结构力学 超静定结构的位移计算
结构力学_11超静定结构-位移法
§11.3 位移法的基本未知量和基本体系
1、结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移：
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
（1）忽略轴向力产生的轴向变形 （2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
C
C
D
D
A
B
线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的
基本方法 （手算）
机算
力法
位移法
矩阵 力法
力矩分配法
矩阵 位移法
力法几次9超次静定?
位移法几1次次超静定?
§11.1
P C θA
θA
位移法的基本概念
B
A
附加
刚臂 C
P B
附加刚臂限制结
点位移，荷载作
A 用下附加刚臂上
产生附加力矩
C θA
B
θA
施加力偶使结点产 生的角位移，以实
A 现结点位移状态的
一致性。
D
2
C
F22
A
D
A
D
Fk1111
2i B
1 =1
i
A
C
kF2211
Fk122
B
i
D
A
建立基本方程
F11+F12+F1P=0………………(1a) F21+F22+F2P=0………………(2a)
k111 + k122 +F1P =0………..(1) k211 + k222 +F2P =0………..(2)
结构力学 超静定结构计算)
0 0
(0)
(0)
0
00
0
绘M 图
17.67
3.17
(12)
D
A
B
C
1.9
M 图(kN·m)
21.6
【例】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。
M
A
B
M/2
解：运算过程如图所示
运算过程
M图(kN·m)
本节小结
一、转动刚度S：
远端固定：S = 4i 远端铰支：S = 3i 远端滑动 S = i 远端自由 S = 0
锁住1结点，用单结点 的力矩分配法，对2结 点的不平衡力矩进行分 配。
第八章渐近线法及其他算法简述
§1 力矩分配法的基本概念 §2 多结点的力矩分配 §3 对称结构的计算 §4 无剪力分配法 §5 力矩分配法与位移法联合应用
渐近法有力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等，它们 都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算 典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的 方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增 加而提高，最后收敛于精确解。这些方法的物理概念生 动形象，每轮计算都是按相同步骤进行，易于掌握，适 合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。 因此，在结构设计中得到广泛应用。在连续梁及无侧移 刚架中应用十分广泛。
超静定结构的计算方法: 力法、位移法
力法计算步骤
位移法计算步骤
1、选取基本体系
1、设基本未知量
2、列力法方程
2、列杆端弯矩方程
3、计算系数及自由项 3、列位移法方程
4、解方程 5、作内力图
4、解方程 5、求杆端弯矩
6、做内力图
为避免解力法和位移法方程，引入一种近似的计 算方法，这种方法是位移法的延伸，在计算过程 中进行力矩的分配与传递。
结构力学 位移法计算超静定结构
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
（2）等截面直杆的转角位移方程 常见的单跨超静定梁根据支座情况的不同，可分为如图 3 – 45 所示三种。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
下面介绍常见的单跨超静定梁在杆端的位移和荷载作用下杆端弯矩的计 算公式，即等截面直杆的转角位移方程。为方便计算，可参照表 3 – 2 和表 3 – 3 查出杆端位移所引起的杆端弯矩及荷载作用下引起的杆端弯 矩进行叠加计算。 ① 两端固定。超静定结构中，凡两端与刚结点或固定支座（固定端） 连接的杆件，均可看作是两端固定梁。
2．位移法的基本未知量和基本结构的确定 位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移未知量
的数目等于刚结点的数目。确定独立结点线位移未知量的数目时，假定受弯 直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，具体方法是“铰化结点，增设链 杆”，即将结构各刚性结点改为铰结点，并将固定支座改为固定铰支座，使 原结构变成铰结体系，使该铰结体系成为几何不变体系，所需增加的最少链 杆数就等于原结构独立结点线位移数目。位移法的基本未知量确定后，在每 个结点角位移处加入附加刚臂，沿每个独立结点线位移方向加入附加链杆， 所形成的单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。
计算：
① 单位位移 Δ1=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k11 和 k21， 其相应弯矩图为M1 图（图 3 – 43a）。
② 单位位移 Δ2=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k12 和 k22， 其相应弯矩图为M2 图（图 3 – 43b）。 ③ 荷载单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 F1P 和 F2P，其相应弯 矩图为 MP 图（图3 – 43c）。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
结构力学 静定结构的位移计算
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
能力拓展 如图 2 – 61a 所示屋架，通过对比左右两图，运用结构位移的相关知识 ，可以解释制作时为何通常将各下弦杆的实际下料长度做得比设计长度
要短些，这样可以使屋架拼装后，结点 C 位于 C′的位置（图 2 – 61b）
， 工程上将这种做法称为建筑起拱。那么预先应知道哪些位移量？
情景二 虚功原理及单位荷载法
项目表述
静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形 体虚功原理是结构力学中的重要理论。通过本项目学习，同学们重点理 解变形体的虚功原理、单位荷载法及位移计算一般公式。对变形体的虚 功原理的推导过程的理解是本项目的难点内容。
情景二 虚功原理及单位荷载法 学习进程
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
2．引起位移的原因 众所周知，引起位移的原因主要是荷载作用。除此之外，温度改变使材料膨胀 或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中产生误差、基础的沉陷或结构支座产生 移动等因素，均会引起结构的位移。如图 2 – 56a、图 2 – 57a 所示，由荷载作 用产生的位移。如图 2 – 57b 所示，因温度改变或材料胀缩产生的位移。如图 2 – 57c 所示，因制造误差或支座移动产生的位移。
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
1．结构位移的概念 建筑结构在施工和使用过程中常会发生变形，由于结构变形，其上各点或截面 位置会发生改变，这称为结构的位移。如图 2 – 56a 所示的刚架，在荷载作用 下，结构产生变形如图中虚线所示，使截面的形心 A 点沿某一方向移到 A′点， 线段 AA′称为 A 点的线位移，一般用符号 ΔA 表示。 它也可用竖向线位移 ΔAy 和水平线位移 ΔAx 两个位移分量来表示，如图 2 – 56b 所示。
结构力学课后解答：第9章__超静定结构的实用计算方法与概念分析
习 题9-2解：设EI=6，则5.1,1==BC AB i i 53.05.13145.1347.05.131414=⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯=BC BA μμ结点 A BC 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩-67.0545.9-45.9()()()逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=θ(b)解：设EI=9，则3,31,1====BE BD BC AB i i i i12.0141333331316.0141333331436.01413333333=⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==BC BA BE BD μμμμ结点 A BC杆端 AB BA BC BD BE 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.216.20 最后弯矩 3.6 7.25.461.2 -73.8()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=θ9-3 (a) 解：Ｂ为角位移节点设EI=8,则1==BC AB i i ，5.0==BC BA μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M BA ⋅=⨯⨯⨯⨯=+=4882124432222 m KN l M BC ⋅-=⋅+-=582621892 结点力偶直接分配时不变号结点 A BC 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 0 48 -58 12 分配传递0 50 50 5 5 12 最后弯矩103-312(b) 解：存在B 、C 角位移结点设EI=6，则1===CD BC AB i i i73741413145.0141414==⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯==BC CB BC BA μμμμ固端弯矩：mKN M M M m KN M m KN M CDCB BC BA AB ⋅-=⨯+⨯-===⋅-=⋅-=14021808640080802结点 A BC杆端 AB BA BC CB CD 分配系数 固结 0.5 0.5 4/7 3/7 固端弯矩-80 80 0 0 -140 分配传递-20 -40 -40 -2047.5 91.4 68.6 -11.4 -22.8 -22.8 -11.4 3.25 6.5 4.9 -0.82-1.63-1.63-0.820.6 0.45 最后弯矩-112.2215.57-15.4866.28-66.05(c) 解：B 、C 为角位移结点51411,5441454414,51411=+==+==+==+=CD CBBC BA μμμμ固端弯矩：mKN M mKN M mKN M mKN M mKN M mKN M DC CD CB BC BA AB ⋅-=⨯-=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅=⨯=10065242003524501252450125241283424646424222222结点 A BCD 杆端 AB BA BC CB CD 滑动 分配系数 滑动 0.2 0.8 0.8 0.2 -100固端弯矩64 128 -50 50 -200 分配传递15.6 -15.6 -62.4 -31.272.48 144.96 36.24 -36.24 14.5 -14.5 -58 -29 11.6 23.2 5.8 -5.8 2.32-2.32-9.28-4.643.7 0.93 -0.93 最后弯矩96.4295.58-95.6157.02-157.03-142.9796.42(d) 解：11313141413114131414145.0141414=⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯⨯=DBDE DCCD CA μμμμμ 固端弯矩：mKN M mKN M ED DE ⋅=⋅-=⨯-=383812422 结点 A CD E 杆端 AC CA CD DC DB DE ED 分配系数 固结 0.5 0.5 4/11 3/11 4/11 固结 固端弯矩0 0 0 0 0 -2.67 2.67 分配传递-5 -10 -10 -546/33 92/33 69/33 92/33 46/33 -0.35 - 23/33- 23/33-0.35 0.127 0.096 0.127 0.064 最后弯矩-5.35-10.7-9.3-2.442.190.254.12(e) 解：当D 发生单位转角时：()()2414-=⨯⨯=m EI K Y C 则()）假设12(441==⨯=-m EI EIM DC73,74,3716,379,371216,12,16,9,12=====∴=====∴EB ED DE DA DC DE EB DE DA DC S S S S S μμμμμ 结点D EB 杆端 DC DA DE ED EB BE 分配系数 12/37 9/37 16/37 4/7 3/7 固结 固端弯矩0 0 -9 9 0 0 分配传递-2.57 -5.14 -3.86 -1.93 3.75 2.81 5 -2.5 -0.72 -1.43 -1.07 -0.54 0.230.18 0.31 0.16 最后弯矩3.982.99-6.985-5-2.47(f) 解：截取对称结构为研究对象。
位移法求解超静定结构
位移法求解超静定结构一、引言超静定结构是指在静力学条件下，其内力和位移无法通过平衡方程和变形方程求解的结构。
由于超静定结构的内力和位移无法直接求解，因此需要采用特殊的方法进行计算。
其中，位移法是一种经典的求解超静定结构的方法。
二、位移法基本原理位移法是一种基于能量原理的方法，其基本思想是将结构中各个部分的变形看作独立自由度，然后通过能量平衡原理得到各个自由度之间的关系，最终求解出整个结构的内力和位移。
具体来说，位移法包括以下几个步骤：1. 将超静定结构中每一个部分看作一个独立自由度，并为每个自由度引入一个未知位移；2. 根据平衡条件列出各部分之间相互制约的方程组；3. 根据能量平衡原理列出总势能和总应变能之间的关系式，并将其转化为未知位移之间的关系式；4. 将各个方程组联立起来，得到未知位移之间的关系式；5. 利用已知边界条件解出未知位移，并进而求解出整个结构的内力和位移。
三、位移法的应用范围位移法适用于各种类型的超静定结构，包括梁、柱、框架等。
此外，位移法还可以用于求解复杂的结构体系，如悬索桥、拱桥等。
四、位移法的优点和缺点1. 优点：（1）能够求解各种类型的超静定结构；（2）计算精度高，适用于复杂结构；（3）计算过程简单明了，易于理解和掌握。
2. 缺点：（1）只能求解超静定结构，不能求解不静定和半静定结构；（2）需要将每个部分看作独立自由度，因此对于复杂结构需要引入大量自由度，计算量较大；（3）需要具备一定的数学基础和结构力学知识。
五、位移法的实例以一根简支梁为例进行说明。
假设梁长为L，截面为矩形截面，宽度为b，高度为h。
在中间加一集中荷载F，则该梁为超静定结构。
采用位移法进行求解：1. 将梁分成两段，并引入两个未知位移u1和u2；2. 根据平衡条件，得到以下方程组：（1）在x=0处：F = R1 + R2（2）在x=L处：R1u1 + R2u2 = FL/43. 根据能量平衡原理，得到以下关系式：（1）总势能：V = (R1u1 + R2u2)hL/2（2）总应变能：T = F^2L^3/48EI4. 将以上方程组和关系式联立起来，得到：（1）F = (3EI/h^3L^3)(u1 - u2)（2）R1 = F/2 - EI/h^3L^3(u1 + u2)（3）R2 = F/2 + EI/h^3L^3(u1 + u2)5. 利用已知边界条件，即梁两端的位移为0，解出未知位移：（1）u1 = FL^3/(48EIh)；（2）u2 = -FL^3/(48EIh)；6. 最终求解出内力和位移：（1）R1 = F/4；（2）R2 = F/4；（3）Mmax = FL/8；（4）umax = FL^3/(48EIh)。
结构力学 第七章 结构位移计算
第七章 结构位移计算到上节课为止，我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。
我们知道内力计算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。
讲第一章时，结力的第二大任务：刚度问题，而要解决…，首先应该…杆件结构位移计算 （结构变形+刚度位移）→{刚度校核截面设计确定P max又是超静定结构计算的基础（双重作用）。
另外本章主要讨论各种杆件结构的位移计算问题。
结构位移计算的依据是虚功原理，所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理，然后推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论各种具体结构的位移计算。
§7-1概述一、结构的位移画图：梁、刚架、桁架 （内力N 、Q 、M ——拉伸、剪切、弯曲）截面C 线位移：C ∆ 角位移：C ϕ结点的线位移： 两点（截面）相对线位移： 杆件的角位移： AB ϕ 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：1、位移定义：由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生（相对）移动（线位移），使杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。
截面C 线位移：C ∆。
一般 分解成水平、垂直两方向：CH ∆、CV ∆ 角位移：C ϕ2、位移的分类：6种绝对位移：点（截面）线位移——分解成水平、垂直两方向截面角位移：杆件角位移：相对位移：两点（截面）相对线位移——沿连线方向两截面相对角位移：两杆件相对角位移：统称为：广义位移：角、线位移；相对、绝对位移Δki：k：产生位移的方向；i：引起位移原因。
如ΔA P、Δat、ΔA C广义力：集中力、力偶、分布荷载，也可以是上述各种力的综合二、引起位移的原因1、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移）2、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力非0应变→结构变形（材料胀缩引起的位移性质同）3、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置发生变化){刚体位移（制造误差同）变形位移三、计算位移的目的1）刚度验算：最大挠度的限制（框架结构弹性层间位移限值1/450）2）为超静定结构的弹性分析打下基础3）预先知道变形后的位置，以便作出一定的施工措施：（起重机吊梁、板）（屋架安装）（建筑起拱）（屋窗、门、过梁）（结构要求高，精密）四、计算位移的有关假定（简化计算）1）弹性假设2）小变形假设建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系3）理想约束（联结，不考虑阻力摩擦）变形体系{ 线性变形体系（线弹性体系）荷载和位移呈线性关系，且荷载全撤除后位移将全部消失，无残余变形，（可用位移叠加原理）非线形变形体系（分段线形叠加）4）位移叠加原理（类似内力、反力叠加）§7-2 变形体系的虚功原理一、 位移实位移：外因作用下结构实际位移虚位移：根据解题需要，虚设位移状态 （满足变形协调＋边界条件） 统称为：广义位移二、功：力所做的功：该力大小乘以力方向上的相应位移常力的功： T ＝P ×Δ＝P ×D ×cos a （大小、方向、作用点不变） 变力的功：Ｔ＝⎰s dT ＝⎰s P ×cos （P ，d s ）×d s力偶所做的功：功两要素：力与位移P ：广义力（力、力偶、相对力、相对力偶）Δ：和广义力相对应的广义位移（线、角、相对线、相对角）注意：在定义功T 时，没有说位移Δ是由力P 引起的，可能由P 或其它原因，但P 力照样作功。
结构力学 结构的位移计算
A1
ds
M N Q
此为局部变 形位移公式
d ds
§8-2 结构位移计算的一般公式
二.结构位移计算的一般公式
整个杆件的变形
可根据叠加原理，得：
d M N Q 0 ds
如果结构中有多个杆件，则
d M N Q 0 ds
1 c
1 cA 0 3
c
1 cA 3
1
1 1 cA 0 cA 2l 2l
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
当支座有给定位移 cK 时，静定结构的位移可用虚功原理求出，其 计算步骤如下： (1)沿拟求位移 方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用 下的支座反力 RK 。 (2)令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程：
求未知力
虚功原理之 虚位移原理 虚功原理之 虚力原理
单位位移法
求未知位移
单位荷载法
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
三.支座移动时静定结构的位移计算
下面应用单位荷载法求支座移动时静定结构的位移
如图 ⑴求C点的竖向位移 C ；
所示：⑵杆CD的角位移 ： ⑴求C点的竖向位移 C，应在C 加—个单位竖向荷载。而求杆 CD的角位移 ，应在杆CD上加 一个单位力偶荷载，利用虚力 原理得虚功方程：
●变形类型：它既可以考虑弯曲变形，也可以考虑拉伸或剪切变形。 ●变形因素：它既可以考虑荷载引起的位移，也可以考虑温度或支
座移动引起的位移。
●结构类型：它可用于梁、刚架、桁架、拱等各类型式的结构，也 可用于静定或起静定结构。
§8-2 结构位移计算的一般公式
◆ 此式不仅是变形体体系位移计算的一般公式，也是变形体虚功原理 的一种表示形式。因为：
自考结构力学_超静定结构的内力和位移
取C结点，如图6.12c所示，由∑y=0 得： 4 NCA = QCB = ql 7
取结点B，由∑X=0 ，已知 3 得 NBC = ql 7
3 x2 = ql 7
图6.12 求各杆轴力及剪力
三、力法典型方程
支座移动时的计算
X1
d11 X 1 d12 X 2 D1c = 0 h d 21 X 1 d 22 X 2 D 2c =
1、力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多 余力）。
2、力法基本体系 力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的 静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束 后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余 力共同作用的体系。
3、力法基本方程 力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移 一致的条件。 方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算 问题，显然，超静定转化为静定问题。
1 (d 11 ) k 25 X 1 = ql ( ) 32 5 X 1 = ql ( ) (c) 4
？
基 本 体 系
M图由M = M1 X1 M P 作出：
温度内力的计算
画出 M 1 , M 2 , N1 , N 2 图 计算
t1 t1 t2 t1 X1
t1 t2
梁刚架： 系 数 桁 架：
d d
d
M i yi = i ds= ii EI EI j yi Mi M j ds = ij = EI EI 2 N l = i ii EA
2
自由项
梁刚架：
桁 架：
d ij = EA M M ds D iP = EI
Ni N jl
d11 X1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X1 d 22 X 2 D2 P = 0
结构力学-第五章-力法4
§5-7 最后内力图的校核
例： 试校核图示刚架的弯矩图其是否有误。
M C B
2M /5 C 3M /5 M /5
A
l
B
M
1
3M /5
B X1 = 1
EI= 常数
A l/ 2
M
2M /5
A
M1 图
解:(1)平衡条件校核。 取刚结点C 为隔离体,满足平衡条件。 (2)校核位移条件。 检验C 结点两个端面间的相对转角位移 Δ C 是否为零, 任取一基本结构作图M 1 ，令 M 1 与M 相图乘得： 2m m 1 1 l 3m 2 1 ml ml 5 5 Δ C [ 1 l 1] [ ]0 EI 2 2 5 3 2 EI 10 10
小 结
小
结
力法是求解超静定结构最基本的方法。力法的基本原 理是将原超静定结构中的多余约束解除，代之以相应的未 知约束反力。原结构就变成了在荷载及多余未知力作用下 的静定结构。这个静定结构称为原结构的基本体系 , 多余 未知力称为原结构的基本未知数。根据基本体系中多余未 知力作用点的位移应与原结构一致的条件，即多余约束处 的位移谐调条件，建立位移协调方程。这就是力法典型方 程。方程中的基本未知数是体系的多余未知力。这种以未 知力为基本未知数的求解超静定结构的方法就称为力法。 由于基本体系满足位移谐调条件 , 因此基本体系的内力 与变形便与原超静定结构完全一致。利用位移约束条件解 出多余未知力是力法的关键 , 求出多余未知力后便将超静 定问题转化为静定问题了。以后的计算便与静定结构的求 解完全一样。
§5-7 最后内力图的校核
结论：亦满足给定位移条件，原弯矩图是正确的。
X1 = 1
C B
A
也可取图悬臂刚架作基本结构，计算B点水平位 移△xB 是否为零。
结构力学第5讲 位移法
二、基本未知量的确定 1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1.
B
C
例2.
B
C
A 只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
A
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
45o D
B 45o
C
结点位移与杆端位移分析 BD伸长：
2 2
△
DA伸长： DC伸长：
FP
2 2
杆 端 位 移 分 析
由材料力学可知：
FNDB EA EA 2 FNDA FNDC L 2L 2
杆端力与杆端 位移的关系
由结点平衡：
NDB
Y 0
2 2 建立力的 FNDB FNDC FNDA FP 2 2 平衡方程 NDA NDC EA(2 2) D FP 2L Fp 位移法方程 2 PL 由方程解得： (2 2) EA
1、基本未知量θB、θC
40 4m 4m
46.9 43.5 20kN/m 24.5 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 62.5 C A 4I i= 1 5I 1 B A C B 3.4 1 1
14.7
4I 1 9.8 1
D D
2、列杆端力表达式
ql 2 20 4 2 .m 40 kN mBA 8 ql 2 8 20 5 2 kN .m MBA 41.7 mBC 12 12 mCB 41.7 kN .m
3
2
1
结点转角的数目：7个独源自结点线位移的数目：3个DE
结构力学 第4章 静定结构的位计算
例如，图1(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求 梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成 两个三角形，分别图乘后再叠加。
图1
对于图2所示由于均布荷载q所引起的MP图，可以 把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC与相应简
支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。
四、几种常见图形的面积和形心的位置
零。
P
2Δ
PP2P30
22
2
YA P/2
YB P/2
2.变形体系的虚功原理 We Wi
体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的
位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体
系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。
说明： （1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态
PR3 PRk PR
4EI 4EA 4GA
M N Q
P θ
P=1
钢筋混凝土结构G≈0.4E 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
Q M
kGEAI2R14Rh2
N M
I AR2
1 h2 12R
如 h 1 ， 则Q 1 ， N 1
1
EA 2(1 2)Pa()
1 2
1
EA
2
1
例3.求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。
解：1）虚拟单位荷载
2）实际荷载
虚拟荷载
ds
M P PR sin
M R sin
QP P cos
Q cos
dθ
N P P sin
N sin
d d ds d
d dd sd sN Pds
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok
如： 1 2
3
1 2
1
3
这样即可使12、13杆 成为单跨超静定梁
2、附加链杆支座约束：为使杆件两端相对线位移被约束而在结点上附加的约 束阻止结点移动的装置。
如：1
3
用“
” 表示
2 1 3
结构变形时，显然13杆可沿水平方向移动， 同时刚结点1也可能发生转角，要使各杆独立成为 单跨超静定梁。 需在1结点上附加刚臂约束 同时还需加附加链杆支座以阻止13杆的水平线 位移。
r11Z 1+ r12Z 2+ · · · · + r1nZ n+R1P=0
位移法 – 刚度法
ri j=rj i
反力互等定理
位移法典型方程，简称为位移法方程 – 结构的刚度方程
主系数，rii>0 r12 ...... r1n Z1 R1P r11 r Z R r ...... r 2P 22 2n 2 21 ri j=rj i 反力互等定理 0 ...... ...... ...... ...... rn 2 ...... rnn Z n RnP rij=rji，Rip，>0，=0，<0 rn1
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
F A l/2 l/2 B
Fl/8 A
Fl/8
F M AB Fl / 8
B
F M BA Fl / 8
q
ql2/8 B A B
F M AB ql 2 / 8
A
F A l/2 l/2 B
3Fl/16 A B
EI=
Z1 Z2
EI=
结构力学第六章位移法
面投影平衡求附加支杆中的反力。
13
16
↓↓↓↓↓↓↓↓
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 30 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20 MP
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20 0
36
F k11D1 F1P 0
M M 1D1 M P 叠加弯矩图
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
ql2/2
M1
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 mAB 8
mBA 0
8
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
16
§6.5 位移法计算示例
一、连续梁
A
20kN
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；
结构力学
第五章 超静定结构计算——位移法一、判断题：1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。
（1） （2） （3）（4） （5） （6）EIEIEIEI2EI EIEIEIEA EA ab EI=EI=EI=244422、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。
3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
6、图示结构，当支座B 发生沉降∆时，支座B 处梁截面的转角大小为12./∆l ，方向为顺时针方向，设EI =常数。
7、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
/2/22l l θθC8、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是-θ/2 。
9、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql E I 324/。
ql二、计算题：10、用位移法计算图示结构并作M 图，各杆线刚度均为i ，各杆长均为 l 。
11、用位移法计算图示结构并作M 图，各杆长均为 l ，线刚度均为i 。
12、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度 i 相同。
q 213、用位移法计算图示结构并作M 图。
E I =常数。
ll /2l /2第四章 超静定结构计算——力法一、判断题：1、判断下列结构的超静定次数。
（1）、 （2）、(a )(b)（3）、 （4）、（5）、 （6）、（7）、(a)(b)2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。
3、超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。
4、在温度变化、支座移动因素作用下，静定与超静定结构都有内力。
5、图a 结构，取图b 为力法基本结构，则其力法方程为δ111X c =。
(a)(b)X1第二章 静定结构内力计算一、判断题：1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。
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计算实例
超静定结构的位移计算
-150 +250
3750EI 7 L2
-150
535.17
317.14
218 .75EI 7 L2 静定结构在温度、荷载共 同作用下的位移计算问题
单位：
EI
L
弯计算
535.17 317.14
为求A截面的转角，作P=1
单位：
P=1
超静定结构的位移计算
计算实例
图示结构，各杆长都是 L，梁截面为矩形，截面高度h
数为 。求（1）绘弯矩图（2）求杆 A 端转角
L 10
，线膨胀系
-150 -150 +250
A
超静定结构的位移计算
计算实例 -150 +250 X1 X2 基本体系
-150
3750EI 解得： X 1 7 L2 218 .75EI X2 7 L2
22
3a 3 12 21 4 EI
2P
17Pa3 48EI
16 P X2 44
3P X1 44
EI
p
6Pa/44 3Pa/44
EI
2EI
16 P X2 44
3Pa/44 8Pa/44
M图
P=1
1
1 1 6Pa 1 Pa 1 1 3Pa 7 Pa2 A a 1 a 1 1 a EI 2 44 2 4 44 176EI 2EI 2
超静定结构的位移计算
引言： 超静定结构的位移计算不需要另外推导公式，在力法的计算 过程中，其方法已经存在了。 下面以例题的形式加以说明。 D 6m
A 6m C 6m
B
超静定结构的位移计算
解：1）两次超静定结构
150
q X1
30
90
X2 基本体系 弯矩图
X1=-5kN ，X2=75kN
超静定结构的位移计算
6
150
30 90
M
MP
P=1 结构的 弯矩图
超静定结构的位移计算
4） M图与M P图图乘，
CV 1800 EI
小结：超静定结构的位移计算： 图
1）选基本体系作出超静定结构的弯矩图，作为MP
2）任选该超静定结构的一种基本结构，在拟求位移 M 的位置作用单位力，作出 图
M图与M P图图乘结果就是所求的 位移。
EI
L
M
MP
1 1 EI EI 1 A L 535.17 535.17 317.14 L 694.29EI EI 2 l L 2
3）
计算实例 求A截面的转角
EI
p A EI
a
X1
EI
p
EI
2EI
a/2 a/2
a
2EI
X2
1）求出各系数，写力法方程 X1=1 EI Pa/2 EI 2EI M P图
3a 3 11 2 EI
1P 3Pa3 8EI
M 1图
P a X2=1 2a
5a 3 6 EI
M 2图
3P X1 44
2）原结构等价于基本体系，则原结构在C点竖向位移，就 等价于求基本结构在X1 ，X2 及分布荷载q共同作用下C点竖 向位移。即，问题转化为求静定结构的位移问题。 150
q 30 - 5 kN
C
75 kN 求此结构体系的位移， 3个荷载作用
90
结构的 弯矩图
超静定结构的位移计算
3）为求C处的竖向位移，在C处 作用P=1，与MP图图乘即可。