2014.11.25基本不等式
基本不等式(课件)
比较大小
学习如何比较不等式中的数值大小。
证明基本不等式的方法
数学归纳法
使用数学归纳法证明基本 不等式。
反证法
使用反证法证明基本不等 式。
代入法
使用代入法证明基本不等 式。
基本不等式形式讲解
1
三角不等式
学习三角函数中常用的不等式。
2
均值不等式
介绍均值不等式及其不同形式。
3
柯西-施瓦兹不等式
探讨柯西-施瓦兹不等式及其几何和向量形式。
基本不等式的推广
绝对值不等式
学习利用基本不等式解决绝对值不等式。
积分不等式
探讨基本不等式在积分中的运用。
幂不等式
介绍基本不等式在幂函数中的应用。
例题和练习
例题
通过例题加深对基本不等式的理解。
练习
加强基本不等式的应用能力。
基本不等式的应用
实际应用
了解基本不等式在实际生活中的应用，如经济学、 物理学等领域。
最优化问题
学习如何使用基本不等式解决最优化问题。
概率
探索基本不等式在概率论中的应用。
基本不等式与均值不等式的关系
深入研究基本不等式与均值不等式之间的联系，包括均值不等式是基本不等式的特殊情况，以及它们在 数学推导和证明中的应用。
基式的概念、证明方法以及各种形式的基 本不等式。我们还将探讨基本不等式的应用、与均值不等式的关系以及推广 内容，并提供例题和练习。
不等式的概念
符号表达
学习不等式中的符号表示以及它们在数学中的含 义。
数轴表示
了解如何使用数轴来可视化不等式并确定不等式 的解集。
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
基本不等式知识点
基本不等式知识点基本不等式是数学中的重要概念，它可以帮助我们判断数值大小关系，是各种不等式的基础。
在本文中，我们将介绍基本不等式的相关知识点，包括基本不等式的定义、证明方法、应用以及一些例题分析等方面。
1. 基本不等式的定义基本不等式也称为“平均数不等式”，它是数学中一个基本但又重要的不等式。
对于任意的正数 a1、a2、…、an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n其中n表示正整数。
基本不等式描述了一组数的算术平均数和它们的几何平均数之间的关系。
可以看出，算术平均数大于等于几何平均数，且当且仅当所有数相等时等号成立。
2. 基本不等式的证明方法基本不等式的证明方法有很多种，下面列举一种简单易懂的证明方法。
首先，对于所有正数x，y，由均值不等式可得：(x + y) / 2 ≥ √(xy)⇒ x + y ≥ 2√(xy)接着，考虑一个序列a1，a2，……，an，它们的乘积为p。
对于每一对(aj，ak)，有：aj + ak ≥ 2√(ajak)即：a1 + a2 ≥ 2√(a1a2)a1 + a2 + a3 ≥ 3√(a1a2a3)a1 + a2 + … + an ≥ n√(a1a2…an)我们可以将上述不等式相乘，得到：(a1 + a2) * (a3 + a4) * … * (an-1 + an) ≥ 2n/2* √(a1a2) * 2n/2 * √(a3a4) * … * 2n/2 * √(an-1an) 即：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n故基本不等式得证。
3. 基本不等式的应用基本不等式在数学中应用广泛，以下列举几个经典的例子。
（1）一种常见的问题是，给定一个定值的周长，什么形状的图形可以使面积最大。
答案是正方形，因为在所有形状中，正方形的面积和周长之比最大，这个比值为4π。
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。
二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。
基本不等式
基本不等式基本不等式是数学中一个重要的概念。
其中，重要不等式指的是a²＋b²≥2ab，当且仅当a=b时等号成立。
而基本不等式则是指a＋b≥2√(ab)，当且仅当a=b时等号成立。
此外，还有一条基本不等式是任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
在利用基本不等式求函数的最大值、最小值时，需要注意函数式中各项必须都是正数，含变数的各项的积或者必须是常数，等号成立条件必须存在。
举例来说，如果0<a<b且a＋b＝1，则a²＋b²＞2ab，a＋b≥2√(ab)，2ab＜2(1/2-a)²，a²＋b²＞(1/2-a)²＋(1/2-b)²，因此b 最大。
又如，如果a、b、c都是正数，则(a＋b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9，即a/b+b/a+b/c+c/b+c/a+a/c≥6，证明过程中利用了基本不等式。
例3、已知$a,b,c$为不等正实数，且$abc=1$。
求证：$a+b+c<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$。
证明：根据柯西不等式，$(1+1+1)(a+b+c)\geq(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$，即$3(a+b+c)\geq(a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca})$。
因为$abc=1$，所以$2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=2\sqrt{abc}(1/\sqrt{a}+1/\sqrt {b}+1/\sqrt{c})\leq3\sqrt[3]{abc}\cdot3=9$。
所以$3(a+b+c)\geq(a+b+c+9)$，即$2(a+b+c)\geq9$，即$a+b+c\geq\frac{9}{2}$。
又因为$a,b,c$不全相等，所以$a+b+c>\frac{9}{2}$。
基本不等式
A．m>nB．m<nC．m＝nD．m≤n
A[∵m＝(a－2)＋ ＋2≥2 ＋2＝4，n＝22－x2<22＝4.∴m>n.]
3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()
A．1≤ab≤ B．ab<1< C．ab< <1D. <ab<1
(2)已知x,y∈(0, ),如果积xy是定值P,那么当x=y时,和和x+y有最小值2
以上两条可简记作:和一定,相等时,积最大;积一定,相等时,和最小.条件满足:“一正、二定、三相等”
利用基本不等式求最小值需要注意的问题：（一正、二定、三相等）
(1）函数式中各项必须都是正数;
(2)函数式中含变数的各项的积或者必须是常数；
B[∵ab≤ 2，a≠b，∴ab<1，又∵ > ＝1，∴ >1，∴ab<1< .]
4．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈ 恒成立，则a的最小值为()
A．0B．－2C．－ D．－3
B[x2＋ax＋1≥0在x∈ 上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥ max
∵x＋ ≥2，∴－ ≤－2，∴a≥－2.]
5．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么()
A．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
A[∵a＋b≥2 ，∴ab≤ 2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．c＋d≥2 ，∴c＋d≥2 ＝4，当且仅当c＝d＝2时取等号．故c＋d≥ab，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号．]
基本不等式
eg2.已知：ab 0,求证 b a 2，并指明等号 ab
成立条件
扩：1)去除条件ab>0
2)ab
0,求
b a
a b
的取值范围
可运用基本不等式求代数式的取值范围
Eg3.运用基本不等式证明：周长相等的矩 形中，正方形的面积最大
二.基本不等式的应用
1.证明不等式 eg1.求证：对于a, b, c R,有a2 b2 c2 ab
三等：利用基本不等式求最值要注意等号 取到的x的取值是否在定义域内
正数是前提，定值是基础，相等是保证， 三者缺一不可
eg2.求下列各式的最值
1）x>0,求x+ 1 的最小值 2x
2）x<0,求3x+
1 x
的最大值
3)a,b R,a b=1,求a+b的取值范围
4）x>4,求x+ 1 的最小值 x-4
eg3.1）x
R,求
x2
3x 2x
2
的取值范围
2）x
R,求
x x2
的取值范围 1
2）当x 3,求 2x2 的最小值 x3
练习：1）x ，1 ,求 x2 4x 1的最大值
x1 2）x 0,求 2x2 x 1的最小值
2x 1 3) x2 2 的最小值
x2 1
eg4.已知a,b R+ ,a b 1 1)求a b的最大值 2）求 1 1的最小值
eg2.修一个一边靠墙的矩形花园，栅栏长为12米 要使得场地面积最大，求矩形的边长
eg3.两个旅客从同一地点出发，沿同一方向走 到同一个目的地，旅客甲先用一半时间以速度 a行走，再用一半时间以速度b行走；旅客乙有 一半路程以速度a行走，一半路程以速度b行走 （a b)问哪个旅客先到达目的地？
基本不等式
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证明
算术证明
Байду номын сангаас
几何证明
当时，两边开平方得 即当且仅当a=b时， 当且仅当a=b时，不等式取等号。
在△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，AE为高，设BE=a，EC=b 由 射 影 定 理 ， 得 A E ²= a b ∴AE= ∵在△ABC中，点D为斜边BC的中点 ∴ ∵在Rt△ADE中，AD≥AE △ABC∴当且仅当AD与AE重合，即a=b时等号成立
基本不等式
数学术语
01 概念
03 证明 05 应用
目录
02 公式 04 推广 06 技巧
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等 于它们的几何平均数。
在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。“一正”就是指两个式子都为正数， “二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。
概念
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。
公式
原型
变形 二元均值不等式
（a＞0，b＞0） 注：当且仅当a=b时取等 其中称为的算术平均数，称为的几何平均数。
1、（当且仅当时取等号）（a＞0，b＞0） 2、 3、
（调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值）当且仅当a=b时等号成立
技巧
“1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这 个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为 常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数， 这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
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基本不等式可以指几乎所有组成分析和数学的基础。
它可以使许多不同的数学问题变
得更容易理解，因此使用它们进行计算是极其重要的。
基本不等式包括了三类不等式：大
小不等式，加法不等式和乘法不等式。
以下是一些基本的不等式定义。
1、大小不等式：大小不等式表示一个数与另一个数之间的存在或缺失的关系。
例如，如果A > B，则表示A大于B，而A ≤ B表示A小于或等于B，A ≠ B表示A与B之间存
在某种不同。
2、加法不等式：加法不等式表示两个数相加时的结果。
例如，A + B > C的意思是A
与B的和大于C，A + B ≤ C的意思是A与B的和小于或等于C，A + B = C的意思是A
与B的和等于C。
一般地，一个数与另一个数之间的关系可以用不等式来表示，但也可以用不等式来表
示多个数之间的关系：
1、省略不等式：3x + 2y = 4z，这表示3x + 2y至少等于4z的意思。
基本不等式可以用来处理大量数学问题，比如解一元不等式、求函数的极值以及进行
多元函数分析等。
它们对于熟悉数学理论和解决数学问题都极其重要。
基本不等式教学课件
基本不等式教学课件一、引言基本不等式是数学中的重要概念之一，它在解决数学问题和推理过程中起到了至关重要的作用。
本教学课件旨在帮助学生全面理解基本不等式的概念、性质和解题方法，以提升他们的数学推理和解题能力。
二、基本不等式的概念基本不等式是指关于变量的一种不等式，它涉及到数值的大小关系。
在基本不等式中，比较的对象可以是数字、变量或者表达式。
基本不等式的一般形式可以表示为：a≥b 或者a≤b，其中a和b分别表示两个数值、变量或者表达式。
三、基本不等式的性质1. 反身性质：对于任意实数a，在基本不等式a≥a和a≤a中，不等号成立。
2. 传递性质：对于任意实数a、b和c，如果a≥b且b≥c成立，那么a≥c也成立。
3. 加法性质：对于任意实数a、b和c，如果a≥b成立，那么a+c≥b+c也成立。
4. 减法性质：对于任意实数a、b和c，如果a≥b成立，那么a-c≥b-c 也成立。
5. 乘法性质：对于任意实数a、b和c，如果a≥b成立，且c≥0，那么ac≥bc也成立。
如果c<0，那么ac≤bc也成立。
四、基本不等式的解题方法1. 加减法解法：利用加法和减法的性质，将不等式中的项进行增减，以求得解。
2. 乘法解法：利用乘法的性质，将不等式中的项进行增减，以求得解。
需要注意乘法解法在乘以负数时需要改变不等号的方向。
3. 合并解法：将多个基本不等式进行合并后，进行分析推导，得到最终的解。
五、练习题演示1. 示例一：已知不等式3x-5<7，需要求解x的取值范围。
通过加减法解法，可得3x<12，进一步得到x<4。
因此，不等式的解为x取所有小于4的实数。
2. 示例二：已知不等式2(x+3)>5，需要求解x的取值范围。
通过乘法解法，可得2x+6>5，进一步得到2x>-1。
由于2为正数，因此不等式的解为x取所有大于-1/2的实数。
3. 示例三：已知不等式3(x-2)>2(x+3)，需要求解x的取值范围。
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的定义如果 a，b 是正数，那么\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
其中，＼（＼frac{a ＋ b}｛2}＼）叫做正数 a，b 的算术平均数，＼（＼sqrt{ab}＼）叫做正数 a，b 的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
二、基本不等式的推导对于正数 a，b，有：＼（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\）＼（a 2\sqrt{ab} ＋ b ＼geq 0\）＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）当且仅当\（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即 a ＝ b 时，等号成立。
三、基本不等式的几何解释以长为 a ＋ b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC ＝ a，CB ＝ b。
过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DE，连接 AD，DB。
根据圆的性质，可得\（CD ＝＼sqrt{ab}＼），而半径\（＼frac{a＋ b}｛2}＼）。
因为半径不小于弦长的一半，所以\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当 C 为圆心时，等号成立，即 a ＝ b 。
四、基本不等式的变形1、＼（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（a^2 ＋ b^2 2ab ＝（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 ＋b^2 ＼geq 2ab\）2、＼（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：由基本不等式\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），两边平方可得\（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）3、＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\）（a，b 同号且不为 0，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\sqrt{＼frac{b}｛a} ＼times ＼frac{a}｛b}｝＝ 2\）五、用基本不等式求最值1、若两个正数的和为定值，则当这两个数相等时，它们的积取得最大值。
基本不等式(很全面)
基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab+≤+≤≤+ 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：cabc ab c b a ++>++222题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥.题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；变式3：已知2<x ，求函数4224xy x x =+-的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；题目2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）题目1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
基本不等式优秀课件
倒置不等式是什么？
倒置不等式是指改变不等式符号后所得到的不等式。它可以帮助我们在解决问题时更灵活地应用和推导 基本不等式。
利用倒置不等式的场景案例
倒置不等式可以应用于经济学中的供求分析、物理学中的力学问题以及概率统计中的风险分析等各种实 际场景。
如何证明基本不等式?
证明基本不等式的方法有很多，其中一种常用的方法是使用数学归纳法。通 过逐步推导和分析，可以证明基本不等式的正确性。
基本不等式与平均数不等式的 关系
基本不等式和平均数不等式密切相关。平均数不等式提供了将等式推广为不 等式的方法，并通过均值的概念推导出了很多重要的不等式。
极值原理与基本不等式
基本不等式优秀课件
通过本课件，我们将深入了解基本不等式及其广泛的应用。探索不同领域中 如何利用基本不等式解决实际问题，并了解基本不等式的重要性和应用价值。
什么是基本不等式？
基本不等式是数学中的重要概念，用于描述数值之间的大小关系。它提供了 一种有力的工具，可以证明和推导出其他重要不等式。
基本不等式的定义和内容
极值原理是基本不等式的一个重要分支，它用于解决极限问题和最优化问题。 极值原理通过基本不等式将极值和不等式联系起来，提供了一种有力的工具。
基本不等式在概率统计中的应 用
基本不等式在概率统计中有广泛的应用，可以用于描述随机变量的分布、测 量误差和评估可靠性等问题。
基本不等式解决实际问题的步 骤
通过以下步骤，我们可以利用基本不等式解决实际问题：1. 理解问题要求；2. 利用倒置不等式进行变形；3. 使用基本不等式推导出结论。
拓展性质：黑尔德不等式
基本不等式ppt 课件-
解答：
AC=a，BC=b。过点 C作垂直于AB 的弦
可证△ACD∽△DCB，因而 CD= .由
DE，连接 AD，BD。你能利用这个图形，
于 CD 小于或等于圆的半径，用不等
得出基本不等式的几何解释吗?Leabharlann 式表示为+≤
显然，当且仅当点 C 与圆心重合，即
当a= 时，上述不等式的等号成立
2.2.4
分析：
(1) 矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转
化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短。
(2) 矩形莱园的周长是矩形两邻边之和的 2倍，于是问
题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积
最大。
解答：
应用
例4：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，
其容积为4 800 m³，深为3 m。如果池底每平
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
立
2.2.3
基本不等式的
几何解释
几何解释
如图：AB 是圆的直径，点C是AB 上一点
方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为
解答：
设水池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，
水池的总价为z元，根据题意，有
120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最
低总造价是多少?
由容积为4800m³，可得3xy=4 800，
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的定义如果 a，b 是正数，那么＄＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＄，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
其中，我们把＄＼frac{a ＋ b}｛2}＄称为正数 a，b 的算术平均数，＄＼sqrt{ab}＄称为正数 a，b 的几何平均数。
这个基本不等式揭示了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
二、基本不等式的推导我们可以通过完全平方公式来推导基本不等式。
因为对于任意实数 a，b，有＄（a b)＾2 ＼geq 0$ ，展开得到＄a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0$ ，即＄a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab$ 。
当 a，b 都是正数时，两边同时加上 2ab，得到：＄（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab$ ，即＄a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＄，变形可得＄＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＄。
当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
三、基本不等式的几何解释以直角三角形为例，如果直角三角形的两条直角边长度分别为a，b，那么它的面积为＄＼frac{1}｛2}ab$ 。
而以斜边 c 为直径作半圆，在半圆上取一点与直角三角形的斜边两端点相连，构成一个直角梯形。
这个直角梯形的面积为＄＼frac{1}｛2}（a ＋ b)＾2$ 。
同时，直角三角形的面积也可以表示为以斜边 c 为半径的半圆面积的一半，即＄＼frac{1}｛2}＼pi(＼frac{c}｛2}）＾2 ＝＼frac{＼pi c^2}｛8}＄。
由于直角梯形的面积不小于直角三角形的面积，所以有＄＼frac{1}｛2}（a ＋ b)＾2 ＼geq ＼frac{＼pi c^2}｛8}＄，进一步变形可得＄＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＄。
四、基本不等式的变形1、＄a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab$ （当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）2、＄ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2$ （当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）3、＄＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＄（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）4、若 a，b 同号，则＄＼frac{2ab}｛a ＋ b} ＼leq ＼sqrt{ab}＄（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）五、基本不等式的应用1、求最值（1）若 x，y 都是正数，且 x ＋ y ＝ S（定值），则当 x ＝ y 时，xy 有最大值＄＼frac{S^2}｛4}＄。
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
《基本不等式》课件
01
传递性
如果a≥b且b≥c，则a≥c。
02
对称性
如果a≥b，则对于任意正实数d，有a+d≥b+d。
02
CHAPTER
基本不等式的证明
面积法
利用几何图形面积的性质，通过比较不同形状的面积来证明基本不等式。
体积法
利用几何体体积的性质，通过比较不同几何体的体积来证明基本不等式。
三角法
利用三角形的性质，通过比较不同三角形的边长或角度来证明基本不等式。
在化学反应速率的研究中，基本不等式可以用来分析反应速率与反应物浓度的关系，从而优化反应条件。
生物医学研究
在生物医学研究中，基本不等式可以用来研究药物剂量与治疗效果的关系，以找到最佳用药方案。
市场占有率分析
在市场占有率分析中，基本不等式可以用来确定企业产品的最大市场份额，以提高市场竞争力。
广告投放策略
AM≥GM，即算术平均数大于等于几何平均数。
柯西不等式形式
对于任意的正实数a₁，a₂，…，an和b₁，b₂，…，bn，都有(a₁²+a₂²+…+an²)(b₁²+b₂₂+…+bn²)≥(a₁b₁+a₂b₂+…+anbn)²。
平方和与平方差形式
a²+b²≥2ab和a²-b²≥0。
03
可加性
如果a≥b且c≥d，则a+c≥b+d。
基本不等式
目录
基本不等式的定义基本不等式的证明基本不等式的应用基本不等式的扩展基本不等式的实际例子
01
CHAPTER
或多个正数之间大小关系的数学式子。
表达形式简单明了，是数学中常用的一个概念。
基本不等式的几种基本形式
1
设等式成立
假设存在一组数使得算术平均数
代入数学公式2来自等于几何平均数。将数学公式代入等式中。
3
推导不等式
通过推导和运算，得出不等式的 证明。
第五种基本形式: 两个平均数之间的大 小关系
探讨两个平均数之间的大小关系，如何利用这个关系解决问题。
常见不等式的证明
介绍一些常见的数学不等式，并讲解它们的证明过程。
Cauchy-Schwarz不等式的证明过程
1
设等式成立
假设存在一组数使得Cauchy-Schwarz不等式的等号成立。
2
代入数学公式
将数学公式代入等式中。
3
推导不等式
通过推导和运算，得出Cauchy-Schwarz不等式的证明。
拓展: Holder不等式
介绍拓展的不等式，如Holder不等式，以及其重要性和证明过程。
一个数列的算术平均数不小于其最小值。
平均数不小于最小值的证明过程
1
设等式成立
假设存在一组数使得算术平均数
代入数学公式
2
等于最小值。
将数学公式代入等式中。
3
推导不等式
通过推导和运算，得出不等式的 证明。
第四种基本形式: 平均数不小于几何平 均数
一个数列的算术平均数不小于其几何平均数。
平均数不小于几何平均数的证明过程
基本不等式的几种基本形 式
不等式是数学中一种重要的数学关系，基本不等式是其中最基础的形式。
第一种基本形式: AM≥GM
算术平均数（AM）大于等于几何平均数（GM），这是最基本且常见的不等式。
AM≥GM的证明过程
1
代入数学公式
2
将数学公式代入等式中。
基本不等式数学知识点高一
基本不等式数学知识点高一基本不等式数学知识点基本不等式是高中数学中的重要概念，它在解决数学问题和应用数学中起着重要的作用。
本文将介绍高一学生需要掌握的基本不等式数学知识点。
一、不等式的定义和性质不等式是数学中描述数值关系的一种表示方法。
对于两个数a 和b，若存在关系式a<b（或a>b），则称a和b之间存在一个不等式。
不等式可以用不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”来表示，分别表示小于、大于、小于等于、大于等于的关系。
基本不等式有以下性质：1.传递性：若a<b且b<c，那么a<c。
2.对称性：若a<b，则-b<-a。
3.加法性：若a<b，则a+c<b+c。
4.乘法性：若a<b且c>0（或c<0），则ac<bc（或ac>bc）。
在解决不等式问题时，我们可以利用这些性质进行转化和推导。
二、一元一次不等式的解法一元一次不等式是我们高中阶段最常见的不等式类型，它的形式为ax+b>0（或ax+b<0），其中a和b是已知实数，且a≠0。
解一元一次不等式的步骤如下：1. 将不等式转化为等价不等式，即将不等式的左边移项到右边。
2. 根据a的正负，将不等式进行分类讨论。
3. 对于不等式ax>0（或ax<0），我们可以利用乘除法性质将不等式约束条件的右边限制在一个区间中。
4. 对于不等式ax+b>0（或ax+b<0），我们需要先将常数项b移到不等式的右边，然后利用乘除法性质和区间分析的方法来求解。
三、二元一次不等式的解法二元一次不等式是含有两个变量x和y的一次方程，它的形式为ax+by+c>0（或ax+by+c<0），其中a、b和c是已知实数，且a、b不全为0。
解二元一次不等式的关键是确定变量x和y的取值范围。
我们可以使用区域法或图像法来解决这类问题。
将不等式转化为等式，确定各个变量的边界条件，并通过图像或区域的交集来确定不等式的解集。
基本不等式不等式介绍
《基本不等式》不等式介绍
和定积最大：当a+b=S时，ab≤S^2/4（a=b取等）
积定和最小：当ab=P时，a+b≥2√P（a=b取等）
均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a^2+b^2)/2)≥（a+b）/2 ≥
√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b时等号成立。
）
(其中√(( a^2+b^2)/2)叫正数a,b的平方平均数也叫正数a,b的加权平均
（a+b）/2叫正数a,b的算数平均数；√ab正数a,b的几何平均数；2/（1/a+1/b)数；
叫正数a,b的调和平均数。
）
同向不等式：不等号相同的两个或几个不等式叫同向不等式，例：2x+5>3
与3x-2>5是同向不等式。
异向不等式：不等号相反的两个不等式叫异向不等式。
绝对不等式：不等式中对于字母所能取的一切允许值不等式都成立，这样的
不等式叫绝对不等式，例：X^2+3>0，√X+1>-1等都是绝对不等式。
矛盾不等式：不等式中，对于字母所能取的一切允许值不等式都不成立，这
样的不等式叫矛盾不等式。
条件不等式：不等式中对于字母所能取的某些允许值不等式能成立面对字母
所能取的另外一些允许值不等式不能成立，这样的不等式叫条件不等式。
例：
3X+5>0 lg－<1等都是条件不等式。