Matlab环境下采样定理的验证

M a t l a b环境下采样定理的验证Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998学号天津城建大学数字信号处理设计说明书Matlab环境下采样定理的验证起止日期： 2013 年 12 月 23 日至 2014 年 1 月 3 日学生姓名仍然让人班级电信1班成绩指导教师(签字)计算机与信息工程学院2014年 1月 3日天津城建大学课程设计任务书2012 —2013 学年第 1 学期计算机与信息工程 学院 电子信息工程 专业 11电信1班 班级课程设计名称： 数字信号处理设计题目： Matlab 环境下采样定理的验证完成期限：自2014 年 12月 23日至 2014年 1月 3 日共 2 周设计依据、要求及主要内容：一．课程设计依据时域采样定理和频域采样定理是数字信号处理中的重要理论，在掌握采样定理内容及原理的基础上，编写Matlab 程序验证采样定理。

二．课程设计内容1.连续信号00()sin()(),100,10,50*2*t f t Ae t u t A αΩαΩπ-====画出连续信号的时域波形及频谱特性曲线2. 对信号进行采样得到采样序列，画出采样频率分别是200Hz ，100Hz ，60Hz 时的采样序列波形；3.对不同采样频率下的采样序列进行频谱分析，绘制出幅频曲线，对比各频率下采样序列的幅频曲线有无区别；4.由采样序列恢复出连续信号，画时域波形，对比原连续时间信号波形；5.信号1,013()27,14260,n n x n n n +≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它，编写程序分别对()j X e ω=FT[x(n)]在02π-上等间隔采样32点和16点，得到3216()()X k X k 和，再分别对3216()()X k X k 和进行32点和16点IFFT 得到3216()()x n x n 和，分别画出()j X e ω，3216()()X k X k 和的频谱图，并画出x(n),3216()()x n x n 和的波形，进行对比。

三．课程设计要求1. 要求独立完成设计任务。

2. 课程设计说明书封面格式要求见《天津城市建设学院课程设计教学工作规范》附表13. 课程设计的说明书要求简洁、通顺，计算正确，图纸表达内容完整、清楚、规范。

4. 运行程序，观察并保存程序运行结果，能够对运行结果进行结果分析。

5.课设说明书要求：1)说明题目的设计原理和思路、采用方法及程序。

2)详细说明调试方法和调试过程，并给程序加注释。

3)给出程序运行结果，并对其进行说明和分析。

指导教师（签字）：系/教研室主任（签字）：批准日期： 2013年 12 月 19日目录第1章数字信号处理介绍背景知识数字信号处理是20世纪60年代，随着信息学科和计算机学科的高速发展而迅速发展起来的一门新兴学科。

它的重要性日益在各个领域的应用中表现出来。

数字信号处理是把信号用数字或符号表示成序列，通过计算机或通用（专用）信号处理设备，用数字的数值计算方法处理（例如：滤波、变换、增强、估计、识别等），达到提取有用信息便于应用的目的。

数字信号处理（Digital Signal Processing,简称DSP）是一门设计许多学科而又广泛应用于许多领域的新兴学科。

DSP有两种含义：Digital Signal Processing（数字信号处理）、Digital Signal Processor（数字信号处理器）。

我们常说的DSP指的是数字信号处理器。

数字信号处理器是一种适合完成数字信号处理运算的处理器。

广义来说，数字信号处理是研究用数字方法对信号进行分析、变换、滤波、检测、、以及快速算法的一门技术学科。

但很多人认为：数字信号处理主要是研究有关数字滤波技术、离散变换快速算法和谱分析方法。

随着技术以及计算机技术的发展，数字信号处理技术也相应地得到发展，其应用领域十分广泛。

MATLAB软件介绍MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意。

除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。

经过不断完善MATLAB已经发展成为适合多学科，多种工作平台的功能强大大大型软件。

成为线性代数,自动控制理论，数理统计，数字信号处理，时间序列分析，动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。

MATLAB的语言特点：(1)语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。

(2)运算符丰富。

(3)MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。

(4)程序限制不严格，程序设计自由度大。

(5)MATLAB的图形功能强大。

(6)MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。

由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。

第2章 设计目的及要求设计目的1 理解并掌握序列的采样定理的条件，并进行验证；2 学会运用MATLAB 验证函数的采样定理；3 学会运用MATLAB 画出函数的幅频曲线；设计要求1掌握利用MATLAB 在数字信号处理中的基本应用，并会对结果用所学知识进行分析； 2对连续信号进行采样，在满足采样定理和不满足采用定理两种情况下对连续信号和采样信号进行FFT 频谱分析；3从采样信号中恢复原信号，对不同采样频率下的恢复信号进行比较分析。

第3章 设计原理整体设计原理利用Matlab 对连续信号进行采样，对比采样频率max 2f f s <，max 2f f s =，max 2f f s >三种情况下的频谱，并与理想频谱进行分析，进而从实验上验证时域采样定理。

由时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论，这两个采样理论具有对偶性：“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓”。

因此放在一起进行实验。

时域采样定理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。

为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。

（1）对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(ˆΩj X是原模拟信号频谱)(a Ωj X 以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓。

公式为： )](ˆ[)(ˆt x FT j X a a =Ω )(1∑∞-∞=Ω-Ω=n s a jn j X T （2）采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。

理想采样信号)(ˆt xa 和模拟信号)(t x a 之间的关系为 ∑∞-∞=-=n a a nT t t x t x )()()(ˆδ 对上式进行傅立叶变换，得到：在上式的积分号内只有当nT t =时，才有非零值，因此：采样信号的恢复可用传输函数)(ωj G 的理想低通滤波器不失真地将原模拟信号)(t f 恢复出来，只是一种理想恢复。

因为T s π2=Ω理想低通滤波器的输入输出)(t f ∧和)(t y ，)(t y =)(t f ∧*)(t g =ττd t g t f )()(-⎰∞∞-采样信号的混叠现象对连续信号进行等间隔采样时，如果不能满足采样定理，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。

这种频谱的重叠导致的失真称为，而重建出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。

频域采样定理频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就是原序列x(n),即()N x n =x(n)。

如果N>M ，比原序列()N x n 尾部多N-M 个零点；如果N<M ，z 则()N x n =IDFT[()N X k ]发生了时域混叠失真，而且()N x n 的长度N 也比x(n)的长度M 短，因此。

()N x n 与x(n)不相同。

频域采样定理公式的推导对信号x(n)的频谱函数X(ej ω)在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到 则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：第4章 设计过程的实现设计步骤1.连续信号00()sin()(),100,10,50*2*t f t Ae t u t A αΩαΩπ-====画出连续信号的时2.域波形及频谱特性曲线；2 对信号进行采样得到采样序列，画出采样频率分别是200Hz ，100Hz ，60Hz 时的采样序列波形；3.对不同采样频率下的采样序列进行频谱分析，绘制出幅频曲线，对比各频率下采样序列的幅频曲线有无区别；4.由采样序列恢复出连续信号，画时域波形，对比原连续时间信号波形；5.信号1,013()27,14260,n n x n n n +≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它，编写程序分别对()j X e ω=FT[x(n)]在02π-上等间隔采样32点和16点，得到3216()()X k X k 和，再分别对3216()()X k X k 和进行32点和16点IFFT 得到3216()()x n x n 和，分别画出()j X e ω，3216()()X k X k 和的频谱图，并画出x(n),3216()()x n x n 和的波形，进行对比。

设计步骤框图图1 采样定理示意第5章 设计结果及分析用MATLAB 设计程序对应图形图2 时域波形与幅频特性曲线图3 信号恢复后的时域波形图图4 频域采样的频谱图设计分析时域采样定理的分析由公式知原信号的最高截止频率为100Hz,由上图可知，在三种不同的采样频率下，只有采样频率为200Hz 时信号恢复较好。

具体分析如下：(1) 频率为60Hz 即s f <m ax 2f 时，为原信号的欠采样信号和恢复，采样频率不满足时域采样定理，那么频移后的各相临频谱会发生相互重叠，这样就无法将他们分开，因而也不能再恢复原信号。

频谱重叠的现象被称为混叠现象。

(2) 频率为100Hz 即s f =m ax 2f 时，为原信号的临界采样信号和恢复，上图有其采样的离散波形和频谱，从恢复后信号和原信号先对比可知，恢复情况很差，前后时域波形差别很大。

(3) 频率为200Hz 即s f >m ax 2f 时，为原信号的过采样信号和恢复，由上图采样信号离散波形和频谱，可以看出采样信号的频谱是原信号频谱进行周期延拓形成的。