101021-=--=.注意用性质将行列式变成三角行列式, 再用定义计算. 这种方法称为消元法.例1.9 计算行列式3111131111311113.解先将下面各行加到第一行, 提取第一行的公因数6，再用下面各行分别减去第一行. 得31111311113111133111131111316666=31111311113111116=4820000200002011116==.注意如果行列式的列和(或行和)相等, 常使用上述技巧.例1.10 计算行列式yyx x-+-+1111111111111111.解用第一列减第二列, 提取x ; 第三列减第四列, 提取y . 再用第二列, 第四列分别减第一列与第三列, 得yy x x -+-+1111111111111111yy y xx x --=110110101101y x xy--=111111010111011yx xy--=1000100001000122y x =.有时需要仔细观察行列式的结构, 才能找到最简捷的方法. 计算行列式时, 往往有多种方法. 应该考察各种路线, 从中选择最佳方案.习题1-21. 求证: bzay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax +++++++++yxzx z y z y x b a )(33+=. 2. 计算行列式efcfbfde cd bdae ac ab---. 3. 计算下列行列式.(1)2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a ; (2) n222232222222221.4. 求t 的值, 使得行列式226332111=tt .5. 计算下列行列式(1)3214214314324321; (2)121212n n n x mx x x x m x x x x m---.6. 计算行列式01211111001na a a a, 其中021≠n a a a .7. 用两种方法计算行列式ab cc abbc a，从而证明因式分解: ))((3222333bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++.8. 计算行列式111212122212n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------, 其中2>n .9. 计算行列式1231110000220000020011n n nn n------.10. 计算行列式aba ba b b a b a ba D n=2，其中未写出的元素都等于0.第三节行列式的展开在本节中研究行列式按照一行或一列展开的公式, 从而可以将一个高阶行列式的计算转化为若干低阶行列式的计算.定义1.6 考虑n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n np p p t a a a 2121)1(. 将行列式的元素ij a 所在的行与列删除(其余元素保持原来的相对位置), 得到的1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式, 记作ij M . 而称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式.例如，行列式333231232221131211a a a a a a a a a 中元素12a 的余子式为2123123133aa M a a =，而代数余子式为212312123133(1)a a A a a +=-.注意左上角元素11a 的代数余子式11A 取正号, 其余正负相间. 特别, 主对角元素iia 的代数余子式ii A 全取正号.引理1.1 如果一个n 阶行列式D 的第i 行中只有ij a 不等于0, 则这个行列式等于ij a 与其代数余子式ij A 的乘积. 即ij ij A a D =.证先考虑n j i ==的特殊情况. 根据定义, 为了产生非零项, 在行列式D 的第n 行只能取nn a . 于是, 有∑---=nn p n p p t a a a a D n 121)1(21)1( ∑---=121)1(21)1(n p n p p t nn a a a a ,其中t 是列标排列n p p p n 121- 的逆序数, 求和遍及1,,2,1-n 的所有排列121-n p p p . 然而排列n p p p n 121- 与排列121-n p p p 的逆序数相等, 因此, 上式右边的和式为nn p n p p tM a a an =-∑--121)1(21)1( nn nn n n A M =-=+)1(.于是, 有nn nn A a D =.现在考虑一般情况, 设行列式D 的第i 行中只有ij a 不等于0. 将D 的第i 行与第1+i 行交换, 再将所得行列式的第1+i 行与第2+i 行交换, 继续进行, 直到D 的第i 行移到最后一行, 而其他行的上下顺序不变. 在这个过程中, 共进行i n -次交换行. 用同样的方法, 将所得的行列式的第j 列逐步移到最后一列, 而其他列的左右顺序不变. 在这个过程中, 共进行j n -次交换列. 最后得到的行列式记作B , 则在B 的最后一行中只有最后一个元素ij a 不等于0, 而且ij a 在B 中的代数余子式就是ij a 在D 中的余子式ij M . 由前面证明的特殊情况, 有ij ij M a B =. 另一方面, 根据性质1.2, 有D B j n i n )()()1(-+--=, 即B D j i +-=)1(. 于是,有ij ij ij ij ji A a M a D =-=+)1(.定理1.3 对于n 阶行列式D , 有in in i i i i A a A a A a D +++= 2211; nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.证将行列式D 的第i 行的每个元素改写成n 个数的和, 其中由ij a 改写成的和中的第j 个加数等于ij a , 其他元素等于0. 用性质1.4的推广, 则D 等于n 个行列式的和. 在第j 个行列式的第i 行中, 只有属于第j 列的元素等于ij a , 其他元素等于0.对这n 个行列式分别用引理1.1, 得in in ij ij i i A a A a A a D ++++= 11.注意用定理 1.3, 可以将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1-n 阶行列式的计算. 不过, 当行列式的阶数较大时, 计算量仍然相当大. 除非在行列式中有很多元素等于0. 联合使用消元与按照一行(列)展开, 常能得到最简捷的计算路线.例1.11 计算行列式500134267002430.解先按照第四行展开, 得50013426700243043032(1)5006241+=-321018006=-=-.有时用数学归纳法计算n 阶行列式是比较方便的. 不过此时需要行列式n D 与1-n D ,2-n D 之间的关系.例1.12 求证: 000100010000001n a b ab a b ab a b D a b ab a b+++=++b a b a n n --=++11. 证计算可得ba b a b a D --=+=221, b a b a b ab a D --=++=33222. 设命题对于1-n 阶与2-n 阶行列式成立.考虑n 阶行列式, 按第一行展开, 得0001000100000001n a b ab a b ab a b D a bab a b +++=++00100()0001a baba b a b a b ab a b++=+++1000000001ab a b ab a bab a b+-++21)(---+=n n abD D b a b a b a n n --=++1 1.例1.13 求证: 123222212311111231111nn nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=∏<-=ji i j x x )(. 解当2=n 时, 有122x x D -=. 设命题对于1-n 阶行列式1-n D 成立. 考虑n 阶行列式n D , 从下边开始, 下面一行减去上面一行的1x 倍, 得123222212311111231111nn nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------232131122223111()()()n n n n n nx x x x x x x x x x x x ---=---111312)())((----=n n D x x x x x x ∏<-=ji i j x x )(.与前面的例题不同, 这里不是下面各行减去第一行, 而是下面一行减去其上面一行. 当然现在必须从第n 行开始, 逐行向上做.这个行列式称为范德蒙行列式. 易见, 当n x x x ,,,21 两两不同时, 范德蒙行列式不等于0. 这个性质产生了范德蒙行列式的许多应用.例1.14 求证: 211212212221212n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a n a ++=+)1(!12∑=+=nk kka n .解当1=n , 2111a D +=. 设命题对于1-n 阶行列式1-n D 成立. 考虑n 阶行列式n D , 按照最后一行分成两个行列式的和, 得21121221222121200n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a n a ++= +++21121221221200n na a a a a a a a a a n++= 211212212221212n nn n na a a a a a a a a a a a a a a +++ 21121122122121112112(1)n n n n n a a a a a a a a a a n a a a a n a -----++=-+110002nn na a a a +=21)!1(nn a n nD -+-211[(1)!(1)]n k k a n n k -==-+∑2(1)!n n a +-)1(!12∑=+=nk k ka n .推论 1.3 行列式的任意一行(列)的元素与另一行的元素的代数余子式的乘积之和等于零. 即当j i ≠时, 有02211=+++nj ni j i j i A a A a A a ; 02211=+++jn in j i j i A a A a A a .证只证第一个等式. 反向用定理1,3, 则nj ni j i j i A a A a A a +++ 2211等于一个n 阶行列式. 这个行列式的第i 行与第j 行相同, 根据推论1.1, 该行列式等于0.习题1-31. 计算行列式11312111311021---=D 的第二行所有元素的余子式与代数余子式.2. 计算行列式0000000000000000n x y x y x D x y yx =.3. 求证: 11211000010000000001n nn n x x x D xa a a a a +----=-n n n n a x a x a x a ++++=--1110 .4. 求证: 210001 210001200100021012n D n ==+.5. 设常数c b a ,,两两不等, 解方程01111 )(33332222==x c b a x c b a x c b a x f .6. 求证: 12322221231231111nn n n n n nn n n nnx x x x D x x x x x x x x ----=∑∏=<-=nk k ij j i x x x 1)(.7. 求证: 1231111111111111111n na a D a a ++=+++=∑=ni i n aa a a 12111 , 其中021≠n a a a .补充材料一拉普拉斯展开前面是行列式按一行或一列展开. 这个结果可以推广为按若干行展开.行列式中任意k 行与k 列交叉处的元素, 按照原来相对位置组成的k 阶行列式称为原行列式的一个k 阶子式k D . 删除这k 行与k 列得到的k n -阶行列式k M 称为k 阶子式k D 的余子式，而=k A ∑-+hh h j i )()1(k M 称为k D 代数余子式. 其中h h j i ,是k D 所在的行标与列标. 命题设||A 是n 阶行列式, 任意取其中的k 行,n k <<0, 则行列式等于这k 行中所有k 阶子式与其代数余子式的乘积之和.证明略.注意这个命题称为行列式的拉普拉斯展开. 展开时有kn C 项, 每项是一个k 阶子式与其代数余子式的乘积.例1 求证：行列式aba ba b b a b a b a D n=2n n b a b a )()(-+=.证按照第一行与第n 2行展开，得)1(2222)(--=n n D b a D . 用这个递推式即可得到所需结果.例2 求证:nnk n nkn nk k k k k k kk k k a a a a a a a a a a a a1,1,11,1.11,111110000++++++kk k k a a a a 1111=nnk n n k k k a a a a 1,,11,1++++ 证按照前k 行展开.注意由于右上角的元素都等于0，左下角的元素对行列式没有贡献. 当然, 如果左下角的元素都等于0, 也有类似结果.。

线代1-1

第一章行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算
线性代数第一章行列式
1
§1.1
一．二阶、三阶行列式 1．二阶行列式记号
n阶行列式的定义
a11 a21
a12 称为二阶行列式，表示代数和 a11a22 a12a21 a22 a12 a11a22 a12 a21 a22
线性代数第一章行列式
6
例5 求排列32514的逆序数。
解 N ( 32514 ) 2 1 2
例6 求排列1 2 … 解 N ( 12 n )
5
n的逆序数。
0
例7 求排列n … 2 1的逆序数。
n( n 1 ) 解 N( n 21 ) ( n 1 ) ( n 2 ) 2 1 2
=0
线性代数第一章行列式
25
二、行列式按行（列）展开 1。行列式按一行（列）展开定义1.4 在n（n>1）阶行列式D＝|aij|中，划掉元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列所在的元素后，剩下的元素按原来相对位置所构成的 n-1 阶行列式，称为D中元素 aij 的余子式，记为Mij，而称为元素a 的代数余子式。
a11 a12 ai 2 as2 an 2 a1n a in 第i行）（ a sn（第s行） a nn
证设
ai 1 D a s1 a n1
非常重要
a11 D1 a s1 a n1
a12 as2 an 2
ij
元素a12的余子式、代数余子式为：
线性代数第一章行列式
26
定理2.2（行列式按一行（列）展开定理

线性代数课件第一章

一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)．带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)．故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数，表示对1，2，3 三个数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标，表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2