24.1.4圆周角(2)

E
B
C
(1)四边形 四边形ABCD内接于⊙O，则 内接于⊙ ， 四边形 内接于 180° 若 ° ∠A+∠C=______ ∠B+∠ADC=_______;若 ∠ ∠ 180° ° 80° ° ∠B=80°，则∠ADC=____ ∠CDE=______ ° 100° °
A 80 A D E B C B 100 D O C
接于⊙ 接于⊙O，P是AB上的 B AB上的 。 一点， 一点，则∠APB=
⌒
C
3、圆内接梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=75°, 圆内接梯形ABCD ,AD∥BC,∠B=75° ABCD中 则∠C= ° 已知四边形ABCD内接于⊙ ABCD内接于 4、已知四边形ABCD内接于⊙O,且 A:∠B:∠ =2:3:4， 的度数. ∠A:∠B:∠C =2:3:4，求∠D的度数. 圆的内接四边形ＡＢＣＤ ＡＣ垂 ＡＢＣＤ中 5、圆的内接四边形ＡＢＣＤ中,ＡＣ垂 直平分ＢＤ ＢＡＣ=40 ＢＤ, 直平分ＢＤ,∠ＢＡＣ=40 °， 则∠ＢＣＤ＝ ° 四边形ABCD内接于 O,BA、CD的 内接于⊙ 6、四边形ABCD内接于⊙O,BA、CD的 延长线交于P,AD=２cm,BC=３cm, 延长线交于P,AD=２cm,BC=３cm,Ｐ Ａ＝４cm， ＰＣ的长 的长. Ａ＝４cm，求ＰＣ的长.
BC = AB2 − AC2 = 102 − 62 = 8 A ∵CD平分∠ACB， 平分∠ ， 平分
O
B
∴∠ACD =∠BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ 又在 △ABD中，AD2+BD2=AB2， 中
D
2 2 ∴AD = BD = AB = ×10 = 5 2(cm) 2 2
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 求证 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） ．（提示 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆 ） 1 已知： 边上的中线， 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， CO= AB 为 边上的中线 且 2 求证： 为直角三角形. 求证： △ABC 为直角三角形
D A
O
B
C
如图： 如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ BAD+BCD=360 °
D
D
∴∠A＋ ∴∠A＋∠ C＝ 180° A ° A
同理∠ 同理∠B＋∠D＝180° 180°
B
B
O O
C C
圆的内接四边形的对角互补。 圆的内接四边形的对角互补。
如果延长BC到E，那么 ∠DCE＋∠BCD ＝ 180° ° 又 ∠A ＋∠BCD＝ 180° 180° 所以∠A＝∠DCE 所以∠
若ABCD为圆内接四边形，则下列哪 ABCD为圆内接四边形， 为圆内接四边形 个选项可能成立（ ） B
（A）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 1∶2∶3∶4 ∶∠B∶∠ ∶∠D ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶ ∶∠B∶∠ ∶∠D （B）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 2∶1∶3∶4 ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶ ∶∠B∶∠ ∶∠D （C）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 3∶2∶1∶4 ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶ ∶∠B∶∠ ∶∠D （D）∠A∶∠ ∶∠ ∶∠ ＝ 4∶3∶2∶1 ） ∶∠ ∶∠C∶∠ ∶ ∶ ∶
1）延长EF,是否有 延长EF,是否有 E=∠BAD＝ ∠E=∠BAD＝ ∠1 ？ 2) 延长 延长DF, 能否证明 3) ∠E＝∠２＝∠3？ ＝ ？
D A C O1 E B
A C O1 E B
2
O2 F
D
1
M
O2 3 F
巩固练习： 巩固练习：
如图， 1、如图，四边形ABCD为⊙O 的内接 四边形， 100° 四边形，已知∠BOD＝100°，求 的度数。 ∠BAD及∠BCD的度数。 A
A
O
D

B
C
E
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且 任何一个外角都等于它的内对角。
∠D＋∠B＝180° ∠A＋∠C＝180° A C 180
A O B C F D
对角
E
∠EAB＝∠BCD ∠FCB＝∠BAD
内对角
外角
因为∠ 是与∠ 因为∠A是与∠2相邻的内角 的对角，我们把∠ ∠1的对角，我们把∠A叫做 DCE的内对角 的内对角。 ∠DCE的内对角。 D 圆内接四边形的一 个外角等于它的内 对角。 对角。
A 1 O 1 E B O 2 F D
C
证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是 证明两条直线平行的方法很多， 通过证明同位角相等、内错角相等、 通过证明同位角相等、内错角相等、同旁内角 互补等方法。 互补等方法。刚才我们通过同旁内角互补证明 DF， 了CE ∥ DF，想一想还能否通过同位角相等或 者内错角相等证明结果？ 者内错角相等证明结果？
(2)四边形 四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 内接于⊙ ， 四边形 内接于 ° 则∠B=______∠D=______ 50° ∠ 130° ° ° (3)四边形 四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 内接于⊙ 四边形 内接于 ∠ 则 45° ° ∠A=_____,
补充练习： 补充练习：
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点， 如图⊙ 两点， 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。 求证：CE∥DF 求证：
D A 1 C E O1 B O 2 F
连结AB 连结AB ABEC是 ABFD是 ABEC是⊙O1 ABFD是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形 ∠E＋∠1＝180°、∠1＝∠F ∠E＋ 180° ∠E＋ ∠E＋∠F＝180° 180° CE∥DF
A
O
·
B
内接 1、如图(1)，△ABC叫⊙O的_____三角形， 如图( ABC叫 _____三角形 三角形， ABC的 ⊙O叫△ABC的 ____外接 圆。 A 2、 若弧BC的度数为1000, 则 若弧BC的度数为 的度数为100 O 100° ,∠ ° ∠BOC=_____ ,∠A=_____ 50° ° C B 3、如图(2)四边形ABCD中, A 如图(2)四边形 四边形ABCD中 D ∠B与∠1互补,AD的延 互补,AD的延 1 2 E 长线与DC所夹 所夹∠ 长线与DC所夹∠2=600 , B C 120° ∠B=_____. ° 60° ° 1=_____,∠ 则∠1=_____, 4. 判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧, 判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧, 这两条弧的度数和为360 这两条弧的度数和为3600( √ )
A
O
1 2
B
C
E
定理：圆的内接四边形的对角互补， 定理：圆的内接四边形的对角互补，并 且任何一个外角都等于它的内对角。 且任何一个外角都等于它的内对角。 几何表达式： 几何表达式： 的内接四边形， ∵ ABCD是⊙O的内接四边形， 是 的内接四边形 D ∴ ∠A+∠C=180° ∠ ° A 且∠B=∠1 ∠ 1
O
B C
D
已知：如图， 已知：如图，四边形ABCD是 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。 平行四边形。 求证：四边形ABCD 求证：四边形ABCD 是矩形。 是矩形。 A
O
B
D
C
例题
如图， 直径AB为 例 如图，⊙O直径 为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 直径 ， 为 ， 的平 分线交⊙ 于 ， 的长． 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 的长 是直径， 解：∵AB是直径， 是直径 C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． ° 在Rt△ABC中， △ 中
新课讲解： 新课讲解：
若一个多边形各顶点都在同一 若一个多边形各顶点都在同一 个圆上，那么， 个圆上，那么，这个多边形叫做圆 内接多边形， 内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆。 形的外接圆
D B E C B
O
C
A A F
O
D E
如图，四边形ABCD为 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边 ABCD 为四边形ABCD的外接圆。 ABCD的外接圆 形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。
C
证明： 证明： 以AB为直径作⊙O， 为直径作⊙ ， 为直径作 CO= AB, ∵AO=BO， ， ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 在 上 为直径, 又∵AB为直径 为直径 ∴ ∠ A 为直角三角形. ∴ △ABC 为直角三角形 C B
A
· O
B
练 习
如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少 如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？ 种方法？与同学交流一下． 种方法？与同学交流一下．
定理与推论
定
理
在同圆或等圆中， 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推 论
C2 C1 C3
半圆（或直径） 半圆（或直径）所对的圆周 角是直角; 角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径． 90°的圆周角所对的弦是直径． 在同圆或等圆中，相等的圆周 在同圆或等圆中， 角所对的弧相等
方法三
方法一 A C O 方法二 B
O
方法四
D · B
A
O
拓展练习
如图, 如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的 外一点, 点。（1）求证∠ 点。（1）求证∠P＜ ∠AQB （2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎样 ）如果点P AQB有怎样 的关系？为什么？ A
Q O B p
24.1.4
圆周角（ 圆周角（2）
• 回顾：圆周角定理及推论？ • 思考：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ √ ） 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ 2.相等的圆周角所对的弧相等（ × ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ 3.90° 3.90°角所对的弦是直径（ √ ） 4.直径所对的角等于90°（ × ） 4.直径所对的角等于90° 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30° √