弯曲应力1

解： 1、确定最大内力 、 Mmax=45kN.m Qmax=210kN
2、根据正应力强度条件设计截面 、
45×106 W≥ = = 2.81×105m 3 m z [σ] 160 Mm ax
查表确定，选用I 查表确定，选用I22a工字钢 工字钢 3、校核剪应力强度条件 、
τmax
Q z 2.1×105 S* = = =14.8M p[τ] Pa Izd 75×189
§7.4
三、圆形截面梁
梁横截面上的剪应力
τmax
4Q = 3A
四、圆环截面梁
τmax
2Q = A
五、剪应力强度条件 强度条件：
τmax ≤[τ]
梁的强度涉及到正应力和剪应力两个强度问题， 梁的强度涉及到正应力和剪应力两个强度问题，一般是 按正应力设计，再用剪应力强度校核。 按正应力设计，再用剪应力强度校核。
如图所示木梁，矩形截面，其高宽比=2。已知P＝50kN ，[σ]＝ 如图所示木梁，矩形截面，其高宽比=2。已知P 10Mpa， 10Mpa，[τ]＝3Mpa。试确定此梁截面尺寸。 3Mpa。试确定此梁截面尺寸。
解： 1、求最大弯矩、剪力 、求最大弯矩、 Mmax=10kN.m Qmax=50kN
2、根据正应力强度设计截面 、
塑性材料， 塑性材料，拉压容许应力相等
T形截面外伸梁，所受荷载如图所示，梁截面为矩形截面， 形截面外伸梁，所受荷载如图所示，梁截面为矩形截面， 形截面外伸梁 截面高度为250mm，截面宽度为 截面高度为 ，截面宽度为100mm。已知 σ] =40MPa, 。已知[σ 试校核梁的强度。 试校核梁的强度。
dx
dx
第七章 弯曲应力
§7.2 纯弯曲时的正应力
三、变形几何关系
dx
B1 B = ρ y
B1 y B = dx ρ
ε=
y
AB = dx 1
ρ
弯曲梁的纵向线应变 ε ——弯曲梁的纵向线应变 曲率半径， 曲率半径 与弯矩大小、 ρ ——曲率半径，与弯矩大小、截面尺寸及材料性能等有关 给定截面、给定材料、给定外力时，纵向线应变与距离 成正比 成正比。 给定截面、给定材料、给定外力时，纵向线应变与距离y成正比。
bh Mm W= ≥ ax z [σ] 6
2
bh2 2b3 10×106 W= = ≥ z 6 3 10
取
b =114.5m m
b =115m m h = 230m m
3、校核剪应力强度条件 、
τmax
3Q = = 2.83M ≤[τ ] Pa 2A
满足剪应力强度条件
某工字钢简支梁受荷载如图示。已知 某工字钢简支梁受荷载如图示。已知l=2m，a=0.2m，F=200kN，q=10kN/m， ， ， ， ， [σ]=160MPa，[τ]=100MPa。试按强度选择工字钢型号。 σ ，τ 。试按强度选择工字钢型号。
第七章 弯曲应力
§7.2 纯弯曲时的正应力
六、适用范围及推广
适用:平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）线弹性材料 适用 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）线弹性材料(HOOK） 平面弯曲 ）
推广: 推广 ① 只要有对称轴的截面
② 细长梁(l/h>5)可推广到横力弯曲，而粗短梁Q会使截面翘曲 不再适 细长梁 可推广到横力弯曲，而粗短梁 会使截面翘曲,不再适 可推广到横力弯曲 会使截面翘曲 用 等直梁推广到： ③ 等直梁推广到： 锥度<5° 锥度 °的非棱柱杆 ρ0/h>5 具有一定初曲率的杆 误差不超过10％，满足工程需要。 误差不超过 ％，满足工程需要。 ％，满足工程需要
第七章 弯曲应力
1 2 3 4 5 引言 纯弯曲时的正应力 梁的正应力强度计算 横截面上的剪应力 提高梁弯曲强度的措施
第七章 弯曲应力
§7.1 引言
一、应力组成 Q Q M
τ
σ
ττ
二、应力、内力关系
σ
∫τdA=Q ∫σdA⋅t = M
z
M
σ
第七章 弯曲应力
§7.1 引言
三、纯弯曲与横力弯曲 1、纯弯曲 CD段 Q＝0 M＝0 + 2、横力弯曲 、 + AC、BD段 Q＝0 M＝0
§7.2 纯弯曲时的正应力
二、平截面假设 试验现象1 试验现象 平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面.只是 转了一个角度。 试验现象2 试验现象 截面的宽度无伸长或缩短
单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤 压，只受轴向拉伸与压缩。
第七章 弯曲应力
§7.2 纯弯曲时的正应力
三、变形几何关系
Mm ax
② 设计截面
W≥ z
[σ]
③ 确定许可荷载
Mm ≥W ⋅[σ] ax z
例题 矩形截面的简支木梁，梁上作用有均布荷载。已知 矩形截面的2KN/m，木材的容 ， ， ， ， 许应力[σ 许应力 σ]=10MPa。试校核梁的强度。 。试校核梁的强度。
解： 1、求最大弯矩 、
MMAX = 4kNm .
只有正弯矩
2、求最大正应力 、
σmax
4×106 Mm = ax = =3.89M Pa 2 140×210 对称截面，只有一个抗弯模量 W z 对称截面， 6
3、校核强度条件 、
σmax =3.89M <[σ] =10M Pa Pa
梁正应力强度条件满足
剪应力强度条件满足
弯曲应力小结
正应力σ 正应力σ： σ = 弯矩M 弯矩M
强度计算 M max 最大正应力： 最大正应力： σmax = W ≤ [σ] z
M⋅ y ⋅ 沿截面高度呈线性分布） （沿截面高度呈线性分布） IZ
①校 核 强 度 ②选择截面尺寸 ③确定许可荷载
内 力
剪应力τ 剪应力τ ： 剪力Q 剪力Q
ρ
=M
M = ρ EIz
计算梁变形的基础
1
EIZ ——抗弯刚度
第七章 弯曲应力
§7.2
M y σ= Iz
纯弯曲时的正应力
五、应力计算公式
弯曲变形正应力计算公式 M－所求截面的弯矩
y－所求点距中性轴的距离 － 正负号确定： IZ－绕中性轴的惯性矩
① M、y 符号代入公式 、
M y σ= Iz
② 直接观察变形
σmax
Mm = ax W z
3、校核强度 、
σmax =19.2M p[σ] Pa
T形截面外伸梁，所受荷载及尺寸如图所示。已知[σ+] 形截面外伸梁，所受荷载及尺寸如图所示。已知 σ 形截面外伸梁 =40MPa, [σ −] =100MPa，试校核梁的强度。 σ ，试校核梁的强度。
解：
既有正弯矩，又有负弯矩， 既有正弯矩，又有负弯矩，计算时须分两种情况综合考虑
σ
C截面： 截面： 截面
− m ax
+ Mm 10×106 + σmax = ax × ymax1 = ×139 =34.5M Pa 6 Iz 40.3×10 + Mm 10×106 − σmax = ax × ymax 2 = ×61=15.1 Pa M 6 Iz 40.3×10
4、校核正应力强度 、
解： 1、作内力图，求最大弯矩 、作内力图，
− Mm = 20kN.m ax + Mm =10kN.m ax
2、求最大正应力 、
截面在正弯矩或负弯矩作用下， ， 截面在正弯矩或负弯矩作用下6 截面抗弯模量都相同 −
σmax
Mm 20×10 ax = = =19.2M Pa 2 100×250 W z 6
+ σmax = 34.5M < [σ+ ] Pa
− σmax = 69M < [σ− ] Pa
脆性材料，容许拉应力不等于容许压应力，须分两种情况综合考虑。 脆性材料，容许拉应力不等于容许压应力，须分两种情况综合考虑。
§7.4
一、矩形截面梁
梁横截面上的剪应力
Qz S* τ= bIz
弯曲变形剪应力计算公式
§3 梁的正应力强度计算
一、强度条件
σmax
Mm ⋅ ym Mm ax ax = = ax ≤[σ] Iz W z
正弯矩
步骤： 步骤： 1、确定危险截面； 、确定危险截面； 2、确定危险截面的危险点。 、确定危险截面的危险点。
二、计算强度条件所必须考虑的因素 1、最大弯矩截面 1
负弯矩
确定危险截面 矩形、 矩形、圆形截面 T形截面 形截面
第七章 弯曲应力
§7.2 纯弯曲时的正应力
四、物理关系
弹性范围内， 弹性范围内，单向应力假设
σ = Eε =
讨论：
Ey
ρ
1、对给定材料，E为已知常数 2、材料、截面及外力给定时，ρ 为常数，但未知
第七章 弯曲应力
§7.2 纯弯曲时的正应力
五、静力学关系 ——轴向力 轴向力
∫σdA= N
Ey E
N=0
强度计算步骤
1）作内力图，确定Qmax、Mmax，找出危险截面 作内力图，确定 2）找危险截面上的危险点，计算σmax、τmax 找危险截面上的危险点，计算σ 3）应用强度条件，进行三方面强度计算 应用强度条件，
− Mm = 20kN.m ax + Mm =10kN.m ax
1、作内力图，求最大弯矩 、作内力图，
2、求截面几何性质 IZ = 40.3×106 mm y1=61mm y2=139mm 、
截面不对称， 截面不对称，需要分两种情况综合考虑
3、求最大正应力 、 B截面： 截面： 截面
+ σmax − Mm 20×106 = ax × ym 1 = ×61= 30.3M Pa ax 6 Iz 40.3×10 − Mm 20×106 = ax × ym 2 = ×139 = 69M Pa ax 6 Iz 40.3×10