5[1].2 可分离变量的方程

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大学高等数学上册讲义笔记可分离变量齐次微分方程一阶线性微分方程二阶常系数齐次二阶常系数非齐次

课时八微分方程考点重要程度分值常见题型1.可分离变量★★★3~0选择、填空6.齐次微分方程★★★3~03.一阶线性微分方程必考10~6大题4.二阶常系数齐次5.二阶常系数非齐次1、可分离变量形式：()()g y dy f x dx =方法：两边同时积分解：分离变量2dyxdx y=两边同时积分2dyxdxy =⎰⎰得：2ln y x C =+22xCx Cy e e e +⇒==⋅11 ()C x x C y e e C e C e ⇒=±⋅==±题2.ln 0xy y y '-=解：ln 0dyxy y dx-=分离变量ln dy dxy y x=两边积分ln dy dxy y x=⎰⎰得1ln ln ln y x C =+11ln ln ln C C x e e x=+=111ln ln (C=)C C C y e xy e x Cx e =⇒=±=±2、齐次微分方程题1.()220x xy dx xydy ++=解：2122y dy x xyxydx xyx++=-=-令y u x =y xu =du y u x dx'=+替换上式得：12du uu x dx u++=-整理得：()2112u du ux u dx u u++=--=-分离变量()211udu dx x u =-+两边积分得()211udu dx x u =-+⎰⎰1ln 1ln 1u x C u ⇒++=-++将y u x =代回1ln 1ln 1y x Cy x x++=-++化简整理：ln1ln y x x C x x y+++=+ln xy x C x y⇒++=+3、一阶线性微分方程解：()1P x =，()xQ x e -=()1P x dx dx x==⎰⎰()()P x dxx x Q x e e e dx x-⎰=⋅=⎰⎰所以方程通解：()x y e x C -=+题2.已知()f x 为可导函数，且满足方程()()20xtf t dt x f x =+⎰，求()f x 解：两边求导()()2xf x x f x '=+整理得2y xy x'-=-()P x x =-()2Q x x =-()212P x dx xdx x =-=-⎰⎰()()22112222x x P x dx Q x e dx xe dx e --⎰=-=⎰⎰故方程通解：()22211122222x x x f x ee C Ce -⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0x =时代入原方程()()20xtf t dt x f x =+⎰()000f ⇒=+()00f ⇒=代入()0,0点，即02C =+2C ⇒=-故()21222x f x e=-通解公式：()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰4、二阶常系数齐次线性微分方程形式：0y Py Qy '''++=题1.求微分方程230y y y '''--=的通解.解：特征方程2230r r --=特征根：11r =-23r =则312x xy C e C e -=+原方程：20y y y '''++=特征方程：2210r r ++=特征根：121r r ==-通解为：()12xy C C x e -=+代入04x y ==得14C =则()24xy C x e -=+()224x xy C e C x e --'=-+代入02x y ='=-得222 42C C -=-=所以方程的解：()42xy x e -=+5、二阶常系数非齐次线性方程形式：()x m y py qy e P x λ'''++=题1.256x y y y xe '''-+=特征方程：2560r r -+=特征根：122,3r r ==通解：2312x xY C e C e =+从原方程可知：2λ=，()m P x x =设方程特解为：()2xy xeax b *=+()()22222xy e axbx ax b *'=+++()()2244842xy e axbx ax b a *''=++++将y *，()y *'()y *''代入原方程化简后得：22ax a b x-+-=对应系数相等1212201a a ab b ⎧-==-⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎩2112xy x x e *⎛⎫⇒=-- ⎪⎝⎭则方程通解为23212112x x xy C e C e x x e ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭特征根1r ，2r 通解12r r ≠1212r x r x y C e C e =+12r r =()112r xy C C x e =+12rr iαβ==±()12cos sin x y e C x C x αββ=+课时八练习题1．ln 0xy y y '-=2．23550x x y '+-=3．()33230x y dx xy dy +-=4．sin cos x y y x e -'+=5．()()3222dy x y x dx-=+-6．20y y y '''+-=7．430y y y '''-+=06x y ==010x y ='=8．690y y y '''++=9．450y y y '''-+=10．225521y y x x '''+=--。

总结一阶微分方程的类型及其解法

总结一阶微分方程的类型及其解法一阶微分方程是指只包含未知函数的一阶导数的方程。

一阶微分方程广泛应用于物理、工程、经济等各个领域，并且在实际问题中具有重要的作用。

下面将总结一阶微分方程的类型及其解法。

一阶微分方程可以分为可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、可化为常数系数线性方程、可化为直接积分方程等几种类型。

1.可分离变量方程：可分离变量方程指的是方程可以通过将变量分离到方程的两侧来求解。

形式为dy/dx = f(x)g(y)。

首先将方程化为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。

最后可以求出y的解。

2.齐次方程：齐次方程指的是方程为dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的形式，其中f(x, y)和g(x, y)为齐次函数。

这类方程可以通过进行变量代换，令y = ux，即可将方程化为可分离变量的形式，进而解出y的解。

3.线性方程：线性方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。

对于这类方程，可以使用线性常数变易法来求解。

通过引入一个特殊的函数u(x)，可以将方程化为du/dx + [P(x) - Q(x)]u = 0的形式。

然后可以使用可分离变量的方法来求解。

4.伯努利方程：伯努利方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n的形式，其中n为常数且n≠0。

1、对于这类方程，可以通过简单的变量代换y = u^(1-n)来将方程化为线性方程，从而方便地求解。

5.可化为常数系数线性方程：可化为常数系数线性方程指的是方程可以通过适当的变换化为形如dy/dx + Py = Q的方程，其中P和Q为常数。

一般来说，这类方程可以通过进行一些适当的代换变量和函数来求解。

6.可化为直接积分方程：可化为直接积分方程是一类特殊的一阶微分方程，形式为M(x,y) +N(x,y)dy/dx = 0。

对于这类方程，可以通过将方程两边进行积分，从而将方程转化为积分方程的形式，进而求出y的解。

可分离变量的微分方程

另一方面，设在微小时间间隔[t,t+dt]内，水面高度由h降直h+dh(dh<0)，则又可得到
dV πr 2 dh
(3)
其中r是时刻t的水面半径，右端置负号是由于dh<0 而dV>0的缘故，又因
r 100 2 (100 h) 2 200h h 2
所以(3)式变成：dV π(200h h )dh (4) 比较(2)和(4)两式，得：
设G ( y )、F ( x)分别为g ( y )、f ( x)的原函数, 则 :
G ( y ) F ( x) c
(3)
隐式解:(3)式为微分方程(2)的隐式解隐式通解:(3) 式中含有任意常数,因此(3)式为微分方程(2)的隐式通解.
dy 例1 求微分方程 2 xy的通解. dx
此方程为逻辑斯蒂曲线方程.
例3 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象
叫做衰变.由原子物理学知道，见到的衰变速度与当
时未衰变的原子的含量M成正比.已知t=0时铀的含量
为M0，求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规
律.
dM 解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数 .由于 dt 铀的衰变速度与其含量成正比，故得微分方程 dM M0000 c ( ) 0.62 2 g 3 5 π 14 105 0.62 2 g 15
π t 4.65 2 g
3 (7 105 103 h 2
5 3h 2 )
解 : 由原方程得 dy 2 xdx y
dy 两端积分得 2 xdx y
当y 0时，有 ln y x 2 c1 ye
x 2 c1

微分方程(可分离变量的微分方程)

即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
13
dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
9.2一阶微分方程

最基本的微分方程是一阶微分方程。一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程

分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当变形，能够转化为分离变量方程
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
12
一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程

常见的有解析解的常微分方程---经典总结

常见的有解析解的常微分方程---经典总结1、可分离变量方程：1122()()()()0f x g y dx f x g y dy += 两边同除以12()()0g y f x ≠，得1221()()0()()f x g y dx dy f x g y += 积分，得1221()()()()f xg y dx dy C f x g y +=⎰⎰ 2、齐次方程：'()y y f x =令y u x =，则y ux =，'du y u x dx=+ 于是，原方程()ln ()()du du dx du u x f u x C dx f u u x f u u⇒+=⇒=⇒=+--⎰ 3、可化为齐次型的方程：111222()a x b y c dy f dx a x b y c ++=++ （1）当120c c ==时，11112222()()()ya b a x b y dy y x f f g y dx a x b y x a b x ++===++，利用2求解（2）11220a b a b =，即1122a b a b λ==，则22122222()()()a x b y c dy f g a x b y dx a x b y c λ++==+++ 令22a x b y u +=，则22()du a b g u dx =+，利用1求解（3）11220a b a b ≠，1c ，2c 不全为0解方程组11122200a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩，求交点(,)αβ4、一阶线性方程：'()()y p x y q x +=第一步：求对应齐次方程'()0y p x y +=的通解，得()p x dx y Ce -⎰=第二步：令原方程的解为()()p x dx y C x e -⎰=第三步：代入原方程整理，得()()'()()()()p x dx p x dx C x e q x C x q x e dx C -⎰⎰=⇒=+⎰第四步：写出原方程通解()()[()]p x dx p x dx y q x e dx C e -⎰⎰=+⎰5、贝努里方程：'()()n y p x y q x y +=，其中0,1n ≠令1n z y -=，则原方程1()()1dz p x z q x n dx ⇒+=-(1)()(1)()dz n p x z n q x dx ⇔+-=-，利用4求解6、全微分方程：(,)(,)0M x y dx N x y dy +=，且M N y x ∂∂=∂∂通解为0000(,)(,)x yx y M x y dx N x y dy C +=⎰⎰ 7、不显含y 的二阶方程：''(,')y f x y =令'y p =，则'''y p =原方程'(,)p f x p ⇒=，这个一阶方程的解为1(,)p x C ϕ=即1'(,)y x C ϕ=，原方程通解为12(,)y x C C ϕ=+⎰8、不显含x 的二阶方程：''(,')y f y y =令'y p =，则''dp dp dy dp y p dx dy dx dy=== 原方程1(,)dp f y p dy p⇒=，其解为1(,)p y C ϕ= 即1(,)dy y C dxϕ=，原方程通解为21(,)dy x C y C ϕ=+⎰9、二阶常系数线性齐次方程：220d y dy p q dx dx++=第一步：求特征方程20p q λλ++=的两根。

可分离变量方程

可分离变量方程、齐次方程
•可分离变量方程
•齐次方程
•其它
一、可分离变量的微分方程
1. 定义：一阶微分方程：y h( x, y )
dy 即 h( x, y ) dx
f ( x) 若 h( x , y ) g( y )
即形如
g( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
齐次方程
1、变量代换
2、求解
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
由牛顿力学的知识可得 dv F mg kv m ma dt dv 1 mg 即 dt v mg kv m k
mg v0 0 C v k mg t , v k
Ce

k t m
k t mg 1 e m k
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
o
x
OMN NMR,
1 MN为法线, 斜率为 , y
N
L
tan OMN tan NMR,
y
M
o
T
R
x
N
L
由夹角正切公式得

常微分方程常见形式及解法

常微分方程常见形式及解法1. 可分离变量形式：dy/dx=f(x)g(y)，可以通过分离变量的方法将变量分开，然后积分求解。

具体步骤如下：1）将方程改写为g(y)dy=f(x)dx；2）同时对两边积分，即∫g(y)dy=∫f(x)dx；3）求积分，得到方程的通解；4）如果已知初始条件，将初始条件代入通解中，求解常数，得到特解。

2. 齐次方程形式：dy/dx=f(y/x)，可以通过变量代换的方法将方程转化为可分离变量的形式，然后采用可分离变量的方法求解。

具体步骤如下：1）将方程中的变量代换为u=y/x，即令y=ux；2）将方程转化为关于u和x的方程，即dy/dx=u+xdu/dx；3）将转化后的方程改写为u+xdu/dx=f(u)，得到可分离变量的形式；4）采用可分离变量的方法求解，得到方程的通解；5）根据已知初始条件求解常数，得到特解。

3. 线性一阶方程形式：dy/dx+p(x)y=q(x)，可以采用积分因子法求解，具体步骤如下：1）将方程改写为dy/dx+p(x)y=q(x)；2）确定积分因子μ(x)，计算公式为μ(x)=exp(∫p(x)dx)；3）将方程乘以积分因子μ(x)得到μ(x)dy/dx+μ(x)p(x)y=μ(x)q(x)，左边可化为d(μ(x)y)/dx；4）对方程进行积分，得到（μ(x)y=∫μ(x)q(x)dx；5）根据已知初始条件求解常数，得到特解。

1. 齐次线性方程形式：d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，可以通过特征方程的解法求解，具体步骤如下：1）将方程改写为特征方程m²+pm+q=0；2）根据特征方程的不同情况（实根、复根、重根），求解特征方程得到特征根；3）根据特征根的不同情况，构造方程的通解。

2. 非齐次线性方程形式：d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=f(x)，可以采用常数变易法求解，具体步骤如下：1）先求齐次线性方程的通解；2）根据题目给出的非齐次项f(x)，选取常数变易法的形式y=c(x)y1(x)，其中y1(x)为齐次方程的一个解；3）将常数变易法的形式代入原方程，消去常数项，得到关于c(x)的方程；4）求解c(x)的方程，得到特解；5）齐次方程的通解加上特解，得到非齐次方程的通解。

可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程

dx
2
2
解 d y cos x y cos x y 0,
dx
2
2
d y 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2sin
y
sin x d x, 2
2
ln csc y cot y 2cos x C 为所求通解.
22
2
例3 一个充满气体的气球突然破了一个孔，
漏气的速率正比于气球内气体的质量，
x
x
例6 求方程sin x d y y cos x 5sin x ecos x的通解 dx
解将方程化为标准型
d y y cot x 5ecos x, dx 则, P( x) cot x, Q( x) 5ecos x ,
利用公式常数变易公式得通解
y e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x C e cot xd x 5ecos xe cotd x d x C
x,
ln y P( x)d x ln C ,
齐次线性方程的通解为：y Ce P( x)d x .
2º非齐次线性方程： d y P( x) y Q( x). dx
将 C 变易 C( x) (待定)
作变换 y C( x)e P( x)d x
y C( x) e P( x)d x C( x) [P( x)]e P( x)d x ,
第九章
第二节可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
二、一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
类型1. d y h( x)g( y) (1.1) dx ——可分离变量的微分方程.
求解法：设函数g( y)和h( x)是连续的,

可分离变量的微分方程典型例题分析

解由力学知识得,水从孔口流出的流量为 Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数孔口截面面积重力加速度
S 1 cm2 ,
h
dV 0.62 2gh dt, (1)
h h dh r
设在微小的时间间隔 [t, t dt], o
100 cm
水面的高度由 h 降至 h+dh , 则 dV r 2dh, r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
y Ce x2为所求通解 .
例２求解微分方程 y e y2x 的通解.
解分离变量,得 e ydy e2 xdx,
两端积分,得
e ydy e2xdx,
解得
ey
1 e2x 2
C1
即 2e y e2 x C (C 为任意常数 )
2e y e2 x C 为所求通解 .
例5 求 y y2 cos x 满足初始条件 y(0) 1的特解.
四、小船从河边点 0 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路线.
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .
求方程的通解 : y sin( x y) sin( x y) 提示:
方程变形为
y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
练习题
一、求下列微分方程的通解:
1、sec2 x tan ydx sec2 y tan xdy 0； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0；

数学物理方程-第二章分离变量法

第二章分离变量法分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.§21 特征值问题⋅2．1.1 矩阵特征值问题在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设为一阶实矩阵，A n 可视为到自身的线性变换。

该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）A n R 即是求方程：，,n Ax x x R λ=∈（1.1）的非零解，其中为待定常数. 如果对某个，问题（1.1）有非零解C λ∈λ，则就称为矩阵的特征值(eigenvalue)，相应的称为矩阵n x R λ∈λA n x R λ∈的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于个相A n 异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一阶矩阵都有个线性无n n 关的广义特征向量，以此个线性无关的广义特征向量作为的一组新基，矩n n R 阵就能够化为标准型.Jordan 若为一阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正A n 交矩阵使得T ， 1T AT D -=（1.2）其中diag 为实对角阵. 设，为矩阵的第列D =12(,,...,)n λλλ12[ ... ]n T T T T =i T T i 向量，则式（1.2）可写为如下形式(1)i n ≤≤ ，1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =或, 1.i i i A T T i n λ=≤≤（1.3）上式说明，正交矩阵的每一列都是实对称矩阵的特征向量，并且这T A 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定n 理的形式给出.定理1.1 设为一阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题A n ，,n Ax x x R λ=∈则的所有特征值为实数，且存在个特征向量，它们是相互正交的A n ,1i T i n ≤≤（正交性orthogonality ），可做为的一组基（完备性completeness ）.n R 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之.为简单起见，在下面两个例子中取为阶非奇异实矩阵，故的所有特A n A 征值非零，并且假设有个线性无关的特征向量相应的特征值为A n ,i T ., 1i i n λ≤≤例1.1 设，求解线性方程组 .n b R ∈Ax b =解由于向量组线性无关，故可做为的一组基. 将按此{1}i T i n ≤≤n R ,x b 组基分别展开为，则等价于11 ,nni i i i i i x x T b bT ====∑∑Ax b =，11nni ii ii i x AT bT ===∑∑或，11nni i ii ii i x T bT λ===∑∑比较上式两边的系数可得i T ，1, 1i i i x b i n λ-=≤≤便是原问题的解.12( ... )n x x x x T =例1.2 设,. 求解非齐次常微0n x R ∈12()((),(),...,()), 0n n f t x t x t x t R t T =∈>分方程组， 0(), (0)dxAx f t x x dt=+=（1.4）其中 . '''12((),(),...,()),0n dx x t x t x t t dtT =>解类似于上例，将按基分别展开为0,,()x x f t {1}i T i n ≤≤ .0111, , ()()nn n i i i ii i i i i x x T x x T f t f t T ======∑∑∑则（1.4）等价于，0111()() +(), (0), 1n n ni i i i i i i i i i i dx t T x t AT f t T x x i n dt =====≤≤∑∑∑或，011()(()()), (0),1nni i i i i i i i i i dx t T x t f t T x x i n dt λ===+=≤≤∑∑比较上式两边的系数可得i T . 0()()(), (0), 1i i i i i i dx t x t f t x x i n dtλ=+=≤≤（1.5）（1.5）是个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解n 的具体表达式.(),1i x t i n ≤≤2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题. 代替上节的有限维线性空间和阶实对称矩阵，在这儿要用到线性空间的某个子空间n R n A [0,]C l 和该子空间上的二阶线性微分算子. 一般地取H A在满足齐次边界条件.2{()[0,]()H X x C l X x =∈0,x l =}（1.6）下面我们讨论二阶线性微分算子的特征值问题. 先取边界条件为22d A dx=-，设是的特征函数，即且满足(0)0,()0X X l ==()X x H ∈A ()0X x ≠.()()AX x X x λ=此问题等价于是下面问题的非零解()X x "()()0, 0(0)()0 .X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩（1.7）（1.7）便是二阶线性微分算子的特征值问题，即要找出所有使22d A dx=-得该问题有非零解的. 下面求解特征值问题（1.7）.λ首先证明要使（1.7）具有非零解，必须非负.λ设是相应于的一个非零解，用乘（1.7）中的方程，并在)(x X λ)(x X 上积分得[]l ,0，0)()()()("=+x X x X x X x X λ，0)()()( 0 2 0 "=+⎰⎰dx x X dx x X x X llλ.0)())(()()( 0 2 0 2'0'=+-⎰⎰dx x X dx x X x X x X lll λ由于，故有0)()0(==l X X ，2'2 0()(())llX x dx X x dx λ=⎰⎰.'22 0(())()0llX x dxX x dx λ=≥⎰⎰（1.8）当时，方程的通解为. 利用边界条件0λ=0)()("=+x X x X λ12()X x c c x =+可得，即. 因此，不是特征值.0)()0(==l X X 120c c ==()0X x =0λ=当时，方程的通解为0λ>0)()("=+x X x X λ. （1.9x C x C x X λλsin cos )(21+=）利用边界条件确定常数如下0)()0(==l X X 21,C C , ,10C =l C l C λλsin cos 021+=或.0sin 2=l C λ由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故不能为零. 故有2C .0sin =l λ，从而有0> ， ,πλn l =1n ≥， .2)(ln n πλ=1n ≥将代入到（1.8）中，并略去任意非零常数得n C C λ,,212C ， .x ln x X n πsin)(=1n ≥故特征值问题（1.7）的解为，， 2(l n n πλ=x ln x X n πsin )(=1n ≥（1.10）注1 特征值问题是分离变量法的理论基础. 上面已求出特征值问题（1.7）的解为. 在高等数学中知道，在一定条件下区间{ sin 1 }n x n lπ≥的任一函数可按特征函数系展开为Fourier 级数. 换言[0 , ]l { sin 1 }n x n lπ≥之，特征函数系是区间上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基，{ sin 1 }n x n lπ≥[0 , ]l 而且还是该空间上的一组正交基，即有. 特征函0sinsin 0 , ln m x n m l lππ=≠⎰数系的这两个根本性质：正交性和完备性（基），和定理1.1{ sin1 }n x n lπ≥有限维空间中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个. 另n R 外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化.如将边界条件变为，则特征值和特征函数分别为(0)0,'()0X X l ==. 2(21)(21)(),()sin ,022n n n n X x x n l lππλ++==≥该特征函数系也具有和特征函数系类似(21){ sin1 }2n x n l π+≥{ sin 1 }n x n lπ≥的性质，既正交性和完备性.此类问题的一般结果便是著名的Sturm—Liouville定理，有兴趣的同学可参阅参考文献.[1][4]-将以上的结果以定理的形式给出.定理1.2 考虑二阶线性微分算子的特征值问题[1],[4]22d A dx=- "()()()()0 , 0 ,(0)0,()0 .k m X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩（1.11）其中. 则该问题的特征值非负，且满足0,1k m ≤≤.120......n λλλ≤<<<<→∞相应的特征函数系在上是相互正交的. 且对于任一在区间上1{()}n n X x ≥[0,]l [0,]l 分段光滑的函数，可按特征函数系展开为如下的级数()f x 1{()}n n X x ≥Fourier ，1()()n n n f x f X x ∞==∑其中系数为Fourier .20()(), 1()l nn lnf x Xx dxf n Xx dx =≥⎰⎰为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子带有周期边界条件的22d A dx=-特征值问题. 在偏微分方程教材中，习惯上用表示周期函数，即考虑下面()θΦ二阶线性微分算子的周期边值问题22d A dx=- "()()0, () (2), .θλθθθπθθ⎧Φ+Φ=-∞<<+∞⎨Φ=Φ+-∞<<+∞⎩（1.12）可证（1.12）和以下问题等价"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩（1.13）和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值.当时，0≥λ0λ=, 由周期边界条件可得. 所以为特征函数.12()c c θθΦ=+20c =0()1θΦ=当时，方程通解为0λ>,θλθλθsin cos )(21c c +=Φ求导得.'()c c θΦ=-+由周期边界条件可得112cos(2sin(2c c c c c c ππ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩或1212[1cos(2sin(20sin(2[1cos(20.c c c c ππ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩（1.14）由于要求非零解，故不能同时为零. 因此，齐次方程组（1.14）的系数矩12,c c 阵行列式必为零，即 .解之可得1cos(20-=，2n n =λ()cos sin .n n n c n d n θθθΦ=+此时对每个正特征值，特征函数有二个，既，. 总结所得2n n =λθn cos θn sin 结果为如下定理.定理1.3 考虑二阶线性微分算子带有周期边界条件的特征值问22d A d θ=-题"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩则该问题的特征值和特征函数分别为，.00,λ=0()1;θΦ=2n n =λ(){cos ,sin }, 1n n n n θθθΦ=≥§22 分离变量法⋅本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation of variables ）. 所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题. 对高维问题的处理放在其它章节中介绍.以下多数例子均假定定解问题带有齐次边界条件. 否则,可利用边界条件齐次化方法转化之. 我们以弦振动方程的一个定解问题为例介绍分离变量法.2．2.1 弦振动方程定解问题例2.1求解两端固定弦振动方程的混合问题2(,), 0, 0 (2.1)(0,)0, (,)0, 0 (2.2)(,0)(), (,0)(),0. tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ-=<<>==≥==≤≤ (2.3)⎧⎪⎨⎪⎩解分四步求解.第一步导出并求解特征值问题. 即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该定解问题的特征值问题并求解.令，并代入到齐次方程中得)()(),(t T x X t x u =,0)()()()(''2''=-t T x X a x X t T 或.''''2()()()()X x T t X x a T t =上式左端是的函数而右端是的函数，要二者相等，只能等于同一常数.x t 令此常数为-，则有λ ，，λ-=)()("x X x X "2()()T t a T t λ=-上面的第一个方程为.0)()("=+x X x X λ利用齐次边界条件（2.2），并结合得0)(≠t T .0)()0(==l X X 由此便得该定解问题的特征值问题为"()()0, 0(0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩其解为特征值：特征函数： 2() , 1 ;n n n lπλ=≥()sin, 1 .n n X x x n lπ=≥第二步正交分解过程. 即将初值和自由项按特征函数系展成{}1()n n X x ≥Fourier 级数，并将也用特征函数表出.),(t x u {}1()n n X x ≥ ,11()()sinn n n n n n x X x x lπϕϕϕ∞∞====∑∑（2.4）, 11()()sinn n n n n n x X x x lπψψψ∞∞====∑∑（2.5）, 11(,)()()()sinn n n n n n f x t f t X x f t x lπ∞∞====∑∑（2.6）（2.711(,)()()()sinn n n n n n u x t T t X x T t x lπ∞∞====∑∑）这里，和分别为，和的Fourier 系数，具体表示如n ϕn ψ)(t f n )(x ϕ)(x ψ),(t x f 下,02()sin l n n d l l πϕϕααα=⎰,02()sin l n n d l l πψψααα=⎰,02()(,)sin l n n f t f t d l lπααα=⎰而为待定函数.)(t T n 第三步待定系数法. 即先将和的Fourier 级数代入到（2.1）),(t x f ),(t x u 中，导出关于满足的常微分方程. 再利用初值条件（2.3）得出满足)(t T n )(t T n 的初始条件.假设(2.7)中的级数可逐项求导，并将（2.6）和（2.7）代入到（2.1）中得,"2"111()()()()()()nnnnn n n n n T t Xx aT t Xx f t X x ∞∞∞===-=∑∑∑,"2111()()()(())()()nnn nnn n n n n T t Xx aT t Xx f t X x λ∞∞∞===--=∑∑∑ . （2.8"211(()())()()()nn n n n n n n T t a T t X x f t X x λ∞∞==+=∑∑）由于Fourier 展式是唯一的，比较（2.8）两端系数得)(x X n（2.9"2()()(), 1.n n n n T t a T t f t n λ+=≥）在（2.7）中令并结合（2.4）得0=t （2.10()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑）比较（2.10）两端系数得)(x X n(0), 1.n n T n ϕ=≥（2.11）类似地可得'(0), 1.n n T n ψ=≥（2.12）结合（2.9），（2.11）和（2.12）便得出关于满足的二阶常系数非齐)(t T n (1)n ≥次方程初始值问题"2'()()(), 0(0), (0).n n n n n n n n T t a T t f t t T T λϕψ⎧+=>⎪⎨==⎪⎩（2.13）第四步求解关于的定解问题（2.13），并将其结果代入到（2.7）中)(t T n 即可.为简单起见，我们设. 将代入到（2.13）中可得方程的通()0,1n f t n =≥n λ解为， t lan d t l a n c t T n n n ππsin cos)(+=利用初始条件确定常数如下,n n c d.'(0), (0)n n n n nn aT c T d lπϕψ====故有. ()cossin n n n l n a n a T t t t l n a lψππϕπ=+最后将上式代入到（2.7）中便得定解问题（2.1）—（2.3）的解为12(,)()sin cos sin l n n n a n u x t d t xlll lπππϕααα∞==∑⎰ (2.14)012()sin sin sin l n n n a n d t x n a l l l πππψαααπ∞=+∑⎰注1 利用分离变量法求解（2.1）—（2.3），需要假设在（2.7）中可通过无穷求和号逐项求导. 而通过号求导要对无穷级数加某些条件，在这里就∑∑不做专门讨论了. 今后遇到此类问题，我们均假设一切运算是可行的，即对求解过程只作形式上的推导而不考虑对问题应加什么条件. 通常称这样得出的解为形式解. 验证形式解是否为真解的问题，属于偏微分方程正则性理论的范围. 一般地讲，偏微分方程定解问题的解大多数是以无穷级数或含参变量积分形式给出的. 对这两类函数可微性的研究需要较深的数学知识，也有一定的难度，有兴趣的同学可查阅参考文献和. 我们约定：本书只求定解问题的形式解.[1][2]注2 当时，由（2.14）可以看出：两端固定弦振动的解是许多(,)0f x t =简单振动的叠加，当时，对任意的(,)()sinn n n u x t T t x l π=(11)k klx x k n n==≤≤-时刻，，即在振动的过程中有个点永远保持不动，所t (,)0n k u x t =(,)n u x t (1)n +以称这样的振动为驻波,而称为该驻波的节点.显然当k x 时，在这些点上振幅最大，称这些点为驻波的21(11)2k x l k n n+=≤≤-sin 1x =腹点. 因此，求特征函数实际上就是求由偏微分方程及边界条件所构定的系统所固有的一切驻波. 利用由系统本身所确定的简单振动来表示一些复杂的振动，便是分类变量法求解波动问题的物理解释.注3 例2.1的求解方法也叫特征函数法（eigenfunction method ），现已成为固定模式，也具有普适性. 初学者似乎会感到有些繁琐，但随着进一步的学习，同学们就会熟练掌握这一方法. 特征函数法的关键之处是求解偏微分方程定解问题相应的特征值问题，而基本思想就是笛卡尔（Descartes ）坐标系的思想.如在三维空间中，每个向量可由基的线性组合表出，两个向量3R {,,}i j k 111222 , a i b j c k a i b j c kαβ=++=++相等当且仅当在基下两个向量的坐标相等. 既.{,,}i j k121212 , , a a b b c c ===与此相类似，在例2.1求解中也是比较方程或初始条件两边的系数而得()n X x 到（2.13）. 与三维空间相比较，例2.1中特征函数系相当3R { sin1 }n x n lπ≥于3R 中的基，而也就相当于上面的，即定解问题的解{,,}i j k{ T () 1 }n t n ≥111{,,}a b c 关于基函数的坐标. 因此，在具有可数基的无穷维空间中，特{ sin1 }n x n lπ≥征函数法也称为待定系数法.例2.2 设有一均匀细弦，其线密度为. 若端为自由端，端固ρ0x =x l =定.初始速度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为. 求此弦的振动. sin t ω 解所求定解问题为（2.1521 sin , 0, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x t u a u t x l t u t u l t t u x u x x l ρω-⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩）利用特征函数法求解该问题.情形1 非共振问题，即.22, 0n a n ωλ≠≥ 该定解问题的特征值问题为(2.16)"'()()0, 0(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩其解为，， 2(21)()2n n l πλ+=(21)()cos 2n n X x x lπ+=0n ≥将按特征函数展开成Fourier 级数得1sin t ρω-{}0)(≥n n x X , （2.17)11sin ()()n n n t f t X x ωρ∞==∑.021214()sin sin sin sin 2(21)l n n n f t t d t f t l l n ωπααωωρπρ+===+⎰令(,)()()n n n u x t T t X x ∞==∑（2.18）完全类似例2.1的求解过程可得，对于任意满足下面问题0, ()n n T t ≥（2.19"2'()()sin , 0(0)0, (0)0.n n n n n n T t a T t f t t T T λω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩）初值问题(2.19)中齐次方程的通解为，12()cos sin n T t c c =+而非齐次方程的一个特解为.22()sin nn n f T t t a ωλω=-因此，（2.19）的通解为. 1222()cos sin sin nn n f T t c c t a ωλω=++-（2.20）由初始条件可确定出120, c c ==最后将所得到的代入到（2.18）中便得（2.15）的解.()n T t 情形2 共振问题，即存在某个使得.0,n ≥22n a ωλ=不妨假设.此时，在情形1中求解所得到的不变.220a ωλ={ T () 1 }n t n ≥当时，要求解以下问题0n = "2000'00()()sin , 0(0)0, (0)0.T t T t f t t T T ωω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩（2.21）（2.21）中齐次方程通解为.012()cos sin T t c t c t ωω=+为求得非齐次方程的一个特解，要将（2.21）中方程的自由項换为，而求0i t f e ω以下问题的一个特解"2000()().i t T t T t f e ωω+=令并代入到上面非齐次方程中可得，故有()i t T t Ate ω=02f iA ω=-，00()sin cos 22f t f tT t t i t ωωωω=-取其虚部便得（2.21）中方程的一个特解为. 00()Im(())cos 2f tT t T t t ωω==-结合以上所得结果便可得到（2.21）中方程的通解为，0012()cos sin cos 2f tT t c t c t t ωωωω=+-由初始条件确定出，由此可得01220, 2fc c ω==.0002()sin cos 22f f tT t t t ωωωω=-将代入到（2.18）中便得在共振条件下（2.15）的解为()n T t 000102112(,)()()()()()()(sin cos )cos ()()222 (,)(,) .n n n n n n n n n u x t T t X x T t X x T t X x f f t t t x T t X x l u x t u x t πωωωω∞=∞=∞===+=-+=+∑∑∑可以证明: 是有界的. 而在的表达式中取，则2(,)u x t 1(,)u x t 2k k t πω=中的基本波函数的振幅当逐渐变大时将趋于无穷大，最1(,)u x t cos2x lπ0()k T t k 终要导致弦线在某一时刻断裂，这种现象在物理上称为共振. 注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率等于系统的第一固有频率ω波函数分量上发生共振. 一般地讲，当周期外力的频率很接近或等于系统的ω某个固有频率时，系统都会有共振现象发生，即弦线上一些点的振幅将随着时间的增大而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂.2．2.2 热传导方程定解问题例2.3 求解下面热方程定解问题（2.2220, 0, 0 (0,), (,)sin , 0(,0)0, 0.t xx x u a u x l t u t u u l t t t u x x l ω⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩）解利用特征函数法求解(2.22).首先将边界条件齐次化,取，并令，则0(,)sin w x t u x t ω=+w u v -=（2.22）转化为（2.2320cos , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0), 0.t xx x v a v x t x l t v t v l t t v x u x l ωω⎧-=-<<>⎪==≥⎨⎪=-≤≤⎩）利用分离变量法可得（2.23）的特征值问题为"()()0, 0(0)0, '()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩特征值和特征函数分别为,2(21)()2n n lπλ+=0≥n .(21)()sin 2n n X x x lπ+=0≥n 将，按特征函数展成Fourier 级数(,)cos f x t x t ωω=-0)(u x -=ϕ{}0)(≥n n x X 得， (2.24)cos ()()n n n x t f t X x ωω∞=-=∑,02(21)()(1)cos sin cos 2l n n n f t t d f t l lπωαωααω+=-=⎰其中. 1228(1)(12)n n l f n ωπ+-=+ ， (2.25)00n n n u X ϕ∞=-=∑其中.00042(21)()sin 2(12)l n u n u d l l n πϕααπ-+=-=+⎰令(2.26)(,)()(), n n n v x t T x X x ∞==∑并将（2.26）代入到（2.23）中的方程得,'2"()()()()cos ()nnnnn n n n n T t Xx aT t Xx f tX x ω∞∞∞===-=∑∑∑.'2(()())()cos ()nn nnn n n n T t a T t Xx f tX x λω∞∞==+=∑∑在（2.26）中令并结合（2.25）得0=t .()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑比较上面两式中特征函数的系数便得()n X x（2.27'2()()cos , 0(0).n n n n n n T t a T t f t t T λωϕ⎧+=>⎪⎨=⎪⎩）（2.27）是一阶常系数常微分方程初值问题.齐次方程通解为.t a n n Ce t T λ2)(-=令，并利用待定系数法求特解可得()cos sin n T t A t B t ωω=+ ,2242242()cos sin n n nn n na f f T t t t a a λωωωωλωλ=+++故有（2.2822242242()cos sin n a tn n nn n na f f T t Cet t a a λλωωωωλωλ-=++++）在上式中代得0t =,2242n nn na f C a λϕωλ=++ . 2242n nn na f C a λϕωλ=-+最后将(2.28)代入到(2.26)中便得(2.23)的解为.0(21)(,)()sin2n n n v x t T t x lπ∞=+=∑故（2.21）的解为),(),(),(t x w t x v t x u +=0 (,)sin v x t u x t ω=++其中由（2.28）给出. )(t T n2．2.3 平面上位势方程边值问题考虑矩形域上Poisson 方程边值问题1212(,), , (,)(), (,)(), (,)(), (,)(), .xx yy u u f x y a x b c y d u a y g y u b y g y c y d u x c f x u x d f x a x b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2.29）我们假设或. 否则，利用边界条件齐次化方法0)()(21==x f x f 0)()(21==y g y g 化非齐次边界条件为齐次边界条件. 当然，也可以利用叠加原理将（2.29）分解为二个问题，其中一个关于具有齐次边界条件，而另一个关于具有齐次边x y 界条件.例2.4 求解Dirichlet 问题（2.300, 02, 0 1 (0,)0, (2,)0, 01(,0)1, (,1)(1), 0 2.xx yy u u x y u y u y y u x u x x x x +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==-≤≤⎩）解令并将其代入到（2.29）中齐次方程得)()(),(y Y x X y x u =,0)()()()(""=+y Y x X y Y x X ,λ-=-=)()()()(""y Y y Y x X x X （2.31"()()0, 0 2(0)0, (2)0.X x X x x X X λ⎧+=<<⎨==⎩）0)()("=-y Y y Y λ（2.32）（2.31）便是（2.30）的特征值问题，其解为，， .2)2(πλn n =x n x X n 2sin)(π=1≥n 将代入到（2.32）中得n λ ，0)()("=-y Y y Y n λ（2.33）该方程有两个线性无关解，. 由于，也是（2.33）的y n e2πy n e2π-2n shy π2n ch y π解且线性无关，故（2.33）通解为.y n ch d y n shc y Y n n n 22)(ππ+=令(2.34)11(,)()()()sin 222n n n n n n n n n u x y X x Y y c shy d ch y x πππ∞∞====+∑∑则满足（2.30）中方程和关于的齐次边界条件. 利用关于的边界条),(y x u x y 件可如下确定，，n c n d ,∑∞==12sin1n n x n d π . （2.35))1(1(22sin12220n n n d n d --=⨯=⎰πααπ）,x n n ch d n shc x x n n n ∑∞=+=-12sin )22()1(πππ . 22))1(1(22)1(416)1(163322ππππππn sh n chn n sh n n c n nnn -------=（2.36）故（2.30）解为（2.371(,)()sin ,222n n n n n n u x y c shy d ch y x πππ∞==+∑）其中，由（2.36）和（2.35）确定.n c n d 对于圆域，扇形域和圆环域上的Poisson 方程边值问题，求解方法和矩形域上的定解问题无本质区别，只是在此时要利用极坐标.同学们自己可验证：令，作自变量变换，则有θρcos =x θρsin =y .θθρρρρρu u u u u yy xx 211++=+令，将其代入到极坐标下的Laplace 方程中得)()(),(θρθρΦ=R u 222330216(1)164(1)(1)sin ,2222n nn n n n n n c sh d ch d n ππππααααπ----+=-=⎰,"'"211()()()()()()0R R R ρθρθρθρρΦ+Φ+Φ=,"'"211(()())()()()0R R R ρρθρθρρ+Φ+Φ=,"'"21()()()1()()R R R ρρθρλθρρ+Φ=-=-Φ故有, （2.380)()("=Φ+Φθλθ）. （2.390)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）方程（2.38）结合一定的边界条件便得相应定解问题的特征值问题,而（2.39）是欧拉（Euler ）方程. 对（2.39）作自变量变换可得s e =ρ ， ,s e =ρρln =s ,'1s dR dR ds R d ds d ρρρ==.2222'''2222211()ss s d R d R ds dR d s R R d ds d ds d ρρρρρ=+=-将以上各式代入到（2.39）得. （2.40''0ss R R λ-=）例2.5 求下面扇形域上Dirichlet 问题（2.4122220, 0, 0, 4(,0)0, 0 2(0,)0, 0 2 (,), 4. xx yy u u x y x y u x x u y y u x y xy x y ⎧+=>>+<⎪=≤≤⎪⎨=≤≤⎪⎪=+=⎩）的有界解.解令，作自变量变换，（2.41）转化为θρcos =x θρsin =y（2.42）2110, 0, 0 2 2(,0)0, (,0, 022(2,)2sin 2, 0.2u u u u u u ρρρθθπθρρρπρρρπθθθ⎧++=<<<<⎪⎪⎪==≤≤⎨⎪⎪=≤≤⎪⎩令代入到（2.42）中的方程，并结合边界条件可得)()(),(θρθρΦ=R u"()()0, 0<</2(0)0, (/2)0.θλθθππ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ=⎩（2.43）. （2.440)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）（2.43）便是（2.42）的特征值问题.求解特征值问题（2.43）可得，， .224)2/(n n n ==ππλθθn n 2sin )(=Φ1≥n 将代入到（2.44）中，并令作自变量变换可得n λs e =ρ,"240ss R n R -=.2222()ns ns n n n n n n n R c e d e c d ρρρ--=+=+由于是求（2.42）的有界解，故有，即. 从而有∞<)0(R 0=n d .n n n c R 2)(ρρ= 上面求出的对每个都满足（2.42）中的方程和齐(,)()()n n n u R ρθρθ=Φ1n ≥次边界条件，由叠加原理得, （2.45∑∑∞=∞==Φ=1212sin )()(),(n n n n n n n c R u θρθρθρ）也满足（2.42）中的方程和齐次边界条件.为使（2.42）中的非齐次边界条件得以满足，在（2.45）中令得(2,)2sin u θθ=2ρ= ，212sin 22sin 2n n n c n θθ∞==∑（2.46）比较上式两边特征函数的系数得θθn n 2sin )(=Φ ， .112c =1)( 0≠=n c n 将，代入到（2.45）中便得（2.42）的解为1c 1)(≠n c n . θρθρ2sin 21),(2=u 例2.6 求解圆域上Dirichlet 问题2110, 0, 02(,)(), 02.u u u a u a ρρρθθρθπρρθϕθθπ⎧++=<<≤<⎪⎨⎪=≤≤⎩（2.47）解圆域上的函数相当于关于变量具有周期. 令(,)u ρθθ2π并代入到（2.46）中的方程可得)()(),(θρθρΦ=R u（2.48"()()0() (2).θλθθπθ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ+⎩）. （2.490)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）（2.48）是定解问题（2.47）的特征值问题. 由定理1.3知（2.48）的解为.2, ()cos sin , 0n n n n n c n d n n λθθθ=Φ=+≥将代入到（2.49）中可得(要利用自然边界条件)n λ(0,)u θ<∞,，00)(c R =ρn n n c R ρρ=)(1≥n 利用叠加原理可得（2.47）的如下形式解.∑∞=++=10)sin cos (),(n n n n n d n c c u θθρθρ（2.50）根据边界条件得)(),(θϕθ=a u ,01()(cos sin )n n n n c a c n d n ϕθθθ∞==++∑其中,2001()2c d πϕττπ=⎰,⎰=πτττϕπ20cos )(1d n a c n n .⎰=πτττϕπ20sin )(1d n a d n n 将以上各式代入到（2.50）中便得（2.47）的解为2 2 0 0111(,)()()(()cos cos 2n n u d n d n a ππρρθϕττϕτττθππ∞==+∑⎰⎰ .)sin sin )(12 0 ⎰+πθτττϕπn d n （2.51）注4 利用等式可将（2.51）化为如下形)Re()(cos 1)(1∑∑∞=-∞==-n in n n n e c n c τθτθ式（2.522222201()()(,),22cos()a u d a a πρϕτρθτπρρθτ-=+--⎰）式（2.52）称为圆域上调和函数的Poisson 公式. 在后面学习中还将用其它方法导出它. 注5 在例2.5和例2.6中，如果方程中自由项不为零，若),(θρf 特殊，可用函数代换将自由项化为零而转化齐次方程. 对于一般的),(θρf ，要利用特征函数方法求解.),(θρf 注6 上面例2.3—例2.6几个定解问题的求解思想和主要过程，是伟大的数学家和物理学家Fourier 给出的，详细内容见参考文献. 在这部著名论著[5]中，Fourier 首次利用偏微分方程来研究热问题，并系统地介绍了分离变量法的基本思想和主要步骤. 结合本节所举例子，请同学们小结一下在本章所学过的特征值问题，二阶常系数非齐次常微分方程和欧拉方程的求解方法. 习题二1. 设有如下定解问题2(,), 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩利用分离变量法导出该定解问题的特征值问题并求解.2.求解下列特征值问题（1） "''()()0, 0 (0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ （2） "()()0, 1 1 (1)0,(1)0X x X x x X X λ⎧+=-<<⎨-==⎩ （3） "()()0, 0 '(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩ （4） "()()0, 02 (0)(2), '(0)'(2).X x X x x l X X l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩3 考虑下面特征值问题*"()()0, 0 (0)0, '()()0.X x X x x l X X l X l λ⎧+=<<⎨=+=⎩（1）证明一切特征值0.λ>（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.（3）求出所有的特征值和相应的特征函数.4．设在区间一阶连续可导且考虑如下特(),()p x q x [0,]l ()0,()0.p x q x >≥征值问题[()()]()()(), 0 (0)0, ()0.d d p x X x q x X x X x x l dx dx X X l λ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩（1）证明一切特征值0.λ≥（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.5．求解下列弦振动方程的定解问题（1）20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx x x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x l ⎧-=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （2） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 035(,0)sin , (,0)sin , 0.22tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l l l ππ⎧⎪-=<>⎪==≥⎨⎪⎪==≤≤⎩（3） 240, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0), (,0)0, 0 1.tt xx t u u u x t u t u t t u x x x u x x ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=-=≤≤⎩（4） 242sin , 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x x t u u u x x t u t u t t u x u x x πππ⎧--=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（5） 22, 0, 0 (0,) (,)0, 0(,0)0, (,0), 0.tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x u x A x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩6．求解下列热传导方程的定解问题（1） 2cos , 0<, 02(0,)1, (,), 0(,0)0, 0<.t xx x x u a u x t u t u t t u x x ππππ⎧-=<>⎪⎪==≥⎨⎪=<⎪⎩（2） 22, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0)sin , 0< 1.t xx x u a u u x t u t u t t u x x x π⎧-=<>⎪==≥⎨⎪=<⎩（3） 220, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx u a u b u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（4） 2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)1, 0.t xx x x u a u xt x l t u t u l t t u x x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩7. 求解下面位势方程定解问题（1） , 0, 0 (,0)0, (,)0, 0(0,)0, (,), 0.xx yy y y u u x x a y b u x u x b x a u y u a y Ay y b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2）22220, 0, , 4 (,0)0, 02, (,)0, 0(,), 4.xx yy u u y x y x y u x x u x x x u x y x y x y ⎧+=>>+<⎪⎪=≤≤=≤≤⎨⎪=++=⎪⎩（3） 22220, 4 (,)1, 4.xx yy u u x y u x y x x y ⎧+=+<⎪⎨=++=⎪⎩（4） 222222, 1< 4 (,)0, 1 (,), 4.xx yy u u xy x y u x y x y u x y x y x y ⎧+=+<⎪⎪=+=⎨⎪=++=⎪⎩8 设在区间的Fourier 展开式为 *()x ϕ[0,]l 1()sin ,k k k x x c l πϕ∞==∑（6.1）其部分和为求解或证明以下结果.1()sin ,n n k k k x S x c l π==∑（1）设，求.()[0,]x C l ϕ∈20[()()]l n x S x dx ϕ-⎰（2）证明下面贝塞尔（Bessel ）不等式 22012().l k k c x dx l ϕ∞=≤∑⎰（6.2）（3）设，的二阶导数的Fourier 展开式为2()[0,]x C l ϕ∈()x ϕ1''()sin ,n n n x x d l πϕ∞==∑如果，利用分部积分法证明(0)()0l ϕϕ==2, 1,n n d An c n =≥（6.3）其中为正常数.A （4）利用（6.2）和（6.3）证明（6.1）中的三角级数在区间上一致[0,]l 收敛，并且可以逐項求导.9 考虑如下定解问题* 2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1）给出该定解问题的物理解释.（2）当经过充分长的时间后，导热杆上的温度分布如何？(,)u x t （3）求极限.lim (,)t u x t →+∞10 考虑如下定解问题*2, 0, 0 (0,), (,), 0(,0)(), 0.t xx x u a u x l t u t A u l t B t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1）给出该定解问题的物理解释.（2）求极限.lim (,)t u x t →+∞11 考虑下面定解问题 *20, 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx t t u u u u x t u t u t t u x x u x x πππ-++=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（1）解释该定解问题方程中各项的物理意义.（2）推导出问题的特征值问题并求解.（3）写出该问题解的待定表示式并求出表达式中第一特征函数的系数.12 考虑下面定解问题 * (,), 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x x t u u f x t x t u t u t t u x x u x x x ππϕψπ-=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（12.1）（1）写出该定解问题的特征值和特征函数 ,(),0.n n X x n λ≥（2）如果，而，求解该定解问题.()0,()0x x ϕψ==(,)f x t t =（3）如果，证明，下面等式(,)0f x t =0τ∀>，222200[(,)(,)][()()]l l t x x u x u x dx x x dx ττψϕ+=+⎰⎰（12.2）成立，解释该等式的物理意义.（4）证明（12.1）的解是唯一的.。

第一章——变量可分离方程

它不包含在方程的通解中(1.则26须) 予, 以补上
.
此时称y=y0 是方程（1.18)的常数解
附注：2
上面我们在求的dy通=解g(时x)， h(y是) 假设 dx
了。 h(y但) ≠有0时往往会碰到在某些点使得 y0
h(y0 ) = 0。对于这种情形，显然也y =是y解0 ，且称这种常函数的解为定解。下面分两种情形：
1.2 变量可分离方程
先看一些简单的例子：
dy = F (x, y) dx
1. dy = ye x+ y , dx
( ) 2.= dy x2 y2 + 1 , dx
3. dy= e x ⋅ ye y , dx
1.2.1 变量可分离方程
dy = F (x, y) dx
定义1 形如
dy = f (x)φ( y)
另外，也 y = 是±方 1 程的解，且可在通y解= 1中
取得 C =到0，即如果在通解中
y=
−
C C
+ −
cos 2 cos 2
x x
允许， C =则0已含在 y =通1解中。但不可 y = −1
在通解中取适当的得 C 到，因此原方程的解为：
通解， y =其−中C 为 + c任os意2 x常数，及C一个 C − cos2 x
,
故通解只在或x >之0一x中<有0 意义
.
此外还有解这y =个0解, 未包含在通解中应补上,
.
例6 求微分方程 dy = p(x) y 的通解其, 中是p(的x)连续x 函数
.
dx
解: 将变量分离后得 dy = p(x)dx y
∫ 两边积分得: ln y = p(x)dx + c1

可分离变量方程

k (a1 x + b1 y ) + c dy = g(a1 x + b1 y) = f a x+b y+c dx 1 1 1
中,
. ∴ y = ce 为所求通解
x2
dy x( y2 + 1) , y(0) = 1的解 . 例2 求微分方程 dx = 2 2 ( x + 1) dy x dx , = 解分离变量 y 2 + 1 ( x 2 + 1) 2 1 + C. 两端积分，两端积分，得 arctan y = − 2 2( x + 1)
2x
解的图象: 解的图象: 通解的图象: 通解的图象: 初始条件: 初始条件:
例：函数 y = 3e 是微分方程 y ′′ − 4 y = 0 的一个特解的一个特解. 特解
y′′ − 4 y = 0 y ( 0 ) = 3, y ′ ( 0 ) = 6.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
例6(物体冷却问题) 将某物体放置于空气中，在 6(物体冷却问题) 将某物体放置于空气中，物体冷却问题 u0 = 150o C ，10分钟 10分钟时刻 t = 0时，测得它的温度为后测得温度为 u1 = 100o C. 试确定此物体的温度u 20分钟后物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度. t 的关系，并计算20分钟后物体的温度. 假定空气的温度保持为 ua = 24o C . 冷却定律：解 Newton冷却定律：物体的温度变化速度与该冷却定律物体的温度和其所在介质温度的差值成正比. 设物体在时刻 t 的温度为 u = u(t ), 则

微分方程中的变量可分离与齐次方程

微分方程中的变量可分离与齐次方程微分方程是数学中的一个重要概念，描述了一个未知函数与其导数之间的关系。

在微分方程的求解过程中，常常会遇到变量可分离与齐次方程这两种特殊类型的方程。

本文将对这两种类型的微分方程进行详细介绍，并给出相应的求解方法和示例。

一、变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程是指可以通过将方程中的未知函数与自变量进行分离，从而将微分方程化为两个独立的方程。

具体来说，变量可分离的微分方程可以表示为以下形式：dy/dx = f(x)g(y)其中，f(x)和g(y)是关于自变量x和未知函数y的函数。

为了解决变量可分离的微分方程，我们可以按照以下步骤进行求解：1. 将方程中的未知函数与自变量进行分离，得到以下形式：g(y)dy = f(x)dx2. 对上述方程两边同时积分，得到：∫g(y)dy = ∫f(x)dx3. 对上述两个积分进行求解，得到未知函数y的表达式。

下面通过一个具体的例子来说明变量可分离的微分方程的求解过程。

例子：求解微分方程dy/dx = x/y解：根据上述步骤，我们可以将方程进行变量分离，得到：ydy = xdx接下来，对上述方程两边同时积分，得到：∫ydy = ∫xdx解上述两个积分，得到：(1/2)y^2 = (1/2)x^2 + C其中，C为常数。

最后，我们可以得到未知函数y的表达式：y = ±√(x^2 + 2C)这就是给定微分方程dy/dx = x/y的通解。

二、齐次方程的求解齐次方程是指其中所有项次数相同的微分方程。

具体来说，齐次方程可以表示为以下形式：dy/dx = f(x,y)其中，f(x,y)是关于自变量x和未知函数y的函数。

为了求解齐次方程，我们可以按照以下步骤进行：1. 引入新的变量，令y = vx，其中v是一个新的函数。

2. 对上述等式两边同时求导，得到：dy/dx = v + xdv/dx3. 将上述结果代入原方程中，得到：v + xdv/dx = f(x,vx)4. 将上述方程进行整理，得到一个只含有v和x的方程。

阶常微分方程解法总结

阶常微分方程解法总结根据方程的形式和特点，我们可以将解法总结为如下几种情况：1.可分离变量方程（可分离变量定理）：若方程可化为dy/dx = g(x)h(y)，则可以将方程两边同时乘以dx和1/h(y)，然后将式子两边分别积分得到∫1/h(y)dy = ∫g(x)dx。

最后解出y的表达式。

2.齐次方程（齐次方程定理）：若方程可化为dy/dx = F(y/x)，则可以令v = y/x，进而可得到dy/dx = (dv/dx)x + v。

再将方程化为可分离变量的形式进行求解。

3.线性方程（线性方程定理）：若方程可化为dy/dx + P(x)y = Q(x)，则可以根据线性方程的定理解得通解。

通解的形式为y = (1/μ(x))(∫μ(x)Q(x)dx + C)，其中μ(x)为方程的积分因子，通过求解微分方程dμ(x)/dx = P(x)μ(x)得到。

4.变量可分离的齐次方程（变量可分离的齐次方程定理）：若方程可化为dy/dx = f(y/x)，则可以通过变量代换v = y/x，将方程化为dx/x = f(v)dv的形式进行求解。

最后再将v恢复为y/x得到该方程的通解。

5. Bernoulli方程（Bernoulli方程定理）：若方程可化为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，其中n不为0或1，则可以通过假设v = y^(1-n)进行变量代换，将方程化为线性方程进行求解。

6.可降阶的高阶微分方程（常微分方程降阶）：若方程为高阶微分方程dy^n/dx^n = f(x)，我们可以通过逐步降阶来求解。

首先令v = dy/dx，然后对方程两边求导得到dv/dx =d^2y/dx^2、通过重复这个过程，我们最终可以得到一个只涉及一阶导数的方程，然后再用前面的方法进行求解。

7.常数变易法：当我们求解线性非齐次方程时，可以使用常数变易法。

首先求解对应的齐次方程，得到齐次解y0。

然后令y=y0v，将这个v代入非齐次方程中得到v的方程。

同济版大一高数下第二节可分离变量的微分方程公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

1. y sin2 (x y 1)
解: 令 u x y 1, 则 u 1 y 故有 1 u sin 2 u 即 u 1 sin2 u u cos2 u
sec2 u du dx 解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
8
例5. 求下述微分方程旳通解:
拟定旳隐函数 y f (x).
解: 因积分与途径无关 , 故有
[F (x, y) cos x ] [F (x, y) y sin x]
x
y
即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
Fx y tan x
y
Fy
所以有
y y tan x y x0 1
提醒: 方程变形为
y sin(x y) sin(x y)
y 2 cos x sin y
dy 2 cos xdx sin y
ln tan y 2sin x C
2
13
y 1 sec x cos x
11
内容小结
1. 可分离变量方程旳求解措施: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 阐明: 通解不一定是方程旳全部解 .
12
思索与练习
sin A sin B 2 cos A B sin A B
2
2
求下列方程旳通解 :
y sin(x y) sin(x y)
解: 分离变量得
d y ln 1 ln C ln x2 1
C x2 1
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
5
例3 求下列方程旳通解 :

可分离变量的微分方程的解法

可分离变量的微分方程的解法可分离变量的微分方程是指可以将微分方程中自变量和因变量分离，然后分别对两边求积分的方程。

其一般形式为dy/dx =f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)都是关于变量x和y的函数。

解这种微分方程的一般步骤如下：1. 将方程重写为dy/g(y) = f(x)dx，将x和y分离开。

2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。

3. 对上式右边和左边的积分进行求解，得到∫(1/g(y))dy = F(x) + C，其中C是常数。

4. 将上式两边关于y进行反函数运算，得到y = g^(-1)[F(x) +C]，其中g^(-1)表示g(y)的反函数。

5. 最后得到微分方程的解为y = g^(-1)[F(x) + C]。

下面是一些相关参考内容，用于解释和说明可分离变量的微分方程的解法：1. 《高等数学》- 许家栋等著本书是高校数学系教材，其中详细讲解了可分离变量的微分方程的解法。

书中从基本定义和概念出发，逐步介绍了可分离变量的微分方程的解法步骤，并配有大量的例题和习题，以帮助读者更好地理解和掌握该解法。

2. 《微分方程》- 吴钟灵等著这本书是微分方程的教材，其中涵盖了可分离变量的微分方程的解法。

书中详细介绍了可分离变量的微分方程的定义和性质，并提供了一些典型的例题和详细的解题过程，让读者能够通过实例来理解解方程的方法。

3. 《微积分学教程》- 张敬泉等著本书是一本综合性的微积分教材，其中的微分方程部分包含了可分离变量的微分方程的解法。

书中详细介绍了可分离变量的微分方程的概念和求解方法，并提供了一些典型的例题和解题思路，以帮助读者更好地理解和掌握该解法。

4. 在线教育平台上的相关视频课程很多在线教育平台上都提供了与微分方程相关的视频课程，其中包括了可分离变量的微分方程的解法。

通过观看这些视频课程，可以更直观地理解和学习可分离变量的微分方程的解法，同时还可以通过课后习题来巩固所学的内容。

可分离变量的微分方程

微分方程;
阶;
定解条件;
解;
通解;
特解
说明: 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程有解 ( x y) y 0
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
3.解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )
y f ( x) .
因积分与路径无关 , 故有
即
因此有
[ F ( x, y ) cos x ] [ F ( x, y ) y sin x] x y Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x Fx y tan x Fy y y y tan x 1 y sec x y x 0 1 cos x
则有
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
例1.求微分方程
解: 分离变量得
的通解.
dy 3x 2 d x y
或
说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.
返回
然后积分: 即
对方程分离变量,

M C e t

M
M0
得 ln M t ln C ,
利用初始条件, 得故所求铀的变化规律为

可分离变量的微分方程课程思政教学设计

可分离变量的微分方程课程思政教学设计发布时间：2022-09-21T03:40:32.815Z 来源：《教学与研究》2022年56卷5月10期作者：唐伟明[导读] 可分离变量的微分方程是最简单也是最基础的微分方程类型之一，为后续齐次方程的学习提供解题思路，而且可分离变量的微分方程在生活实际中的应用也非常广泛，唐伟明武警警官学院四川成都 610000摘要：可分离变量的微分方程是最简单也是最基础的微分方程类型之一，为后续齐次方程的学习提供解题思路，而且可分离变量的微分方程在生活实际中的应用也非常广泛，本文主要探讨用可分离变量建立传染病数学模型来预测新冠疫情的传播规律，从而做到精准施策，科学防控。

关键词：可分离变量微分方程传染病模型一、课程导入上节课我们给出了微分方程解、通解以及特解的概念，但是并没有给出微分方程解的具体求法。

所以从这节课开始，我们一起探讨微分方程解的求法，首先从最基础的可分离变量的微分方程讲起。

大家看到的图片是我的家乡--湖北武汉，晴川历历汉阳树，芳草萋萋鹦鹉洲。

武汉，是一座充满活力与浪漫的城市。

然而，2020年初，一场突如其来的新冠疫情席卷这座城市，一时间，整个城市笼罩在一层灰暗之中，当昔日熙熙攘攘的街道变得冷冷清清的时候，我意识到：武汉，我的城市生病了。

面对疫情，当西方国家选择“躺平”的时候，我国却一直坚持人民至上，生命至上的抗疫理念，习主席在多个场合特别强调，我们一定要精准施策，科学防控。

所以，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报疫情拐点的到来等等，一直是医学专家关注的问题。

首先我们假设：（1）在较短时间内，地区总人口数保持不变；（2）新冠确诊人数和健康人数比例分别为和；（3）每个新冠确诊人数每天接触人数为，且使接触的健康人致病。

根据以上假设我们可知，在时刻，每个病人每天可使个健康者变成病人，病人数为，故每天共有个健康者被感染，即：我们来看这个方程，大家先思考一下，这个方程有什么特征呢？给1分钟的时间大家思考，可以小组讨论。

4.012__可分离变量类型

∫ g( y )dy = ∫ f ( x )dx
例３若函数 y=y(x) 连续，且满足
x ∫ y ( t )dt = ( x + 1) ∫ ty ( t )dt , 求函数 y(x).（续）
x x 0 0
上式两端再对x求导，有
dy 1 − 3 x dy 整理可得 = dx 2 xy + x = ( 1 − x ) y ⎯⎯⎯⎯ → 2 y x dx 1 两端积分得 ⎯⎯⎯⎯ → ln y = − − 3ln x + ln C , x 1 C −x 故所求函数y(x)为 y = 3 e , ( C为任意常数 ) . x
2
2 2
(
)
(
)
1 2 = ln x − ln 1 + x + ln C = ln 2
(
)
xC
(1 + x )
1 2 2
.
dy = f ( x ) g ( y ) , g ( y )dy = f ( x ) dx dx
例2 求微分方程
( xy + x y ) dy − (1 + y ) dx = 0
设函数G ( y ) 和F ( x ) 依次为g ( y ) 和 f ( x )的原函数,
∫ g( y )dy = ∫ f ( x )dx
分离变量
G ( y ) = F ( x ) + C 为微分方程的解.
dy = f ( x ) g ( y ) , g ( y )dy = f ( x ) dx dx
3 2
∫ g( y )dy = ∫ f ( x )dx
满足初始条件 y(1)=0的特解. （续）
2 d 1 + y 1 y ⇒∫ dy = ∫ = ln 2 2 1+ y 2 1+ y

5[1].2 可分离变量的方程

大学高等数学上册讲义笔记可分离变量 齐次微分方程 一阶线性微分方程 二阶常系数齐次 二阶常系数非齐次

总结一阶微分方程的类型及其解法

可分离变量的微分方程

微分方程(可分离变量的微分方程)

常见的有解析解的常微分方程---经典总结

可分离变量方程

常微分方程常见形式及解法

可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程

可分离变量的微分方程典型例题分析

数学物理方程-第二章分离变量法

第一章——变量可分离方程

可分离变量方程

微分方程中的变量可分离与齐次方程

阶常微分方程解法总结

同济版大一高数下第二节可分离变量的微分方程公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

可分离变量的微分方程的解法

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程课程思政教学设计

4.012__可分离变量类型

大学高等数学上册讲义笔记可分离变量齐次微分方程一阶线性微分方程二阶常系数齐次二阶常系数非齐次