Chap5

d 2 2u (u c)( 2 k 2 ) ( 2 ) 0 dy y
相应侧边界条件： (d ) 0
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方程两端同时除以 u c
2u 2 2 d y (k 2 ) 0 2 dy u c
(d ) 0
由于 u ( y ) 不是常数，方程为变系数偏微分方程，难以直接求解本征值； 采用Rayleigh方法进行讨论。
2

2u y 2

d ( f ) dy
基本气流绝对涡度的经向梯度
考虑气流为有限宽，气流中心在y=0处，而在y=±d处为刚体边界
y d x
侧向边界条件为： v' ( d ) 0 设方程有波动解：
x
( y)eik ( xct)
代入扰动涡度方程，得振幅方程：
-d
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2、基本控制方程
• 作为一级近似，大尺度运动是准水平和准无辐散的，故涡度方程为：
( u v )( f ) 0 t x y
u v 0 x y
采用小扰动方法，在(x,y)平面内
u u ( y ) u ' ( x, y , t ) v v ' ( x, y , t ) u v' u ' ' y x y
层结大气中，垂直方向满足静力平衡，由于 某种原因，扰动使气块偏离原平衡位置，产生净 浮力。如气块能返回原平衡位置，称之静力稳定； 如远离原平衡位置，称为静力不稳定。 发生在垂直方向的动力不稳定。 水平方向满足地转平衡的背景大气下，南北运 动的空气块受柯氏力的作用，气块能否回到原来 的平衡位置？
若大气对受扰动的气块的运动起限制作用，使 气块返回原来的平衡位置，称之为惯性稳定；如 大气对受扰动的气块起加速作用，使气块远离平 衡位置，称惯性不稳定。
(c) 分离实虚部：
u cr ici 1 1 u c u (cr ici ) [u cr ici ][u cr ici ]
y2
u cr u c
2
2

ici u c
2
实部
d 2 ( k 2 )dy dy y1 2u ) y 2 ( y 2
>0
2u 2 y
y yc yc ( y1 , y2 )

d u (f ) dy y y yc
0
郭晓岚定理
yc ( y1 , y2 )
在具有水平切变的基流中，某种条件下出现扰动，扰动发展与否取 决于基本流的分布特征。 要出现正压不稳定，在y1<y<y2区域中的某个地方，绝对涡度随y方 向的变化必须改变符号，即绝对涡度有极值
扰动的相速和振幅增长率，在复数C的平面上，必须 满足圆方程的约束——Howord半圆定理
Cr大小估计范围：
umin

2[k 2 ( ) 2 ] d

Cr umax
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• 一般来讲，热带地区水平温度南北梯度很小，有效位能不大可能是热 带扰动发展的能源。在热带辐合带中，平均纬向气流有明显的切变， 平均纬向气流的侧向切变所决定的正压不稳定很可能是热带扰动发生 发展的机制之一
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利用气块法讨论惯性不稳定特征
• 设环境大气基本状态满足地转平衡关系，且环境大气重力场只有南北 分布 ( y)
u ( y) u g 0 x x 1 1 f 0 y f 0 y
• 假定气块的水平运动不改变重力位势场的分布，即气块本身所具有 的重力位势满足上式，则气块运动方程为：
c
2u 2 y
0
（2）不计β作用，
2u y 2
0
y yc
称Rayleigh不稳定条件。
由此也可表明βΒιβλιοθήκη 不稳定的影响19• 由实部
y2
d 2 ( k 2 )dy 1 dy y
2
2u ) y 2 u ( 2 y

y1
u c
2
dy cr
在地转平衡的大气中，南北运动的气块离开平衡位置后，是受抑制 回到原位置，还是继续加速前进？取决于上式等号右端的符号。
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dv u f 0u f 0u f 0 (u ( y0 ) y ) f 0 (u0 f 0y ) dt y u f 0 ( f 0 )y y
du f 0v 0 dt x dv f 0u f 0u dt y
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若初始时刻气块位于位置y0，其东西向速度为u0，并令u0与环境 气流水平速度相同 u0 u0 ；气块移动δy 距离后，其东西向速度
du y dy 由气块水平运动方程： du du dt du 1 f 0 dy dt dy dt v u u0
北半球 f >0， >0 惯性稳定
u f0 y
=0 中性 <0 惯性不稳定
环境气流的绝对涡度是惯性稳定度的判据。由于大尺 度运动的绝对涡度一般为正，故大尺度运动一般来说 是惯性稳定的。
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§3 正压不稳定
1.问题提出

在正压大气中，运动系统在垂直方向上没有变化，但在水 平面上流场并非均匀。在一定条件下，由于风场的水平结 构而可以造成扰动的不稳定发展，即正压不稳定。郭晓岚 首先对大气中由于西风水平分布产生的不稳定进行了理论 探讨。 大气长波是大尺度运动的主要表现形式，中高纬许多天气 现象都和大气长波的发展、移动有关。所以，深入研究大 气长波的动力稳定性具有重要的理论和实际意义。 在具有水平切变的基流中产生的长波不稳定称为正压不稳 定，正压大气扰动发展的能量来自基本气流的动能。
2u 2 y
y yc yc ( y1 , y2 )

d u (f ) dy y y yc
0
(-d<yc<d)
y
yc ( y1 , y2 )
5、 ITCZ的正压不稳定定性分析
ITCZ指的是北半球东北信风和赤道西南风之 间的辐合带，穿过辐合带平均纬向气流的风 速廓线如图 为便于讨论，将这种具有代表性的风速廓线 写成函数形式： y y0 U U 0th D
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ωi>0，扰动振幅随时间增长
ωi<0，扰动振幅随时间衰减 • 由于复数与其共轭复数总是成对出现，方程解是上述两种情况叠加的 结果。 • 故称 i 0 为波动不稳定， ωi=0为波动稳定
i
为不稳定增长率
5
• 扰动发展需要能量
太阳辐射：长期过程，对一般的天气系统（气旋、台风、长波等两 三天内发展到最强的系统）而言，可以忽略
y1 2
2u ) y 2 (u cr )( y 2
y1

u c
2
dy
2
虚部
ci
u c
2
dy 0
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• 如果扰动不稳定，则必须满足
2u ) y 2 ( y 2
y1
ci 0
dy 0
2

u c
>0
2
2u 由罗尔定理可知，在y1, y2间存在一点yc，使 2 在其两侧变号 y
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3、稳定性讨论
(a) 如果扰动是不稳定的，扰动流函数的振幅随时间增长，则必须有
c cr ici
r ii
设Φ 的共轭复数为Φ*，表示为Φ*= Φ r- iΦ i
* r2 i2
2
(b) 振幅方程两端乘以Φ*，
2 d * d d * d d * d d * d ( ) ( ) dy2 dy dy dy dy dy dy dy 2
ω和c可以是实数，也可以是复数，若ω和c对于所有的k都是实 数，扰动和波的振幅随时间没有变化，因而流场是稳定的（第 四章讨论的即是这类波动）
r ii
c cr ici
( y, z)e t ei (kx t )
i r
ω的实部确定了波在x方向的相速，虚部确定了波随时间的增长。
2u 2 2 d * d d 2 2 y ( ) k2 0 dy dy dy u c
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方程对y积分，并利用边界条件
i r 0(at y y1 , y 2)

y2
y1
d * d ( )dy 0 dy dy
2u 2 y2 y2 d 2 y 2 2 2 1( dy k )dy y1( u c )dy y
d a 0 dy
2u u 与 2 正相关 y
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4、振幅增长率ci与波动相速cr的约束关系—半圆定理 （了解）
(cr U ) 2 ci2 R 2 [ R 2 (U

2[k 2 ( ) 2 ] d

)2 ]
1 1 U (umax umin ), U (umax umin ) 2 2
线性稳定性（扰动发展初始阶段，normal mode标准模方法）
非线性稳定性（global approach 整体方法)
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• 时间稳定性问题，在数学上相当于解方程组的初值问题， 若初值的解随时间趋于定常，说明气流是稳定的，否则是 不稳定的
波在x方向传播，扰动方程的单波解
( y, z)ei ( kxt ) ( y, z)eik ( xct)
代入涡度方程，可得线性化后的扰动涡度方程：
' ' u v' v' 0 t x y
水平无辐散运动，引入流函数
u' , v' y x
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• 线性扰动涡度方程
u ( u ) 2 ( 2 ) 0 t x x y