一类风险模型破产概率上界估计及随机分析

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一类风险模型的破产问题的开题报告

一类风险模型的破产问题的开题报告一、研究背景在金融领域中，破产问题一直是备受关注的话题，因为一旦企业破产，可能导致自身的经济损失，甚至吞噬其他关联企业的利益。

因此，预测破产事件的发生并采取相关措施是非常重要的。

随着金融市场的逐步开放和完善，破产风险也得到了广泛关注。

在这种情况下，破产风险模型的研究就不可或缺。

二、研究目的本研究旨在探究针对一类企业破产风险的模型，通过分析模型的优势和不足，确定可行的破产风险预测方法，并为相关机构和个人提供参考。

三、研究内容本研究将从以下几个方面展开：1. 概述破产风险模型的研究背景和相关概念，并探讨该模型的研究意义和应用价值。

2. 简介当前比较普遍使用的破产风险模型，如Altman Z-Score模型、Logistic回归模型和神经网络模型等。

比较其优劣势和适用范围，并总结各自的预测准确性和破产事件误报率。

3. 探究该类企业破产的影响因素。

包括财务状况、市场竞争环境、宏观经济环境等，根据具体行业给出权重系数。

4. 针对所选模型的应用范围，选择TMT企业作为研究对象，将其财务数据与市场环境数据进行分析，运用本文所选模型进行风险预测，并与实际情况进行比较。

5. 最后，采用实证研究方法，对所得结论进行分析和总结，并根据实际情况给出相应建议。

四、研究意义本研究选取TMT企业作为研究对象，从财务数据和市场环境数据两方面进行多因素分析，旨在为投资人和企业相关部门提供准确的破产风险预测模型，并为企业提供针对性的解决方案。

五、研究方法本研究采取案例分析和实证研究相结合的方式，对所选的破产风险模型进行分析、评价和优化，从而得出最终结论。

六、研究进度计划1月-2月：研究文献资料，梳理研究思路和指导思路。

3月-4月：确定研究方案和研究方法，设计调查问卷和访谈问题。

5月-6月：采集样本数据，进行样本分析和统计处理。

7月-9月：撰写论文初稿，并进行修改和细节完善。

10月-11月：进行实证研究和结果分析，并得出相应结论。

保险公司破产概率的估计及随机模拟

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第7期
保险公司破产概率的估计及随机模拟
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N (t)
6 其中的性质 3) 需要用到 E [ X k ] = EN (t) EX k = Λ t Μ. 由性质 (4) 可知, 存在 g ( ) 使 k= 1 E [ e- rS (t) ] = etg (r)
1 Κν 1 Λ 或 Κµ Λ
(1. 2)
也就是: 保单到达的速率应远比理赔发生的速率大, 否则, 这种保险产品就没有经营价值.
人们所关心的是保险公司在每一时期的破产概率及最终破产概率, 经典的破产模型通常假定保险公
司是按照单位时间常数速率收到保费, 本文对此略加推广. 本文假定一份保单的价格是常数 c , 因此由 (1. 1) 式保费收入是一个 Po isson 过程; 而发生理赔时, 理赔额是服从指数分布的独立随机变量. 为此做如下假设:
A n E st im a te and Stocha st ic Sim u la t ion of the R u in P robab ility fo r an In su rance Com p any
SU N L i2juan, GU L an
( D ep a rtm en t of Sta tistics, R enm in U n iversity, B eijing 100872)
本文研究保险公司的破产概率. 第一节引人破产的概率模型; 第二节是通过数学推导给出破产概率的一个上界; 第三节讨论了当保费收入和索赔发生为相互独立 Po isson 流情形下, 破产概率的随机模拟.

一类重尾风险模型的有限时破产概率

一类重尾风险模型的有限时破产概率邢培培;于长俊【摘要】考虑一类随机收取保费的重尾风险模型.与经典的风险模型相比,该模型考虑了保费收取过程的随机性,因而能够更好地刻画保险公司的运营风险.在索赔额服从强次指数分布的条件下,得到了当保险公司的初始资本x趋近于无穷大时,保险公司在时刻t之前破产的有限时破产概率的渐近估计.该渐近结果对于时间t具有一致性.%In this paper, a kind of heavy-tailed risk model with random premium is considered. Compared with that of the classical risk models, in this model, the randomness of the process in the charge for the premium is considered.Therefore, the operation risk of the insurance company can be better characterized. Under the condition that the claim-sizes have a strong subexponential distribution, the asymptotic estimation of the finite-time ruin probability before time t of the insurance company is derived when x, the initial capital of the insurance company tends to be infinity. The asymptotic results have uniformity for the time t.【期刊名称】《南通大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)003【总页数】5页(P55-59)【关键词】重尾分布;风险模型;破产概率;保费;渐近性【作者】邢培培;于长俊【作者单位】南通大学理学院, 江苏南通 226019;通州高级中学, 江苏南通226300;南通大学理学院, 江苏南通 226019【正文语种】中文【中图分类】O211.6在更新风险模型中，保险公司的收益过程为其中：x表示保险公司的初始资本；ct表示到时刻t为止的保费收入；{N（t），t≥0}是一个更新过程；Xn，n≥1表示第n个客户的赔付金额，它们构成一列独立同分布的随机变量.众所周知，保费收入是对投保对象逐个收取的，因此，在上述模型中，保费收入过程与实际情况不太相符.因此，本文考虑一类保单到达过程和保单赔付过程均为更新过程的风险模型，其满足的基本假设如下：（A1）索赔时间间隔{θn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量，其均值为λ-1；（A2）索赔额{Xn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量，其共同分布为F；（A3）保单到达时间间隔{ηn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量序列，其均值为γ-1；（A4）客户保单的投保额是{Yn，n≥1}是一列独立同分布的随机变量；（A5）随机变量序列{θn，n≥1}，{ηn，n≥1}，{Xn，n≥1}，{Yn，n≥1}相互独立. 为了保证破产不是必然发生的，我们还需要保证单位时间内的平均保费收入大于单位时间内的平均赔付额，即需要如下的安全负荷条件：设{N（t），t≥0}，{M（t），t≥0}分别为由{θn，n≥1}，{ηn，n≥1}生成的更新过程，即设保险公司的初始资本为x，则保险公司在时刻t的净收益为则其在时刻t之前破产的破产概率为该模型可以追溯到文献[1].在轻尾索赔情形下对该模型破产概率的研究，可以参见文献[2].Labbé等[3]研究了该模型下的期望折现惩罚函数满足的积分方程；Zhang 等[4]对该模型进行了推广，在索赔到达时间间隔和索赔额满足某种相依结构的条件下，得到期望折现惩罚函数满足的积分方程；赵金娥等[5]在N（t）是M（t）的稀疏过程的条件下，得到期望折现惩罚函数满足的积分方程，又在进一步考虑存在现金流干扰的条件下，得到期望折现惩罚函数满足的积分方程[6].近年来，Cheng等[7]将公式（2）定义的模型推广到了多维情形，即保险公司运营多个保险业务的情形.然而，尽管上述研究在模型的刻画方面日益精进，但在重尾索赔情形的研究方面却进展不大.在上述研究中，只有文献[6]考虑了重尾索赔条件下有限时破产概率的渐近估计，但该结果对于时间t不具有一致性.当保费收益为线性函数时，对重尾索赔情形下有限时破产概率的一致渐近估计的研究已经比较成熟，最新研究成果可参见文献[8-10].本文将考虑收益过程为由公式（2）刻画的风险模型，在重尾索赔条件下有限时破产概率的一致渐近性.1 主要记号及结论为了更好地叙述本文的结论，我们首先介绍一些约定、记号和概念.设 a（x，t）和b（x，t）是定义在[0，∞）×[0，∞）上的二元函数，若对于任意趋于无穷的函数f（x），则称 a（x，t）～b（x，t）对于t≥0 一致成立.设随机变量X的分布函数为F，记其尾分布为即对于任意x∈R，对于任意分布 F 及n≥1，记F的n重卷积的分布为若对于任意y＞0，则称F属于长尾分布族，记作F∈L.对于任意u≥1，定义若则称F属于强次指数分布族，记作F∈S*.常见的强次指数分布包括形状参数大于1的Pareto分布，形状参数小于1的Weibull分布和对数正态分布等.这些分布在排队系统和风险理论中具有重要的应用，可参见文献[11-12].定理1 考虑满足假设条件（A1）-（A5）及安全负荷条件（1）的风险模型.假设存在β＞0使得若F∈S*，则当x→∞时，对于t≫ 0一致成立，其中μ=λ-1γEY1-EX1.2 定理1的证明为证明上述结论，我们需要两个引理.引理 1[13-14] 设{Xn，n≥1}和{θn，n≥1}满足假设（A1）、（A2）且二者相互独立.若F∈S*，则对任意c＞λEX1，当x→ ∞时，对于t≫0一致成立.引理2[8] 设F∈L，则对任意δ＞0，存在常数x0使得对于任意x≥x0及0≤y≤x-x0一致成立.定理1的证明：对于任意δ＞0，令根据强大数定律，我们有从而，我们有因此，对于任意存在充分大的l，使得进一步地，由知F∈S*⊂L知，存在充分大的x1＞l，对于任意x＞x1，有假设f（x）是最终趋于无穷的函数，则由引理1，存在充分大的 l＞1，对于任意 x ＞l及 t＞f（x），因此，当 x ＞ x1且 t＞ f（x）时，由式（6）-（8）得为证明上界部分，对于任意0＜δ＜γ，记则当x＞2l时，结合ET1＜0知，存在充分小的0＜κ＜β（γEY1）-1使得根据Markov不等式，我们有容易证明，M1同分布于其中独立于 M，同分布于η1.根据式（11）-（13）知，再次根据Markov不等式，对于任意x＞0，有根据文献[15]中的引理1，对任意ε＞0，若l＞0充分大，则对任意x＞l，因此，当 x ＞ max{x1，2l}时，由式（14）、（15）及式（7）知，不失一般性，假设 x＞ l时，f（x）＞（μλ）-1，则当 x＞max{x1，2l} 时，对于任意t≥f（x），μλt＞ 1.由式（14）与式（16）及知，根据引理1，当l＞1充分大时，对于任意x＞l及t＞ f（x），而根据式（18）及式（7），当 x＞x1时，对任意 t＞f（x），下面处理 I3（x，t）.根据引理 2，当 l充分大时，对于任意l≤y≤x-y，不失一般性，假设l充分大，使得由式（18）、（20）、（21）及（7）得，当 x ＞ max{x1，2l}时，对于任意t≥f （x），由式（10）、（17）、（18）及（20）得根据式（9）、（23），以及ε 和δ的任意性，立得式（4）.参考文献：【相关文献】[1]BOUCHERIE R J，BOXMA O J，SIGMAN K.A note on negative customers，GI/G/1 workload，and risk processes［J］.Probability in the Engineering and InformationalSciences，1997，11（3）：305-311.[2]杨善朝，马翀，谭激扬.保险费随机收取的风险模型［J］.经济数学，2004，21（1）：1-5.[3]LABBÉ C，SENDOVA K P.The expected discounted penalty function under a risk model with stochastic income［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215（5）：1852-1867.[4]ZHANG Z M，YANG H.On a risk model with stochastic premiums income and dependence between income and loss［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，234（1）：44-57.[5]赵金娥，李明，何树红.一类稀疏风险模型的 Gerber-Shiu函数和最优红利策略［J］.应用概率统计，2014，30（4）：439-448.[6]赵金娥，李明，何树红.常利率下分红稀疏风险模型的期望折现罚金函数［J］.郑州大学学报（理学版），2015，47（3）：37-42.[7]CHENG J H，WANG D H.Ruin probabilities for a twodimensional perturbed risk model with stochastic premiums［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2016，32（4）：1053-1066.[8]CHENG D，YU C.Asymptotic for the ruin probabilities of a two-dimensional renewalrisk model［J］.Dynamic Systems and Applications，2017，26（3）：517-534.[9]LI J Z.A note on the finite-time ruin probability of a renewal risk model with Brownian perturbation［J］.Statistics&Probability Letters，2017，127：49-55.[10]YANG H Z，LI J Z.Asymptotic ruin probabilities for a bidimensional renewal risk model ［J］.Stochastics，2017，89（5）：687-708.[11]ASMUSSEN S，ALBRECHER H.Ruin probabilities［M］.London：World Scientific，2010：293-328.[12]FOSS S，KORSHUNOV D，ZACHARY S.An introduction to heavy-tailed and subexponential distributions［M］.New York：Springer-Verlag，2013：66-86.[13]KO ETOVA J，LEIPUS R，IAULYS J.A property of the renewal counting process with application to the finite-time ruin probability［J］.Lithuanian Mathematical Journal，2009，49（1）：55-61.[14]WANG Y B，CUI Z L，WANG K Y，et al.Uniform asymptotics of the finite-time ruin probability for all times［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2012，390（1）：208-223.[15]EMBRECHTS P，GOLDIE C M，VERAVERBEKE N.Subexponentiality and infinite divisibility［J］.Probability Theory and Related Fields，1979，49（3）：335-347.。

保险系统中一类双险种风险模型的破产概率

保险系统中一类双险种风险模型的破产概率
王晶刚;刘再明;周永卫
【期刊名称】《数学理论与应用》
【年(卷),期】2005(025)001
【摘要】本文研究了一类双险种风险模型,对此模型得到了最终破产概率的一般表达式和破产概率的一个上界估计.
【总页数】4页(P39-42)
【作者】王晶刚;刘再明;周永卫
【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410075;中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410075;中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410075【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.一类双险种时间盈余风险模型的破产概率 [J], 夏梓祥;李江奇;高鑫;何树红;张立敏
2.一类双险种风险模型的破产概率 [J], 赵金娥;王贵红;龙瑶
3.一类双险种的广义复合双Poisson风险模型下的破产概率 [J], 陈新美;李占光
4.一类双险种离散风险模型的破产概率 [J], 张梦瑶;宿婧
5.多险种双二项比例再保险风险模型的破产概率 [J], 温晓楠;董立伟;冯鑫鑫;王明伟
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一类复合风险模型的破产概率

令ｇｒ＝一ｒｐ（ｒ一１＋［ｒ，一１即证。（）Ｃ＋［一）】ＡＭ（）】
引理３２Ｙ程ｇ０＝在ｒＯ．：（０＞内有唯一的正解Ｒ，称此解为调节并系数。其中，｛），是取值于［）非负独立同分布的随 ① ｛｝０上，证明：＝时，（）０当ｒ０ｇＯ＝
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令：ｆ∑ 一表保公在刻的利其中Ｒ是调节系数。）ｃ ∑ 示险司时ｔ盈部＋分，模型（）则１可重写为：
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具有平稳独立增量。１引言 … 科 ∑ 风险模型理论，保险精算数学中重要的研究内容，要研究是主引理３１盈利过程｛，：≥０，．对（ｔ｝存在函数ｇＯ，得：）（使的是破产概率及相关内容。经典Ｐｉｓｎ险模型中，费率Ｃｏｓｏ风保为一
正常数，费到达过程与索赔过程是独立的，种假设在数学上可保这以得到非常优美的结果。但是，着人们保险意识的增强，随以及保
一
㈨＿ ∑．
其中：
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险市场竞争的日趋激烈，险模型也越来越复杂。文考虑这样一保本
ｉ＝１
Ⅳ
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一类双险种风险模型的破产概率

第38卷第1期西南师范大学学报(自然科学版)2013年1月V o l.38N o.1J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)J a n.2013文章编号:10005471(2013)01001606一类双险种风险模型的破产概率①赵金娥1,王贵红2,龙瑶11.红河学院数学学院,云南蒙自661100;2.玉溪农业职业技术学院计科系,云南玉溪653106摘要:对索赔次数为复合P o i s s o n-G e o m e t r i c过程的双险种风险模型进行研究,给出了初始资本为0时破产概率的具体表达式,并得到了在初始资本为u时破产概率的近似估计及指数分布下的表达式.关键词:P o i s s o n-G e o m e t r i c过程;风险模型;破产概率;指数分布中图分类号:O211.67文献标志码:A保险风险理论是当前精算界和数学界及保险业研究的热门课题,主要处理保险事务中的随机风险模型,并研究调节系数和破产概率等问题.在经典风险模型及其推广[1-4]中,总是假设索赔次数为齐次P o i s s o n过程,而P o i s s o n过程的一个重要性质是方差与均值相等,即风险事件和索赔事件是等价的.但在保险公司的实际业务中,风险事件和索赔事件有可能不是等价的,特别是在保险公司推出免赔额制度和无赔款折扣制度后,投保人在发生事故时会权衡其利益得失而决定是否进行索赔,从而使得索赔次数往往小于事故发生次数.文献[5-7]针对这一问题进行研究,在保险公司对某同质保单组合实施免赔额制度和无赔款折扣制度的背景下,引入了一类描述索赔计数过程为复合P o i s s o n-G e o m e t r i c过程的风险模型,并给出了破产概率所满足的更新方程及上界估计.然而这些研究均假设索赔到达时刻只有一种风险,这给数学处理相应地带来了方便.由于随着保险公司经营规模的日益扩大及新险种的不断开发,必然导致多元化经营,而且某一保险事故发生时可能会同时面临多个风险,因此有必要为单一险种提供更为客观实际的风险模型.本文对文献[5-7]进行推广,建立索赔次数为复合P o i s s o n-G e o m e t r i c过程的双险种风险模型,给出当初始资本为0时破产概率的具体表达式,并得到在初始资本为u时破产概率的近似估计及指数分布下的表达式.使得模型更接近保险公司的实际经营运作,从而对保险监管部门设计某些监管指标系统以及保险公司设计相应的财务预警系统等问题有直接的参考和指导作用.1模型引入定义1设(Ω,F,P)是一个完备的概率空间,本文所有的随机变量都定义在这个空间上,则对uȡ0,tȡ0,定义保险公司在t时刻的盈余为:U(t)=u+c t-ðN1(t)i=1X i-ðN2(t)i=1Y i其中:u和c为常数,u表示保险公司的初始资本,c表示每张保单的保险费;{N1(t),tȡ0}表示第一类险种在[0,t]时间内发生的索赔次数,{N2(t),tȡ0}表示第二类险种在[0,t]时间内发生的索赔次数;X i表①收稿日期:20111028基金项目:国家自然科学基金项目(11161020);云南省科技厅自然科学研究基金项目(2008C D186);云南省教育厅科研基金项目Copyright©博看网. All Rights Reserved.(2011C121);红河学院博硕科研启动基金项目(X J1S0923).作者简介:赵金娥(1978),女,云南大理人,讲师,主要从事金融数学方面的研究.示第一类险种第i 次的索赔额,Y i 表示第二类险种第i 次的索赔额.对上述模型作如下假设:(1){X i ,i ȡ1},{Y i ,i ȡ1}是均值为μ1,μ2的非负独立同分布随机变量序列,其分布函数分别为F X (x ),F Y (y ),密度函数为f X (x ),f Y (y ),且F *k X (x ),F *k Y (y ),f *k X (x ),f *kY (y )分别为F X (x ),F Y (y ),f X (x ),f Y (y )的k 重卷积;(2){N 1(t ),t ȡ0},{N 2(t ),t ȡ0}是参数分别为(λ1,ρ1)(0ɤρ1<1),(λ2,ρ2)(0ɤρ2<1)的P o i s s o n -G e o m e t r i c 过程;(3){X i ,i ȡ1},{Y i ,i ȡ1},{N 1(t ),t ȡ0},{N 2(t ),t ȡ0}相互独立.记S (t )=c t -ðN 1(t)i =1X i -ðN 2(t)i =1Y i ,表示保险公司在t 时刻的盈利.为保证保险公司的稳定运作,通常要求E [S (t )]>0,即c -λ11-ρ1μ1-λ21-ρ2μæèçöø÷2t >0,并由此定义相对安全负荷系数θ=c λ11-ρ1μ1+λ21-ρ2μ2-1>0.定义2 记T =i n f {t ȡ0,U (t )<0},表示保险公司破产时刻(T =ɕ时,可认为∀t ȡ0均有U (t )ȡ0,即破产不会发生),则在初始资本为u 的条件下,定义保险公司的最终破产概率为ψ(u )=Pr {T <ɕ|U (0)=u },φ(u )=1-ψ(u )为生存概率.2 预备引理引理1 l i m t ңɕU (t )=ɕ,a .s ..证当t ңɕ时,N 1(t )ңɕ,N 2(t )ңɕ,则由强大数定律和文献[8]有l i m t ңɕU (t )t =l i m t ңɕu t +l i m t ңɕc t t -l i m t ңɕðN 1(t)i =1X i N 1(t )㊃N 1(t )éëêêêùûúúút -l i m t ңɕðN 2(t)i =1Y i N 2(t)㊃N 2(t )éëêêêùûúúút =c -λ11-ρ1E [X i ]-λ21-ρ2E [Y i ]=c -λ11-ρ1μ1-λ21-ρ2μ2>0,a .s .故l i m t ңɕU (t )=ɕ,a .s ..引理2 l i m u ңɕφ(u )=1,a .s ..证由引理1知,当t 充分大时,S (t )>0,即∃T >0,对∀t >T ,有S (t )>0,而在T 之前只有有限次索赔发生,故i n f t <T S (t )以概率1有下界,即i n f t ȡ0S (t )>-ɕ,a .s .,因此,当u ңɕ时,有U (t )ңɕ,从而l i m u ңɕφ(u )=1,a .s ..引理3[5]设{N i (t ),t ȡ0}是参数为(λi ,ρi )(i =1,2)的复合P o i s s o n -G e o m e t r i c 过程,αi =λi (1-ρi )ρi (ρi =0时,αi =λi ;i =1,2),则当t 足够小时有P r {N i (t )=0}=e -λi t =1-λit +o (t )P r {N i (t )=k }=αi ρki t +A k (i )(t )o (t ),k =1,2, 其中A k (i)(t )=ρi k+(k -1)[ρi (1+αi t )]k -2,o (t )与k 无关,且ðɕk =0A (i)k (t )一致收敛(i =1,2).3 主要结果定理1 记f ρ1(x )=ðɕk =1(1-ρ1)ρk -11f X *k(x ),f ρ2(y )=ðɕk =1(1-ρ2)ρk -12f Y *k (y ),若θ>0,则ψ(0)=11+θ.71第1期赵金娥,等:一类双险种风险模型的破产概率Copyright ©博看网. All Rights Reserved.证由全概率公式及引理3,有:φ(u )=[1-λ1Δt +o (Δt )][1-λ2Δt +o (Δt )]φ(u +c Δt )+[1-λ1Δt +o (d t )]ðɕk =1ʏu +c Δt 0φ(u +c Δt -y )d F *k Y (y )[α2ρk 2Δt +A (2)k (Δt )o (Δt )]+[1-λ2Δt +o (d t )]ðɕk =1ʏu +c Δt 0φ(u +c Δt -x )d F *k X (x )[α1ρk 1Δt +A (1)k (Δt )o (Δt )]+o (Δt )经整理,得φ(u )-φ(u +c Δt )=-(λ1+λ2)Δt φ(u +c Δt )+ðɕk =1ʏu +c Δt 0φ(u +c Δt -y )d F *k Y (y )[α2ρk 2Δt +A (2)k (Δt )o (Δt )]+ðɕk =1ʏu +c Δt 0φ(u +c Δt -x )d F *k X (x )[α1ρk 1Δt +A (1)k (Δt )o (Δt )]+o (Δt )因0ɤρi <1(i =1,2),由文献[5]知ðɕk =1ρk1f *k X(x ),ðɕk =1ρk2f *k Y(y ),ðɕk =1A (1)k(Δt )f *kX(x ),ðɕk =1A (2)k (Δt )f *kY (y )均一致收敛,所以φ(u )-φ(u +c Δt )=-(λ1+λ2)Δt φ(u +c Δt )+ʏu +c Δt 0φ(u +c Δt -y )ðɕk =1α2ρk 2f *kY (y ())d y Δt +ʏu +c Δt 0φ(u +c Δt -x )ðɕk =1α1ρk 1f *kX (x ())d x Δt +o (Δt )又因为αi =λi (1-ρi )ρi (i =1,2),故φ(u )-φ(u +c Δt )=-(λ1+λ2)Δt φ(u +c Δt )+λ1Δt ʏu +c Δt 0φ(u +c Δt -x )f ρ1(x )d x +λ2Δt ʏu +c Δt 0φ(u +c Δt -y )f ρ2(y )d y+o (Δt )上式两边同除c Δt ,并令Δt ң0,有φᶄ(u )=λ1+λ2c φ(u )-λ1c ʏu 0φ(u -x )f ρ1(x )d x -λ2c ʏuφ(u -y )f ρ2(y )d y (1)(1)式两端关于u 从0到z 积分,有φ(z )-φ(0)=λ1+λ2c ʏz0φ(u )d u -λ1cʏz 0ʏu 0φ(u -x )f ρ1(x )d x d u -λ2cʏz 0ʏuφ(u -y )f ρ2(y )d y d u =λ1+λ2c ʏzφ(u )d u +λ1c ʏz 0ʏuφ(u -x )d (1-F ρ1(x ))d u +λ2c ʏz 0ʏuφ(u -y )d (1-F ρ2(y ))d u =λ1c ʏzφ(z -x )(1-F ρ1(x ))d x +λ2cʏzφ(z -y )(1-F ρ2(y ))d y 其中F ρ1(x )=ðɕk =1(1-ρ1)ρk -11F *kX(x ),F ρ2(y)=ðɕk =1(1-ρ2)ρk -12F *k Y (y ),令z ңɕ,有φ(ɕ)-φ(0)=λ1cʏɕ0φ(ɕ)(1-F ρ1(x ))d x +λ2c ʏɕ0φ(ɕ)(1-Fρ2(y ))d y =λ1c φ(2)由引理2知φ(ɕ)=1,则(2)式即为:81西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷1-φ(0)=λ1c μ11-ρ1+λ2c μ21-ρ2(3)将θ=cλ11-ρ1μ1+λ21-ρ2μ2-1带入(3)式,并整理得1-φ(0)=11+θ,又因为φ(u )=1-ψ(u ),所以ψ(0)=11+θ.定理2 对θ>0,若存在R >0使得:ʏɕ0λ1c(1-F ρ1(x ))e R xd x +ʏɕ0eR y λ2c(1-F ρ2(y ))d y =1则R 是方程λ1c h 1(r )+λ2ch 2(r )=r 的解,且l i m u ңɕe R uψ(u )=θ(1+θ)λ1c h ᶄ1(R )+λ2ch ᶄ2(R )-éëêêùûúú1其中:h 1(r )=ʏɕ0e r xd F ρ1(x )-1,h 2(r )=ʏɕ0e r y d F ρ2(y)-1.证由φ(u )=φ(0)+λ1c ʏu 0φ(u -x )(1-F ρ1(x ))d x +λ2c ʏuφ(u -y )(1-F ρ2(y ))d y 及ψ(u )=1-φ(u ),有ψ(u )=λ1c ʏu 0ψ(u -x )(1-F ρ1(x ))d x +λ2c ʏuψ(u -y )(1-F ρ2(y ))d y +λ1c ʏɕu(1-F ρ1(x ))d x +λ2cʏɕu(1-F ρ2(y ))d y (4) 因为ʏɕ0λ1c (1-F ρ1(x ))d x +ʏɕλ2c (1-F ρ2(y ))d y =λ1c μ11-ρ1+λ2c μ21-ρ2=11+θ<1,所以(4)式为瑕疵更新方程,(4)式两边同乘e R u,得e R uψ(u )=λ1c e R u ʏu 0ψ(u -x )(1-F ρ1(x ))d x +λ2c e R uʏu0ψ(u -y )(1-F ρ2(y ))d y +λ1c e R uʏɕu (1-F ρ1(x ))d x +λ2ce R uʏɕu(1-F ρ2(y ))d y由关键更新定理,得l i m u ңɕe R uψ(u )=c 1c 2,其中c 1=ʏɕ0e R u ʏɕu λ1c(1-F ρ1(x ))d x +ʏɕu λ2c (1-F ρ2(y ))d éëêêùûúúy d u c 2=ʏɕ0x λ1c (1-Fρ1(x ))e R xd x +ʏɕ0y λ2c (1-Fρ2(y ))e R y d y由条件知:存在常数R >0使得:ʏɕ0λ1c(1-F ρ1(x ))e R xd x +ʏɕ0eR yλ2c(1-F ρ2(y ))d y =1即λ1cʏɕ0e R xd F ρ1(x )-[]1+λ2cʏɕ0e R yd F ρ2(y )-[]1=R 亦即λ1c h 1(R )+λ2ch 2(R )=R (5)所以R 是方程(5)的一个正解.而c 1=ɕ0e R u ɕu λ1c(1-F ρ1(x ))d x +ʏɕu λ2c (1-F ρ2(y ))d éëêêùûúúy d u =91第1期赵金娥,等:一类双险种风险模型的破产概率Copyright ©博看网. All Rights Reserved.ʏɕ0λ1c(1-F ρ1(x ))ʏx 0e R ud u d x +ʏɕ0λ2c(1-F ρ2(y ))ʏy0e R ud u d y =λ1c Rʏɕ0(1-F ρ1(x ))e R x d x -λ1c R μ11-ρ1+λ2c R ʏɕ0(1-F ρ2(y ))e R y d y -λ2c R μ21-ρ2=1R 1-11+éëêêùûúúθc 2=ʏɕ0x λ1c(1-F ρ1(x ))e R xd x +ʏɕ0y λ2c(1-F ρ2(y ))e R y d y =ʏɕ0λ1c (1-Fρ1(x ))d x R -1R æèçöø÷2e éëêêùûúúR x +ʏɕ0λ2c(1-F ρ2(y ))d y R -1R æèçöø÷2e R éëêêùûúúy =1R 2λ1+λ2c +λ1c R h ᶄ1(R )-λ1c R 2[h 1(R )+1]+λ2c R h ᶄ2(R )-λ2c R2[h 2(R )+1]=λ1c R h ᶄ1(R )+λ2c R h ᶄ2(R )-1R所以l i m u ңɕe R uψ(u )=c 1c 2=θ(1+θ)λ1c h ᶄ1(R )+λ2ch ᶄ2(R )-éëêêùûúú1.定理3 若{X i ,i ȡ1},{Y i ,i ȡ1}均服从参数为a 的指数分布,且ρ1=ρ2=ρ,则ψ(u )=11+θe -θa (1-ρ)1+θu l i m u ңɕe R u ψ(u )=11+θ其中R 是方程λ1+λ2ch (r )=r 的解,此处h (r ):=h 1(r )=h 2(r ).证由于{X i ,i ȡ1},{Y i ,i ȡ1}均服从参数为a 的指数分布,因此f X *k (x ),f Y *k(y )是参数为(k ,a )的G a mm a 分布密度,即f X *k (x )=a k x k -1(k -1)!e -a x ,f Y *k(y )=a k y k-1(k -1)!e -a y ,所以f ρ1(x )=ðɕk =1(1-ρ)ρk -1f X *k (x )=(1-ρ)a e -(1-ρ)a x 同理f ρ2(y)=(1-ρ)a e -(1-ρ)a y .记a *=(1-ρ)a ,则由(1)式有φᶄ(u )=λ1+λ2c φ(u )-λ1c ʏu 0φ(u -x )a *e -a *x d x -λ2c ʏu 0φ(u -y )a *e -a *y d y (6)对(6)式两边关于u 求导,得φᵡ(u )=λ1+λ2c φᶄ(u )-λ1+λ2c a *φ(u )+λ1ca *ʏu 0φ(u -x )a *e -a *xd x +λ2ca *ʏu 0φ(u -y )a *e -a *y d y(7)由(6),(7)式有φᵡ(u )-λ1+λ2c -a æèçöø÷*φᶄ(u )=0,解之得φ(u )=A +B e (λ1+λ2)-c a *c u.由φ(ɕ)=1及φ(0)=11+θ,得A =1,B =-11+θ,所以ψ(u )=11+θe (λ1+λ2)-c a *c u=11+θe -θa *1+θu =11+θe -θa (1-ρ)1+θu 又由定理2易得l i m u ңɕe R uψ(u )=11+θ.参考文献:[1]G R A N D E I I J .A s p e c t s o fR i s kT h e o r y [M ].N e w Y o r k :S p r i n g e r -V e r l a g ,1991:1-32.[2] 唐加山,励源芝.基于进入过程带扰动风险模型的破产概率[J ].重庆邮电大学学报:自然科学版,2009,21(6):825-827.2西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.[3] B O I K O V A V.T h eC r a m ér -L u n d b e r g M o d e l w i t hS t o c h a s t i cP r e m i u mP r o c e s s [J ].T h e o r y o f P r o b a b i l i t y a n d i t sA p p l i -c a t i o n s ,2003,47(3):489-493.[4] 赵金娥,轩素梅,穆凤.退保因素下保费收入为复合P o i s s o n 过程的风险模型[J ].西南大学学报:自然科学版,2009,31(7):53-57.[5] 毛泽春,刘锦萼.索赔次数为复合P o i s s o n -G e o m e t r i c 过程的风险模型及破产概率[J ].应用数学学报,2005,28(3):419-428.[6] 廖基定,龚日朝,刘再明,等.复合P o i s s o n -G e o m e t r i c 风险模型G e r b e r -S h i u 折现惩罚函数[J ].应用数学学报,2007,30(6):1076-1085.[7] 周绍伟.双复合P o i s s o n -G e o m e t r i c 风险模型及其破产概率[J ].山东大学学报:理学版,2009,44(12):60-63.[8] 何声武.随机过程引论[M ].北京:高等教育出版社,1999.O nR u i nP r o b a b i l i t y o f aD o u b l e -T y pe I n s u r a n c eR i s k M o d e l Z HA OJ i n -e 1, WA N G G u i -h o n g 2, L O N G Y a o 11.C o l l e g eo fM a t h e m a t i c s ,H o n g h eU n i v e r s i t y ,M e n gz i Y u n n a n 661100,C h i n a ;2.D e p a r t m e n t o f C o m p u t a t i o na n dS c i e n c e ,Y u x i A g r i c u l t u r a l V o c a t i o nC o l l e ge ,Y u x i Y u n n a n 653106,C h i n a A b s t r a c t :Ad o u b l e -t y p e i n s u r a n c e r i s km o d e l h a s b e e nd i s c u s s e d i n t h i s p a p e r t h a t t h e c l a i mn u m b e r s i s a c o m p o u n dP o i s s o n -G e o m e t r i c p r o c e s s .T h e e x p l i c i t e x p r e s s i o no f r u i n p r o b a b i l i t y w i t hz e r o i n i t i a l r e s e r v e h a s b e e nd e r i v e d .M e a n w h i l e ,t h e a p p r o x i m a t e e s t i m a t e a n d t h e e x p r e s s i o nu n d e r e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n o f r u i n p r o b a b i l i t y wi t h i n i t i a l r e s e r v e u h a v eb e e no b t a i n e d .K e y w o r d s :P o i s s o n -G e o m e t r i c p r o c e s s ;r i s km o d e l ;r u i n p r o b a b i l i t y ;e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n 责任编辑张栒12第1期赵金娥,等:一类双险种风险模型的破产概率Copyright ©博看网. 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一类多险种风险模型的破产概率

收稿日期：2022-01-12基金项目：贵州省教育厅青年人才成长项目“几类风险模型的破产问题研究”，项目编号：黔教合KY 字[2020]144。

作者简介：孙歆（1981-），女，河南周口人，贵州工程应用技术学院理学院副教授。

研究方向：随机分析及其应用。

摘要：考虑索赔过程是平稳无后效流的多险种风险模型，在索赔额的分布是长尾分布时，得到有限时间破产概率和无限时间破产概率的渐近表达式，推广了相关文献的结论。

关键词：多险种风险模型；破产概率；长尾分布中图分类号：O17文献标识码：A文章编号：2096-0239（2022）03-0007-05一类多险种风险模型的破产概率孙歆（贵州工程应用技术学院理学院，贵州毕节551700）2022年第3期第40卷（总第218期）NO.3，2022Vol.40General No.218贵州工程应用技术学院学报JOURNAL OF GUIZHOU UNIVERSITY OF ENGINEERING SCIENCE1模型建立经典风险模型中，保险公司在时刻的盈余过程如下，(1)其中为保险公司的初始资本，为险种在单位时间内收取的保险费，索赔过程是参数为的Poisson 过程，为险种索赔额，独立同分布且分布函数为，期望。

随着当今经济金融环境的复杂多变和理论研究的深入，学者们对经典风险模型(1)进行了各种推广，如文献[1，2]将索赔过程推广为更新过程，研究其破产概率，文献[3]将模型由单一险种推广双险种更新风险模型并研究其破产概率，上述推广模型中索赔额的分布都是轻尾分布。

近年来，重尾分布的破产论已成为当前风险理论的重要内容。

重尾分布的风险模型适用于火险、风暴险与洪水险等灾难性保险。

文献[4]在这方面开展了较系统的研究，而且有限时间内的破产概率研究更有意义，因此文献[5]研究了一类更新风险模型，得到了索赔额为强次指数分布族时有限时间破产概率的渐近估计式；文献[6]在索赔分布是长尾分布族的情况下得到了其有限时间破产概率的渐近估计式；文献[7]考虑非标准更新风险模型有限时间破产概率的一致渐近估计，在索赔额为强次指数分布族时得到了有限时间破产概率的渐近估计式；文献[8]考虑一类时间相依复合更新模型，在索赔额为一致变化尾分布的条件下得到了其损失过程的尾概率的渐近估计，但是在索赔额是更大重尾分布子族情况下的多险种风险模型的研究还不多。

一类相依索赔风险模型的破产概率问题研究

e ∫
0
∞
- su
5 1 ( u ) d u. Κ ( ) () 5 1 s ς2 s ;
c
( 6) 两式取L ap lace 变换对 ( 5) 、 - 5 ( 0 + ) + s5 ( s ) = - 5 1 ( 0 + ) + s5 1 ( s ) =
Κ ( ) 5 s c
Κ ( ) ( ) 5 s ς1 s c
第 36 卷第 9 期 2006 年 9 月
数学的实践与认识 M A TH EM A T ICS I N PRA CT ICE AND TH EO R Y
V o l136 N o 19 Sep. , 2006
一类相依索赔风险模型的破产概率问题研究
解俊山, 赵选民
( 西北工业大学应用数学系, 西安 710072)
- Κ t 0 0
∞
u + ct
∞
0
- Κ t
u + ct
0
1
( 4)
令 l = u + ct 代入上面两式中, 并关于 u 求导得
96
数学的实践与认识
36 卷
d 5 (u ) Κ ( ) = 5 u du c -
Κ
c
P (y < ∫
0 1
u
T ) 5 (u -
y ) d F (y )
[4 ] [5 ] . 对索赔额或索赔计数过程相关情 Yuen 、 J uo 等研究了有副索赔发生时的保险风险模型
况下风险模型的研究[ 6—8 ] 已成为风险理论界研究的热点之一 . 在文献 [ 5 ] 等的基础上, 本文考虑这样一种相依风险模型: 即在经典风险模型的基础上, 当每次索赔发生时, 将索赔额随机变量取值与一阈值随机变量的取值进行比较而随机产生一延迟的副索赔, 使每次的索赔额随机变量由独立同分布推广到时间相依情形; 且在处理方法上, 克服了对于连续风险模型尤其是在索赔额服从非指数分布情况下难以求解出破产概率的缺陷; 得到了该模型在索赔额服从特定轻尾分布条件下的最终破产概率, 以及重尾分布条件下最终破产概率的极限上下界.

一类风险模型的破产概率

第３６卷
第２期
曲
阜
师
范
大
学
Ｖ０＿６ｌ３ＮＯ．２
２１００年４月
ＪｕｎｌｏＱｆＮｒａｏｒａｆｕｕｏｍｌ
Ａｐ．２０ｒ０１
一
类风险模型的破产概率
毕秀春 ①，李荣①，苏玉霞①，刘绪启 ②
险公司破产概率的影响程度，们需要建立风险模型来解决这个问题．王超等在文献［］我１中提出的带随机
重延迟的大额索赔更新风险模型可以来刻画这一类问题，且他们研究了模型的局部破产概率；毕秀春等并
作者简介：秀春，，９８，士，师；究方向：用概率统计．－ａｌｂｃｆｕ１３ｃｒ毕女１７一硕讲研应Ｅｍｉ：ｘｑｎ＠６．ｏｎ
３６
曲阜师范大学学报（自然科学版）
２１００卑
通过对模型的研究我们就可以初步了解各种无法预料的索赔在导致保险公司破产的诸因素中所占比重，中也能看出此模型下的破产概率与经典风险模型中的区别与联系．从通篇约定，对一个具有有限期望＞０和分布Ｆｘ（）＝ＰＸ￣ｘ的非负随机变量，尾分布为（（）其）＝
关键词：破产概率，更新风险模型，重尾分布
中图分类号：２１３Ｏ１．０１．；２３２
文献标识码：Ａ

具有相依利率的离散时间风险模型破产概率的上界

具有相依利率的离散时间风险模型破产概率的上界摘要：本文旨在研究离散时间风险模型中具有相依利率的公司破产概率的上界。

通过构建利率树和破产概率树，先对每个时点的破产概率进行预测，然后基于相依利率下的辅助树，得到整个时间区间内的破产概率上界。

实证结果表明，本文提出的方法不仅能够简明有效地估计风险模型的破产概率，而且具有较高的精度和稳健性。

关键词：离散时间风险模型；相依利率；破产概率；利率树；破产概率树；破产概率上界一、简介破产概率是金融风险管理中的核心问题，它可以帮助企业和投资者评估其资产负债风险，制定风险防范和应对策略。

然而，由于市场风险、信用风险、操作风险等多种因素的复杂相互作用，具有相依利率的公司破产概率计算一直是金融学、精算学等领域的难点问题，更是实际应用中的瓶颈之一。

基于此，本文提出了一种离散时间风险模型中具有相依利率的公司破产概率的上界计算方法。

具体来说，本文首先通过构建利率树和破产概率树，预测每个时点的破产概率；然后基于辅助树，确定整个时间区间内的破产概率上界。

最后，本文通过对比实证数据和模拟数据，验证了所提方法的准确性和有效性，证明其在破产概率的测算中具有重要的应用价值。

以下是本文的具体研究内容。

二、破产概率模型在研究具有相依利率的公司破产概率之前，我们需要先了解一些破产概率模型的基本知识。

1. 定义破产概率是指企业在一定时间内经营失败的概率。

在计算破产概率时，通常使用的是Kaplan-Meier生存分析法或基于随机过程的Cox比例风险模型等方法。

2. 影响因素破产概率的大小取决于多种因素，其中包括经济、市场、公司本身等因素。

常见的影响因素有财务稳定性、回报率、流动性、管理自由度等。

三、具有相依利率的风险模型在实际应用中，通常需要考虑利率的影响因素。

然而，由于不同公司之间的利率水平不同，单独估计各个公司的破产概率容易受到利率波动的影响，因此需要考虑相依利率下的破产概率计算方法。

1. 离散时间模型通常情况下，我们将时间分成若干个小段，然后在每个时间段内分别计算破产概率。

一类相关多险种风险模型的破产问题研究

财产的损失（）２事故只会单独引起财产损失而人身没有受到伤害（）３事故引起人身和财产同时发生损失（）４事故时人身和财产都没有损失只有汽车本身
发生损失。我们假设汽车车身险为险种工，由它引起的财产损失险为险种 Ⅱ，由它引起的人身意外伤害险为险种 Ⅲ ，么险种 ⅡⅢ的发生显然与险种工那是相关的且一般情况下险种 Ⅱ与险种 Ⅲ互不影响即相互独立。车发生事故时总会以一定的概率引汽起其他险种要求索赔，而在不同的时刻，车引起其汽他险种要求索赔的概率有可能不同，们假设这些我概率分别都是与时间有关的函数，种情况是可能这发生的，面我们就来讨论这种情况下保险公司破下
实际情况中，每次汽车发生事故时，有这样几种情况
［收稿日期］２０—０—１ｏ８５ｏ［基金项目］安徽省高校自然科学研究项目（０６Ｊ２Ｂ２０ＫＯ８）［第一作者简介］谢娟（９０女，１８～）安徽淮北人，硕士研究生，建筑工业学院数理系教师。安徽
给定概率空间（。Ｐ，下定义的随机过程ｎ，Ｆ，）以
其他险种同时要求索赔。在这篇文章里，我们将这
些概率推广到更一般的与时间相关的函数，对非用齐次Ｐｉｏｏｓｎ过程的稀疏与分解将相关多险种风险ｓ模型转化为独立多险种风险模型，明了转化的合证

Markov链利率下相依风险模型破产概率的上界

（）４
其中：ａ＋，＞１Ｘ＝Ｘｎ；：一Ｚ，＞１初始值：ｏｊ６＋ｎ；１，＝ｏＣＹ；ｌ，可以理解为在新时期依然保留的旧业务所占的比重；表示保险公司在第１时期新增加的业务；可以理解为依旧保留的旧。７，ｂ业务在新时期产生的索赔在新时期索赔中所占比例；示新增加业务产生的索赔额；｛，Ｚ表 ≥１和｝｛ｎ｝Ｚ，＞是两个ｉｉｄ的非负随机变量列，ｌ１．．．分布分别为Ｆ（）： ≤ ）Ｃ（）Ｐ（和ｚ＝Ｐ（．为了Ｚ≤ ）保证平稳性，本文假设０＜和０＜． ≤０１ ≤ｂ１，表示第几时期的利率，假设｛ｎＩ≥ １｝一个齐次ＭｒｏＩ，ｔ，是ａｖ链，状态空间为Ｅ＝ｋ
ｉｉｓ０ｈｄ１ｎｗｈｉｈｔｅｕｒｅｅｖｄａｈｅｉｎｉｇｏａｈｐｅｏｎｔｔｅｅｄｏａｈｔｅｆｔｅｍ０ｅｓ．ｉｃｈｅｐｒｍｉｍｓａｅｒｃｉｅｔｔｅｂｇｎｎｆｅｃｒｄａｄａｈｎｆｅｃｉ
ＵｐｅｕｄｏｉｏａｉｉｉｓｉｐｎｅｔＲｉｋＭｏｅｐｒＢｏｎｓｆｒＲｕｎＰｒｂｂｌｅｎＤｅｅｄｎｓｔｄｌｗｉｈＭａｋｖＣｈａｎＩｔｒｓｔｔｒｏｉｎｅｅｔＲａｅ
（，，ｏ０Ｐ＜∞ Ｉｏ，ｏ：，０：Ｙ，０＝０ｕＹ，）：｛０＝ｕＸ０ｙＵ０，｝＝

一类聚合风险及破产概率的研究的开题报告

一类聚合风险及破产概率的研究的开题报告题目：一类聚合风险及破产概率的研究研究背景：聚合风险是指在保险业中，由于保险公司所接受的各类保单理赔概率的相互影响，导致保险公司面临的总体风险不同于其单个保单所面临的风险。

例如，在一个地区，由于自然灾害的影响，多个客户的财产同时受到损害，导致保险公司面临相当大的赔偿压力，这就是一种典型的聚合风险。

随着国内外保险市场的快速发展以及金融风险的增加，聚合风险对于保险公司的风险管理与资本充足率评估越来越重要。

聚合风险的理论研究和实践探索，已成为当前保险学科研究的热点。

研究内容：本课题将从统计学和概率论角度出发，综合运用经典聚合风险模型、分形分析理论及泊松过程等相关理论，研究一类聚合风险及其破产概率模型，探讨聚合风险对于保险公司的影响及其应对策略。

具体研究内容包括：1. 综述聚合风险及破产概率的现状及研究发展趋势，分析聚合风险的形成机理及其对于保险公司经营的影响。

2. 建立一类新的聚合风险及破产概率模型，研究聚合风险下的保险公司破产概率，探讨评估聚合风险所需的资本充足率。

3. 运用分形分析理论研究一类聚合风险下的客户理赔频率分布，通过数值模拟和实证分析，验证理论模型的合理性和实用性。

4. 探讨聚合风险下的保险公司应对策略，并针对不同类型的聚合风险给出相应的应对措施，为保险公司的风险管理提供理论指导和决策支持。

研究意义：本研究将有助于深入理解聚合风险的本质及其对保险公司经营的影响，为保险公司制定科学的风险管理措施提供重要支持。

同时，本研究将对推动我国聚合风险理论研究和保险市场的健康发展具有积极作用。

一类离散时间风险模型破产概率上界的估计

一
类离散时间风险模型破产概率上界的估计
钟朝艳
（靖师范学院数学系，南曲靖曲云摘６５１）５０１
要：过鞅方法导出一类利率具有一阶自回归相依结构的离散时间风险模型的破产概率的上界，通进
Ｉ（＋），：＝１，是独立与Ｉ１＝１｛， …｝２
同分布的非负随机变量序列．｛：后＝１２ … ｝，，，
｛：：１２ … ｝｛：＝１２ … ｝，，，，，相互独立．
不等式．本文将通过鞅方法导出利率具有一阶自
回归相依结构的离散时间风险模型的破产概率的上界，其证明方法比通过更新递推技巧证明来的
简单，并进一步证明了这里导出的破产概率的上
界优于经典模型导出的上界．
假定｛：＝１２ … ｝｛：＝１２ … ｝，，，，，，
一
＋
Hale Waihona Puke （＝１２３ … ），，，
（．）１３
模型中破产概率上界的有利工具，文献在利率
具有一阶自回归相依结构的情形下，过更新递通推技巧研究了离散时间风险模型的广义Ｌｎｂｒｕｄｅｇ
这里０≤ Ｏ１／０均为常数，ｔ＜，ｏ≥ 约定ｍ＞ｎ，
１２ … ｝，，分别表示第七期保险公司的保费收入和理赔支出，分别是独立与，ｙ同分布的非负随机变量序列．／＝１２ … ｝｛ｋ：，，是第七期的利率，是具有一阶自回归相依结构的非负随机变量序列，即｛ｋ：＝１２ … ｝足：／，，满

随机经济环境下的风险模型的破产概率

随机经济环境下的风险模型的破产概率
在随机经济环境下，风险模型的破产概率是计算投资者获得期望回报的基础。

在这种环境下，风险模型的破产概率可以用来估计投资者风险承受能力和风险等级，帮助投资组合管理者评估投资资产价值和风险特征，并有效地控制投资风险。

本文就随机经济环境下的风险模型破产概率进行了综述：
1.首先要确定破产概率的研究目标，确定破产的定义，以及相应的破产概率测
量指标；
2.其次，要探讨并选择可以衡量破产概率的模型，这些模型包括统计学模型求
解破产概率，系统动力学模型分析，混合系统模型等；
3.最后，要定义破产概率的参数，对模型做出校正和修正，改善破产概率模型，并实施有效的风险跟踪体系。

总体来说，要准确地计算破产概率，需要从定义、测量指标、模型及参数等方面研究，以衡量投资者面临的破产概率和风险收益特征，并有效地预测未来投资
风险。

在破产概率测量模型实施上，需要加以灵活运用，以适应市场、金融和经济环境变化，才能实现破产概率测量模型的可持续发展。

一类聚合风险模型及破产概率的研究

定义５特征函数定义为：：
，４ ∞ －
ｆ）Ｅｅ）ｅｄ（）（＝（＝ＪＦｘｔ慨
Ｊ一∞
（４１）
（）６
定义６概率母函数它主要是对离散的随机变量的定义：：
称为ＦＸ）Ｈ（的卷积，（，Ｙ）记作ｑ＝Ｈ。Ｆ
设ｘｘ，，，：… ｘ是独立同分布的随机变量，ｘ）ｉ１２Ｆ（（＝，，
０
［Ｆｘ］ｘ１（）－ｄ
－
【］郭元源、１陈瑶瑶、仁勇：市创业环境评价方法池城
研究及实证［科技进步与对策．０６２）『】２０（３
【２】蔡壮华、旭辉、耀伟：业环境评价指标体系杨李创构建Ｕ．业时代，０８３）Ｊ商２０（４．／］许俊、凌云：２环境影响因素研究现状及要３冯创，ｋ素模型探讨Ｕ．业时代，０９２）］商２０（２．
Ｊｏ＝Ｊ：
（）１ｏ
定义３数学期望定义：：
若ｘ是概率空间（Ｆ上的随机变量，是在ＦＲ，）Ｐ上的概率，若ｘ为离散型随机变量，则其数学期望为：
ＥＸ＝Ｅｘ（）（）ｊＰｊ（１１）
上式称为ＣａｒＬｎｂｒｒ－ｕｄｅｍｅｇ近似。经典风险模型很好的解决了单险种经典模型的破产概率问题，同时给出了初始资本为０或理赔额分布为指数分布时的
（３．１】
记Ｓｔ ∑ｘ表到刻ｔ止索总ｖ ≥ ，表时（：示时为的赔额，０它示刻ｔ）

一类保费随机风险模型的破产问题研究

‘
定义破产时刻Ｔ＝ｉｆｔ：０（）＜，ｆｎ｛ｔ，ｔ０｝ｉ＋＝∞．义破产概率为（ｎ定）＝Ｔ＜。ｕ（）＝ｕ，Ｐ（。Ｉｏ）生存概率为（）＝１（）一Ｕ．
Ｎ（）ｌ１ｕ（Ｏ
记ｓ￡ｃ＋∑ 一∑Ｘ，（表示盈利过程，（）＝ｔ则ｓ￡）为了保证保险公司的稳定经营，假设保费的收取率
９
２１００丘
菏
泽
学
院
学
报
第５期
２几个引理
引理１１ｌ（）＝∞ ａｓ；２ｌＰｕ）ｉｍＵｔ－．）ｉ（）＝１ａｓ；）利过程Ｓｔ具有平稳独立增量．ｍ（．．３盈（）证明１根据强大数定律知：）
大于单位时间期望理赔额，Ｅ（）＝（即Ｓｔｃ＋Ａ一Ａ＞０也就是定义了正相对安全负荷系数０＝），
！± ！！一１＞０
．
收稿日期：００— ４—２２１００
基金项目：山东省统计科研重点项目（Ｔ９４．Ｋ０１）作者简介：赵培臣（９０一）男，１８，山东单县人，助教，士，硕研究方向：随机过程及金融风险
关键词：险模型；风破产概率；最终生存概率
中图分类号：１．７Ｆ８００２１６；４文献标识码：Ａ
ⅣＩ（）
在经典风险模型中，盈余过程（）＝“ ｃ一∑ ，￡＋ｔ』＝１其中ｕＭ）（０为保险公司的初始资本，为保费收ｃ

运用随机过程模型分析企业破产风险

运用随机过程模型分析企业破产风险随机过程模型与企业破产风险随机过程模型是一种数学工具，用于描述随机变量随时间的变化。

它是人们对时间序列和随机事件的一种抽象描述。

在金融、经济、物理和生命科学等领域中，随机过程模型被广泛应用于风险评估、市场价值预测、生物现象模拟等方面。

在企业风险管理中，随机过程模型也具有重要的应用价值。

企业破产问题是一个复杂的随机过程，因此运用随机过程模型来分析企业的破产风险，既可以深入理解企业破产背后的本质规律，也可以有效地预测企业的未来发展趋势，并采取相应的风险控制措施。

企业破产问题是一个复杂的随机过程企业破产问题是一个多因素综合作用的复杂随机过程，其风险源头十分复杂，如市场风险、信用风险、经营风险、财务风险等，同时它还受到政策、法律等多方面因素的影响。

因此，在分析企业破产风险时，必须考虑各种相关因素，并建立一个完整的随机过程模型来描述企业破产风险从发生到结束的全过程。

建立随机过程模型的主要难点在于如何确定模型中的随机变量、状态转移概率、时间序列等重要参数。

基于不同的随机过程模型，我们可以建立各种不同的企业破产风险模型，比如马尔可夫模型、布朗运动模型、随机漫步模型等。

其中，马尔可夫模型是一种常用的随机过程模型，它的主要思想是将系统状态分为若干个不同的状态，并将相邻两个状态之间的转移概率建立起来。

因此，在对于企业破产问题的分析中，我们可以通过构建马尔可夫模型来描述企业的破产状态和相应的转移概率。

如何运用随机过程模型预测企业的破产风险在建立完整的随机过程模型后，我们还需要对企业的财务数据进行统计分析和建模。

比如，我们可以采用目前常用的判别分析方法，通过财务指标如流动比率、资产负债率、毛利率、经营现金流量等，对企业进行择时分析和评级。

在建立了财务分析模型和随机过程模型之后，我们就可以通过模型进行企业破产率的计算，以此判断企业当前的风险状况和未来走势，从而采取相应措施。

此外，在具体模型应用中，我们还需要考虑到时间序列的变化、风险因素的演化等细节问题。

一类带投资的风险模型的破产概率

1 模型的建立
设保险公司的盈余过程为
∑ ∑ U
(t
)
=
æ çç
u
-
u1
-
u2
+
2
Mi
(t)
X
(i
k
)
ö÷÷(1
+
m
-
l
)
+
è
i=1 k=1
ø
∑∑ ( ) (1 + δ1t)u1 +
1 + δ2t + aB(t) u2 -
2
Ni
(t
)
Y
(
k
i)
（1）
i=1k=1
其中，U (t) 表示保险公司截止到 t 时刻的
假设 3 令 H (t) = δ1tu1 + (δ2t + aB(t))u2 +
∑∑ ∑∑ { } 2
Mi(t) Xk(i)(1 + m - l ) -
2
Y Ni(t) (i) k
，称
H(t),t ≥ 0
i=1 k=1
i=1k=1
为盈利过程.为确保保险公司可以稳定经营，一
般要求 E(H(t)) > 0 ，即
定义 1 破产时刻 T = inf{t|t ≥ 0,U(t) < 0} .
定义2 最终破产概率 ψ(u) = P{T < ∞|U(0) = u}.
2 预备引理
引理 1 tl→im∞U (t) = ∞,a.s..
引理 2 E(H(t)) = (δ1u1 + δ2u2)t +
∑ ∑ (1
+
m
-
l
)t