第三节 Cramer法则
克莱姆法则
第三节 克莱姆法则教学目的及要求： 1.克莱姆法则2.利用克莱姆法则求解线性方程组教学重点、难点： 克莱姆法则的应用教学过程：一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。
在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念。
含有 n 个未知数 x 1,x 2, , x n 的线性方程组a 11x 1 a 12x 2 a 1n x nb 1,a 21x 1a 22x 2a 2n x nb 2,(1)a n1x 1 a n2x 2 a nn x nb n ,a 11 a 12 a 1n Da 21a 22a 2na n1 a n2 a nn2. 克莱姆法则定理 1 ( 克莱姆法则 ) 若线性方程组 解,其解为性方程组 ,当 b 1,b 2 , ,b n 全为零时 , 线性方程组 (1)称为齐次线性方程组，即a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n0,a 21x 1a 22x 2 a 2n x n0,(2)a n1x 1 a n2x 2 a nn x n0.称为 n 元线性方程组 .当其右端的常数项 b 1,b 2, 线性方程组 (1)的系数 a ij 构成的行列式称为该方程组的系数行列式 D ，即,b n 不全为零时 ,线性方程组 (1) 称为非齐次线 (1)的系数行列式 D 0, 则线性方程组 (1)有唯一2 2 5 20,20,8545D jx j D(j 1,2, ,n) (3)其中D j(j 1,2, ,n)是把D中第j列元素a1j,a2j, ,a nj对应地换成常数项b1,b2, ,b n,而其余各列保持不变所得到的行列式.一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3), 克莱姆法则可叙述为下面的定理.定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定有解,且解是唯一的.在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理:定理 2 如果线性方程组(1) 无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.对齐次线性方程组(2), 易见x1 x2 x n 0 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2) 有非零解,则它的系数行列式D 0.注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)有非零解.三、例题选讲例 1 用克莱姆法则求解线性方程组：2x1 3x2 5x3 2x1 2x2 53x 2 5x3 4解D20235D1( 2) 2 5D260,1820.D 1D 2 D 3x 11, x 23, x 311D2D 3D例 3（ E02） 大学生在饮食方面存在很多问题 ，很多人不重视吃早饭，多数大学生日常饮食 没有规律， 为了身体的健康就要制订营养改善行动计划， 大学生一日食谱配餐： 需要摄入一 定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下边是三种食物，它们的质量用适当的单位计量。
carmer法则
carmer法则
克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，也称作克拉默法则。
这个法则是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）在他的《线性代数分析导言》中于1750年发表的。
不过值得注意的是，尽管克莱姆是首位发表这个法则的数学家，但莱布尼兹和马克劳林等数学家在此之前也已经知晓这个法则。
克莱姆法则的核心内容是：对于一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，如果其系数行列式不等于零，那么方程组有唯一解，且每一个未知数的解可以由对应的行列式求得。
具体来说，每一个未知数的解等于常数项替换该未知数系数后所得到的行列式与原系数行列式之商。
然而，克莱姆法则并不总是计算线性方程组最有效的方法。
实际上，当方程组的规模（即未知数的数量）增加时，使用克莱姆法则进行计算会变得非常低效。
因为计算每一个未知数的解都需要计算n个n阶行列式，而计算一个n阶行列式的时间复杂度是O(n!)，这使得克莱姆法则对于大规模线性方程组的求解并不实用。
此外，克莱姆法则还存在数值稳定性的问题。
即使对于规模较小的线性方程组，由于计算过程中涉及大量的乘法和除法运算，可能会导致数值误差的累积，从而影响解的精度。
总的来说，克莱姆法则虽然在线性代数中具有重要的理论意义，但在实际应用中，我们通常会选择更高效、更稳定的算法来求解线性方程组。
克拉默法则判断解的情况
克拉默法则（Cramer's Rule）是一种用于解决线性方程组的数学方法。
根据克拉默法则，线性方程组有解的条件是系数行列式不为0，当系数行列式为0时，方程组有无数解。
首先，我们需要了解克拉默法则的基本思想。
对于一个n个未知数n个方程的线性方程组，克拉默法则主张将每个方程左端乘以1，再相加，得到的结果就是原方程组的系数行列式。
这样做的理由是，这个行列式代表了所有方程的公共部分，即所有方程在公共部分上的值都相等。
根据克拉默法则，一个线性方程组有解的条件是其系数行列式不为0。
这个条件有实际意义，因为它保证了至少有一个解（因为若系数行列式为0，则解会变得无规律，不能反映问题的实际含义）。
当系数行列式为0时，方程组可以有无穷多解或者无解（如果还有其他约束条件）。
举个例子来说明这个问题。
假设我们有一个3个未知数4个方程的线性方程组：x + y = 2x - y = 12x + 3y = 3这个方程组的系数行列式为：1 1 21 -1 3该行列式的值为0，所以这个方程组有无数解。
在这种情况下，系数行列式为0保证了存在无数满足条件的x、y值。
如果一个线性方程组的系数行列式为负数，那么该方程组无解。
这是因为克拉默法则要求所有等式都相等（或者说等价），当一个等式不成立时（即系数行列式为负数），所有其他等式也就不再成立，因此方程组无解。
总结起来，克拉默法则判断解的情况主要基于两个条件：一是系数行列式不为0，保证至少有一个解；二是系数行列式为0或负数时，可能有无穷多解、无解或有一组负数的解。
需要注意的是，克拉默法则虽然是一种经典的线性代数方法，但在实际应用中仍存在一些局限性。
例如，克拉默法则只能处理简单线性方程组，对于更复杂的线性系统可能无法得出有效结果。
此外，克拉默法则对系数矩阵的要求较高，如果系数矩阵存在奇异、不适定等问题，克拉默法则可能无法得出正确结果。
因此，在实际应用中，通常会结合其他方法如高斯消元法、LU分解等来处理线性方程组。
crammer法则
crammer法则
Crammer法则，又称Kramer公式，是一种计算多元方程组的方法，它由德国数学家August Crammer于1909年提出，常用于求解2个或更多未知量之间的关系。
Crammer 法则的基本思想是通过构造含有所有未知量的行列式来求解方程组的解，而不需要对各个未知量进行求值。
Crammer法则的步骤如下：
（1）给出n个方程，其中n个未知量分别为x1，x2，…，xn；
（2）把这n个方程放入n*n的矩阵中，其中每一行对应一个方程，要求每一行的系数都是未知量的系数，而最右边的一列是各个方程的右端的常数；
（3）将这个矩阵拆分为n个子矩阵，每个子矩阵都是(n-1)*(n-1)的矩阵，其中去掉未知量xi；
（4）对每一个子矩阵求其行列式，然后把这些行列式乘以未知量xi，形成n个新的行列式；
（5）将这n个行列式放入原来的n*n矩阵中，把最右边的一列空出来作为未知量xi的系数；
（6）最后求出这个n*n矩阵的行列式，然后根据每一个未知量的行列式求出未知量的值。
Crammer法则的优点在于只需要一次构造n*n的矩阵就可以求出多元方程组的解，而不需要进行多次求解，省时省力。
但是，Crammer法则也有一定的缺点，就是当n较大时，求行列式的过程会非常复杂，容易出错，而且效率也比较低下。
因此，我们应该根据具体的情况选择最合适的解决方案。
第三节 Cramer法则
1
9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
108,
2
1
8
1
2
1
5
8
1 3 9 6 D3 0 2 5 2 1 4 0 6
1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
27,
D2 108 x2 4, D 27
D4 27 x4 1. D 27
例2 问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
再把 n 个方程依次相加，得
n n n ak 1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn k 1 k 1 k 1 bk Akj ,
k 1 n
而其余xi i j 的系数均为 ; 又等式右端为Dj . 0
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项b1 , b2 ,, bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
二、重要定理
定理1 如果非齐次线性方程组1 的系数行列式
D 0, 则 1 一定有解,且解是唯一的 .
定理2 如果非齐次线性方程组1 无解或有两个 不同的解，则它的系数行列式必为零.
有非零解.
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
1.3 克莱姆(Cramer)法则
个方程相加， 再将 n 个方程相加，得
n n n n ∑ ak 1 Ak 1 x1 + ∑ ak 2 Ak 1 x2 + L + ∑ a k n Ak 1 xn = ∑ bk Ak 1 . k =1 k =1 k =1 k =1
第 一 章 行 列 式
§1.3 克莱姆(Cramer)法则
四、齐次线性方程组的有解问题
考虑齐次线性方程组
显然，它总存在一组全为零的解(称为零解) 显然，它总存在一组全为零的解(称为零解)： 零解
x1 = x2 = L = xn = 0 .
定义 若齐次线性方程组的一组解不全为零 则称为非零解 若齐次线性方程组的一组解不全为零, 则称为非零解 非零解.
8
第 一 章 行 列 式
§1.3 克莱姆(Cramer)法则
四、齐次线性方程组的有解问题
定理 若齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 , 则它只有零解 则它只有零解. 证明 由于当线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 时有惟一解， 由于当线性方程组的系数行列式 时有惟一解， 线性方程组 故齐次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 时只有零解. 齐次线性方程组的系数行列式 时只有零解 推论 若齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式必为零 若齐次线性方程组有非零解, 则其系数行列式必为零. (此为上述定理的逆否命题) 此为上述定理的逆否命题) 思考 (1) 若齐次线性方程组的系数行列式 D = 0 , 则它是否 一定有非零解？ 即定理的否命题是否成立？ 一定有非零解？ (即定理的否命题是否成立？) (2) 齐次线性方程组有非零解和它对应的非齐次线性 齐次线性方程组有非零解 有非零解和它对应的非齐次线性 方程组有无穷多解有何联系？ 方程组有无穷多解有何联系？ 有无穷多解有何联系 9
克莱姆法则
两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 ;
类似地， 类似地，消去 x1，得 （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 ,
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时， 方程组的解为
b1a22 − a12b2 x1 = a11a22 − a12 a21
A11 1 * 1 A12 ∴ X0 = A β = D D ⋮ A 1n A21 ⋯ An1 b1 A22 ⋯ An 2 b2 × ⋮ ⋮ ⋮ A2 n ⋯ Ann bn
b1 A11 + b2 A21 + ⋯ + bn An1 1 b1 A12 + b2 A22 + ⋯ + bn An 2 = ⋯ D b A + b A + ⋯ + b A 2 2n n nn 1 1n
5 2 3 3 0 4 = 67, 1 1 11 6 −1 − 3 5 6
D1 3 = 1, ∴ x1 = = D 67 3 67 D3 2 = 1, x3 = = D 67 2
67
D2 0 x2 = = = 0, D 67
D4 67 x4 = = = 1. D 67
a11 ⋯ a1 , j −1
b1
a1 , j + 1 ⋯ a 1 n
D j = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 ⋯ a n , j −1 bn a n , j +1 ⋯ a nn
方程组(1)可以改写为矩阵形式 证明 方程组 可以改写为矩阵形式 AX = β ,
∵ D =| A |≠ 0 , 故 A 可逆 则 X 0 = A−1β 是方程组的解 可逆, 是方程组的解. 解的唯一性：又若 解的唯一性 又若 AX1 = β ,则 A−1 AX1 = X1 = A−1β .
cramer法则的证明
cramer法则的证明
Cramer法则是一种用于解决线性方程组的方法，它可以根据系数矩阵的行列式的值来求解未知变量的值。
证明：
假设给定的线性方程组为：
Ax = b
其中A是n阶系数矩阵，x是n维未知向量，b是n维常数向量。
由于A是n阶系数矩阵，所以它的行列式为Det(A)，它的值可以用下面的公式来表示：
Det(A) = a11a22...ann - a12a21...ann + a13a21...ann - ... + (-
1)^(n+1)ann-1a2a3...a1
假设A的每一行都乘以一个常数c，那么新矩阵的行列式为：
Det(A') = c^n·Det(A)
由于每一行都乘以常数c，所以A'的第i行可以表示为：
a'i = c·ai
这样，更新后的方程组可以表示为：
A'x = b'
其中b' = c·b。
由于A'x = b'，所以未知向量x的每一个分量可以表示为：
xi = (Det(Ai))/Det(A)
其中Ai是由A的第i行替换为b'后得到的矩阵。
由此可以得出Cramer法则的结论：
xi = (Det(Ai))/Det(A)
即每一个未知向量x的分量可以由A的行列式和替换第i行后得到的行列式的比值来求得。
第3讲 克莱姆法则.PPT
xyz
4. ay bz az bx ax by (a 3 b3 ) y z x
az bx ax by ay bz
zxy
证明：左边
按第一列 分开 a
x y
ay bz az bx
az bx ax by
z ax by ay bz
y ay bz az bx b z az bx ax by
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例2 求一个二次多项式 f x , 使
f 1 0, f 2 3, f 3 28.
解 设所求的二次多项式为 f x ax2 bx c,
得
a D1 D 2,
b D2 D 3, c D3 D 1.
故所求多项式为 f x 2x2 3x 1.
例3 问 取何值时，齐次方程组
21x1x31
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
有非零解？
x1 x2 1 x3 0,
解
1
D 2 1
2
3
1
4
0
1
r2 2r3
0
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
1 3 0 6 r1 2r2
D 0 2 1 2
r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2
03-第三节-克莱姆法则
03-第三节-克莱姆法则克莱姆法则，又称克莱姆-高尔德定理，是线性代数中的一个基本定理。
它是由瑞典数学家Thomas Joannes Stieltjes的工作启发得到的，是Sylvester定理的推广。
它表明对于一个n元线性方程组，其解向量的每一维可以表示为n个由原方程组变换而来的n-1元线性方程组的行列式比值，而这个比值只与原方程组的系数矩阵有关，与常数向量无关。
克莱姆法则的核心是求解一个n元线性方程组Ax=b，其中A为n×n的方阵，b为n 元常数向量。
假设原方程组的系数矩阵为A=[a1,a2,…,an]，则对于解向量x=[x1,x2,…,xn]，可以表示为：x1 = (det(A1)/det(A))……其中，A1=[b1,a2,…,an], A2=[a1,b2,…,an]，An=[a1,a2,…,bn]，det(A)为A的行列式，det(Ai)为将A中的第i列替换为向量b后得到的矩阵的行列式。
换句话说，x1、x2、…、xn是由Ai中的元素和bi组成的行列式，除以A的行列式得到的。
克莱姆法则适用于系数矩阵非奇异的情况，即det(A)≠0的情况。
当det(A)=0时，原方程组可能无解，也可能有无穷多解，无法使用克莱姆法则求解。
克莱姆法则的优点在于简单，直观，易于使用。
但是，它也有一些缺点。
首先，它只适用于小规模的方程组，因为计算每个Ai和det都需要指数级的时间复杂度。
其次，由于对每个解分别计算行列式比值，因此克莱姆法则对于数值误差非常敏感，可能产生较大的舍入误差。
因此，在实际应用中，一般使用其他更为鲁棒的方法，如高斯消元法、LU分解法等。
总之，克莱姆法则是一个强大且简单的工具，可以用于分析和解决一些线性方程组问题。
线性代数 克莱姆(cramer)法则
而其余xi i j 的系数均为 0; 又等式右端为D j .
于是
Dx j D j j 1,2,, n.
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
一、克莱姆法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn (1)
在把 n 个方程依次相加，得
n n n ak 1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn k 1 k 1 k 1 bk Akj ,
k 1 n
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
轴平行,故可设其方程为
y c bx ax 2 ,
此方程的系数行列式是范德蒙得行列式,而
1 D 1 1 1 2 3 1 9 1 1 1 2 4 1 3 3 2 3 12 1 2 0. 9
41
所以方程组有唯一解, 又
D1 14, D2 16, D3 4,
故 c 14 2 7,b 16 2 8,a 4 2 2.
2 y 7 8 x 2 x . 即所求的抛物线方程为
cramer法则,分块矩阵
l a13 l a14 l A12 l a23 l a24 l al l a A 33 22 34
A11 A1r 若l 是数，且 A A A sr s1 l A11 l A1r lA lA lA sr s1
0
分块矩阵的加法
a11 a12 A11 A a21 a22 a A a 31 21 32 a13 a14 b11 b12 A12 B11 a23 a24 , B b21 b22 b B b a33A22a34 31 21 32 b13 b14 B12 b23 b24 b33B22b34
6 x4 9 2 x4 5 6 x4 0
解：
2 D 0 1 1 2 4 1 3
5 0 1 7
1 6 2 6
c1 2c2
0
r1 2r2
7 2 7
3
5 13 0 1 6 2
1 3 0 0
3
r4 r2
3 5
7 12
3
7 5 13 2 1 2 7 7 12
13
易知， x1 x 2 x n 0 是(13)的解，称为零解。 若有一组不全为零的数是(13)的解，称为非零解。
对于齐次线性方程组有 定理5： 如果齐次线性方程组的系数行列式 D≠0 则齐次线性方程组没有非零解。 定理5’：如果齐次线性方程组有非零解，
则它的系数行列式必为0。
C11 C 21 C AB C s1
C12 C1 r t C 22 C 2 r C ij Aik Bkj , k 1 ( i 1, , s; j 1, , r ) C s 2 C sr
克莱姆知识点总结
克莱姆知识点总结克莱姆（Cramer）法则是一种用于求解n元线性方程组的一种方法。
这个方法利用了行列式的性质，通过计算行列式的值来求解线性方程组的解。
在矩阵线性代数课程中，克莱姆法则通常是作为求解线性方程组的一种基本方法而被介绍的。
克莱姆法则的基本原理是：对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个n阶方阵，克莱姆法则通过计算A的各个行列式来求解线性方程组的解。
具体来说，对于方阵A的第i列上的元素a(ij)，用克莱姆法则可以表示为：x(i) = D(i)/D其中x(i)表示方程组的第i个未知数，D(i)是用A的第i列元素替换方程组右边的向量b得到的新的n阶方阵的行列式，D是A的行列式。
克莱姆法则可以通过递推式来求解线性方程组的解。
对于一个n元线性方程组Ax=b，如果A的行列式不等于0，那么根据克莱姆法则，可以得到方程组的解为：x(i) = D(i)/D, i = 1,2,...,n其中D是A的行列式。
克莱姆法则的优点是它的推导和理解相对简单，而且对于小规模的线性方程组来说，是一种非常直观的求解方法。
但是值得注意的是，克莱姆法则也有一些局限性，比如当方程组的系数矩阵A为奇异矩阵时，克莱姆法则就不适用了。
此外，由于克莱姆法则需要计算每个未知数的行列式，所以在求解大规模的线性方程组时，其计算复杂度较高，效率不高。
除了上述的基本原理和优缺点外，克莱姆法则还有一些其他方面的知识点需要掌握，比如：1. 克莱姆法则适用的条件：克莱姆法则适用于n元线性方程组，且方程组的系数矩阵A的行列式不等于0的情况。
2. 克莱姆法则的推导过程：克莱姆法则的推导过程可以通过数学的行列式理论来完成，主要是利用了方阵的逆矩阵和行列式的定义。
推导过程中需要熟练掌握方阵的行列式和逆矩阵的性质。
3. 克莱姆法则的应用：在实际应用中，克莱姆法则可以用于求解小规模线性方程组的解，特别是在需要直观理解方程组解的情况下，克莱姆法则是一种非常有用的方法。
3、克莱姆法则
有非零解？ 有非零解？
解
1− λ D= 2 1 −2 3−λ 1 4 1 1− λ
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
4 1 1− λ
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
3
4 1 1− λ
= (1 − λ ) + (λ − 3 ) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ ) (− 3 + λ )
若常数项b1 , b2 , L , bn 全为零，则此时称方程组为齐 次线性方程组。 若常数项b1 , b2 , L , bn 不全为零，则此时称方程组为 非齐次线性方程组。
二、克莱姆法则： 如果由n个方程构成的n元线性方程组：P29定理1
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn
解：只须 D ≠ 0
λ.
1 − 2 2 × 2 × (−2) 1 −1 2 = 0 λ − 2 1 = −(λ − 2) D = −2 λ −3 0 0 −1 2 −2 3
取何值时， 例：当 λ 取何值时，齐次方程组
(1 − λ ) x 1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 0 , 2 x 1 + (3 − λ ) x 2 + x 3 = 0 , x + x + (1 − λ ) x = 0 , 1 2 3
§3 克莱姆法则 一、齐次与非齐次线性方程组的概念 齐次与非齐次线性方程组的概念
Gram法则
不全为零，则称此
b1 , b2 , , bn (2)若常数项 全为零，则称此方 程组为 齐次线性方程组 . (3)使得方程组成立的一组数 x1 , x2 , , xn 称为此方 程组的解 .
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 定理 如果线性方程组 an1 x1 an 2 x2
(1)方程个数等于未知量个数;
(2)系数行列式不等于零. 2、Cramer法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 3、如果线性方程组的系数行列式 D 0, 线性方程组一定有解,且解是唯一的 . 则
4、如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它 的系数行列式必为零. D 0.
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 D a21 a12 , a22
a11 b1 记 D2 . a21 b2
则二元线性方程组的解为 b1 a12
a11
b1
系数行列式 系数行列式
b2 a22 a21 b2 D1 D2 x1 , x2 . a11 a12 a11 a12 D D a21 a22 a21 a22
第三节 Cramer法则
1、非齐次与齐次线性方程组的概念
2、Cramer法则
习题1.3: 2， 4; 第1章习题：3, 4(4), 5;
引例：解二元一次方程组 a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22 b1 a12 , 记 D1 b2 a22
例1 用Cramer法则解方程组 x1 x2 xn1 xn 2 x1 x2 2 xn1 xn 2 x ( n 1) x x x 2 2 n 1 n 1 nx1 x2 xn1 xn 2 1 1 1 1 1 1 解 0 0 1 1 2 1 D
华中科技大学线性代数 第三节 cramer法则
ax by cz 0, bx cy az 0, 的非零解. cx ay bz 0
abc 从而有系数行列式 b c a 0.
cab
D 3abc a3 b3 c3
若常数项 b1 , b2 , 全,为bn 零，则称此方程组为 齐次线性方程组.
使得方程组成立的一组数 x1, x2 , 称, x为n 此方 程组的解.若xi=0 (i=1-n), 称方程组有零解。
2、Cramer法则
a11 x1 a12 x2
定理
如果线性方程组
a21
x1
a22
x2
a1n xn b1 a2n xn b2
则组成关于c0, c1,…, cn的方程组，其系数行列式为
1 x1 1 x2
x1n
x2n 0 xi x j , i j
1 xn1
xn n1
11
2 1
1 ( 1) ( 3)
1 2 1
1
0
( 3) 1
2 2
( 3)(2 2 )
( 2)( 3)
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0,或 2 时齐次3方程组有非零解.
三、小结
1、用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
一、Cramer法则 1、非齐次与齐次线性方程组的概念
a11 x1 a12 x2
设线性方程组
a21
x1
a22
x2
an1 x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆法则是线性代数中的一个定理，用于求解n元线性方程组的解。
它有两种证明方法：代数法证明和几何法证明。
1. 代数法证明：
- 首先，假设有一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个
n×n的矩阵，x和b是n维列向量。
- 根据克莱姆法则，如果A是可逆矩阵，即det(A)≠0，那么方程组有唯一解，解为x=A⁻¹b，其中A⁻¹是A的逆矩阵。
- 现在我们使用线性代数的定理，在矩阵A的逆矩阵存在的条件下，通过线性方程组的变换可以得出唯一解的表达式。
- 我们可以通过对Ax=b两边同时左乘A的逆矩阵A⁻¹，得到x=A⁻¹b。
- 这样就证明了克莱姆法则成立。
2. 几何法证明：
- 首先，我们将n元线性方程组转化为矩阵形式Ax=b，并将其视为方程组的几何表示。
- 根据几何直观，如果矩阵A是可逆的，即行向量或列向量的线性组合不为零，那么方程组有唯一解。
- 当A是可逆矩阵时，矩阵A的行向量或列向量构成一个n维的空间，称为列空间或行空间。
- 如果矩阵A是可逆的，那么由于列空间或行空间的维数等于n，所以方程组有唯一解。
- 因此，几何上的直观理解也证明了克莱姆法则的成立。
这些证明方法都是基于线性代数的基本原理和定理，可以通过严谨的推导和数学推理来证明克莱姆法则的正确性。
克拉默法则非齐次等于0
克拉默法则非齐次等于0
（最新版）
目录
一、克拉默法则简介
二、克拉默法则的非齐次等于 0
三、克拉默法则的应用
四、总结
正文
一、克拉默法则简介
克拉默法则（Cramer"s Rule）是线性代数中一种用于求解线性方程组的方法，特别是在高斯消元法无法求解时，克拉默法则可以有效地求解非齐次线性方程组。
克拉默法则的表述为：若线性方程组 Ax=B 的系数行列式|A|=0，且增广矩阵 [A|B] 的行列式|A|B|=0，则方程组无解；若|A|B|≠0，则方程组有唯一解。
二、克拉默法则的非齐次等于 0
在克拉默法则中，当方程组 Ax=B 的系数行列式|A|=0 时，方程组无解。
这是因为当|A|=0 时，方程组 Ax=B 中的系数矩阵 A 不满足线性无关，也就是说，方程组中的方程不是线性独立的，因此无法求解。
三、克拉默法则的应用
克拉默法则在求解非齐次线性方程组时具有广泛的应用。
例如，在求解实际问题时，我们经常会遇到非齐次的线性方程组，此时克拉默法则可以给出方程组是否有解以及解的情况。
此外，克拉默法则还可以用于求解线性方程组的参数问题，即在已知方程组的解为参数形式时，可以利用克拉默法则求解参数。
四、总结
克拉默法则是一种求解非齐次线性方程组的有效方法，特别是在高斯消元法无法求解时，克拉默法则可以给出方程组的解的情况。
cramer法则求平面法向量
cramer法则求平面法向量
在三维空间中，我们可以通过三个不共线的点来计算平面的法向量。
首先，我们需要知道这三个点的坐标。
设这三个点分别为P1(x1, y1, z1)，P2(x2, y2, z2)和P3(x3, y3, z3)。
法向量（dx, dy, dz）满足以下三个方程：
(x2-x1)*dx + (y2-y1)*dy + (z2-z1)*dz = 0
(x3-x1)*dx + (y3-y1)*dy + (z3-z1)*dz = 0
(x3-x2)*dx + (y3-y2)*dy + (z3-z2)*dz = 0
这三个方程可以用克莱姆法则求解。
克莱姆法则是一个求解线性方程组的方法，它的基本思想是通过增加方程的个数来使得解唯一。
对于我们的这个问题，我们有三个未知数（dx, dy, dz）和三个方程，所以我们可以使用克莱姆法则来求解。
使用克莱姆法则求解的步骤如下：
首先，我们需要计算系数行列式D。
这个行列式是一个3x3的矩阵，它的元素是方程组中各个方程的系数。
然后，我们需要计算D的各个元素的代数余子式，并将它们分别乘以对应的系数并求和，得到D1、D2和D3。
最后，我们可以通过以下公式求解dx、dy和dz：
dx = D2D3 - D1D2
dy = D1D3 - D1D1
dz = D1D2 - D2D2
如果D为0，那么说明这个平面没有法向量，也就是说这个平面是无限的或者与坐标轴重合。
如果D不为0，那么我们就可以通过上面的公式计算出法向量。
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一、克拉默法则
如果线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
1 3 4 1 2 1 3
1 2 1 3
3 2
( 2 )( 3 )
在把 n 个方程依次相加，得
a k 1 A kj x 1 a kj A kj x j a kn A kj x n k 1 k 1 k 1
n n n
b k A kj ,
k 1
n
由代数余子式的性质可知, 上式中
定理2 如果非齐次线性方程组 1 无解或有两个 不同的解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n 0
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a 11 a 1 , j 1 b1 a 1 , j1 a 1n
D j a n1 a n , j1 bn a n , j 1 a nn
证明
齐次方程组有非零解，则 D 0 所以 0 , 2 或 3 时齐次方程组有非零解.
三、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数;
(2)系数行列式不等于零.
2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
若常数项
b 1 , b 2 , , b n 不全为零 若常数项
,
则称此方程组为非
齐次线性方程组;
b1 , b 2 , , b n 全为零 ,
此时称方程组为齐次线性方程组.
二、重要定理 定理1 如果非齐次线性方程组 1 的系数行列式 则 1 一定有解,且解是唯一的 .
D 0,
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
x1 D1 D , x2 D2 D , x3 D2 D , , x n Dn D .
也是方程组的 1 解. 此法则称为克莱姆法则,克莱姆法则主要解决方程 个数与未知量个数相等的方程组的求解问题，而 这类方程组又是非常特殊、非常重要的方程组.
a 11 a 21
(1 )
a 12 a 22
a 1n a 2n
的系数行列式不等于零，即 D
a n1 a n2 a nn
0
那么线性方程组 1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
x1 D1 D , x2 D2 D , x3 D2 D , , x n Dn D .
5 0 1 7
1 6 2 6
r1 2 r2 r4 r2
0 1 0 0
7 3 2 7
5 0 1 7
13 6 2 12
7 2 7
5 1 7
13 2 12
27 ,
c1 2 c 2
c3 2c2
3 0 7
5 1 7
3 0 2
3 7
用 D 中第 j 列元素的代数余子式 依次乘方程组 A 1 j , A 2 j , , A nj
1 的 n 个方程 , 得
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n A 1 j b 1 A 1 j a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n A 2 j b 2 A 2 j a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n A nj b n A nj
而其余 x i i j 的系数均为
x j的系数等于 D j.
D,
0 ; 又等式右端为
于是
D1 D
Dx
j
D j j 1 , 2 , , n .
2
Dn D
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
x1 , x2 D2 D , x3 D2 D , , x n .
2 1 0 1
27 ,
1 3 0
D1 D
D3 D
81 27
3,
x2
D2 D
108 27
27 27
4,
x3
27 27
1,
x4
D4 D
1.
非齐次与齐次线性方程组的概念
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 设线性方程组 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n
8
3 2
1 3 2 4
5 0 1 7
1 6 2 6 D2
2 1 0 1
8 9 5 0
5 0 1 7
1 6 2 6
D1
9 5 0
81 ,
108 ,
2 D3 1 0 1
27 ,
x1
1 3 2 4
8 9 5 0
1 6 2 6 D4
2
定理
如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
如果系数行列式 D
0
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n 0
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x 2 5 x 3 x 4 8, x1 3 x 2 6 x 4 9, 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x 2 7 x 3 6 x 4 0.
解
D
2 1 0 1
1 3 2 4
有非零解.
例2 问 取何值时，齐次方程组
1 x 1 2 x 2 4 x 3 0 , 2 x1 3 x 2 x 3 0, x x 1 x 0 , 1 2 3
有非零解？ 解
D 1 2 1
3
2 3 1