结构力学 超静定结构的位移计算
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朱慈勉结构力学力法
2次超静定
9
解：⑴ 确定超静定次数;
⑵ 用力法求解, 并作M图和FN图; ⑶ 选取基本结构为铰结体系求位移;
⑷ 求AD杆与BD间的相对转角:
⑸ 施加单位荷载并求各杆轴力:
D
FN1FN l EA
1 m 1
35m 25m 1 1 .8 9 k N 1 .3 4 k N 3 5
E A 1 5
1 m 1 35
b h
a
基本结构 3 h
a l
b
0
例6-10 绘制图示梁在已知支座位移作用下 的弯矩图。
1次超静定
解：⑴ 确定超静定次数;
⑵ 选取基本结构; ⑶ 建立力法方程:
11X11c
1
⑷ 求系数和自由项:
11
l 3EI
,
1c 1laal
X1 基本结构
⑸ 解方程求未知量:
X13lE 2IlaM A
⑹ 绘制弯矩图。
例6-13 求图示梁在支座位移作用下
B点的转角。
1次超静定
解: ⑴ 确定超静定次数;
⑵ 选取基本结构;
⑶ 建立力法方程: 11X11ca
1 a
⑷ 求系数和自由项;
11E 1I1 2ll3 2l3lE 3I
l
⑸
1 c F R c l l
解方程求未知量:
l
基本结构 X 1
结构力学二5-超静定结构的内力与位移计算
a 2
力法典型方程为： 11X1 + 12X2+△1P=0 (a) 21X1 + 22X2+△2P=0 计算系数和常数项，为 此作
计算结果如下
P
a 2
I2=2I1
I1 原 a
B
C P A
B X 1 X2 基
A
X1 1 a M1图
a
a
M 2图
X2 1
a
3 1 a2 2a a = 2EI1 2 3 6EI1
例. 力法解图示结构
P P X1 X2
X3
M1
1 0 2 0 0 3 11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 31 1 32 2 33 3 3 P
例：
(a)
(b)
框格数c = 2
单铰数h = 2
框格数c = 4 单铰数h = 6
n = 3×2-2 = 4
n = 3× 4- 6 = 6
例：
n=2
X1 X2
X1
X2
X3
X4
n=4
n=3
X1 X3 X2
X1
X3 X4
n = 3×6-10=8
X2
力法典型方程为： 11X1 + 12X2+△1P=0 (a) 21X1 + 22X2+△2P=0 计算系数和常数项，为 此作
计算结果如下
P
a 2
I2=2I1
I1 原 a
B
C P A
B X 1 X2 基
A
X1 1 a M1图
a
a
M 2图
X2 1
a
3 1 a2 2a a = 2EI1 2 3 6EI1
例. 力法解图示结构
P P X1 X2
X3
M1
1 0 2 0 0 3 11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 31 1 32 2 33 3 3 P
例：
(a)
(b)
框格数c = 2
单铰数h = 2
框格数c = 4 单铰数h = 6
n = 3×2-2 = 4
n = 3× 4- 6 = 6
例：
n=2
X1 X2
X1
X2
X3
X4
n=4
n=3
X1 X3 X2
X1
X3 X4
n = 3×6-10=8
X2
结构力学 位移法计算超静定结构
Fip ——基本结构上，由于荷载作用时，在第 i 个附加约束上的约束反力，称 为自由项，可正、可负也可为零。
上述方程组是按一定规则写出，且具有副系数互等的关系，故通常称为位移 法的典型方程。为了求得典型方程中的系数和自由项，需分别绘出基本结构中 由于结点单位位移引起的单位弯矩图 M i 和由于外荷载引起的 MP 图。由于基本 结构中的各杆都是单跨超静定梁，其弯矩图可利用表 3–2、3–3 进行绘制。绘 出 M i 和MP 图后，即可利用平衡条件求出系数和自由项。
系数和自由项确实后，代入典型方程就可解出基本未知量。最后弯矩图可按 下式作出
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
根据以上位移法求解过程，将位移法计算步骤归纳如下： ① 确定基本未知量。在原结构上加入附加约束，得到基本结构。 ② 根据基本结构在荷载和结点位移共同作用下在附加约束处的约束反力应 为零的条件建立位移法典型方程。 ③ 分别作出基本结构的单位弯矩图 M i 和荷载弯矩图MP 图，由平衡条件 计算系数和自由项。 ④ 解方程，求出基本未知量。 ⑤ 按叠加法作出最后弯矩图。
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
叠加以上结果，得
将（3–17）代入式（3–16），即得位移法基本方程
从方程中即可求出基本未知量 ∆1 和 ∆2 。 对于具有 n 个基本未知量的结构，作同样的分析，可得位移法方程如下：
上述方程组是按一定规则写出，且具有副系数互等的关系，故通常称为位移 法的典型方程。为了求得典型方程中的系数和自由项，需分别绘出基本结构中 由于结点单位位移引起的单位弯矩图 M i 和由于外荷载引起的 MP 图。由于基本 结构中的各杆都是单跨超静定梁，其弯矩图可利用表 3–2、3–3 进行绘制。绘 出 M i 和MP 图后，即可利用平衡条件求出系数和自由项。
系数和自由项确实后，代入典型方程就可解出基本未知量。最后弯矩图可按 下式作出
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
根据以上位移法求解过程，将位移法计算步骤归纳如下： ① 确定基本未知量。在原结构上加入附加约束，得到基本结构。 ② 根据基本结构在荷载和结点位移共同作用下在附加约束处的约束反力应 为零的条件建立位移法典型方程。 ③ 分别作出基本结构的单位弯矩图 M i 和荷载弯矩图MP 图，由平衡条件 计算系数和自由项。 ④ 解方程，求出基本未知量。 ⑤ 按叠加法作出最后弯矩图。
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
叠加以上结果，得
将（3–17）代入式（3–16），即得位移法基本方程
从方程中即可求出基本未知量 ∆1 和 ∆2 。 对于具有 n 个基本未知量的结构，作同样的分析，可得位移法方程如下：
结构力学 静定结构的位移计算
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 项目实施
横截面转角φ即为角位移，规定φ以顺时针转向为正，反之为负。
梁横截面的挠度y和转角φ都是随截面位置x而变化，是x的连续函数，则梁 的挠曲线方程为
y=y（x）
在小变形条件下，转角很小，两者之间的关系为
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
项目实施
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
3．位移计算的目的 ① 校核结构的刚度。在结构设计中除了满足强度要求外还要求结构有足够的刚 度，即在荷载作用下（或其他因素作用下）不致变形太大，而影响正常使用。 例如列车通过桥梁时，若桥梁的挠度（即竖向线位移）太大，则线路将不平顺 以致引起过大的冲击、振动，影响行车。 ② 在结构的制作、架设施工与养护等过程中，也常须预先知道结构变形后的位 置，以便采取相应的施工措施，因此也需要计算其位移。例如图 2 – 58 所示三 孔钢桁梁，进行悬臂拼装时，在梁的自重、临时轨道、吊机等荷载作用下，悬 臂部分将下垂而发生竖向位移 fA，若 fA太大，则吊机容易滚落，同时梁也不能 按设计要求就位。因此，必须先行计算 fA 的数值，以便采取相应措施，确保施 工安全和拼装就位。
项目二 静定结构的内力与位移计算
子项目二 静定结构的位移计算
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
学习能力目标
学习进程
结构力学位移法
静超静定结构计算——位移法 一、解题思路
(a) A l A
第一节 位移法的基本概念
q
B ø B l
ø B
C
Z1= ø B R B ø B
q
C
(b)
ø B
B ø B
q
(b’) A
ø B
C
(c’) A ø B
Z1= ø B R11 ø B B R1P q C
(c)
A
B
ø B C q
(d)
A
B
(d’)A
C以图（b’）、（c’）（d’）分别
MCB C MCD 30kN B QBA
C QCD
M CB M CD 0 QBA QCD 30 0
即：
3i ( 3 iZ ) ( 4 iZ Z2 ) 0 1 1 2 ( 3i Z 30) ( 3i Z 3i Z ) 0 1 2 16 2 2 4
P A
MAB0
B MBA0
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。 P A
QAB0
B QBA0
静超静定结构计算——位移法
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作 用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端 剪力。用MAB、MBA、QAB、QBA表示。
EI EI EI f 三、两端固定梁的转角位移方程 M AB 4 A 2 B 6 M AB
(a) A l A
第一节 位移法的基本概念
q
B ø B l
ø B
C
Z1= ø B R B ø B
q
C
(b)
ø B
B ø B
q
(b’) A
ø B
C
(c’) A ø B
Z1= ø B R11 ø B B R1P q C
(c)
A
B
ø B C q
(d)
A
B
(d’)A
C以图（b’）、（c’）（d’）分别
MCB C MCD 30kN B QBA
C QCD
M CB M CD 0 QBA QCD 30 0
即：
3i ( 3 iZ ) ( 4 iZ Z2 ) 0 1 1 2 ( 3i Z 30) ( 3i Z 3i Z ) 0 1 2 16 2 2 4
P A
MAB0
B MBA0
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。 P A
QAB0
B QBA0
静超静定结构计算——位移法
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作 用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端 剪力。用MAB、MBA、QAB、QBA表示。
EI EI EI f 三、两端固定梁的转角位移方程 M AB 4 A 2 B 6 M AB
《结构力学》静定结构的位移计算
l ≤ x ≤ l CB段 2 段
2 q l M = − x− P 2 2 QP = −q x − l
2
q P=1
NP = 0
N =0 M = −x Q = −1
x
2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算∆ AV
= ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
∆ = ∑∫ (Mκ + Nε +Qγ )ds − ∑Rkck
∆ = ∑∫ (Mκ + Nε + Qห้องสมุดไป่ตู้ ) d s − ∑Rkck
适用范围与特点： 适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 ） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 ） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 ）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 ）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 ）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。 ）材料种类：各种变形固体材料。
0.278l 3 As 0.222l 2 As
1.13Pl E s As
N N Pl ∆C = ∑ EA
05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok
可解出
j B (j A 3
1 2
AB
l
)
铰支端的转角jB可用jA与AB来表示，因而不是独立的结点位移。所以，在位移法中， 铰结点或铰支座处的转角不作为求解的基本未知量。在MAB表达式中消去jB，有
M AB 3i(j A
FSAB FSBA
AB
l
)
M AB AB 3i (j A ) l l l
位移法典型方程 – 结构的刚度方程 位移法的符号规定 刚结点角位移 – 顺时针为正 杆端弯矩 – 绕杆端顺时针为正 剪力 – 绕隔离体顺时针为正 由结点位移方向 的平衡条件求出 附加刚臂约束上的反力偶 – 顺时针为正 附加链杆支座上的反力 – 与结点线位移同向为正 位移法 – 刚度法
Very important !
n1 1 n2 2 nn n nP
r12 ...... r1n Z1 R1P r11 r Z R r ...... r 2P 22 2n 2 21 0 ...... ...... ...... ...... r r ...... r Z n RnP n2 nn n1
X2
杆端内力与杆端位移之间的 关系式，称为转角位移方程
FSAB FSBA
6i 6i 12i j A j B 2 AB (2) l l l
结构力学第5讲 位移法
45o D
B 45o
C
结点位移与杆端位移分析 BD伸长：
2 2
△
DA伸长： DC伸长：
FP
2 2
杆 端 位 移 分 析
由材料力学可知：
FNDB EA EA 2 FNDA FNDC L 2L 2
杆端力与杆端 位移的关系
由结点平衡：
NDB
Y 0
2 2 建立力的 FNDB FNDC FNDA FP 2 2 平衡方程 NDA NDC EA(2 2) D FP 2L Fp 位移法方程 2 PL 由方程解得： (2 2) EA
B
A
结论：刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。
例5. A
B
C
有两个刚结点B、C，由于 忽略轴向变形及B、C点的约 D 束，B、C点的竖向、水平位 移均为零，因此该结构的未 知量为： B C
例6. A
B 桁架杆件要考虑轴向变形。因 此每个结点有两个线位移。该结构的 未知量为： AH AV BH BV DH .
4. 解方程，得:
qL2 B 56i
6. 画弯矩图 ql2 14 B ql2 8 ql2 28 C
5. 把结点位移回代，得杆端弯矩
3iqL qL qL M BC 56i 8 14 4iqL2 qL2 M BA 56i 14 qL2 M AB 28
结构力学静定结构位移计算
静定结构的位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§1 概述
一、变形和位移
变形：结构形状的改变。 位移：结构上某点位置的移动和截面转动。
CC‘——线位移
——角位移（转角）
线位移： C‘C‘‘——竖直位移 CC‘‘——水平位移
二、产生位移的原因
对于任何可能的虚位移，作用于质 点系的主动力所做虚功之和为零。
Σfi δri=0 →. →
FP1
FN1
m 1
m
FP 2
2
FN 2
2 刚体的虚功原理
3 变形体的虚功原理
§2 刚体虚功原理及其应用
一、刚体虚功原理
（一）原理：
刚体在外力作用下处于平衡状
态的充要条件是：对于任意给定的
虚位移，外力虚功之和为零。
T12 Pii
3、第一状态的内力在第二状态的变形上所作的虚功，称为内力虚功，记为W12
W12 [Mk Q Ne ]dx
l
相对转角
相对轴向位移
dx
W12 Md Qd Nd
相对剪切位移
d kdx
d dx
d
d edx
d
W12 [Mk Q Ne ]dx
l
二、变形体系的虚功原理
T
dT
Displacement of Statically Determinate Structures
§1 概述
一、变形和位移
变形：结构形状的改变。 位移：结构上某点位置的移动和截面转动。
CC‘——线位移
——角位移（转角）
线位移： C‘C‘‘——竖直位移 CC‘‘——水平位移
二、产生位移的原因
对于任何可能的虚位移，作用于质 点系的主动力所做虚功之和为零。
Σfi δri=0 →. →
FP1
FN1
m 1
m
FP 2
2
FN 2
2 刚体的虚功原理
3 变形体的虚功原理
§2 刚体虚功原理及其应用
一、刚体虚功原理
（一）原理：
刚体在外力作用下处于平衡状
态的充要条件是：对于任意给定的
虚位移，外力虚功之和为零。
T12 Pii
3、第一状态的内力在第二状态的变形上所作的虚功，称为内力虚功，记为W12
W12 [Mk Q Ne ]dx
l
相对转角
相对轴向位移
dx
W12 Md Qd Nd
相对剪切位移
d kdx
d dx
d
d edx
d
W12 [Mk Q Ne ]dx
l
二、变形体系的虚功原理
T
dT
结构力学课件超静定结构位移计算
i = 给定值
1、用位移协调条件检验多余约束力是否正确。 2、用力平衡条件检验内力图是否正确。
q X2
X1
q
2EI
EI
l
l
l l
l l X1 1
M1
X2 1
M2
ql 2 20
ql 2 / 40 M
Δ1
MM1 EI
ds
0
Δ2
MM 2 EI
ds
0
3FPl/7
4FP
3FPl/7 12FPl/7
3FPl/7
基本结构在多余约束力和荷载共同作用下的 内力和变形与原结构完全相同！
解决思路：如将超静定结构由力法求得的多余约 束力看作已知荷载，并作用在去掉多余约束的基 本结构（一般是静定的）上，超静定结构位移计 算问题就可采用在基本结构上建立虚拟力状态的 方法得到解决。
例：已知M图，EI=常数。求ΔCV。
q
1
1
X1 1
4FPl/7
8FPl/7
4FPl/7
M
M1
Mds EI
0
在任一封闭框上各杆件（M/EI）图的面积等于零。 意义在于任意截面两侧的相对转角等于零。
力法小结
1、力法的典型方程是变形协调方程； 2、主系数恒大于零、副系数满足位移互等定理； 3、柔度系数是体系固有常数，与外界因素无关； 4、荷载作用时，内力分布与绝对刚度大小无关，
1、用位移协调条件检验多余约束力是否正确。 2、用力平衡条件检验内力图是否正确。
q X2
X1
q
2EI
EI
l
l
l l
l l X1 1
M1
X2 1
M2
ql 2 20
ql 2 / 40 M
Δ1
MM1 EI
ds
0
Δ2
MM 2 EI
ds
0
3FPl/7
4FP
3FPl/7 12FPl/7
3FPl/7
基本结构在多余约束力和荷载共同作用下的 内力和变形与原结构完全相同！
解决思路：如将超静定结构由力法求得的多余约 束力看作已知荷载，并作用在去掉多余约束的基 本结构（一般是静定的）上，超静定结构位移计 算问题就可采用在基本结构上建立虚拟力状态的 方法得到解决。
例：已知M图，EI=常数。求ΔCV。
q
1
1
X1 1
4FPl/7
8FPl/7
4FPl/7
M
M1
Mds EI
0
在任一封闭框上各杆件（M/EI）图的面积等于零。 意义在于任意截面两侧的相对转角等于零。
力法小结
1、力法的典型方程是变形协调方程； 2、主系数恒大于零、副系数满足位移互等定理； 3、柔度系数是体系固有常数，与外界因素无关； 4、荷载作用时，内力分布与绝对刚度大小无关，
结构力学 位移法
§6-1 位移法的基本概念
为了引出位移法的基本概念，通过一个简单的超静定结构示例来说明。 设图（a）共有n个杆件，第 i 根杆长为li,抗拉刚度为EAi，把AB视为刚性杆。 则在外力FP 作用下，AB杆的位移如图中的虚线所示。设其绕铰A的转角为φ ， 则第i杆的轴向变形量ui与φ 的关系可以表示为
(a)
i 1
n
1
k a
i
2 i
FP a
（5）
将（5）式回代入（3）式中，就可以求得各杆的轴力
FNi
k a
i
k i ai
2 i
FP a
位移法基本概念：
位移法也需要通过几何、物理与静力学三个方面分析结构； 位移法的基本未知量是位移，基本方程是平衡方程； 位移法首先要求出基本未知位移，求内力时要把该位移代回刚度方程。
力的叠加
(e)
F F F F M AB , M BA , FQAB , FQBA称为固端弯矩及固端剪 力。
二、一般弯曲杆件的刚度方程
由上一节的知识得 (a)
EI l
(1)
A A1 A2 B B1 B 2
由于梁AB为静定结构
∴ A2 B 2
F M BA Pl / 8
Pl/8 A
Pl/8 B A
P/2 B
M图
05-1结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.1节力法5.3节对称性利用5.6节内力图校核)ok
X1 1
M 1 m
6 6
M 2 m
X2 1
F=3kN 3 3m q=1kN/m 4
4.5
2 4.33
2EI
2EI 1 3m
EI
2
1.33
4.5 5.66
M kN m
3m
3m
X 1 2.67 kN X 2 1.11kN
结论：
不变 讨论： (1) 改变E、I的数值，结果变不变？ (2) 改变各杆EI的相对比值，结果变不变？
M P kN m
4、 解方程
135X 1 144X 2 520 0.......... ....2
X 1 2.67 kN X 2 1.11kN
5、作内力图：二种方法
207X 1 135X 2 702 0.......... .....1
F
不唯一性
X1
F
F
?
X1
X1
F
X1
F
X1
去掉一支座链杆或切断一根链杆等于去掉一个约束
F
F
X2
X1
F
F X1
X2
X2
X1
去掉一个固定铰支座或一个单铰等于去掉两个约束
F
F
X3
X2
X1
F
X 3 X 2X 3
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EI
L
M
MP
1 1 EI EI 1 A L 535.17 535.17 317.14 L 694.29EI EI 2 l L 2
计算实例
超静定结构的位移计算
-150 +250
3750EI 7 L2
-150
535.17
317.14
218 .75EI 7 L2 静定结构在温度、荷载共 同作用下的位移计算问题
单位：
EI
L
弯矩图MP
计算实例
超静定结构的位移计算
535.17 317.14
为求A截面的转角，作P=1
单位：
P=1
6
150
30 90
M
MP
P=1 结构的 弯矩图
超静定结构的位移计算
4） M图与M P图图乘，
CV 1800 EI
小结：超静定结构的位移计算： 图
1）选基本体系作出超静定结构的弯矩图，作为MP
2）任选该超静定结构的一种基本结构，在拟求位移 M 的位置作用单位力，作出 图
M图与M P图图乘结果就是所求的 位移。
Βιβλιοθήκη Baidu
3）
计算实例 求A截面的转角
EI
p A EI
a
X1
EI
p
EI
2EI
a/2 a/2
a
2EI
X2
1）求出各系数，写力法方程 X1=1 EI Pa/2 EI 2EI M P图
3a 3 11 2 EI
1P 3Pa3 8EI
M 1图
P a X2=1 2a
5a 3 6 EI
M 2图
3P X1 44
超静定结构的位移计算
引言： 超静定结构的位移计算不需要另外推导公式，在力法的计算 过程中，其方法已经存在了。 下面以例题的形式加以说明。 D 6m
A 6m C 6m
B
超静定结构的位移计算
解：1）两次超静定结构
150
q X1
30
90
X2 基本体系 弯矩图
X1=-5kN ，X2=75kN
超静定结构的位移计算
超静定结构的位移计算
计算实例
图示结构，各杆长都是 L，梁截面为矩形，截面高度h
数为 。求（1）绘弯矩图（2）求杆 A 端转角
L 10
，线膨胀系
-150 -150 +250
A
超静定结构的位移计算
计算实例 -150 +250 X1 X2 基本体系
-150
3750EI 解得： X 1 7 L2 218 .75EI X2 7 L2
22
3a 3 12 21 4 EI
2P
17Pa3 48EI
16 P X2 44
3P X1 44
EI
p
6Pa/44 3Pa/44
EI
2EI
16 P X2 44
3Pa/44 8Pa/44
M图
P=1
1
1 1 6Pa 1 Pa 1 1 3Pa 7 Pa2 A a 1 a 1 1 a EI 2 44 2 4 44 176EI 2EI 2
2）原结构等价于基本体系，则原结构在C点竖向位移，就 等价于求基本结构在X1 ，X2 及分布荷载q共同作用下C点竖 向位移。即，问题转化为求静定结构的位移问题。 150
q 30 - 5 kN
C
75 kN 求此结构体系的位移， 3个荷载作用
90
结构的 弯矩图
超静定结构的位移计算
3）为求C处的竖向位移，在C处 作用P=1，与MP图图乘即可。